Klausur der Modulprüfung / Diplomvorprüfung

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Klausur der Modulprüfung / Diplomvorprüfung"

Lukas Bergmann
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Klausur dr Modulprüfung / Diplomvorprüfung für B.Sc. god Bitt bachtn Si di folgndn Hinwis: Barbitungszit: Minutn Erlaubt Hilfsmittl: Sitn DIN A4 ignhändig bschribn. Barbitungn mit Blistift, Grün- odr Rotstift sind nicht zulässig! Lsn Si zunächst di Aufgabnstllungn aufmrksam durch und bachtn Si, dass j nach Lösungswg di ggbnn Hinwis hilfrich sin könnn. In dn Aufgabn 4 6 sind di vollständign Lösungswg mit alln notwndign Bgründungn anzugbn. Di Barbitung dr Aufgabn nhmn Si bitt auf gsondrtm Papir vor. Bginnn Si jd Aufgab auf inm nun Blatt und schribn Si auf jds Blatt ihrn Namn und di Matriklnummr. In dn dn Aufgabn 3 wrdn nur di Endrgbniss gwrtt. Dis sind in di vorggbnn Kästn inzutragn. Nbnrchnungn sind hir nicht vrlangt und wrdn bi dr Bwrtung nicht brücksichtigt. Di Prüfungsrgbniss wrdn voraussichtlich ab dm 4.5. übr das Studntninformationssystm dr Univrsität Stuttgart ( bkannt ggbn. Di Klausurinsicht wird voraussichtlich am 6.5. stattfindn, Ort und Uhrzit wrdn auf bkannt ggbn. Vil Erfolg! Hinwis für Widrholr: Studirnd, di dis Prüfung als Widrholungsprüfung schribn, wrdn darauf hingwisn, dass zu disr Widrholungsprüfung für bstimmt Fachrichtungn in mündlich Nachprüfung ghört, s si dnn, di schriftlich Prüfung rgibt mindstns di Not 4,. Widrholr, bi dnn in mündlich Nachprüfung rfordrlich ist, müssn sich prsönlich vom.5. bis zum 3.5. bi Marcl Blim (V , blim@mathmatik.uni-stuttgart.d inn Trmin hirfür gbn lassn. Ein individull schriftlich Bnachrichtigung rfolgt nicht! Si sind vrpflichtt, sich rchtzitig übr das Ergbnis dr schriftlichn Prüfung zu informirn und sich ggf. zum vrinbartn Zitpunkt für di mündlich Nachprüfung britzuhaltn. Mit Ihrr Tilnahm an disr Prüfung rknnn Si dis Vrpflichtungn an. Di mündlichn Nachprüfungn findn vom 4.5. bis 6.5. statt.

3 Nam, Vornam Matriklnummr Studingang Aufgab ( = 7 Punkt Gbn Si bi dn folgndn Aussagn an, ob Si wahr odr falsch sind. Für jd falsch Antwort gibt s inn Punkt Abzug, di Aufgab kann abr insgsamt nicht mit wnigr als Punktn bwrtt wrdn. (a Für jd sttig Funktion F : R R und jdn Punkt (x, y ist di Diffrntialglichung dr Form y (x = F (y(x, x, y(x = y indutig lösbar. falsch (b Für jd stückwis sttig, priodisch Funktion f : R R konvrgirt ihr Fourirrih an jdm Punkt x R ggn f(x. falsch (c Si f : U R 3 in rgulär Fläch. Jd in dr Fläch nthaltn Grad ist in Godätisch. wahr (d Di Diffrntialglichung xy x yy = ist xakt. falsch ( Di Kurv c : [, ] R 3, ggbn durch ist nach Bognläng paramtrisirt. c(t = ( t, 3 t3 + t, t falsch

4 Aufgab (7 Punkt Si D = { (x, y, z R 3 : x + y + z, y z }. Brchnn Si das folgnd mhrdimnsional Intgral in Kuglkoordinatn x(r, ϕ, ϑ = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ. Fassn Si dn Intgrandn sowit wi möglich zusammn, bvor Si ihn intragn. (x + y z dv = r 4 (sin ϑ cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ dr D r= ϕ= ϑ= = 5 Aufgab 3 (5 + 3 = 8 Punkt (a Ggbn ist das Anfangswrtproblm y y = x x + y x, y( =. Substituirn Si u = yx und gbn Si di Diffrntialglichung für u an. u (x = u /x Lösn Si das Anfangswrtproblm y(x = x ln( x (b Bstimmn Si di allgmin rll Lösung zu y y + y = y(x = c + c x + c 3 x x c, c, c R

5 Aufgab 4 ( = 3 Punkt Ggbn ist dr Körpr K = { (x, y, z R 3 : x, z, y y + z 8 }. (a Was ist K für in Körpr? Frtign Si in Skizz an. (b Bstimmn Si in Paramtrisirung ds Körprs K und brchnn Si dssn Mass m K für di Dichtvrtilung ρ K (x, y, z = x + y. (c Bstimmn Si dn Fluss ds Vktorflds durch di Obrfläch von K nach außn. x X = yz x 3 z x z z(y x 3 Hinwis: Di Mng Z = {(x, y, z: y + z r } ist dr Vollzylindr mit Radius r um di x-achs. (a Es gilt y y + z 8 (y + z 9 Mit dm Hinwis zusammn rgibt siht man, dass K dr Halbzylindr um di in y-richtung um vrschobn x-achs mit Höh und Radius 3 ist. z y x (b Aus dr Skizz kann di Paramtrisirung x(x, r, ϕ = ( x, r cos ϕ +, r sin ϕ

6 mit x, r 3, ϕ ntnommn wrdn. Di Mass brchnt sich zu m K = K ϱ k dv = 3 r= ϕ= x= ] 3 = [ x ] [r ] 3 + [ r ( x + r cos ϕ r dx dϕ dr = [ sin ϕ ] = 9 r= x= xr dx dr + (c Es wird dr Satz von Gauß bnutzt. Di Divrgnz ds Vktorflds ist 3 r= ϕ= r cos ϕ dϕ dr div X = x + z + (y. Damit gilt X da = div X dv = 3 ( x + r sin ϕ + r cos ϕ r dx dϕ dr K K = 3 r= x= r= ϕ= x= 3 xr dx dr + r= = = = 63 r 3 dr = [ x ] [r ] 3 + [r4 4 ]3 Aufgab 5 ( = Punkt Ggbn si di Funktion f : [, ] R durch, für x <, f(x = x, für x <,, für x <. (a Bstimmn Si di rll Fourirrih von f. Ausdrück dr Form cos( k odr sin( k müssn an disr Stll nicht ausgwrtt wrdn. (b Wlchn Wrt nimmt di Fourirrih bi x =, x = und x 3 = an? (c Bstimmn Si dn Wrt dr Rih l= durch Auswrtn dr Fourirrih bi x =. (l + Hinwis: Es gilt für k N cos( k sin( k = und sin ( k =, für k =,, 4,...,, für k =, 3, 5,....

7 (a Zu brchnn ist di Fourirrih f(x a + ( ak cos(kx + b k sin(kx. k= Da f in ungrad Funktion ist, gilt a k = für all k N. Di b k brchnn sich zu b k = = ( f(x sin(kx dx = k cos( k x sin(kx dx = k cos( k + [ ] sin(kx k ( [ ] x cos(kx k + k k cos( = + k cos(kx dx sin( k k Damit ist di Fourirrih f(x ( sin( k k cos( k k k= sin(kx. (b Dr Wrt dr Fourirrih an dr Stll x ist Mittlwrt aus rchts- und linkssitigm Grnzwrt von f. Damit hat di Fourirrih dn Wrt bi, dn Wrt 4 bi bi. 4 (c Nach (b gilt 4 = ( sin ( k k k= k k cos( sin( k = k= sin ( k k = l= und dn Wrt (l +. Damit folgt l= (l + = 8

8 Aufgab 6 ( = 3 Punkt Ggbn si di Drhfläch f : (, [, ] R 3 durch f(t, ϕ = ( t cos ϕ, t sin ϕ, t. (a Brchnn Si di rst und zwit Fundamntalform sowi di Gauß-Krümmung disr Fläch. (b Brchn Si di godätisch Krümmung κ g dr Kurv ϕ f(, ϕ. Hinwis: Wgn dr Glichung κ = κ g + κ ν kann s infachr sin, di Krümmung κ als Raumkurv sowi di Normalkrümmung κ ν auszurchnn. (a Es gilt f t = ( cos ϕ, sin ϕ, t f ϕ = ( t sin ϕ, t cos ϕ, f tt = (,, t f ϕϕ = ( cos ϕ, sin ϕ, f tϕ = ( sin ϕ, cos ϕ, ν = f t f t = + t f ϕ f ϕ = t f t f ϕ = ν f tt = ν f ϕϕ = ν f tϕ =. f t f ϕ f t f ϕ = ( t cos ϕ, t sin ϕ, t + t t + t t t + Damit ist di rst Fundamntalform ( + t (g ij =, t di zwit Fundamntalform und di Gauß-Krümmung (h ij = K = dt(h ij dt(g ij = ( t t + t t t + t ( t + t.

9 (b Di Kurv c : ϕ f(, ϕ = ( cos ϕ, sin ϕ, ist in Kris mit Radius, d.h. di Krümmung ist Di Normalkrümmung ist ggbn durch κ ν = c (ϕ ν(c(ϕ = Damit ist di godätisch Krümmung + κ = cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ = κ g = ± κ κ ν = ± +. +.

Ähnliche Dokumente

Klausur der Modulprüfung / Diplomvorprüfung

Klausur der Modulprüfung / Diplomvorprüfung für B.Sc. aer / B.Sc. mawi / Dipl. aer / Dipl. geod. / Dipl. autip Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 120 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: