Lösungsvorschlag Vorbereitung Nr.3 K

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Hansi Fried
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1 Mahmaik Lösungsvorschlag Vorbriung Nr. K..8 Pflichil (wa 0 min) Ohn Taschnrchnr und ohn Formlsammlung (Disr Til muss mi dn Lösungn abggbn sin, h dr GTR und di Formalsammlung vrwnd wrdn dürfn.) Aufgab : [P] Lin Si ab: a) f () Lösungsvorschlag : Bach, dass man di Produkrgl bnöig und dann bim Ablin dr -Funkion noch di Knrgl. f '( ) ' ' ( ) 6 Aufgab : [P] Bsimmn Si di Ingral a) d b) d Lösungsvorschlag : a) Vor dm Ingrirn müssn wir Ponzn in di Sandardform bringn. d d = b) Hir müssn wir auf unsr Erfahrung zurückgrifn und wissn, dass di Sammfunkion von / dr Logarihmus is di Abliung von / is dr Logarihmus! (Bi unbding fürs Abi lrnn und nich widr vrgssn) d d ln( ) ln( ln() 0 Wr will kann naürlich auch wi folg vorghn (bach, di Knrgl bim Ablin dr Sammfunkion) d ln( ) ln( ) ln( ln() ln() ln( ln() ln( ) Mrk: Wgn ln( ) ln() ln( ) sind ln( ) und ln( ) zwi vrschidn Sammfunkionn, di sich um di Konsan ln() unrschidn. Aufgab : [P] Ggbn sind di dri Punk P( / / a ) Q( / 6 / +a ) R( / / a ). a) Gbn Si di Paramrglichung dr Ebn durch dis dri Punk an. b) Für wlchn Wr a lig dr Nullpunk auf dr Ebn? Si

2 Mahmaik Lösungsvorschlag Vorbriung Nr. K..8 Lösungsvorschlag : a) Di Parmrform dr Ebn is: E : r 6 s odr E : r s a a a a a a 0 c) Wnn dr Koordinanursprung auf dr Ebn lig, dann gib s Zahln ru 0 und s mi 0 r s. Aus dr Zil folg: 0 = + r + s 0 a 0 odr r = s odr Szn wir dis Glichung in di Zil in, rhaln wir 0 = s + s odr s =. Und dami r = +, d.h. r =. Dami wird di dri Zil zu a = Für a = - lig dr Ursprung auf dr Ebn (dann is r = und s = -) 9 0. Aufgab : [P] Bsimmn Si di Lösungn dr Glichung Lösungsvorschlag : Das villich Wichigs bim Bsimmn von Nullslln is: Wnn in Produk Null is, so is mindsns inr dr bidn Fakorn Null. (Mrk: Das gil nur, wnn das Produk Null is, nich wnn s wa is!). Möglichki: /. Möglichki: 0 ln() ln() ln ln( ) ln() Aufgab : [P] Für di Tmpraur in inr Tass Kaff gil T ( = Zi in min) Machn Si Aussagn übr Anfangsmpraur, Endmpraur und dn Abkühlungsvorgang. Wann ha dr Kaff di Trinkmpraur 60 C rrich? Schribn Si di Funkion noch mi Hilf dr p-funkion. Wann kühl sich dr Kaff um C pro min ab? Lösungsvorschlag : Di Anfangsmpraur is T(0)=+70=9. Dr zwi Summand dr Tmpraur, nimm ponnill ab; ihr Grnzwr is 0. Dami is di Endmpraur, dr Grnzwr dr Tmpraur für TEnd =. Si

3 Mahmaik Lösungsvorschlag Vorbriung Nr. K..8 Dr Abkühlungsvorgang is ponnill. Si so, dass T ( ) 60 is, dann gil odr 0.96 Wnd man auf bid Sin dn ln an, rhäl man ln() ln 0.96 ln 0.96 ln ln() dami is ln 0.96 Di Darsllung dr Funkion mi dr p-.funkion is: T p ln 0,96 70p ln 0,96 Si so, dass T() T( + ) =, so rhäl man nach Einszn von T(..): odr 0, odr wnn man auf bid Sin dn ln anwnd: ln 0,96 ln ln() ln ln(70) ln ln(70) ln 0.96 odr ln 0,96 Si

4 Mahmaik Lösungsvorschlag Vorbriung Nr. K..8 Wahlil (wa 0 min) Mi GTR und Formlsammlung nach Abgab ds Pflichils kann dr GTR und di Formlsammlung vrwnd wrdn. Aufgab 6: [P] Im S wurdn 00 Fisch ausgsz, Wochn spär warn s bris 0 Fisch. Di Zahl dr Fisch in dm S nimm ponnill zu. Wann wrdn s 000 Fisch sin? Wi groß is di Vrdopplungszi? Lösungsvorschlag 6: Di Wachsumsfunkion is F : Zi in Wo Fisch a p( k ) Da F(0) = 00, folg a = 00. Da F() = 0, folg 00p( k ) 0 odr ln(,) odr k 0,0 Dami is di Wachsumsfunkion F : Zi in Wo 0 p( k ), Fisch ln(,) 00p 00p0, 0 ln(,) Si so, dass F() = 000 is. Dami folg 00p 000 odr ln(,) 0 p, odr ln(,) ln(,) ln(,) odr, 7 6 ln, ln(,) Si T di Vrdopplungszi, so gil F(T) = 800, odr 00p 800 ln(,) odr p odr ln(,) ln() ln() odr, ln, Aufgab 7: [P] Ein Bhälr ha in Fassungsvrmögn von 0 Lir. Di nhaln Flüssigkismng zum Zipunk wird bschribn durch di Funkion B mi B : Zi in min Flüssigki in l 0-00p(-0,0) Wi vil Flüssigki is zu Bginn im Bhälr? Zu wlchm Zipunk is dr Flüssigkisbhälr zur Hälf gfüll. Zign Si, dass di Flüssigki im Bhälr ss zunimm. Skizzirn Si dn zilichn Vrlauf dr Flüssigkismng im Bhälr. Aus Sichrhisgründn darf dr Bhälr höchsns zu 90% gfüll wrdn. Zign Si, dass dr Bhälr sogar ss wnigr als dis maimal zulässig Mng nhäl. Lösungsvorschlag 7: (Vrglich Abi 008 Aufgab I.., dor is dis Tilaufgab a) Si

5 Mahmaik Lösungsvorschlag Vorbriung Nr. K..8 Di Flüssigki zu Bginn is B 0,0 0 (0) Si so, dass B()=0/ dann gil 0, , ,0 0,9 0,0 ln 0,9 ln(0,9),6 0,0 Dr Flüssigkisspigl wächs, wa: 0,0 Wnn größr wird, wird klinr. Dami wird von 0 immr wnigr abgzogn. (Ein Hilfsmil, das man sich zusäzlich mrkn soll is: Wnn B () >0 is, 0,0 0,0 B'( ) 00 0,00 0, 0, da dann wächs B(). Hir gil di -Funkion ss größr als Null is. Hir is diss Vorghn allrdings zu komplizir.) Wir müssn zign, dass für all gil: B ( ) 0,9*0. Das is abr sichr dr Fall, da ja sogar 0 obr Schrank dr Funkion is. Aufgab 8: a) [P] Brchnn Si di Fläch, di von dn Graphn f und g bgrnz wird f ( ) und g( ) b) [P] Zign Si, dr Flächninhal, dn dr Graph dr Funkion f ( ) mi 0 mi dr -Achs inschliß, is das /-fach ds Flächninhals ds dr Parabl inbschribnn Dricks, dssn Spiz auf dm Schil dr Parabl lig und dssn Grundsi di -Achs zwischn dn Nullslln dr Parabl bild c) [P] Für wlchs posiiv ha di Fläch zwischn dr Parabl mi dr Glichung f ( ) und dr -Achs di Fläch 88? d) [P] Brchnn Si dn Inhal dr Fläch, di vom Graphn von f( ), dr Tangn in P(0,,7) und dr -Achs bgrnz wird. Lösungsvorschlag 8: Zu a) Si in Schnipunk von g und h, dann gil odr 6 0. Dami is / / Das Ingral zwischn f und g is i d Dami is di Fläch 0,866 Si

6 Mahmaik Lösungsvorschlag Vorbriung Nr. K..8 Zu b) Di Schnipunk dr Parabl / f ( ) mi dr -Achs sind. Di Fläch dr Parabl zwischn dn Schnipunkn is A d Di Fläch ds inbschribnn Dricks is Dami is di Aussag richig. Zu c) Si in Schnipunk dr Parabl 0 odr ( ) 0 f ( ) A' g h mi dr -Achs, so gil Dami sind di Schnipunk 0 und Di Fläch zwischn dr Parabl und dn bidn Schnipunkn is d Si nun so, dass di Fläch 88 is, dann gil 88 6 odr 6 88 odr = Zu d) Wir bnöign di Tangn in a=0, an f( ), d.h. () = f ()( a) + f(a) f '( ) // f (0,), 7 // f '(0,) 6. Dami is ( ) 6( 0,), 7 6, 7 Schnipunk dr Tangn mi dr -Achs: Si so, dass 7 ( ) 6,7 0, dann gil 0,77 6 Schnipunk dr Parabl mi dr -Achs: Si so, dass f( ) 0 dann gil / Dami is di gsuch Fläch: Odr 0,77 f ( ) ( ) d f ( ) d... 0, 0,77 7 f ( ) d (Drick unrhalb dr Tangn)= d,7 0, 6 0, 0, , 0,686 Si 6

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