Höhere Mathematik 3 Kapitel 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Höhr Mathmatik Kaitl 0 Gwöhnlich Diffrntialglichungn Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus

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3 Höhr Mathmatik Kaitl 0 Inhaltsvrzichnis 0 Gwöhnlich Diffrntialglichungn Einführung Diffrntialglichungn. Ordnung Gomtrisch Intrrtation Eistnz und Eindutigkit Trnnbar Diffrntialglichungn Durch Substitution lösbar Diffrntialglichungn Linar Diffrntialglichung. Ordnung Eakt Diffrntialglichung Eakt Diffrntialglichung durch intgrirndn Faktor Brnoullisch Diffrntialglichung Riccatisch Diffrntialglichung Linar Diffrntialglichung n-tr Ordnung Grundlagn Rduktion dr Ordnung Linar Diffrntialglichung mit konstantn Koffizintn Linar Diffrntialglichungssstm. Ordnung Grundlagn Linar homogn Diffrntialglichungssstm. Ordnung mit konstantn Koffizintn

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5 0 Gwöhnlich Diffrntialglichungn 0. Einführung Vil Naturgstz lassn sich nur durch Diffrntialglichungn (DGLn formulirn, z.b. Radioaktivr Zrfall N( t cn( t Mathmatischs Pndl F m g Rückführungskraft F G R m g sin F s l, s l a s l Bahnbschlunigung F Z F G F R F G cos s sin l F G m g m Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- Nach dm Nwtonschn Gstz gilt g F ma ml mgsin 0 sin 0. l (nichtlinar Diffrntialglichung. Ordnung Ist shr klin sin und damit di linar Diffrntialglichung. Ordnung (Schwingungsdiffrntialglichung 0 mit gl. Fdrschwingung Ruhlag F F c F Also gilt nach dm Gstz von Nwton ma c 0. 0 m Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-

6 Mit a und c m rhält man bnfalls in Schwingungsdiffrntialglichung 0. Bi zusätzlichr Ribung bv b F R rhält man F F F, m b c 0 R F und nach Division durch m schlißlich b 0 mit. m 4 Einschaltvorgang di u Ri L, i(0 0 dt u R i L Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- di dt R L i u L, i(0 0, d.h. linar Diffrntialglichung. Ordnung mit Anfangsbdingung. 5 Elktrischr Schwingkris di idt L Ri 0 C dt 0 di di i L R C dt dt di Rdi i dt L dt LC 0, R L d.h. homogn linar Diffrntialglichung. Ordnung. C Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4

7 Gsucht sind jwils di Funktionn, di auf gwissn Tilmngn ds di Diffrntialglichung rfülln, z.b. N(t, (t, (t, i(t. Ein Diffrntialglichung ist somit in Glichung für in Funktion, in dr di Funktion slbst und gwiss Ablitungn dr Funktion vorkommn könnn. Ist di Funktion von inr Variabln abhängig, so sricht man von inr gwöhnlichn sonst von inr artilln Diffrntialglichung. Di höchst vorkommnd Ablitung bstimmt di Ordnung dr Diffrntialglichung, z.b. di Rdi i 0 dt L dt LC ist in Diffrntialglichung. Ordnung. Zusätzlich zur Diffrntialglichung wrdn oft Bdingungn an di Lösungsfunktion gstllt. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-5 Zusätzlich Bdingungn Anfangsbdingungn a, Anfangsbdingung: ( 0 d d d d ln C C C C C C C (, 0 (, \{0} wgn (0 C b 0, Anfangsbdingung: ( 0 0, (0 ( sin, ( cos, ( sin Asmtotischs Vrhaltn 0, lim ( 0 (z.b. gdämft Schwingung Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6

8 Randbdingungn + 0 Randbdingung: (0 (l 0 (z.b. ingsanntr Stab Di Fragn, di bi dr Bhandlung inr DGL auftrtn, sind Eistnz Ist di ggbn DGL lösbar? D.h. istirt in rllwrtig Funktion, di in inr gwissn Tilmng I dfinirt ist und dort dr DGL und dn zusätzlichn Bdingungn gnügt? Lösungsgsamthit, Eindutigkit Wi siht di Lösungsgsamthit dr DGL aus? Eistirt bi zusätzlichn Bdingungn gnau in Lösung odr istirn mhrr Lösungn? Sttig Abhängigkit von dn zusätzlichn Bdingungn Führn klin Störungn, z.b. in dn Anfangsbdingungn, nur zu gringfügig abgändrtn Wrtn dr Lösung? 4 Lösungsmthodn Wi bstimmt man di allgmin Lösung inr DGL? Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-7 Dfinition 0-: (gwöhnlich DGL n-tr Ordnung Es si n, F : D(F n+. F (,, ',..., (n 0 hißt gwöhnlich DGL n-tr Ordnung. Lässt sich F (,, ',..., (n 0 nach (n auflösn, d.h. istirt in f : D( f n+ mit (n f (,, ',..., (n, so hißt dis DGL in lizit DGL n-tr Ordnung. Sonst hißt si imlitzit DGL n-tr Ordnung. Ein Funktion C n ( I hißt Lösung dr DGL auf I, wnn (, (, '(,..., (n ( D( F und F (,, ',..., (n 0 I. Sind zusätzlich zur DGL noch Anfangsbdingungn ( 0, '(,..., (n ( n mit I und i ggbn, und rfüllt als Lösung auch dis Anfordrungn, so hißt Lösung ds Anfangswrtroblms (AWP. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-8

9 0. Diffrntialglichungn. Ordnung Ggbn si in Anfangswrtroblm (AWP. Ordnung, d.h. f (,, ( 0.. Gomtrisch Intrrtation Richtungsfld Ist Lösung dr DGL, so muss gltn ( f, ( Dmzufolg ist di Stigung von ( an dr Stll glich f (, (. Zichnt man in möglichst viln Punktn (, T in Stück Tangnt mit dr Stigung f (,, so rhält man in Richtungsfld, aus dm man dn ungfährn Vrlauf ds Lösungsgrahn ablsn kann, wnn man bi (, T bginnt. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-9 Bisil:, (0 0, akt Lösung ds AWP : ( Richtungsfld Isoklinn Di Isoklinn sind in Hilfsmittl, das Richtungsfld schnllr zichnn zu könnn. Isoklinn sind Kurvn glichr Stigung, d.h. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0

10 K C : f(, C, C Di Isoklinn in obigm Bisil sind C C Gradn mit dr Stigung Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Eistnz und Eindutigkit Nun wird untrsucht, untr wlchn Vorausstzungn in AWP. Ordnung lösbar bzw. indutig lösbar ist. Dfinition 0-: (Lischitzbdingung Es si f : D. Dann gnügt f auf D inr Lischitzbdingung bzgl. gnau dann, wnn in L > 0 istirt mit T T f(, f(, L (,,(, D. Satz 0-: Eistirt in D di artill Ablitung f / und ist f / in D sttig und bschränkt mit f (, L (, T D, dann gnügt f auf D inr Lischitzbdingung bzgl.. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-

11 Satz 0-: (Eistnzsatz von Pano Es sin (, T, > 0, > 0 und I :,. Außrdm si f : I sttig auf I, K ma f(, und min,. T (, I K Dann istirt auf U ( : mindstns in Lösung ds AWP f (,, (. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- Satz 0-: (Eistnz- und Eindutigkitssatz von Picard-Lindlöf Es sin (, T, > 0, > 0 und I :,. Frnr si f : I sttig auf I und gnüg auf I inr Lischitzbdingung bzgl. sowi K ma f(, und min,. T (, I K Dann istirt auf U ( : gnau in Lösung ds AWP f (,, (. Bwis: s. Litratur Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4

12 Anmrkung: Dr Satz gilt auch, wnn ist. Dann ist und in indutig U ( :. Lösung istirt auf Dr konstruktiv Bwis lifrt glichzitig das itrativ Lösungsvrfahrn von Picard-Lindlöf 0 n n (, ( f t, ( t dt, n, U ( Bisil: Anwndn ds Vrfahrns von Picard-Lindlöf, (0 0 f (, + ist sttig auf und f (, ist sttig und bschränkt auf. Lischitzbdingung bzgl. ist rfüllt auf. Vorausstzung ds Satzs sind rfüllt für. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-5 Es istirt in indutig Lösung ( auf. Vrfahrn von Picard-Lindlöf ( 0, ( 0 t ( t dt 0 n n 0 t ( t0dt 0 0 t ( t dt!! 0 4 t t ( t dt!!!! 4! 0 n k n( (Bwis durch Induktion k! k Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6

13 n ( n k ( k ( n k! k k k! k0 ist inzig Lösung ds AWP k k!, (0 0 auf Bisil: (kin Eindutigkit, (0 0 Lösungn: ( 0 (, dnn (0 0 C (0 C d ( C d C 0 Es lassn sich noch witr Lösungn mit (0 0 folgndrmaßn konstruirn d Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus für 0 ( für C C ( odr (, C 0 für 0 0 für C Es istirn somit unndlich vil Lösungn durch dn Punkt (0,0 T. Diss AWP ist also nicht indutig lösbar. f gnügt nicht dr Lischitzbdingung bzgl. in U((0,0 T, dnn f (, / istirt nicht in (0,0 T. 0.. Trnnbar Diffrntialglichungn f ( g(, ( Ist f sttig auf [a,b] mit [a,b] und g ( sttig diffrnzirbar auf [c,d] mit [c,d], dann ist das AWP indutig lösbar auf U (. a Sondrfall: Ist g ( 0 für [c,d], so untrsucht man, ob diss Lösung dr DGL ist, z.b. ( ( ist Lösung dr DGL auf Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-8

14 b Ist g ( 0 auf [c,d], so gilt f( g( f( d f( d C g( g( d f ( d C. g( Ist G Stammfunktion von /g auf [a,b] und F Stammfunktion von f auf I, dann gilt G ( F( C. Ist G nach auflösbar, so lifrt di Glichung G( F( + C di Lösung dr DGL ( f ( g (. Bisil: ( a Sondrfall ( ist Lösung auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-9 b d d C ln C C mit C 0 ( / C C / / C C mit C \ 0 / / ( C mit C \ 0 und ( sind all Lösungn dr DGL / ( mit ist allgm C C in Lösung auf. Ist zusätzlich di Anfangsbdingung (0 0 ggbn, dann gilt (0 C 0 C / ( ist inzig Lösung ds AWP ( (, (0 0 auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0

15 a Sondrfall ntfällt, da 0 b d d d ln C ist allgmin d C Lösung auf : C 0 Zusätzlich Anfangsbdingung (0 0 lifrt (0 lnc0 C ( ln ist allgmin Lösung ds AWP auf : Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Durch Substitution lösbar Diffrntialglichungn a b c f (, f, ( Sind f und f sttig auf U (, T AWP indutig lösbar. A f( abc, 0 Substitution: u( a + b ( + c uababf ( u lösbar durch Trnnung dr Variabln. Bisil: (, (0 0 Für f (, ( + gilt f, f sind sttig auf AWP ist indutig lösbar auf U(0. Substitution: u( + ( Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-

16 u u u u d d u u du d arctanu C u tan( C ( u ( u tan( C, C ist allgmin Lösung ( 0 0 (0 tan C 0 C 0 ( tan( ist di Lösung ds AWP auf U(0 mit U(0 :. B f(, ac 0 Substitution: u( (/ u f ( u u lösbar durch Trnnung dr Variabln. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- Bisil:, ( 8 Für f (, ( + / gilt f, f sind sttig auf U (, 8 T AWP ist indutig lösbar auf U(. f Substitution: u( (/ u u u f( u u ( u uu du d du d u u u( u du du d ln u ln u ln C u u Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4

17 u u C u ln ln C C u u u ucucu( C C C u und di Sondrfäll u( 0, u( sind Lösungn. C C ( u ( und di Sondrfäll ( 0, ( C sind Lösungn dr DGL. ( 8 ( 0, ( rfülln di Anfangsbdingung nicht, abr 4C 8 ( C 6C8 C C ( ist Lösung ds AWP auf U(,. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-5 a b c a b a C f mit dt 0, d.h. und sind b T T linar abhängig und s itirt in mit ( ab, (,. Substitution: u( + ( + u a b c ( c f f u c f fˆ u u lösbar durch Trnnung dr Variabln. Bisil: 4, (0 0 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6

18 Für f (, (4 /( + gilt f, f sind sttig auf U (0,0 T AWP ist indutig lösbar auf U( dt Substitution: u( ( + ( 6 u8 ˆ 8 u f( u u u u udu 8 dc 8C u 6C u 6 C ( u( 6C ( 0 0 (0 C 0 C 9 und ( ( 69 ist Lösung ds AWP auf U(0 9 6,. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-7 D a b c a b f mit dt 0, d.h. T a b 0 c s istirt gnau in ( 0, 0 mit α β 0 Substitution: u( 0, v(u ( 0 d v u ( v ( u d u ( ( v ( u ( a b c a0 b0 c a( 0 b( 0 v( u f f ( ( au bv a bv u ˆ v f f f lösbar nach B. uv v u u Bisil:, (0 0 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-8

19 Für f (, ( + /( + + gilt f, f sind sttig auf U (0,0 T AWP ist indutig lösbar auf U(0. 0 dt 0 0 Substitution: u( +, v(u ( Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus ( v( u ( ( ( ( uv v u ˆ v f ( ( uv v u u Substitution: w(u v(u/u w w fˆ( w w w u u w www ww u w u w w w dw dw du w w w w u ln w w ln u C ˆ ˆ C ln w w ln u C ln C w w. u u Mit w v/u folgt v v C v uvu C vu C u. u u u Mit u + und v folgt ( 7 ( C( (0 0 (0 C8 0 C 7 und ( ist Lösung ds AWP auf U (0 7,. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0

20 0..5 Linar Diffrntialglichung. Ordnung ( a( ( f (, ( Sind a, f sttig auf U (,, dann ist das AWP auf U ( (, indutig lösbar, dnn für g (, f ( a( gilt g, g a( sind sttig und g bschränkt auf U (. Sind a, f sttig auf AWP ist indutig lösbar auf. Di rcht Sit dr DGL hißt Störfunktion. Di DGL hißt homogn, wnn f 0, andrnfalls hißt si inhomogn. Da di DGL linar ist, stzt sich di allgmin Lösung aus dr allgminn Lösung h dr homognn DGL a( 0 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- und inr artikulärn Lösung dr inhomognn DGL a( f ( zusammn, also ( ( (. allgmin Lösung dr homognn DGL a( a Sondrfall ( 0 ist Lösung dr homognn DGL b ( 0, Trnnung dr Variabln d a( d ln a( dc A( C, A( a( d h Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-

21 A( C, A( a( d ist allgmin Lösung h dr homognn DGL a( mit C (Sondrfall ( 0 ist für C0 nthaltn. artikulär Lösung dr inhomognn DGL Ansatz: Variation dr Konstantn A( ( C( (, ( ( C( ( C( ( Einstzn in di inhomogn DGL a( f ( lifrt C( ( C ( ( ac ( ( ( f( C( ( C( ( a( ( f(. Wgn a( ( 0 folgt ( Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- f( f( C( ( f( C(, ( 0 C( d ( ( f( ( ( d ist artikulär Lösung ( dr inhomognn DGL a( f(. Also rgibt sich aus ( ( ( nach Einstzn di allgmin h Lösung dr inhomognn DGL zu f( ( ( C d, C, ( a( d. ( Di szill Lösung ds AWP mit dr Anfangsbdingung ( lautt f( t ( ( dt mit ( a( t dt. ( ( t Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4

22 Bisil: sin( sin, (0 0 a( sin, f ( sin sind sttig auf AWP ist indutig lösbar auf. allgmin Lösung dr homognn DGL ( sin d cos h ( C cos ist allgmin Lösung dr homognn DGL. artikulär Lösung dr inhomognn DGL, C f( sin C d d d cos ( sin cos ( C cos cos cos ( ( ( ist di artikulär Lösung. (Di artikulär Lösung hätt man auch licht rratn könnn. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-5 cos ( h( ( C ist allgmin Lösung dr inhomognn DGL. ( 0 0 (0 C 0 C cos ( ist Lösung ds AWP auf. di R U i, i(0 0 dt L L a( t R L, f ( t U L sind sttig auf AWP ist indutig lösbar auf. allgmin Lösung dr homognn DGL R R R i ( dt tih( C t, C L L L ist allgmin Lösung dr homognn DGL. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6

23 artikulär Lösung dr inhomognn DGL U L U L R U C( t dt t ( R L t L R L R U R R U i ( t C( t i( t t t R L L R ist artikulär Lösung dr inhomognn DGL. R U it ( ih( t i( t C t L R ist allgmin Lösung dr inhomognn DGL. U U i(0 0 i(0 C 0 C R R U R U U R it ( t t R L R R L ist Lösung ds AWP auf. R L t Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-7 tan( sin, ( /, /, (0 a ( tan, f( sin sind sttig auf ( /, / AWP ist indutig lösbar auf ( /, /. allgmin Lösung dr homognn DGL tan lncos ( d cos h( cos, C C ist allgmin Lösung dr homognn DGL. artikulär Lösung dr inhomognn DGL sin C ( dln cosln(cos ( /, / cos ( C( ( ln(cos cos ist artikulär Lösung dr inhomognn DGL. ( h( ( C cos lncos cos cos ( C lncos ist allgmin Lösung dr inhomognn DGL. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-8

24 (0 (0 C ( cos ln cos ist Lösung ds AWP auf /, / Eakt Diffrntialglichung f (, g(, 0 mit f g auf M Hirbi muss M in infach zusammnhängnds Gbit sin und f, g C (M. Untr dr obign Vorausstzung f g auf M rfüllt das Vktorfld v (v,v T ( f, g T di Intgrabilitätsbdingung v, v, auf M und damit istirt auf dm infach zusammnhängndn Gbit M in Potntial u : M mit u f und u g. Damit ist u, ( C di allgmin imlizit Lösung dr aktn DGL, dnn für u(, ( C Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-9 rhält man durch diffrnzirn nach d u, ( u, ( u, ( ( 0. d Glingt s, di Glichung u(, ( C nach aufzulösn, so rhält man di Lösung in lizitr Form. Bisil: ( Mit f ( (. f g 0 und g( gilt auf Da dr infach zusammnhängnds Gbit ist, ist di ggbn DGL akt und s istirt in Potntial u(, auf. u f u(, ( d h ( h ( Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-40

25 u g u(, ( d h ( h ( (, ist Potntial auf. u (, ist allg. Lsg. dr DGL in imlizitr Form. u C Auflösn nach lifrt schlißlich di Lösung in lizitr Form Eakt Diffrntialglichung durch intgrirndn Faktor f (, g(, 0 mit f g Dis DGL ist nicht akt. Man kann vrsuchn, dis DGL durch Multilikation mit inm Faktor (intgrirndn Faktor zu inr aktn DGL zu machn, d.h. (, f(, ( g, (, 0. Damit dis DGL akt ist, muss gltn Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4 ( f ( g f f gg g f ( f g. Dis ist in artill DGL. Ordnung für dn intgrirndn Faktor. Hir wrdn wir dis artill DGL nur für zwi Szialfäll lösn. ist nur von abhängig, d.h. ( ( g( ( f g ( ( ( f g f g d d ln ( d ( g g f g ( d. g Disr Fall kann nur intrtn, wnn (f g/g unabhängig von ist. f g g Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4

26 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4 ist nur von abhängig, d.h. ( d f f g d f f g d f f g d f f g g f f ( ( ln ( ( ( ( ( ( ( Disr Fall kann nur intrtn, wnn (g f/f unabhängig von ist. Bisil: 0 ( 0, ( ( gilt, ( und, ( Mit g f (, (, (,. f g F Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-44 F und F sind sttig auf Ū((,0 T AWP ist indutig lösbar auf U(. akt nicht DGL 0 ( Da g f g g f ist unabhängig von ( ( ln ( ist für 0 intgrirndr Faktor. d Somit ist di DGL 0 0 ( 0 ( ( akt. Wgn (, und (, u u folgt

27 u (, dh( ln h( u (, ( dh( h( u ( ln ist Potntial ln C ln C ist allgmin Lösung in imlizitr Form für 0. Auflösn nach lifrt schlißlich ( C ln C ln di allgmin lizit Lösung dr DGL mit ln C. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-45 Aus dr Anfangsbdingung ( 0 ( C C 0 und ( Also gilt ( ln ist di indutig Lösung ds AWP auf (0,. ( ln ist für all 0 rfüllt Brnoullisch Diffrntialglichung f ( g(, (, \ f, g sttig auf [a,b] mit [a,b] ( 0, linar DGL. Sondrfall: ( 0 ist Lösung dr DGL mit > 0. Di Substitution u( ( führt für u auf di linar DGL u ( f( u( g(, 0, Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-46

28 dnn u( ( ( f g f g fu g ( ( ( (. Bisil:, (0, Mit F(, gilt F, F sind sttig auf AWP ist indutig lösbar auf U(0. ( 0 ist Lösung dr DGL, rfüllt abr nicht di Anfangsbdingung. Substitution u führt mit f ( und g ( zu u u u u ( ( ( ( 4 linar DGL in. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-47 allgmin Lösung dr homognn DGL: u 4u0 u u C a( d 4d h. artikulär Lösung dr inhomognn DGL: C( u ( C( u d ( 4 ( ( 4 u u u C 4 ( h( (. 4 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-48

29 Da ( /u( ( und ( 0 C 4 sind all Lösungn dr inhomognn DGL. ( 0 (0 5 C C 4 4 und ( ( ist indutig bstimmt Lösung ds AWP auf. 5 (5 ist rfüllt für all. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Riccatisch Diffrntialglichung f ( g( h(, ( f, g, h sttig auf [a,b] mit [a,b]. Di allgmin Lösung dr Riccatischn DGL kann bstimmt wrdn, wnn in Lösung bkannt ist. Si also in Lösung dr ggbnn DGL, dann führt dr Ansatz ( ( u( auf witr Lösungn dr DGL. Für di unbkannt Funktion u rhält man di linar DGL dnn u f( g( ( u g(, Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-50

30 u f g g f g h f g u u u u u u und da u f g g f g h u u u folgt nach Multilikation mit u u ( f g u g. h Bisil: ( (, (0 f ( ( +, g(, h( + + sttig auf. Mit F(, ( ( + + und F, F sttig auf AWP ist indutig lösbar auf U(0. ( ist Lösung dr DGL, rfüllt abr nicht di Anfangsbdingung. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus /u führt für u auf di linar DGL u ( uuuuu. allgmin Lösung dr homognn DGL d u u0, u u ( C. artikulär Lösung dr inhomognn DGL u ( u( u ( u h h ( C ( ( u( C ( 0 (0 ( C C ( ist indutig Lösung ds AWP auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-5

31 0. Linar Diffrntialglichung n-tr Ordnung 0.. Grundlagn Dfinition 0-: a L[] : (n + an( (n + + a( + a0( f ( hißt linar DGL n-tr Ordnung in Normalform, d.h. di Ablitungn (k (k,,n und di Funktion kommn nur in linarr Form vor und di Koffizintnfunktion von (n ist idntisch. Frnr sin di Koffizintnfunktionn ai (i 0,,,n und di Funktion f ( dr rchtn Sit auf inm gminsamn Intrvall I dfinirt und sttig. b Ist f ( 0, so hißt di DGL homogn linar DGL. Sind all Koffizintnfunktionn ai (i 0,,,n konstant, so hißt di DGL linar DGL mit konstantn Koffizintn. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-5 Satz 0-4: Ggbn si in linar DGL n-tr Ordnung L[] f ( mit ai, f sttig auf I, dann gilt a Mit und ist auch jd Linarkombination c + c (c,c Lösung dr homognn linarn DGL L[] 0 auf I. b Di allgmin Lösung dr inhomognn linarn DGL L[] f ( ist von dr Form h +, wobi h di allgmin Lösung dr zughörign homognn DGL L[] 0 und in szill (artikulär Lösung dr inhomognn DGL L[] f ( ist. Bwis: a Si L[] L[] 0 (L ist in linarr Orator n ( k k k 0 n n ( k ( k cak c ak cl cl k0 k0 Lc [ c] a( ( c c ( ( [ ] [ ] 0 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-54

32 b Si L[h] 0 und L[] f ( L [ ] L [ ] L [ ] f( h h h + ist Lösung dr inhomognn DGL. Ist nun in blibig Lösung dr inhomognn DGL und h di allgmin Lösung dr homognn DGL, so gilt L[ h] L[] f ( h ist in szill artikulär Lösung dr inhomognn DGL. Das Lösn inr linarn inhomognn DGL bstht also aus zwi Schrittn:. Bstimmn dr allgminn Lösung dr zughörign homognn DGL.. Bstimmn inr blibign artikulärn Lösung dr inhomognn DGL. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-55 Satz 0-5: (Eistnz- und Eindutigkitssatz Es sin ai, f : (a,b sttig auf (a,b, i 0,,,n, (a,b, 0,,n fst, dann istirt gnau in Lösung dr linarn DGL. L a a a f ( n n [ ] n( ( 0( ( mit dn Anfangsbdingungn (, (,, (. n 0 n Dfinition 0-4: Di Funktionn,, n : I a hißn linar abhängig auf I, wnn s Konstantn c, c,, cn gibt, di nicht all glich Null sind, so dass gilt c c ( c ( 0 I ( b hißn linar unabhängig auf I, wnn si nicht linar abhängig sind, d.h. n i c( 0 I c c c 0 i i n n n Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-56

33 Bisil: (, ( ( ( 0 (0,, sind linar abhängig auf (0,, dnn abr, sind linar unabhängig auf, dnn c( c( 0 für cc 0 c c 0 c c 0, sind linar unabhängig auf Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-57 Dfinition 0-5: Si i C (n ( I, i,,n, so hißt ( ( W ( dt ( n ( ( ( n ( ( Wronski-Dtrminant dr Funktionn,,, n. n( n( ( n ( n Satz 0-6: Sind,, n Lösungn dr linarn, homognn DGL n-tr Ordnung L[] 0 auf (a,b, dann sind,, n linar unabhängig auf (a,b gnau dann, wnn W(0 0 für in 0 (a,b. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-58

34 Bisil: (, (, ( sind linar unabhängig auf, dnn c c c c 0 c 0 c c c 0 c 0 c 0 c 0 c W( dt W( immr 0, also linar unabhängig. 0 0 linar unabhängig 0 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-59 Satz 0-7: Es sin ai : (a,b sttig auf (a,b, i 0,,,n, dann hat di linar, homogn DGL n-tr Ordnung ( n n L [ ] a ( a( a( 0 n 0 auf (a,b gnau n linar unabhängig Lösungn,,, n. Jd Lösung von L[] 0 ist in Linarkombination disr i und somit ist n C ( C h i i i i di allgmin Lösung dr homognn DGL. Anmrkung: Man nnnt n linar unabhängig Lösungn i (i,,n von L[] 0 Fundamntalsstm, da jd Lösung von L[] 0 sich als Linarkombination disr i darstlln lässt. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-60

35 Hat man in Fundamntalsstm dr linarn, homognn DGL gfundn, so ist nun noch in artikulär Lösung dr inhomognn DGL zu bstimmn. Man kann sich in artikulär Lösung vtl. durch Erratn vrschaffn. Ein sstmatischs Vorghn zur Bstimmung inr artikulärn Lösung lifrt di Mthod dr Variation dr Konstantn. Satz 0-8: (Variation dr Konstantn Bildn di Funktionn,,, n auf (a,b in Fundamntalsstm dr linarn, homognn DGL n-tr Ordnung L[] 0, so ist n Wi (, f ( C( ( mit C( d für i,, n W( i i i i in artikulär Lösung dr linarn, inhomognn DGL L[] f. Hirbi ist W( di Wronski-Dtrminant von,,, n und Wi (, f di Dtrminant dr Matri, di ntstht, wnn man in dr Matri von W( di i-t Salt durch (0,,0, f ( T rstzt, also Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6 ( i ( 0 i ( n( ( i ( 0 i ( n( Wi (, f dt ( n ( n ( n ( n ( i ( 0 i ( n ( ( n ( n ( n ( n ( i ( f ( i ( n ( Anmrkung: Di Brchnung von nach dism Satz ist nicht immr shr infach, da di zu brchnndn Intgral unangnhm sin könnn. Wnn man inn szilln Ansatz für machn kann, z.b. bi linarn DGL mit konstantn Koffizintn und rchtn Sitn dr Form cos f( q(, sin so sollt man auf di Variation dr Konstantn vrzichtn. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6

36 Bisil: 6 6 In Normalform lautt dis linar, inhomogn DGL. Ordnung a ( a ( a ( f( mit a(, a(, a 0( und f(, wobi a0(, a(, a( und f ( sttig auf (,0 bzw. (0,. Mit (, (, ( sind dri Lösungn dr homognn DGL bkannt, di wgn W ( dt dt dt Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6 und damit W ( 0 für ( 0, 0 0 in Fundamntalsstm bildn. Di allgmin Lösung dr homognn DGL lautt somit ( h C ( C ( (. C CC C Di artikulär Lösung ( gwinnt man nun durch Anwndn dr Mthod dr Variation dr Konstantn wi folgt, vgl. Satz 0-8. Bstimmn dr Dtrminantn 0 4 W ( dt, W (, dt 0, W(, dt 0 4, W(, dt Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-64

37 lifrt di Koffizintn W(, f C d d d W( 4 ( W (, f 4 C( d d d W( W(, f C( d d d ln W( und damit di artikulär Lösung dr inhomognn linarn DGL C ( i( i( ln ln. i Di allgmin Lösung dr inhomognn DGL lautt dann schlussndlich ( h( ( C C C ln, C, C, C. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Rduktion dr Ordnung Ggbn si di linar DGL in Normalform L a a a f ( n n [ ] n( ( 0( ( mit ai(, (i 0,, n und f ( sttig auf (a, b. Außrdm si in Lösung dr zughörign homognn DGL bkannt. Gsucht ist nun di allgmin Lösung dr inhomognn DGL. Dr Ansatz ( v( ( führt auf in linar DGL (n-tr Ordnung in v', dnn aus ( v ( ( ( v( ( v( ( ( v( ( v( ( v( ( n ( n n ( nk ( k ( v ( ( k k0 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-66

38 folgt nach Multilikation dr. Glichung mit a0(, dr. Glichung mit a(,, dr n-tn Glichung mit an( und anschlißndr Summation ( n n L [ ] v a ( v a ( v vl [ ] f( sowi wgn L[] 0 schlißlich n ( n n n v a ( v a ( v f ( in linar DGL in v'. Kann man dis DGL allgmin lösn und ist v( di allgmin Lösung disr DGL, dann ist ( v( ( di allgmin Lösung dr ursrünglichn linarn DGL n-tr Ordnung. Bisil: Ggbn si di linar, inhomogn DGL. Ordnung in Normalform a ( a ( f( 0 mit a0(, a( und f ( sttig auf (a, b sowi in Lösung ( dr zughörign homognn DGL. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-67 Ansatz: (Rduktion dr Ordnung v, v v, v v v in di DGL ingstzt lifrt v v va ( v v av f(, 0 nach Umsortirn v ( a v ( a a v f( 0 und nach Ausnutzn von L [ ] 0 a a 0 0 schlißlich di in v' linar, inhomogn DGL. Ordnung ( f( v a v ( (falls ( 0. ( ( Gmäß Kaitl 0..5 rgibt sich di allgmin Lösung dr homognn DGL übr Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-68

39 v C A( h( mit ( A( a( d ln ( a( d ( nach Umformn zu a ( d v h( C Cv (. ( Mittls Variation dr Konstantn rhält man di artikulär Lösung f( ( v ( C( v dv (. v( Di allgmin Lösung dr inhomognn DGL lautt somit v( v( v(. Nach Intgration, d.h. h Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-69 v ( v( v( d h rgibt sich di allgmin Lösung dr linarn, inhomognn DGL. Ordnung in schlißlich zu ( v ( (. Nun si mit (, (0 0, (0 0 in konkrt linar, inhomogn DGL. Ordnung ggbn. In Normalform lautt dis DGL a( a0( f( mit a(, a 0( und f(. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-70

40 Da a(, a0(, f ( sttig auf (, und 0 (, istirt in indutig Lösung auf (,. Di Lösung ( dr homognn DGL lifrt mit dm Ansatz ( v( ( di DGL v v ( Mit dr Lösung dr zughörign homognn DGL d ln( C C C v h( ( und dr artikulärn Lösung dr DGL v ( d ( ( ( d (. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-7 rgibt sich di allgmin Lösung zu C v(. ( Intgration lifrt v ( C d d ( C d d d C ( C ln C. und nach Einstzn in dn Ansatz ( v( ( mit ( v ( C( C ln C Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-7

41 bzw. umgformt mit ( ( C ln C Cln C, C, C di allgmin Lösung dr ggbnn linarn inhomognn DGL. Ordnung auf (,. ( 0 0 ( 0 C0 C 0 ( 0 0 ( 0 Cln 0ln C0 C0 0 0 ( ln ist Lösung ds AWP auf (,. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Linar Diffrntialglichung mit konstantn Koffizintn A Lösung dr homognn Diffrntialglichung L [ ] a a a0 ( n ( n n 0 mit ai, i 0,,,n, d.h. konstant Koffizintn. Gsucht: Fundamntalsstm Dr Ansatz (, lifrt mit ( n n nach Einstzn wobi n n L[ ] an a a0 ( a a a, n n n 0 0 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-74

42 n n ( an a a0 das so gnannt charaktristisch Polnom dr DGL L[] 0 bzichnt. Für + j folgt wgn j j j 0 L [ ] 0 ( 0 ist Nullstll von (. Dmzufolg ist ( Lösung von L[] 0 gnau dann, wnn Nullstll von ( ist. Ist koml Nullstll, so ist ( in koml Lösung. Dann sind abr auch R{ } und Im{ } rll Lösungn, vgl. folgndn Satz. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-75 Satz 0-9: w( u( + j v( ist koml Lösung dr DGL L[] 0 gnau dann, wnn u( und v( rll Lösungn dr DGL L[] 0 sind. Bwis: Lu [ jv] Lu [ ] jlv [ ] 0 Lu [ ] Lv [ ] 0 Frnr ist + j Nullstll von (, so ist auch * j in Nullstll von ( (da Polnomkoffizintn rll, also sind ( ( j (cos jsin koml Lösungn. Hiraus rgbn sich di rlln Lösungn zu ( ( j j R cos und Im sin. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-76

43 Da ( sin und ( sin linar abhängig auf, rhält man also als rll Lösungn cos, sin. Bsitzt ( nun n vrschidn (koml Nullstlln, so findt man übr dn Ansatz ( n vrschidn rll Lösungn di auf linar unabhängig sind. Nun si dr Fall btrachtt, dass l-fach Nullstll von ( ist. In dism Fall gilt ( k ( 0 k 0,,, l. Da offnsichtlich Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-77 gilt d d k k i d d i i d i d d d k k i d i d k k n i n k i n i d d d d d d k L [ ] i ( i ( i ( k ka a a i k i i d d i0 d i0 d d i0 d k d k d k L [ ] L [ ]. Andrrsits ist wgn L [ ] ( k k k k d d k ( i ki L [ ] L [ ] ( ( 0 k k d d i i0 (vrallgminrt Produktrgl ( i für k 0,,,l, da ( 0 für i 0,,,l. k Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-78

44 Also gilt: Ist in l-fach Nullstll von (, so ist k Lösung von L[] 0 für k 0,,,l. k Satz 0-0: Ggbn si di linar homogn DGL mit konstantn Koffizintn L [ ] a a a0, a. ( n ( n n 0 a Ist l-fach Nullstll von (, so sind Lösungn von L[] 0.,,, l i Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-79 b Ist + j l-fach Nullstll von (, so sind cos, cos, l cos, sin, sin, l sin Lösungn von L[] 0. c Mittls a und b rhält man insgsamt n linar unabhängig Lösungn auf und damit in Fundamntalsstm von L[] 0. Bisil: dr Ansatz ( führt auf das charaktristisch Polnom ( 7 6 ( ( ( Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-80

45 ,, sind Nullstlln,, bildn Fundamntalsstm ( c c c mit c ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. (4 0 das charaktristisch Polnom lautt ( ( ( 4 (infach Nullstll, (fach Nullstll,,, bildn Fundamntalsstm c c c c c ( 4 mit ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. i i Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-8 ( das charaktristisch Polnom lautt 5 4 ( 8 6 ( 8 6 ( 4 0 (infach Nullstll, j (fach Nullstll j j, R cos, Im sin, cos,sin, cos, sin bildn Fundamntalsstm ( cccoscsinc 4 cos c 5 sin mit c i ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. (4 4 0 das charaktristisch Polnom lautt 4 ( ( 4, j Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-8 (fach Nullstll

46 R j cos Im j sin cos, cos, sin, sin bildn Fundamntalsstm ( ( cc cos ( cc 4 sin mit c i ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus a b 0 (Linar DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn, z.b. Schwingkris das charaktristisch Polnom lautt a a a ( a b, b a 4b 4. Fall: (Krichfall a a 4b, a 4 b (infach rll Nullstlln ( c c mit ci ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf.. Fall: (ariodischr Grnzfall a 4b a (dolt rll Nullstll, ( c c ( cc mit c ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-84 i

47 . Fall: (Schwingungsfall a a 4b, j 4b a (infach koml Nullstll a ( ccos( csin( mit ω 4ba und ci ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. Di allgmin Lösung kann durch a ( A sin( A, ausgdrückt wrdn, dnn Asin( Asin cos( Acos sin( c cos( c sin( mit c Asin, c Acos bzw. A c c, tan c c. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-85 B Partikulär Lösung dr inhomognn Diffrntialglichung L [ ] a a a f( ( n ( n n 0 Mit ai, i 0,,,n und f : I sttig auf I. Gsucht: artikulär Lösung mit L[] f ( I. Bisil: Elktrischr Schwingkris mit zusätzlichr Errgung rzugt in rzwungn Schwingung Li( t Ri( t i( t f ( t C di Lösungn dr homognn DGL sind di Eignschwingungn ds Schwingkriss man sricht von Rsonanz, wnn Errgrschwingung und Eignschwingungsfrqunz übrinstimmn Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-86

48 Für szill Errgungn, d.h. "rcht Sitn" wird nun in Ansatz anggbn, dr auf in artikulär Lösung führt. Di rcht Sit si von dr Form cos f( q(, sin wobi q( in Polnom bzichnt. Erstzt man di rcht Sit durch di koml Funktion ( j f( q( dann führt dr koml Ansatz w ( l r( ( j (gradr gradq auf in artikulär Lösung R w ( falls cos auf rchtr Sit (, Im w ( falls sin auf rchtr Sit Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-87 wobi l 0, falls ( + j kin Nullstll l > 0, falls ( + j l-fach Nullstll ds charaktristischn Polnoms ( ist. Im Fall 0 ist dr Ansatz rll und s gilt ( w( 0 kann auch dr rll Ansatz ( l r( cos r ( sin Bisil: homogn Lösung: durchgführt wrdn, wobi grad r grad r grad q ( 0 j, Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-88

49 j j cos, Im sin R h( ccoscsin mit ci ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. artikulär Lösung: 0, 0, q ( + j 0 ist kin Nullstll von ( kin Rsonanz (l 0 Ansatz: w r a b c l ( j ( ( ( ( b c ( c Einstzn in di DGL lifrt c a b c Nach Koffizintnvrglich c, b 0, a c 4 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-89 rgibt sich di artikulär Lösung zu ( 4 ( ccoscsin4 mit c i ist di allgmin Lösung dr inhomognn DGL auf. homogn Lösung: ( ( 0 0, ( c c c c mit c h ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. artikulär Lösung: 0, 0, q ( + j 0 ist infach Nullstll von ( (infach Rsonanz (l i Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-90

50 Ansatz: w r a b a b l ( j ( ( ( ( ( ( a b b Einstzn in di DGL lifrt bab. Nach Koffizintnvrglich b, a b 0 rgibt sich di artikulär Lösung zu ( ( h cc mit ci ist di allgmin Lösung dr inhomognn DGL auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-9 homogn Lösung: ( ( 0 ist dolt Nullstll ( h c c c c mit ci ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. artikulär Lösung: 0, 0, q ( + j ist dolt Nullstll von ( (fach Rsonanz (l l ( j Ansatz: w ( r( a ( ( ( a( a( a( 4 Einstzn in di DGL und Division durch lifrt Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-9

51 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus (4 ( ( 4 ( a a a a a a a a a a Di artikulär Lösung lautt somit ( h c c c c ( ( ( ist di allgmin Lösung dr inhomognn DGL auf. 4 4 homogn Lösung:, 0 ( h c c c c ( ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-94 artikulär Lösung:, 0, ( 4 q + j ist infach Nullstll von ( (infach Rsonanz (l Ansatz: ( ( ( ( ( ( l j w r a b a b b a b a b b a b a b a b b a b a b a b a (4 ( ( ( ( ( ( Einstzn in di DGL und Division durch lifrt b a b b a b a b a b 4 4 ( 4 (4 ( Nach Koffizintnvrglich, b a b

52 rgibt sich di artikulär Lösung zu ( ( ( h( ( c ( c mit ci ist allgmin Lösung dr inhomognn DGL auf. 5 cos homogn Lösung: ( 0, j R j cos Im j sin Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-95 h ccos csin mit ci ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. artikulär Lösung: 0,, q ( + j j ist kin Nullstll von ( kin Rsonanz (l 0 Ansatz: w ( r( a w ( w ( l ( j j ja j 4a j j 4a j Einstzn in di DGL und Division durch j lifrt 4a ja a ( j a Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-96

53 j a j Di artikulär Lösung lautt somit w ( ( R w j ( ( ( ( j cos j j sin cos jsin sin cos h sin cos cos sin mit c c ci ist allgmin Lösung dr inhomognn DGL auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-97 Surositionsrinzi Wnn sich di rcht Sit in dr Form f ( m k f k ( darstlln lässt und ist,k artikulär Lösung von L[] f k (, dann ist m (, k( artikulär Lösung von dnn da L linar. k m L[ ] fk ( k m m m L[ ] L, k( L[, k] fk( k k k Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-98

54 Bisil: homogn Lösung: ( 0 j, j j cos, Im sin R h( ccoscsin mit ci ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. artikulär Lösungn: Ansatz für : w a, (,( (kin Rsonanz ( a, ( 4a, Einstzn in di DGL und Division durch lifrt Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-99 Ansatz für : 4aa a 5,( 5 w ( ( ab c,, ( cb, ( c, Einstzn in di DGL lifrt cc ba c, b0, a 4,( 4 Di artikulär Lösung lautt somit (, (, ( 5 4 ( ccoscsin 4 mit c i 5 ist allgmin Lösung dr inhomognn DGL. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-00

55 cosh homogn Lösung: ( ( 0 dolt Nullstll ( ( h c c c c mit ci ist allgmin Lösung dr homognn DGL auf. artikulär Lösungn: Ansatz für : w, (,( a (kin Rsonanz,( a,( a Einstzn in di DGL und Division durch lifrt aaa a 4 ( 4 Ansatz für : w, (,( a, (dolt Rsonanz Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0 a,( ( a a,( ( ( 4 Einstzn in di DGL und Division durch lifrt a a a ( 4 ( a( 4 4 a,( Di artikulär Lösung lautt somit (, (, ( 4 ( ( cc mit c i 4 ist allgmin Lösung dr inhomognn DGL auf. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0

56 0.4 Linar Diffrntialglichungssstm. Ordnung 0.4. Grundlagn Ggbn si das linar Diffrntialglichungssstm ( a( ( a n( n( b( ( a ( ( a ( ( b ( n n nn n n mit dn Anfangsbdingungn (,, (, [ a, b],,,. n n n In Vktorschribwis rhält das linar DGL-Sstm di Gstalt A( b ( und T ( η(,,, [ ab, ],,, mit n n Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0 a( a n( b(, (, ( A b, a ( a ( b ( n n nn n wobi A( di Koffizintnmatri und b( di rcht Sit ds linarn DGL-Sstms bzichnt. Das linar DGL-Sstm hißt homogn, wnn b( 0, sonst inhomogn. Sind all Funktionn aij, bi : [a, b] auf [a, b] sttig so gilt für linar DGL-Sstm dr folgnd Eistnz- und Eindutigkitssatz. Satz 0-: (Eistnz- und Eindutigkitssatz für linar DGL-Sstm Sind all Koffizintnfunktionn aij( und all Funktionn dr rchtn Sit bi( sttig auf [a, b] mit (a, b, so bsitzt das linar DGL- Sstm auf (a, b gnau in Lösungssstm,,, n mit (, (,, n( n. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-04

57 Zusammnhang zwischn DGL n-tr Ordnung und DGL-Sstm Di DGL n-tr Ordnung f(,,,, mit (, (,, ( ( n ( n ( n ght durch Einführn dr Funktionn,,,, n ( n in das DGL-Sstm. Ordnung n n f(,,,, mit (, (,, ( übr. n n n n n Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-05 Bisil: Für in linar, inhomogn DGL n-tr Ordnung ( ( ( ( ( n n an a a0 f mit dn Anfangsbdingungn n (, (,, ( rgibt sich das linar inhomogn DGL-Sstm. Ordnung zu n n 0 n n a ( a ( a ( a ( f( mit (, (,, ( n n n n Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-06

58 bzw. in Vktorschribwis zu T A( b( mit ( η(,, n, wobi , A(, b( n n a0( a( a( an ( f ( Dr zwischn linarm DGL-Sstm. Ordnung und linarr DGL n-tr Ordnung bsthnd Zusammnhang motivirt sofort di folgndn Aussagn, sih hirzu Kaitl 0... Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-07 Satz 0-: Di allgmin Lösung ds linarn inhomognn DGL-Sstms ' A( + b( stzt sich aus dr allgminn Lösung h ds zughörign homognn DGL-Sstms und inr artikulärn Lösung ds inhomognn DGL-Sstms zusammn, d.h. h. Sind,,, n n linar unabhängig Lösungn ds homognn Glichungssstms auf (a, b, d.h. {,,, n} ist in Fundamntalsstm, dann lautt di allgmin Lösung ds homognn DGL-Sstms C C C C,. C. h n n i i i i Di n Lösungn,,, n ds homognn DGL-Sstms sind linar unabhängig auf (a, b, wnn für di Wronski-Dtrminant gilt W( dt (, (,, ( 0 für in ( a, b. n 0 n Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-08

59 4 Bildn di n Lösungn,,, n ds homognn DGL-Sstms in Fundamntalsstm, dann lifrt di Mthod dr Variation dr Konstantn mit n Wi (, b ( Ci( i( mit Ci( d für i,, n i W( in artikulär Lösung ds inhomognn DGL-Sstms. Hirbi ist W(, b dt (,, (, b(, (,, ( für i,..,n. i i i n Bi dr Lösung linarr DGL-Sstm bstht di Hautschwirigkit im Auffindn ins Fundamntalsstms für das zughörig homogn DGL- Sstm. Sind di Koffizintnfunktionn konstant, so lässt sich dis Aufgab gschlossn rztartig lösn. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Linar homogn Diffrntialglichungssstm. Ordnung mit konstantn Koffizintn Ggbn si das linar homogn DGL-Sstm. Ordnung mit konstantn Koffizintn A, wobi T (,,, A a und a. i,, n ij n ij j,, n Dr Lösungsansatz n v, v, führt mit v wgn 0 auf di Glichung Av v Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0

60 also auf in Eignwrt- und Eignvktorbstimmung für di Matri A. Ist nun vi in Eignvktor von A zum Eignwrt i, so ist i i i v wgn i i v Av A i i i i i tatsächlich in Lösung ds linarn homognn DGL-Sstms. Somit folgt aus dn bkanntn Sätzn dr linarn Algbra: Da di Eignvktorn zu vrschidnn Eignwrtn linar unabhängig i sind, sind auch di Lösungn v linar unabhängig auf. Bsitzt A n vrschidn Eignwrt, so hat man mit v v n n,, in Fundamntalsstm gfundn. i i Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- Ist komlr Eignwrt von A mit zughörigm komln Eignvktor v, dann ist auch Eignwrt von A mit zughörigm Eignvktor v und v und v sind zwi koml Lösungn. Da Ral- und Imaginärtil inr komln Lösung rll Lösungn ds linarn homognn DGL-Sstms sind, rhält man daraus di zwi linar unabhängign rlln Lösungn v v R und Im. 4 Ist in k-fachr Eignwrt von A mit l k linar unabhängign Eignvktorn v,,vl, d.h. dim E l, a dann sind nbn ( v,, ( v mit ( AE v 0, i,, l l l i Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-

61 di folgndn m k l Funktionn Lösungn. ( ( AE v v l l l l( ( AE vl ( AE vlvl! m m ( ( AE v ( AE v v m! lm lm lm lm i mit ( li für i,, b dann sind nbn A E v 0 ( v mit ( AE v 0, di folgndn k Funktionn Lösungn. m Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- ( v v ( v vv! k ( v v v ( k! k k k mit ( AE v v für i,, k. i i Durch di in a bzw. b bschribnn Brchnungsvorschriftn rhält man zum k-fachn Eignwrt insgsamt k linar unabhängig Lösungn. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4

62 Bisil: odr in Vktorschribwis 4 4 Brchnung dr Eignwrt dt( AE dt 4 ( ( 4 ( (, und infach Eignwrt. Brchnung dr zughörign Eignvktorn zu : 4, v 4 Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-5 zu :, v Di allgmin Lösung ds homognn DGL-Sstms lautt somit Cv Cv C C C C 4 (,,. odr in Vktorschribwis 5 5 Brchnung dr Eignwrt dt( AE dt dt 5 0 ( Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-6

63 5 dt dt 6 0 ( 0 0 ( ( (6 5 ( ( 8 7 ( ( ( 7 zwifachr und 7 infachr Eignwrt. Brchnung dr zughörign Eignvktorn zu : Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-7 v,, dime 0 sind zwi linar unabhängig v, 0 v Eignvktorn zu 0 zu : 5 5 v, 0 5 Di allgmin Lösung ds homognn DGL-Sstms lautt somit ( C v C v C v Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-8

64 7 0 C C C, C, C, C. 0 odr in Vktorschribwis 0 0 Brchnung dr Eignwrt dt( AE dt 0 ( ( ( 0 ( ( 5 4 ( ( ( 4 zwifachr und 4 infachr Eignwrt. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-9 Brchnung dr zughörign Eignvktorn zu : v 0, 0, dime, d.h. s istirt in linar unabhängigr Eignvktor. 0 Zur Ermittlung r unabhängigr Lösungn ist nun das in 4b skizzirt Vrfahrn anzuwndn, d.h. man hat dn Vktor v durch Lösn ds Glichungssstms 0 0 v v. 0 zu bstimmn. Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-0

65 Anwndn dr Gauß-Elimination lifrt v, zu : v, Di allgmin Lösung ds homognn DGL-Sstms lautt somit ( C v C v v C v C 0 C0 C, C, C, C Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- odr in Vktorschribwis Brchnung dr Eignwrt dt( AE dt 0 0 j j ( ( ( ( ( und j sind infach Eignwrt., Brchnung dr zughörign Eignvktorn Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-

66 zu : v, ( 0 ist Lösung ds DGL-Sstms 0 zu : j 0 0 j 0 0 j j 0 j j v, Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0- Di koml Lösung lautt somit w j j j ( j ( (cos sin. Bildn ds Ral- und Imaginärtils lifrt di rlln Lösungn cos sin ( R w( sin, ( Im ( cos w. cos sin Di allgmin Lösung ds homognn DGL-Sstms lautt somit ( C ( C ( C ( cos sin C 0 C sin C cos, C, C, C. 0 cos sin Hochschul Brmn Höhr Mathmatik / Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus 0-4

67 Übungn zur Höhrn Mathmatik / Kaitl 0 Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Aufgab 0-: Lösn Si das folgnd AWP mit Hilf dr Trnnung dr Variabln a, (. ( b sin, (. Aufgab 0-: Bstimmn Si di allgmin Lösung dr folgndn Diffrntialglichung mit Hilf dr Substitutionsmthod für 0. / a. b cos(. Aufgab 0-: Lösn Si das folgnd AWP mit Hilf dr Substitutionsmthod a (, (0. b 5, ( Aufgab 0-4: Bstimmn Si di allgmin Lösung dr linarn inhomogn Diffrntialglichung. Ordnung a. b cos cos für /, / Aufgab 0-5: Lösn Si das folgnd AWP dr linarn inhomognn Diffrntialglichung. Ordnung a, ( 0 b (, (0 0 Aufgab 0-6: Bstimmn Si für di folgndn linarn homognn Diffrntialglichungn. Ordnung mit konstantn Koffizintn di allgminn Lösungn a 0 b 0 c 0 d 0 0

68 Übungn zur Höhrn Mathmatik / Kaitl 0 Prof. Dr.-Ing. Ditr Kraus Aufgab 0-7: Brchnn Si für di folgndn linarn inhomognn Diffrntialglichungn mit konstantn Koffizintn di allgminn Lösungn mit Hilf dr Ansatzmthod a sin b sin Aufgab 0-8: Lösn Si das Anfangswrtroblm a 4 sin, (0 (0 0 b 4 5cos(, (0 5 4, (0 mit Hilf dr Ansatzmthod für inhomogn linar Diffrntialglichungn mit konstantn Koffizintn. Aufgab 0-9: Ermittln Si für di folgndn linarn inhomognn Diffrntialglichungn mit konstantn Koffizintn di allgminn Lösungn durch Variation dr Konstantn a b ln Aufgab 0-0: Brchnn Si di allgmin Lösung ds Diffrntialglichungssstms a 0 b Aufgab 0-: Bstimmn Si di allgmin Lösung ds Diffrntialglichungssstms,, Aufgab 0-: Brchnn Si di Lösung ds homognn Diffrntialglichungssstms 4 A mit A 4, und (0. 4 Aufgab 0-: Bstimmn Si di allgmin Lösung ds Diffrntialglichungssstms 0 Ab A b 0 ( mit 0, (.