Skript. Exponential- und Logarithmusfunktion. von Georg Sahliger

Transkript

1 Skript Eponntial- und Logarithmusfunktion von Gorg Sahligr Mainz, dn

2 Inhaltsvrzichnis Inhalt Sit Anmrkung Widrholung Logarithmus Stoff Klass 0 Linars und ponntills Wachstum Eignschaftn dr Eponntialfunktion y a Vgl. zum Bispil das Onlin Mathbuch Klass 0 Logarithmus Di natürlich Eponntialfunktion und ihr Ablitung Glichungn, Funktionn mit blibign Basn Di natürlich Logarithmusfunktion als Umkhrfunktion dr Funktion Di Ablitung dr ln-funktion Widrholung Logarithmus Btrachtn wir di Glichung ³ 8 und di vrschidnn Möglichkitn jwils inn Wrt ausrchnn zu könnn.

3 . Fall: 8 8. Fall: 8 8. Fall: 8 log 8 Für dn. Fall lgn wir also fst: log 8 Dr Logarithmus von 8 zur Basis ist also dijnig Zahl, mit dr man potnzirn muss, um 8 zu rhaltn. Dahr gilt log 8, da 8. Nach disr Fststllung übrlgt man licht: log, da 4 log 50 0, da 50 0 log a 0, da a 0 log 5 5, da log 0 00, da 0 00 Statt log zur Basis 0, also log 0 00 kann man auch kurz schribn: lg 00 Bishr könnn wir abr nur licht Logarithmn brchnn. Wi kann man mit dm Taschnrchnr dn Logarithmus brchnn? Aus Klass 0 ist bkannt, dass man Eponntialglichungn c logarithmirn kann. Dabi bachtt man folgnds Logarithmngstz: log b clog b 8 lg lg lg 8 lg lg 8 :lg 8 lg 8 lg Tippt man also in dn Taschnrchnr lg8 : lg rhält man di. Somit kann man mit dm Taschnrchnr blibig Logarithmn brchnn. Bi viln Taschnrchnr kann man mittlrwil abr dn Logarithmus auch infach dirkt ingbn. Frnr gltn für Logarithmn folgnd Gstz, di in Klass 0 hrglitt wurdn.. Gstz: loga(u) + loga(v) loga(u v) a a Bispil: log + log 5 log 0 log 56 log 4 + log 6

4 lg(7a) lg7 + lga log(9 b 4f) loga9 + log ab + loga4 + log af. Gstz: log au log a v log a(u/v) Bispil: loga8 - loga4 log a(8/4). Gstz: loga u k k loga u Bispil: logau 5 5 logau 4. Gstz: logau lgu/lga Bwis: logau a u lg lga lgu lga lgu :lga lgu / lga Aufgabn mit Lösungn findt man bi

5 Di Eponntialfunktion und di Logarithmusfunktion -Funktionn f ( ) c a knnn wir aus Klass 0, wo man sich allgmin mit Wachstumsprozssn bschäftigt. Dahr widrholn wir zunächst inmal das linar Wachstum, wlchs durch linar Funktionn bschribn wird und ghn dann übr zu dn -Funktionn. Linars Wachstum: Linars Eponntills Wachstum Linars Wachstum zichnt sich dadurch aus, dass s glichmäßig wächst odr fällt. Di allgmin Forml lautt y m+b. Dabi ist b dr Startwrt und m di Stigung odr Wachstumsrat um di dr Funktionswrt immr klinr odr größr wird. Bispil: Jds Jahr bkommt Fritz 5 Euro mhr Taschngld. Im Momnt bkommt r 0. Stll hirzu di Wachstumsforml auf! Da s sich um inn glichmäßign Anstig handlt, jds Jahr 5 mhr, ligt hir in linars Wachstum vor: Dabi ist 0 dr Startwrt. Also: y 5+ 0 Bispil für linars Wachstum: - Wassr läuft glichmäßig aus inm Bckn - Ein Krz brnnt glichmäßig ab. - Dr Alkoholpgl sinkt glichmäßig um 0,5 pro Stund - Ein Baum wächst jds Jahr glichmäßig um 0 cm. Di Wrttabll bi linarn Wachstum: 0 y 5 7 9

6 Jdr y-wrt wird um gnau größr. Wir habn also inn glichmäßign Anstig um di Wachstumsrat. Will man in Tabll auf linars Wachstum prüfn, ziht man immr vom y Wrt, dr rchts danbnligt dn linkn ab. Erhält man übrall di glich Wachstumsrat ist das Wachstum linar: Es handlt sich um linars Wachstum mit dm Anfangswrt 5 und inr Wachstumsrat von. Di Glichung hirfür lautt also: y + 5 und dr Graph siht hirzu folgndrmaßn aus: Dabi schnidt dr Graph di y- Achs bi 5 ( dr Anfangswrt) und hat in Stigung von, also bdutt: Ein Einhit nach rchts und Einhitn nach obn vom Startwrt aus gshn. Anhand ds Graphn odr mit Hilf dr Forml kann man nun untrschidlich Ding rmittln: Bispil: Ein Tann wächst jds Jahr um cm. Hrr Müllr pflanzt in 90cm hoh Tann. Das bdutt in 5 Jahrn ist di Tann 50cm hoch. Bi linarm Wachstum rgbn sich nun 4 Aufgabntypn: Di Such nach y: Frag: Wi hoch ist di Tann in 5 Jahrn: Aufstlln ds Funktionstrms: cm/pro Jahr ist di Wachstumsrat, 90 cm ist dr Startwrt. y + 90 Für 5 Jahr rgibt sich: y Antwort: In 5 Jahrn ist di Tann,50 m hoch. Eponntills Wachstum: Di Such nach dr Wachstumsrat: Frag: Wi schnll wächst di Tann? 50 m m 5 : 5 m Antwort: Di Tann wächst pro Zitinhit um cm. Di Such nach dm Startwrt: Frag: Ein Tann wächst pro Jahr um cm. Nach 5 Jahrn ist si 50 cm hoch. Wi groß war si am Anfang? b b b Antwort: Di Tann war am Anfang 90 cm hoch. Di Such nach. Frag: Wi lang daurt s, bis in 90 cm Tann 50 cm hoch ist? : 5 Antwort: Es daurt 5 Jahr. Eponntills Wachstum zichnt sich dadurch aus, dass s immr schnllr odr langsamr wächst odr fällt. Di allgmin Forml lautt y b a. Dabi ist b dr Startwrt und a dr Wachstumsfaktor, dr angibt um wi vil y pro Zitinhit fällt odr stigt und di Anzahl dr Zitinhitn. Bispil: Jds Jahr bkommt Fritz dopplt so vil Taschngld wi im Vorjahr. Im Momnt bkommt r 0. Stll hirzu di Wachstumsforml auf!

7 Das Taschngld stigt immr schnllr, also handlt s sich um ponntills Wachstum. Dabi ist 0 dr Startwrt und in dm Wort Dopplt stckt dr Wachstumsfaktor. Also: y 0 Bispil für ponntills Wachstum: - Ein Auto wird bim Bschlunign immr schnllr. - Ein Population vrmhrt sich immr schnllr. - Irgndtwas wächst odr fällt um dn Faktor - Jds Jahr bkommt man auf dm Konto % Zinsn Di Wrttabll bi ponntilln Wachstum: 0 y Jdr y-wrt wird um gnau das Dopplt größr. Wir habn also inn Anstig um dn Wachstumsfaktor. Will man in Tabll auf ponntills Wachstum prüfn, tilt man immr dn y Wrt, dr rchts danbnligt durch dn linkn. Erhält man übrall dn glichn Wachstumsfaktor so ist das Wachstum ponntill. 0 : 5 0 : 0 40 : 0 Es handlt sich um ponntills Wachstum mit dm Anfangswrt 5 und inm Wachstumsfaktor von. Di Glichung hirfür lautt also: y 5 und dr Graph siht hirzu folgndrmaßn aus: Dabi schnidt dr Graph di y- Achs bi 5 ( dr Anfangswrt). Anhand ds Graphn odr mit Hilf dr Forml kann man nun untrschidlich Ding rmittln: Bispil: Ein Population von Hamstrn vrdrifacht sich all Monat. Zu Bginn dr Zählung warn s 0 Hamstr. Nach 9 Monatn ( Zitinhitn) sind s 70 Hamstr. Hir rgbn sich 4 Aufgabntypn: Di Such nach y: Frag: Wi vil Hamstr sind s nach 9 Monatn? Aufstlln ds Funktionstrms: Dabi Di Such nach dm Startwrt: Frag: Wi vil Hamstr warn am Anfang im Stall? Di Such nach dm Wachstumsfaktor: Frag: Wi schnll odr mit wlchm Wachstumsfaktor wächst in Population, di innrhalb von 9 Monatn Di Such nach dm Zitraum: Frag: Wi lang daurt s bis di Anzahl dr Hamstr von 0 auf 70 Hamstr gstign ist?

8 muss man di 9 Monat in dri Zitinhitn umrchnn. y Antwort: Nach 9 Monatn sind s 70 Hamstr. 70 b 70 b 7 : 7 0 b Antwort: An Anfang warn s 0 Hamstr. (Ein Zitinhit Monat) von 0 auf 70 Hamstr anstigt? 70 0 a :0 7 a 7 a Antwort: Dr Wachstumsfaktor bträgt. Bsondrhitn bim Wachstumsfaktor, dr in Proznt anggbn ist: 70 0 :0 7 log 7 Antwort: Es daurt Zitinhitn, also 9 Monat. Aufgab: Ein, m lang Alg vrgrößrt sich täglich um 0 %. Klar, dass di Alg immr schnllr wächst und somit ponntills Wachstum vorligt. Abr wi gibt man di 0 % als Wachstumsfaktor an? Di Forml lautt: % + 00, also 0 0 % + 00,. Also lautt di Forml: y,, Bispil: 50%,5 odr 60%,6 odr 00% Für dn Zrfall gilt folgnds: Nimmt twas um 0% ab, hat man inn Wachstumsfaktor 0,9, also Bispil: 0% 0,8 odr 0% 0,7 Aufgabn: y c 0, 9 Prüf ob di folgndn Tablln linars, ponntills odr gar kin Wachstum darstlln: y 4 7 y 4 6 9,5 y Gar kin Wachstum, da di Wachstumsrat zwar in dn rstn dri Spaltn glich ist und immr um anwächst, abr lidr nicht in dr 4 Spalt Es handlt sich um ponntills Wachstum mit Faktor,5 Eponntills Wachstum mit Faktor 4. Ergänz di Tablln so, dass in ponntills bzw. linars Wachstum anggbn wird: 0 y y Entschid ob s sich um linars odr ponntills Wachstum handlt: Dr Lohn von Toni stigt jährlich um %. Ein Pflanz wächst um cm pro Zitinhit. Ein Hftig mit 5 g Hf vrdrifacht pro Stund sin Volumn. In inn Tank wrdn stündlich 800 Litr gpumpt. Ein Kapital rbringt jds Jahr 6 % Zinsn. Ein Schädlingsart wächst um 5 % jds Jahr. Eponntill Linar Eponntill Linar Eponntill Eponntill

9 Tropfstin wachsn jährlich um, mm. Linar Ein Auto vrlirt di Hälft sins Wrts pro Jahr. Eponntill Wlch Wrttabll stllt linars, wlch quadratischs, wlch ponntills Wachstum dar? Gib in disn Fälln jwils di Funktionsglichung an. Tipp: Es kann hilfrich sin, di Punkt zu zichnn. Dann kannst du dn Vrlauf ds Grafn bssr rknnn. - 0 Linar odr Funktion ponntill? y f() + y 0, f() 0 y f() -² y4 0 - f() - + y5 0,4,5 6,5 5,65 f(),5 y nichts y f() ² +- y8 5 0, 0,04 0,008 f() (/5) Dr hängnd Tropfstin in dr Höhl wächst jährlich um durchschnittlich mm. a) Dr Tropfstin ist,06 m lang. Wi vil Jahr ist r vrmutlich alt? b) In wi viln Jahrn wird dr Stin voraussichtlich,500m lang sin? Nach dm Bsuch ins Winfsts hat Hrr Rompl um Mittrnacht inn Blutalkoholspigl von,5. Jd Stund wird dr Alkoholghalt im Blut um 0.5. Morgns um 7 Uhr will r mit din Auto zur Arbit fahrn. Droht ihm bi inm Unfall Führrschinntzug, wil mhr als 0, Alkohol im Blut nachgwisn wrdn könnn? Bi inr Kifr bildn sich in dr Rgl jährlich an jdm Zwignd fünf nu Trib. Ein jungr Kifrnast hat dri Zwigndn. Mit wi viln Endn kann man nach l,,, 4 Jahrn rchnn? a) Ein Kapital von 8000 wird mit inm fstn Zinssatz von 5% jährlich vrzinst. Wi groß ist dr Wachstumsfaktor ( Zinsfaktor") ds Kapitals von inm Jahr zum nächstn? Auf wi vil wächst das Kapital nach Ablauf von fünf Jahrn mit Zinsn und Zinsszinsn? b) Nach wi viln Jahrn hat sich das Kapital vrdopplt? Hlg rfährt in toll Nuigkit. Nach Minut rzählt r si (, anz vrtraulich inm Frund witr. Nach inr witrn Minut rzähln bid widr ganz vrtraulich di Nuigkit inm nicht ingwihtn Frund/inr nicht ingwihtn Frundin. Nimm an, s g ht immr so witr. Nach wi viln Minutn wiß s di ganz Klass mit Schülrn, wann di ganz Schul mit rund 000 Schülrn?

10 Lösungn: Dr hängnd Tropfstin in dr Höhl wächst jährlich um durchschnittlich mm. a) Dr Tropfstin ist,06 m lang. Wi vil Jahr ist r vrmutlich alt?,06m 06 mm und 06 : 54 b) In wi viln Jahrn wird dr Stin voraussichtlich,500m lang sin? : 46 Nach dm Bsuch ins Winfsts hat Hrr Rompl um Mittrnacht inn Blutalkoholspigl von,5. Jd Stund wird dr Alkoholghalt im Blut um 0.5. Morgns um 7 Uhr will r mit din Auto zur Arbit fahrn. Droht ihm bi inm Unfall Führrschinntzug, wil mhr als 0, Alkohol im Blut nachgwisn wrdn könnn? JA! 7 0,5,05,5 :,05 0,45 > 0, Di Promill nhmn also glichmäßig ab, dahr handlt s sich hirbi um linars Wachstum. Bi inr Kifr bildn sich in dr Rgl jährlich an jdm Zwignd fünf nu Trib. Ein jungr Kifrnast hat dri Zwig ndn. Mit wi viln Endn kann man nach l,,, 4 Jahrn rchnn? y a) Ein Kapital von 8000 wird mit inm fstn Zinssatz von 5% jährlich vrzinst. Wi groß ist dr Wachstumsfaktor ( Zinsfak tor") ds Kapitals von inm Jahr zum nächstn? Auf wi vil wächst das Kapital nach Ablauf von fünf Jahrn mit Zinsn und Zinsszinsn? Wachstumsfaktor:,05 y 8000,05 Nach 5 Jahrn 00,5 b) Nach wi viln Jahrn hat sich das Kapital vrdopplt? Nach 5 Jahrn hat sich das Kapital twas mhr als vrdopplt. Hlg rfährt in toll Nuigkit. Nach Minut rzählt r si (, anz vrtraulich inm Frund witr. Nach inr witrn Minut rzähln bid widr ganz vrtraulich di Nuigkit inm nicht ingwihtn Frund/inr nicht ingwihtn Frundin. Nimm an, s g ht immr so witr. Nach wi viln Minutn wiß s di ganz Klass mit Schülrn, wann di ganz Schul mit rund 000 Schülrn? Klass: Nach 5 Minutn und di Schul nach 0 Minutn Eignschaftn dr Eponntialfunktion y a Dfinition: Funktionn dr Form y a für a > 0 und a 0 hißn Eponntialfunktionn. Si sind dfinirt für all rlln Zahln. Ihr Funktionswrt sind stts positiv. Bdutung:. Für a gibt s nur positiv Wrt.. a darf auch nicht sin.. Si sind dfinirt für all rlln Zahln, d.h. dass man für all Zahln instzn darf (Positiv Zahln, ngativ Zahln, Dzimalzahln ). Das mint dn Dfinitionsbrich. 4. Ihr Funktionswrt sind stts positiv. Di Wrtmng ist nthält nur positiv Zahln (Andrs vrhält sich dis bi y b a, z.b. y - )

11 y y 4 y y 4 Eignschaftn: All Funktionn ghn durch. Funktionn mit a < sind übrall monoton. Funktionn mit a > sind übrall monoton. Di Funktionn y a und zuinandr. y sind a

12 Aufgabn. Zichnn Si inn Graphn K dr Eponntialfunktion f mit f( ). Wi rhält man dn Graphn dr Funktion g aus dm Graphn von K. Skizzirn Si dn Graphn von G. a) g b) ( ) + g ( ) c) g ( ) d) g ( ) ) g ( ). Dr Graph dr Eponntialfunktion f mit zughörign Funktionstrm. f a ( ) ght durch dn Punkt P. Bstimmn Si dn P ( ). Dr Graph dr Eponntialfunktion f mit c und a. f c a ( ) ght durch di Punkt P und Q. Brchnn Si P( ), Q( ) 4. Schribn Si dn Funktionstrm f in dr Form a) f ( ) + f c a ( ). 5. In inm Gbit vrmhrt sich in Huschrcknschwarm ponntill, und zwar wöchntlich um 50%. Man ght von inm Anfangsbstand von Tirn aus. a) Wi lautt di zughörig Wachstumsfunktion? b) Wlchr Zuwachs ist in 6 Wochn zu rwartn? Um wi vil Proznt hat sich dr Bstand dabi vrgrößrt? c) Wann hat sich dr Bstand vrdopplt? 6. Ein Bstand kann nährungswis durch di Funktion f mit wrdn. a) Wi groß ist di Bstandsabnahm in dn rstn dri Tagn? b) Brchnn Si di wöchntlich Abnahm in Proznt. f 95 t ( t) 0 0, (t in Tagn) bschribn 7. Zair hatt 998 in Einwohnrzahl von 4 Millionn. Für di nächstn Jahr wird in Wachstum von jährlich,4% rwartt. a) Bstimmn Si di zughörig Wachstumsfunktion. Wlch Einwohnrzahl hat Zair vorrausichtlich 005 bzw. 00? b) Brchnn Si di Einwohnrzahl vor,5,0 bzw. 0 Jahrn.

13 Di natürlich Eponntialfunktion und ihr Ablitung Di ulrsch Zahl: n Dr Grnzwrt n n lim + istirt und ist in irrational Zahl. Di Zahl hißt ulrsch Zahl und wird mit bzichnt. Es ist, 788. Untr dr natürlichn Eponntialfunktion vrstht man in Funktion mit dr ulrschn Zahl als Basis. y. Ohn Einlitung führn wir in, dass für di Ablitung folgnds gilt: ( ) f ( ) f Witr Funktionn litn sich nach dr Kttnrgl ab. Bispil : f Dabi ist : ( ) ( + ) ( ) : äußrfunktion + : innrfunktion ( + ) ( + ) Also gilt für di Ablitung: f ( ) f ( ) f() f () f(t) f () f() + f () t f(t) f (t) t f() f () t f(t) 7 f (t) t f() f () f(t) t + 4t f (t) τ + 4 f() sin( ) + f () cos() + t f(t) + t l f (t) t + l f() cos( ) + f () sin(²) +

14 Aufgab: Ggbn ist di Funktion y a) Bstimmn Si di Glichungn dr Tangntn in dn Punktn A ( ) B b) Brchnn Si dn Schnittpunkt dr Tangnt im Punkt A mit dr -Achs. c) Gbn Si di Stigungn dr Normaln in dn Punktn A und B an. Aufgrund dr Ablitungsrgln gilt auch für di Stammfunktion ( ) ( ) F f ( ) ( ) F f ( ) ( ) F f + + ( ) ( ) + + F f ( ) ( ) c c F f + + Dis klappt nur bi c a +, also bi linarn Eponntn. ( ) c f + könnn wir nicht ablitn.

15 Glichungn, Funktionn mit blibign Basn Satz : Für all > 0 gilt: ln(). Für all R gilt: ln( ). Satz : Jd Eponntialfunktion f mit f() a, a > 0, R, ist darstllbar mithilf dr Basis : f() ln(a) Jd Logarithmusfunktion f mit f() loga(), a > 0, > 0, ist darstllbar mithilf ds natürlichn Logarithmus: ln( ) f() ln( a) Bispil : (Vrinfachn von Trmn) Vrinfachn Si. a) ln(4 ) b) ln( ) c) ln( ) a) ln(4 ) ln((4 ) ) (4) 6 b) ln( ) c) ln( ) ln( ) + ln( ) + ln( ) Bispil : (Eponntialglichung, logarithmisch Glichung) Bstimmn Si di Lösung von a) b) ln(5 ) 4ln( ) +, > 0

16 a). Möglichkit: ln( ) ln(); 0,7690. Möglichkit ln( ) ln( ln() + ( ) ln() ln() b). Möglichkit ln(5 5 5 ) 4 ln( 4ln( ) + ln( ) ) 0,7690 ) +, 0 ( 5) 0 Dis Glichung hat kin Lösung.. Möglichkit: ln(5) + ln( ) ln( ln(5) Dis Glichung hat kin Lösung. ) + Bispil : (Umschribn von Funktionn) Schribn Si di Funktion um und litn Si si ab. a) f() b) g() log6() a) f ( ) ( ln() ) f '( ) ln() ln() ln() ; ln(),0986 b)

17 ln( ) g( ) ln(6) g'( ) ln(6) 0,558 Di natürlich Logarithmusfunktion als Umkhrfunktion dr -Funktion Allgmin Widrholung zur Umkhrfunktion Di Umkhrfunktion findt man mit folgndm Vrfahrn:.) und y vrtauschn.) Nach y auflösn Bispil : y ².) y².) y Also ist y di Umkhrfunktion von y ² Bispil : y y.) Laut Dfinition gilt:.) y log also z.b.: Statt y ln log schribt man auch kurz: ln y ln R t Ermittlt man di ln Funktion zichnrisch, rhält man folgndn Graphn: y y y log ( )

18 DEFINITION: Di Umkhrfunktion dr natürlichn Eponntialfunktion hißt natürlich + ln ; R, bzichnt. Logarithmusfunktion. Si wird mit ( ) Eignschaftn von f ln ( ) : : a) Für 0 gilt 0, also folgt: ln für 0. ( ) 0 b) Für 0 gilt, also folgt: ln für. ( ) 0 c) Wgn 0 rhält man ln ( ) 0 gilt: ln ( ) + gilt: ln ( ) d) Für + ) Für 0 Di y-achs ist snkrcht Asymptot ds Graphn (s. Bild) Erinnrung Für di Ablitung dr Umkhrfunktion gilt: Di Ablitung dr ln-funktion f `( ) Es ist also f `( ) (ln( y))` Wgn y folgt ln (y)` y Vrtauscht man und y rgibt sich

19 (ln ())` Dahr gilt: Satz : Di natürlich Logarithmusfunktion f mit f () ln(), +, hat di Ablitungsfunktion f mit f `().