Handout zu Übung 1. Vorbemerkung: Hinweise auf Fehler sind willkommen. Keine Gewähr für die vollständige Richtigkeit der Ausführungen.

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Frida Kopp
vor 7 Jahren
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1 Übung zu Mikro III (SS 05) Tri Vi Dang Handout zu Übung Vorbmrkung: Hinwis auf Fhlr sind willkommn. Kin Gwähr für di vollständig Richtigkit dr usführungn. Thma : Thori ds llgminn Glichgwichts Das Framwork und Notation L Gütr : i {,...,L} H Haushalt : h {,,...,H} Konsumvktor von Haushalt h h ( h,..., hl ) ( : Mng von Gut i, di h konsumirt) Nutznfunktion von Haushalt h: h ( h ) h (,..., L ) nfangsausstattung (-Vktor) an Gütrn von Haushalt h ω h (ω h,..., ω hl ) Gsamtmng i von Gut i in dr Ökonomi (i,..,l) H i h Nutzn von Haushalt h, wnn nfangsausstattung konsumirt wird h (ω h ) h,...,h

2 Zntral Frag Könnn Haushalt durch Tausch (Rallokation) von nfangsausstattung (jwils) inn höhrn Nutzn rziln? Effizinzgwinn durch Tausch llokationsmöglichkit ) Dzntralr Tausch (ilatral Vrhandlung übr Pris) argaining Thory ) Märkt (Eintlichr Pris für all Tilnhmr) Gnral Equilibrium Thory ufgab. Haushalt (H) und Gütr (L) h{,} l{,} nfangsausstattung ω (ω,ω )(9,0) ω (ω,ω )(0,4) Gsamtmng i von Gut i in dr Ökonomi ω ω 9 ω ω 4 Nutznfunktion (, ) (, ) Nutzn bi Konsum von nfangsausstattung (, ) (, ) 0 4

3 Frag Könnn und/odr sich durch Tausch vrbssrn? ntwort isil Sin ( ) 5 3,6 > 3 ( ) 4 > und könnn sich vrbssrn. nfangsausstattung (ω, ω ) ist nicht arto-ffizint. Dfinition (Parto Effizinz) Ein llokation ( *,..., H *) ßt arto-ffizint, wnn s kin andr llokation ( ~,..., ~ ) gibt, so dass gltn H H () ~ hl hl l für l,...l (Zulässigkit) h h () ( ~ ) > ( *) und ( ~ ) ( *) für all h k. k k k h h h Vrbal: Ein llokation ist arto-ffizint, wnn man nimandn (strikt) bssr stlln kann, ohn jmand andrn schlchtr zu stlln. Für dn Haushalt- Gütr Fall Ein llokation ( *, *) ßt arto-ffizint, wnn s kin andr llokation ( ~, ~ ) gibt, so dass gltn ~ ~ () ~ ~ (Zulässigkit) 3

4 ( ~ ) > ( *) und ( ~ ) ( *) () odr ( ~ ) ( *) und ( ~ ) > ( *) Frag Ist (5,) und (4,) arto-ffizint? ntwort ltrnativ stimm di Mng allr arto-ffizintn llokationn (Kontraktkurv). Falls (, )((5,),(4,)) auf dr Kontraktkurv ligt, dann ist (, ) ffizint. ltrnativ (Äquivalnt) Ist di Grnzrat dr Substitution (GRS) von HH bi Konsum von (5,) glich dr GRS von HH bi Konsum (4,)? Falls ja, dann ist di llokation ffizint. Sonst nicht (wnn GRS wohldfinirt ist). Frag 3 Was ist in ffizint llokation, OHNE groß zu rchnn? ntwort 3 (9,4) und (0,0) (0,0) und (9,4) ( bkommt alls.) ( bkommt alls.) ufgab. a Frag 4 Wi bstimmt man di Kontraktkurv? ntwort 4 Vorghnswis zur rchnung dr Kontraktkurv Ggbn konstantr Wrt, maimir. (vic vrsa) 4

5 ma (, ) u.d.n () () (3) (, ) (Zulässigkit) Lagrang L λ ( ) λ ( ) FOC (First Ordr Condition) λ 3 ( ) dl () λ 0 d dl () λ3 0 d dl (3) λ λ 0 d dl (4) λ λ3 0 d λ λ3 λ λ λ λ3 us () und () folgt (5) λ λ 3 us (3) und (4) folgt (6) λ λ 3 Glichstzn von (5) und (6) folgt (7) (*) 5

6 Effizints Konsumvrhältnis us dr Zulässigkitsbdingung folgt mformung rgibt ( ) ( ) Kontraktkurv K (, ),(, ),,, Für obigs Zahlnbisil gilt: 4 4 K (, ),(9,4 ) Frag 5 (Ökonomisch Intuition) Was ist (*) in Glichung 7 untr ntwort 4: ntwort 5? d d d d Grnzrat dr Substitution (Stigung dr Indiffrnzkurv) Im Otimum gilt d d d d d d d d Gomtrisch: Tangntialunkt dr Indiffrnzkurv von und. (sih Grak ) 6

7 mrkung Mit disr Vorghnswis kann man schnllr di Kontraktkurv bstimmn! Fang bi Schritt 7 (GRS GRS ) an. mrkung (Zurück zu Frag ) llokation (5,) und (4,) ist nicht arto-ffizint? i 5, muß 0/9 sin. (, )((9,4),(0,0)) und ((0,0),(9,4)) sind arto-ffizint. Frag 6 (Gomtrisch Darstllung) Wi siht obigs isil im Edgworth-o aus? ntwort 6 Indiffrnzkurv von Haushalt h (, ) ( ) Konsum von, ),( ) ( stiftt Nutzn von (für all Grak (Indiffrnzkurvn von ) < ). X X mrkung Kurv nur dfinirt für dn fallndn rich dr Parabl. 7

8 Grak X X Kontraktkurv X X Grak 3 X X 4 3 X X X (ω,ω ) 0 9 X X X mrkungn () Jdr Punkt innrhalb dr Tauschlins rhöht dn Nutzn bidr Haushalt. () Punkt auf dm Rand dr Tauschlins rhöht dn Nutzn ins Haushalts. 8

9 Tausch zu inm intlichn Marktris. stimmung von Marktglichgwichtn, d.h. ) GG- Pris (Prisvktor) *( *,..., L *) Thori ds llgminn Glichgwichts wo jdr Haushalt h blibig vil kaufn und vrkaufn könnn. ) GG-llokation *( *,..., L *) : : H *( H *,..., HL *) ntr dn Nbnbdingungn a) Jdr Haushalt maimirt Nutzn ggbn udgtrstriktion. b) im Prisvktor * sind all Gütrmärkt gräumt, d.h. Nachfragngbot auf jdn Markt ufgab. b rchnung dr Übrschussnachfrag (Ntto-Nachfrag) von Haushalt h. Vorghnswis Schritt rchnung dr Nachfragfunktion von Haushalt nach Gut und. Schritt D (, ) D (, ) Übrschussnachfrag i ist dfinirt als D (, ) D (, ) 9

10 Frag 7 Wi bstimmt man di Nachfragfunktion von h nach Gut i? ntwort 7 us Nutznmaimirung untr dr Nbnbdingung dr Finanzirbarkit (udgtrstriktion) Schritt Für Haushalt gilt ma, untr dr N Lagrang L λ ( ) FOC dl () λ 0 λ d dl () λ 0 λ d dl (3) 0 dλ Schritt Obigs Glichungssystm lösn. Dividir () durch (), folgt (4) (*) GRSPrisvrhältnis us (4) folgt (5) Einstzn von (5) in (3) 0

11 Schritt 3 Nachfrag von HH nach Gut 0 D (, ) ² / (**) nalog für,,, D D D (, (, (, ) ) ) ² / ² / ² / Schritt 4 Übrschussnachfrag von HH nach dm Gut i (, ) (, ) ² / ² / Übrschussnachfrag von HH nach dm Gut i (, ) (, ) ² / ² / Frag 8 Was ist di Intrrtation dr Übrschussnachfrag? ntwort 8 Übrschussnachfrag von h nach Gut i (, ) (, ) Ggbn Prisvktor (,..., L ) Falls > 0 Haushalt h ist Nachfragr von Gut i, und zwar di Mng

12 Falls < 0 Haushalt h ist nbitr von Gut i, und zwar di Mng Falls kin Handl von Haushalt h ( ist "otimal") 0 Frag 9 Wi brchnt man das Marktglichgwicht? ntwort 9 ufgab. c stimm GG-Prisvktor *( *,..., L *), so dass all Märkt gräumt sind und dazughörig GG-llokation. Dfinition (Markträumung) Markt für Gut i ist gräumt, falls H h ( *) 0 (Summr dr Übrschussnachfragn0) Vrbal: ngbotnachfrag von Gut i bim Prisvktor *. Frag 0 Wi siht das Markt-GG in ufgab. aus? ntwort 0 Di Märkt und müssn bi ( *, *) simultan gräumt sin, d.h. () 0 ² / ² / () 0 ² / ² / Falls *( *, *) das (nichtlinar) Glichungssystm löst, dann sind *( *, *) GG-Pris.

13 mrkung () Es gibt vil Vorghnswisn. () Trick bim Lösn von Markträumung -Glichungssystmn Vorghnswsi Schritt Schritt Walras-Gstz Es gb L Märkt. Falls (L ) Märkt gräumt sind, dann ist auch dr L-st Markt rräumt. Man muss r nur in Glichung lösn. (Z.. Markt ) ² / ² / ² ² 0 ² ² 0 0 ² ² ² ² ² ² ) ²( ) ²( ² ² Pris, di diss Vrhältnis rfülln, bildn GG-Pris. Schritt 3 Ein GG ist ggbn durch 3

14 dn Pris *( *, *)(,.5) und di llokation *( *, L *)(7/5, 36/5) ( *, *)(8/5, 4/5). (Einstzn von * in (**) untr ntwort 7) Frag Wi siht das Markt-GG grasch aus? ntwort Was kann sich HH bi * listn? udgtgrad von * * * * * 6 3 kann sich jdn Konsumvktor auf und untr dr udgtgrad listn. wählt dn otimaln Konsumvktor aus. (sih (*) bzw. (4) untr ntwort 7) Grak 4 X 6 36/5 7/5 9 4

15 Grak 5 X X X X GG-llokation Frag Was kann man sonst noch sagn? ntwort () Di Mng allr GG-Pris ist ggbn durch: () Das GG-Prisvrhältnis ( *, *), > 0 hängt nur von dr Gsamtzahl dr Gütr ab und nicht von dr Vrtilung dr Erstausstattung. (3) J mhr von Gut vorhandn ist, dsto turr ist das Gut rlativ zu Gut. Normir (4) Jdr GG-Prisvktor führt zur glichn llokation * (5) Di GG-llokation ist arto-ffizint. PrisvrhältnisGRS GRS (Grak 5). Wohlfahrtsthorm 5

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Lösungen der Aufgaben 9.3/5/6 Lösungn dr Aufgabn 9.3/5/6 Dr Gütrmarkt inr offnn Volkswirtschaft wird durch folgnds Glichungssystm bschribn: = a + b (Y T ), () (i, q) = c + q, (2) q = d Y i, (3) G = G, (4) X = x 0 + x Y x 2 σ, (5) Z