Theoretische Physik IV (Statistische Physik) Prof. Dr. Albrecht Klemm Christoph Nega, Fabian Fischbach

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Theoretische Physik IV (Statistische Physik) Prof. Dr. Albrecht Klemm Christoph Nega, Fabian Fischbach"

Rüdiger Ackermann
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Physikalischs Institut Übungsblatt Univrsität Bonn Thortisch Physik WS 7/8 Thortisch Physik IV Statistisch Physik) Prof. Dr. Albrcht Klmm Christoph Nga, Fabian Fischbach Abgab: Di. odr Mi. 9./..28 in dn Übungn) Hausaufgabn H.. Zustandsdicht und thrmodynamisch Größn 8 Punkt) Di Zustandsdicht ist dfinirt durch νε) = g JV 2π ) 3 d 3 p δ ε ε p ). ) Somit gilt für in Funktion f, di nur von dr Eintilchnnrgi ε p abhängt d 3 p fε p ) = dε a) Zign Si, dass für das idal Frmi-Gas gilt Hinwis: Vrwndn Si dabi d 3 p fε) δ ) 2π ) 3 ε ε p = g J V ν I ε) = Nε 2 N F ε mit εf = V δfx)) = {i fx i )=,f x i ) } dε νε)fε). 2) 6π 2 ) g J 2m. 3) f x i ) δx x i). 4) Für di Erwartungswrt dr Tilchnzahl und Enrgi gilt bi allgminr Zustandsdicht νε) N = dε νε)nε), E = dε νε)nε)ε, 5) nε) = ε µ 6) k BT + di Frmi-Vrtilungsfunktion ist. Di Frmi-Enrgi ist ggbn durch di maximal Eintilchnnrgi dr bstztn Zuständ bi T =, d.h. N = εf dε νε). 7) / 6

2 In dr Vorlsung wurd gzigt, dass für nidrig Tmpraturn nährungswis gilt. dε nε)fε) = µ dε fε) + π2 6 k BT ) 2 f µ) + O k B T ) 4) 8) b) Zign Si zunächst mit Hilf von 8), dass für nidrig Tmpraturn nährungswis µ ε F = π2 6 k BT ) 2 ν ε F ) + O T 2 )) 9) νε F ) gilt. c) Zign Si mit dm Ergbnis aus b)), dass für dn Erwartungswrt dr Enrgi bi nidrign Tmpraturn nährungswis E = E + π2 6 k BT ) 2 νε F ) + O T 4) εf mit E = dε νε)ε ) gilt. d) Zign Si, dass hiraus folgt. C V = π2 3 k2 BT νε F ) + O T 3) ) ) Für homogn Systm gilt für di isothrm Komprssibilität κ T = V ) N N 2. 2) µ Vrwndn Si dis Rlation, um zu zign, dass T,V κ T = V N 2 νε F ) + O T 2) 3) gilt. Dis Rlationn zign, dass für das Tiftmpraturvrhaltn thrmodynamischr Größn nur dr Wrt dr Zustandsdicht bi dr Frmi-Enrgi maßgblich ist. Bachtn Si, dass s sich hirbi um in asymptotisch Rih handlt. 2 / 6

3 H..2 Polylogarithmus, Rimannsch Zta-Funktion und Sommrfld-Mthod 6 Punkt) Hir möchtn wir noch inmal inig Eignschaftn ds Polylogarithmus analysirn, insbsondr für di Bos-Einstin-Vrtilung, da dis für di Aufgab H..3 nützlich sind. Abschlißnd möchtn wir di Intgral brchnn, wlch in dr Sommrfld-Mthod auftauchn. Zunächst widrholn wir di Dfinition ds Polylogarithmus } g n z) f n z) = Γn) x n x /z, 4) dis Intgraldarstllung für Rn) > und all z, außr wnn z rll und für Bosonn bzw. für Frmionn ist, konvrgirt. a) Zign Si, dass gilt g n z) = Γn ) x n 2 log z x). 5) b) Bgründn Si, warum dr Polylogarithmus 4) auch vrallgminrt Zta-Funktion 2 gnannt wird. Hinwis: Entwickln Si hirfür dn Polylogarithmus für z <. Zur Erinnrung: Di Gammafunktion ist dfinirt durch Γn) = x n x. 6) c) Brchnn Si g z) und zign Si folgnd Idntität für di Ablitung ds Polylogarithmus z z g n+z) = g n z). 7) Nun möchtn wir folgnd Intgral brchnn x2n x = Γ2n) g2n ) f 2n ) ), für n =, 2,..., 8) wlch Polylogarithmn an dr Stll z = darstlln und in dr Sommrfld-Mthod vrwndt wrdn. Hirzu rinnrn wir an di Dfinition dr Brnoulli-Polynom 3 B n x) mit Hilf dr rzugndn Funktion gx, z) = zxz z = B n x) zn, z < 2π. 9) n! n= Di Brnoulli-Zahln sind dann durch B n = B n ) dfinirt. 2 Zur Erinnrung: Di Rimannsch Zta-Funktion ist dfinirt durch ζs) = k= k s, für s >. Durch analytisch Fortstzung kann di Rimannschad Zta-Funktion jdoch auch auf ganz C dfinirt wrdn. Si bsitzt an dr Stll s = inn Pol rstr Ordnung. 3 Wichtig Eignschaftn dr Brnoulli-Polynom bzw. dr Brnoulli-Zahln wurdn schon in A.2. btrachtt. 3 / 6

4 m= 2 p= 2p)! Rst = 2q)! d) Übrprüfn Si, dass für di Brnoulli-Zahln auch 5. Übrprüfn Si, daß für di Brnoulli-Zahln auch Iz n m= B 2q x + m)f 2q) x + m). CR 6π 4π 2π C 2π 4π 6π Rz B n = n! B n = n! 2πi 2) C 2πi C z z z n+ z n+ 2) gilt, C gilt, C in positiv in positiv orintirt gschlossn) Kurv um dn Ursprung z = orintirt gschlossn) ist, Kurv um für dn di Ursprung Punkt auf z dr = Kurv ist, für z < di 2πi Punkt gilt, damit auf dr di Kurv infachn z Pol < ds 2πi gilt,damitdiinfachnpoldsintgrandn bi vrmidn z =2πi wrdn. p,p = ±, ±2... vr- Intgrandn bi z = 2πip, p = ±, ±2,... midn wrdn. z 6. Brchnn Si mit Gl. 2) nochmals B und B. Hinwis: Entwickln Si z Oz3 ). ) Brchnn Si mit Glichung 2) B und B. 7. Übrzugn Hinwis: Entwickln Si sich davon, Si hirzu daß für n 2 bis O z 3). = lim f) Übrzugn Si sich davon, C dass z für zn+ n 2 R C R z z n+ gilt und somit C z = lim C z z = 2πi zn+ R C R ] z n+ 2) ]) rs n+ z z ;2πip gilt und somit +rs n z z ; 2πi p n p= ] C z z n+ = 2πi ] ]) rs z n ; 2πip + rs z z n ; 2πip 22) p= rs z z ; ±2πi p = ±)n n 2πi p). ] n Hir bzichnt C R di gsamt gschlossn rs Kurv in dr obign Abbildung, di aus dr klinn Kurv C um dn Nullpunkt, z dn z n ; ±2πip = ±)n bidn Gradnstückn 2πip) n. 23) ntlang dr positivn rlln HirAchs bzichnt und Cdm R di großn gsamt Kris gschlossn mit Radius Kurv R bstht. in dr obign Abbildung, di aus dr klinn Kurv C um dn Nullpunkt, dn bidn Gradnstückn ntlang dr positivn 8. Schlißn rlln Achs Si aus und drdm vorign großn Tilaufgab: Kris mit Radius R bstht. Hinwis: Ein huristisch Argumntation richt hir aus. B 2k+ =, B 2k = 2 )k 2k)! ζ2k), 2π) 2k k N, g) Schlißn Si aus dr vorhrign Tilaufgab B 2n+ =, B 2n = 2 )n 2n)! 2π) 2n ζ2n), n N, 24) ζs) di Rimannsch Zta-Funktion ist. h) Bnutzn Si x s αx = Γs) α s, 25) 4 / 6

5 um zu zign, dass Γs) xs x = ζs). 26) i) Bnutzn Si k= ) k+ k s = k= k s 2 l= 2l) s = 2 s) k= k s, 27) um zu zign, dass Γs) xs x + = 2 s) ζs). 28) j) Abschlißnd könnn wir nun di Intgral 8) brchnn. Zign Si x2n x + = 2 2n ) ) n+ π 2n B 2n 2n x2n x = )n+ 2π)2n B 2n 4n und brchnn Si di folgndn Intgral, 29) x x + = π2 2, x x = π2 6, x 3 x + = 7π4 2 x 3 x = π4 5. 3) 3 Punkt) H..3 Bos-Einstin-Kondnsation in d Dimnsionn 3 Punkt) In disr Aufgab möchtn wir di Bos-Einstin-Kondnsation in d Dimnsionn btrachtn und untrsuchn, in wlchn Dimnsionn Bos-Einstin-Kondnsation auftrtn kann. a) Zign Si, indm Si di großkanonisch Zustandssumm auswrtn, dass für in idals Bosgas in d Dimnsionn gilt P k B T = V g z) + ) d g d λ +z) und N := 2 v V = V z z + ) d g d z), 3) λ 2 2π λ = 2 mk B T di thrmisch Wllnläng und z = βµ di Fugazität ist. Hinwis: Vrwndn Si di Idntitätn ds Polylogarithmus aus Hausaufgab H Punkt) 5 / 6

6 b) Wlch Unglichung müssn T und v in Abhängigkit von d rfülln, damit in nichtvrschwindndr Antil dr das Systm ausmachndn Tilchn sich im Grunustand bfindt? Bstimmn Si di volumnabhängig) kritisch Tmpratur T c für dis Bos- Einstin-Kondnsation im Grunustand und bnso das tmpraturabhängig) kritisch spzifisch Volumn v c. In wlchn Dimnsionn d tritt Bos-Einstin-Kondnsation auf, in wlchn nicht? c) Wi hängt dr Antil N N dr Tilchn im Grunustand am Gsamtsystm innrhalb ds Kondnsationsbrichs T < T c von T T c bzw. von v v c ab? Ein Phasnübrgang n-tr Ordnung ist dadurch gknnzichnt, dass in thrmodynamisch Größ in Abhängigkit inr odr mhrrr Variabln n sttig Ablitungn bsitzt und rst di n-t Ablitung unsttig ist. Da s sich bi dr Bos-Einstin-Kondnsation um inn Phasnübrgang handlt, könnn wir mit Hilf diss Kritriums gnaur bschribn, für wlch Dimnsionn di Bos-Einstin-Kondnsation intrtn kann. g) Brchnn Si aus dm großkanonischn Potntial di Entropi S. Hinwis: Vrwndn Si für T > T c nur di jwils rlvantn Trm zur Brchnung dr Entropi. Frnr gilt für T T c, dass z ght. h) Bstimmn Si di Wärmkapazität C V. Si solltn folgnd Tmpraturabhängigkit findn d k B N d 2 2 C V = + ) g d2 zt )) + g d2 zt )) ] ) d 2 g d2 zt )) 2 g d2 zt )), T > T C k B N d d ) v ) d. 32) λ ζ d 2 + ), T < T C i) In wlchn Dimnsionn d ist C V nicht sttig in dr Tmpratur an dr Stll T = T c? j) Zign Si, dass di Ablitung von C V nach dr Tmpratur folgnd Diskontinuität an dr Stll T = T c aufwist ) ) CV CV lim lim = k ) B N d 2 ζ d 2) T T c T V,N T Tc T V,N T c 2 ζ d 2 ) + d ζ ) d 2 2 ζ d 2 2) ] 2 ζ d 2 ) 3. 33) 3 Punkt) 6 / 6

Ähnliche Dokumente

www.math-aufgabn.com Abiturprüfung Mathmatik 7 Badn-Württmbrg (ohn CAS) Pflichttil - Aufgabn Aufgab : ( VP) Bildn Si di rst Ablitung dr Funktion f mit f () + ( sin ). Aufgab : ( VP) ln Brchnn Si das Intgral