Titel: Laplace-Transformation Titel-Kürzel: LAP. Autor: Wild Jürg, wil Koautor: Gysel Ulrich, gys. Version: 12. März 2004

Transkript

1 Til: Laplac-Tranformaion Til-Kürzl: LAP Auor: Wild Jürg, wil Koauor: Gyl Ulrich, gy Vrion:. März 4

2 4 Laplac-Tranformaion Lrnzil: Wozu brauch ich di Laplac-Tranformaion? Wi kann ich di Such nach dr Löung inr Diffrnialglichung vrinfachn? Wlch Schri ind zur Löung mil Laplac-Tranformaion nöig? Falung v. Laplac-Tranformaion Vorrauzungn: Da Vorghn zur Löung von Diffrnialglichungn im Zibrich i bkann Da Aufiln dr zilichn Löungfunkion in Tilfunkionn i bkann Mahmaich Modll in Form von Diffrnialglichungn. und. Ordnung Parialbruchzrlgung für infach und mhrfach rll und komplx Nulllln 4. Einig, Dfiniionn Di Bchribung komplxr Sym durch Diffrnialglichungn und drn Löungn wird hr umändlich, dhalb uch man nach inr Möglichki, dn Diffrnialbzihungn auzuwichn und di zu algbraiirn. Di Laplac-Tranformaion rmöglich di Ingralranformaion mi Brückichigung dr Anfangbdingungn auf idal Wi. Wir wrdn di Thori dr Laplac-Tranformaion rlaiv kurz bhandln und wrdn un hir haupächlich auf di Anwndung bchränkn. Di Löung dr DGl. mil Laplac-Tranformaion rfolg dabi übr inn Umwg au dm Zibrich (Originalbrich, Obrbrich al f()) in dn Laplac-Brich (Bildbrich, Unrbrich al f()) und widr zurück. Abb. Dabi wrdn linar DGl. in algbraich Glichungn übrgführ. Di Schwirigki wird dabi haupächlich auf di Rückranformaion vom Laplac- in dn Zibrich vrchobn, doch hn vil Tablln dr Laplac-Tranformaionn (Korrpondnz-Tablln) für din Fall zur Vrfügung, mu alo kin Rückranformaionforml glö wrdn. Um auf di in dn Tablln andardiirn Trm zu glangn, bdin man ich mi dr Parialbruchzrlgung.

3 Dfiniion d Laplac-Opraor : F j@t i in komplx Variabl. [] - Achung: r "": Nam dr Variabln zwi "": c Hinwi für Elkroingniur: Di komplx Wchlromhori wird hir al Spzialfall dr Laplac-Thori brach: E wird dor au dr gamn -Ebn nur di poiiv imaginär Ach brach: Ralil F auf imaginärr Ach al j@t, Anwndungbipil Indukiviä: X L j@t@l Di KWST gil nur für dn aionärn, ingchwungnn Fall und harmonich Grön. mi F (Laplac) daggn brückichig auch dn raninn Fall bi blibigm Eingang. Tranformaionforml: F() f() d f(): Originalfunkion F(): Bildfunkion Di Zuordnung von F() zu f() i in Abbildung odr Tranformaion: di Laplac-Tranformaion. F() i al Laplac-Tranformir (odr Laplac-Ingral) von f() in Funkion von. Vorauzung: all Zifunkionn f() für < ind. Di Tranformaion i iniig (on-idd) dfinir: nur Wr zwichn und 4 wrdn brückichig. Di Laplac-Tranformaion gil nur für linar Sym! Einhin: Di Einhin dr Variabln f() wrdn im Laplac-Brich mi (c) muliplizir (. Dfiniion): [F()] [f()].c Bipil: i() ")))! I() [A] [A.] Laplac- Rückranformaion- f() { F ()} Forml σ j F() d π j σ j

4 Möglich Darllungarn dr Korrpondnzn: F() ))))) f() : chwarz "chwr" F() {f()} Unrbrich, Bildbrich Rückrafo: f() - {F()} Di Laplac-Tranformaion gil auch für vkorill Grön und Marizn (lmnnwi Tranformaion): f () f () F () F () ))))) f () f 4 () F () F 4 () 4. Rchnrgln dr Laplac-Tranformaion Di Rchnrgln dr Laplac-Tranformaion könnn z.b. in jdm Rglungchnikbuch nachgchlagn wrdn, z.b. O. Föllingr, "Rglungchnik" odr F.Kolb / O.Künzl. E gib abr auch Formlammlungn, di Laplac nhaln, z.b. Papula. Di wichign Rgln (odr Säz) für unr Bdürfni (ohn Bwi): Linariärgl: c@f() ))) c@f() brauch) Wird di Originalfunkion mi inr Konann c (di nich rll zu in muliplizir, o i auch di Bildfunkion mi c zu muliplizirn. f () ± f () ))) F () ± F () Addiion von Originalfunkionn nprich Addiion dr Bildfunkionn Ingraionrgl: F f ( α ) dα ))) () Di ("chnich") Ingraion von bi zur laufndn Zi (mi dr Ingraionvariabln ") nprich in dr Bildfunkion inr Diviion durch. Diffrniaionrgl: f'() - f() (mi Anfangbdingungn) f''() - f'() f (n) () ))) f (n-) ()

5 Di Diffrniaion im Zibrich nprich im Bildbrich prinzipill inr Muliplikaion mi n, wobi di Ponz n dr Ordnung dr Abliung nprich. Hir wrdn nun abr auch di mahmaichn Anfangbdingungn (drn Anzahl widr dr Ordnung dr vorligndn Abliung nprich) problmlo in di Tranformaion ingfüg. Danbn xiirn z.b. Ähnlichkirgl und Vrchibungrgl Anfangwraz: Für f() gil: lim f() [@F()] 4 Endwraz: Für f() 4 gil: lim f(4) [@F()] Wnn F() bkann i, kann man dami dn Wr dr Funkion f() bi und 4 rmiln, ohn da man di Funkion f() lb zu knnn brauch. Aufgab: ggbn: f() für # ; f() ". für > ; guch: F() wann konvrgir da Ingral? Vrglichn Si Ihr Löung mi inr Laplac-Tabll. Löung: Nach Laplac-Forml: " i hir rll (i abr nich rfordrlich), wobi: " - " - (F j@t) (" - F) - j@t ( α) ( ασ ) jω F R() ; fall F > ", wird ("-F)@ 4 ; für olch konvrgir da Laplac-Ingral und α wird: ( ) f() o F() α α α di Korrpondnz findn wir in dn Tablln T. Für F < " wird ("-F)@ 4 4, da Laplac-Ingral konvrgir nich. Abb. Allg.: Nur olch Funkionn f() bizn in Laplac-Tranformir F(), für wlch da Laplac-Ingral konvrgir. - 4

6 Für di Laplac-Rückranformaion wird nun kaum di Laplac-Rückranformaionforml angwnd, da di vorkommnd Ingraion nich infach durchführbar i, ondrn man bdin ich üblichrwi dr ognannn Korrpondnz-Tablln, alo bri vorgrchnr Rückranformaionn für bimm Trm. Di ich bi dr Brchnung im Laplac-Brich rgbndn raionaln Audrück (Bruchdarllung) lan ich durch Parialbruchzrlgung in olch Trm zrlgn, drn Rückranformaion in dn Tablln bri brchn wurdn. E gh alo bi dr Rückranformaion darum, gign (in dn Tablln vorkommnd) Trm zu uchn. Von dr Modllirung hr win wir, da ich jd Sym höhrr Ordnung durch Linar- Kombinaionn von Tilymn. und. Ordnung darlln lä. Umgkhr mu alo jd Sym in olch Sym. und. Ordnung zrlgbar in, da Hilfmil zu inr olchn Zrlgung i di Parialbruchzrlgung. Grundäzlich würd alo gnügn, di Korrpondnz zu knnn für in Sym. Ordnung und di Korrpondnzn für da Sym. Ordnung mi d >,,< (Bai-Rückranformaionn). Frundlichrwi habn jdoch di "Brchnr" dr Korrpondnz-Tablln abr auch zuäzlich chon Kombinaionn (häufig aufrnd Trm höhrr Ordnung) brückichig, oda nich jdmal unbding zur in Parialbruchzrlgung gmach wrdn mu. Man klär alo zur ab, ob für da vorlignd Problm bri in Vorlag vorhandn i. Di Addiionn, di ich zwichn dn Parialbruchrmn rgbn, wrdn auch in dr Rückranformaion rhaln blibn, da ich pr dfiniionm um linar Sym handl. Di für di Rückranformaion nowndign üblichn Korrpondnzn könnn z.b. dn chon angprochnn Rglungchnik-Büchrn odr z.b. dr Formlammlung Papula nnommn wrdn. Dabi i zu bachn, da di in unrm Kur vrwnd "anglächich" Dfiniion d Laplac-Opraor in dr duchn Liraur vilfach auch mi p bzichn wird. (Papula vrwnd bri ""). E ind vrchidn kompaibl Darllungarn üblich: Papula vrwnd di Darllung mi z.b.!)" a. (Sym. Ordnung) a Di Laplac-Tabll au "Di Sfano, Rglym III" bfa ich vor allm auch mi Symn. Ordnung, drn Dämpfungma d < i. Da di "chwingndn" Sym in dr Praxi of vorkommn, wird di Tabll dafür auch vorwignd vrwnd. Di Sfano vrwnd di Darllung mi z.b.!)" - a. (Sym. Ordnung) a Noch andr Tablln vrwndn di Form a a a!)" (Sym. Ordnung) a /a Vor dr Vrwndung inr dr Tablln ind alo di Trm auf di vrwnd Form zu bringn. Dr Plazhalr a ha für jd Form in andr Bduung! Sa dr Tablln könnn auch Tachnrchnr (z.b. HP odr TI) vrwnd wrdn, di Laplac- Tranformaionn vornhmn könnn. 5

7 Au dn Tablln könnn auch di Korrpondnzn von infachn Simuli nnommn wrdn: Bildfunkion F() Originalfunkion f() () Dirac-So (uni impul) F() () Einhi-Sprungfunkion (uni p) Einhi-Ramp (uni ramp) Dn Sprung rhäl man durch Ingraion d So, di Ramp durch Ingraion d Sprung, c. Di Ingraion drück ich im Laplac-Brich bkannlich durch in Diviion mi au, wa in obigr Tabll bäig wird. Sym. Ordnung: Di zu bnuznd Korrpondnz häng von dr Ar d zu ranformirndn Sym. Ordnung ab, wir mün alo zur unruchn, wlch Ar vorlig: d >,,<? Korrpondnzn (nach di Sfano): d > : d : d < : ( a) ( b) ( a) d ω ω b a a ω a b ( ) dω.in Mi dn bri in Kapil dfinirn Audrückn für Sym. Ordnung: ( ω ) naürlich Krifrqunz: T [omga] [ - ] (Polkrifrqunz) Eignkrifrqunz: T [ - ] Dämpfungma: d [] Phanvrchibung: n [phi] [Grad, rad] (achung: jwil Quadran brückichign!) kompaibl Nnnrdarllung: ( F ) T Dfiniionn: F [igma] F T T Zuammnhang dr Darllungn für d < : ( F @ T (Normalform) 6

8 Brückichign dr Anfangbdingungn: All AB ind al Spüng aufzufan, da all Signal für < gmä Dfiniion vrchwindn mün. z.b. paiv lkrich Elmn: Zibrich ")))))! Laplac-Brich R: i() u()/r I() U()/R L: u() L.di()/d (Abliungrgl) U(). L. I() - L. i L Einhin : [V.] [( - ).(V./A).A.]-[(V./A).A] (umrchnn auf di andr Variabl rgib dalb) i() (/L). I u(").d" i L I() U()/(.L) i L / (Ingralrgl Sprungfunkion) Impdanz: Übrragungfunkion G Imp (Df.. pär) mi AB : G Imp () G L () U()/I() X L ().L (vrgl. KWST: X L (j.t) j.t.l) C: u() (/C). I i(").d" u C U() I()/(.C) u C / i() C.du()/d I().C.U() - C.u C Impdanz: ÜF mi AB : G Imp () G C () U()/I() X C () / (.C) (vrgl. KWST: X C (j.t) /(j.t.c)) Bipil Sri-Schwingkri: DGl.: u() R.i() (/C). I i(").d" u C L.(di()/d) [V] (au Machn- ÆÉÉÉÈÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ glichung) u R () u C () u L () Tranformaion U() R I() C I() C LI() LiL mi Hilf u [V.] dr Rchnrgln: () () Man rknn, da ämlich Anfangbdingungn problmlo ingfüg wrdn. Bmrkungn zu : im Fall () wirk al Opraor (Ingral), angwand auf di Funkion I(), im Fall () wirk al Funkion (Sprungfunkion u C ). 7

9 4. Löung von linarn Diffrnialglichungn mil Laplac-Tranformaion Di klaich Löung im Zibrich lifr für in Sym. Ordnung (. Kap.): x() x () x f () mi inm "rzwungnn" und inm "frin" Til. (forcd rpon) (fr rpon) Di Löung übr dn Umwg (Laplac) binhal folgnd Schri (. Abb. ):. Tranformaion (mi inr allgminn odr pzifizirn Eingangfunkion u()). algbr. Glichung nach X() auflön wnn nöig Parialbruchzrlgung. Rückranformaion Di Anfangbd. ghn gmä (Diffrniaion-)Rgln bri in di Tranformaion in, o da di Rückranformaion von X() di kompl Löung für x() lifr. Bipil: allg. DGl.. Ordnung J@x'() x() b@u() ; x() x ; u() k@f() ; x()? Eingangfunkion u() i alo in Sprung dr Höh k u() k@f(), F(): Einhi-Sprungfunkion. Tranformaion: u() k@f() ")))! U() k@(/) Sprung im Laplac-Brich (. Tabll) x() ")))! X() Variablnranformaion J@x'() ")))! J@@X() - J@x() Diffrniaionrgl "DGl." im Laplacbrich wird in algbraich Glichung: J@@X() - J@x() X() b@u() b@k@(/) "DGl." im Laplacbrich. algbraich Glichung ordnn und nach X() auflön: b@k@(/) J@x() b k τ x() X() X() X f () τ τ X() i di Anwor d Sym im Laplacbrich auf inn Sprung dr Höh k mi AB x(). X() lä ich hr chön darlln in inm rzwungnn Til (X ()) und inm frin Til (X f ()) (vrgl. Kap. ). Di Til lan ich dnn auch inzln rückranformirn. 8

10 Di Til X () und X f () find man hir al Einzlrm problmlo in dn Korrpondnz- Tablln, o da hir kin Parialbruchzrlgung vorgnommnn wrdn mu.. Rückranformaion X b k τ ()!)))" bk rzwungnr Til ( τ ) au z.b. di Sfano: F () o f () ( ) ( a) a a mi Muliplikaionrgl au dr Linariärgl (für b@k) und mahmaichr Umformung: und a - ( ) τ τ τ τ X f () x() τ!)))" frir Til τ τ x() τ τ au z.b. di Sfano: F () f () a o a mi Muliplikaionrgl au dr Linariärgl (für J@x()) und mahmaichr Umformung: und a - τ τ τ τ x() b.k.( - -/J ) x(). -/J ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ rzwungn fri Anwor Anwor x () x f () Di nprich dr Löung im Zibrich mi inm Sprung-Anaz (Kap. ) Bmrkung: Shn nur di Papula-Tablln zur Vrfügung, mün di vorligndn Formn an di Papula-Formn angpa wrdn: di nprchn wighnd dn "di Sfano"-Formn mi dr Ändrung a - /J - End Bmrkung 9

11 Wir Bipil:. Paralllronanzkri: au Knonglichung: u i i i i R C du R C L u d i d L L() Laplac ranformir: I U R C U C u L U i L () () () () C () () U R C i L () () I() CuC () L Abb. R L RC L i L () U() I( ) CuC ( ) R L R L R L il() CuC() U() I() R L R C L R L R C L ( ) Aughnd vom Schma (Nzwrk, Abb. ) ind wir übr di DGl. und di Laplac-Tranformaion zu inr algbraichn Glichung von U() al Funkion d Eingangrom I() gkommn. Um rückranformirn zu könnn, mün wir:. di Zifunkion dr Einganggrö i() und di AB knnn.. da ich um in Sym. Ordnung handl, mün wir zur da Dämpfungma d d Nnnr brchnn, di mu numrich rfolgn, gib kin gnrll algbraich Rückranformaion!. Dr Srom i() mach inn Sprung von 5 A, wir uchn alo in Sprunganwor bi folgndn AB: u C () V; i L () - A. Paramr: L mh; C :F; R 8 S Koffizinnvrglich mi Normdarllung d Nnnr. Ordnung (. Kap. ) L rgib: ω ; d 5. L C R C 5 5 L 5 I() ; forcd rpon: L R C L 5 fr rpon: ( ) d < : (Dämpfungma d Nnnr) da d < i, vrwndn wir für dir Rückranformaion di nprchnd Forml au S. 6: wir mün obig Formln durch mahmaich Manipulaionn an di Darllung anpan: forcd rpon: U ( ) forcd di Rückranformaion rgib dann mi: ω ω d 5. ; σ d ω ; K 7. 7 alo: dω 7. 7 uforcd () K.in ω 84 ( ) in ( ).. 9 ω 7 56 in( )

12 fr rpon: U fr () ( ) Für di Form (mi d < ) find man bi di Sfano (z al Subiuion): z ( z σ ) ω ω σ F () o f () in aan ( ) ω z σ ω ω σ Wir mün auch hir unr Form durch Aumuliplizirn anpan: Zählr (Koff. von i ) mi: K und z @ Nnnr (S. 6): ( F) F T T dr Nnnr i ja drlb wi bi dr forcd rpon Dami rgib ich für u fr (): (.. ) ufr () in aan [ ] in. 46 (. Quadran!) þ u () u u ( ) ( ) forcd () fr () in 45. in u () [ in ( ) 45. in (. 46) ] Sp( d < ) Vrglichfil: Kap4Bip.m Enhaln i auch in Simulaion-fil, da au dm BSB d Nzwrk nandn i. Au Kap. ind Si im Sand au dm Nzwrk, Abb. di phyikalich BSB lb zu rlln. Si könnn Ihrn BSB-Vorchlag am nprchndn Fil konrollirn: Kap4Bip.mdl Fall di Tabll von Papula vrwnd wird, bi ich für di forcd rpon mi d < an: F () o f () ( b) a Uforcd () b 6 in( a) a u ( ) forcd () in dami wird b -F und a T alo glich wi obn.

13 d : I R.66 S, (wnn L und C glich blibn), dann wird d und dann i F T Für din Fall vrwndn wir au S.6 di milr Korrpondnz (a T ): Dr Nnnr @ 6 T T ) 5 alo: uforcd ( d ) Fr rpon: ( ) ( 45455) U () fr ( ) ( ) ( ) 6 In dn Tablln find man: F () a o f () ( a) F () f () ( a ) o ( a) F T -a () ( ) 9. 9 ( ) u fr þ Sp( d )() ( ) u a d > : I R <.66 S, (wnn L und C glich blibn), dann wird d > : z.b. R 5 S d., d.h. dr Nnnr. Ordnung ha rll Löungn, da Sym. Ordnung kann in Sym. Ordnung zrlg wrdn: Dr Nnnr @ 6 - p )@( - p ) Wi ghn in Kapil ind di Nulllln d Nnnr bi: p, σ ± σ ω da L und C glich gblibn ind, i immr noch T - und F alo wrdn p , p mi dr Korrpondnz S. 6 i a - p, b - p : uforcd () ( ) ( ) U () fr ( 58. ) ( ) au Tabll: (.... ) ( ) z F () o f () ( a) ( b) [( z a) a b ( z b) ] b a u [( ) ( ) fr () ]. 49 [ ] þ u Sp( d > )

14 . Bipil: Folgnd Funkion oll rückranformir wrdn mil Parialbruchzrlgung: X() ( ) ( ) Gnrll: wa fäll auf an dr Löung? Parialbruchzrlgung: A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A@(-) B@(-)@(-) C@(-) 5@ - 5@ 8 : B C 5 : A - 4@B - 5 A ; B ; C C X() ( ) o x () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Di Exponnn ind poiiv, di nprchndn Zikonann wrdn ngaiv: J - ; J - / di Augangvariabl x() läuf wg! Da Sym i inabil! grafich Inrpraion:. Bipil: Abb. 4 4 Rückranformaion von X() : 4 4 ( ) Möglich Inrpraion: Sym. Ordnung, auf da in Sprung (/) ggbn wird. Für di Rückranformaion mu alo zur abgklär wrdn, ob d >,, < i. d?: T T - ; d 4/(@), rll, Doppllöung F 4/ - p, - F - - ; - - ( - (-))@( - (-)) ( ) 4 4 ( 4 4) ( ) ( ) ( ) A B C

15 4 B C 4@C A - ; B - ; C 4@C 4 4 X() x () () ( ) o σ ( 4 4) ( ) ( ) Sprung F() für > Grafich Inrpraion dr Sprunganwor: Sym. Ordnung mü inn Wndpunk zign und bi AB horizonal au wglaufn: Wndpunk: ) -@ 4@@ -@ x"() 4@ -@ - 8@@ -@ 4@ Im Wndpunk mu x" glich Null in und da Vorzichn wchln: x"( WP ) 4@ WP,5 x WP,64 4. Bipil: Abb. 5 Dgl.: ; AB: y() - ; y'() 5 ; u() 6.5 Auf da Sym wird in Ramp mi Silhi 4 "V"/ o ggbn, da di AB inghaln wrdn. Wi ih di Symanwor y() al Zifunkion au? "Laplacirn": - y' ) 4@(@Y - y - u Zuammnfan: Y@(5@ 4@) U@(@ ) 5@@y 5@y' 4@y Auflön nach Y(): a b Y U Yforcd Yfr ( 5 4) ( 5 4) Subiuionn: a 5@y' 4@y 5@5 4@(-) b 5@y 5@(-) - 5 Ramp (mi AB: u()): u () o U() 4

16 forcd rpon: Y forcd ( 5 4) 5 ( 8. ) 5 ( 8. ) ( 8. ) ( 8) [] [ ] []: ( 8. ) ( 8. ) au Tablln: a F () o f () ( ) ( a) a F () o f () a ( a) a a ( ) yforcd[] ( ) (. ) A B C D []: Parialbruchzrlgung: 6. ( 8. ) 8. A@ A@.8@ B@ B@.8@ C@ C@.8 D@.6@.4 : A D D : A@.8 B A.875 ü : B@.8 C.6 B -.75 ü : C@.8.4 C ü n Rückranformaion dr Einzlglidr mi u.a.: F () n o f () ( n )! 8. yforcd[ ] !. y () y () y () forcd forcd[] forcd[ ] 8 fr rpon: Y fr () 5 5 ( 8. ) ( 8. ) o y () fr 8.. Symanwor: y () x x ( ) () 8 Wir könnn di AB konrollirn: y() T Ablin:. y &( ) (.) (. ) AB y'(): y'() T Graphich Darllung dr Symanwor. MATLAB-fil Kap4Bip.m Enprchnd kann zur Simulaion auch in BSB rll wrdn (. Kap. ), hir z.b. in Rglungnormalform. SIMULINK-fil Kap4Bip.mdl Allrding mün dazu nun AB-Umrchnungn vorgnommn wrdn: Au BSB: y y' (u - y' - u@.4 y&( ) u( ) y( ) x ( )

17 Abb. 6 Aufgabn Aufgab. DGl. J@x' x B@ - ; x() algbraich Rückranformaion? Löung: τ x x B o τ ( X() x() ) X() B X() ( τ ) B τ x() B τ x( ) B x( ) X() τ τ τ ( ) τ τ B τ o x() τ B x( ) x( ) τ τ τ τ τ Abb. 7-6

18 Aufgab : Löung: Rückranformaion von X() @ T T / - ; d /(@/),6 >, rll F /,5 - p, - F ± /(F - T ) -,5 ±,5 - - ; - - ( )@( ) X() 8 8 A B ( ) ( ) mi Parialbruchzrlgung, könn abr in dirk Korrpondnz gfundn wrdn. A@() B@() B 8@ A 5 ; B 8 5 X() o x () 5 ; J ; J,5 Abb. 8-7

19 4.4 Rückranformaion mil Falung Wir habn für di Rückranformaion immr in Darllung in Form inr Addiion von forcd rpon mi fr rpon rhaln, z.b. für in Sym. Ordnung (gil abr allgmin): X() b U() τ G 44 () 44 X () forcd τ x() τ X () fr Di forcd rpon X forcd () lä ich alo immr durch in Muliplikaion G()@U() darlln. U() i di laplacir Eingangzifunkion u(), G() i di ognann Übrragungfunkion (vrgl. nprchnd Kapil). Di fr rpon i ja gmä Dfiniion unabhängig von U(). Wir habn bi jz jwil di Eingangfunkion im Laplac-Brich nich allgmin ghaln, ondrn habn i immr pzifizir: z.b. gwichr Sprung: U() a/ odr gwich Ramp: U() b/. Sa nun da Signal bri im Laplacbrich zu pzifizirn, könnn wir da allgmin Signal U() vrwndn und r nach dr Rückranformaion in dn Zibrich da Signal u() dor dfinirn. Di Rückranformaion inr Muliplikaion von Funkionn von im Bildbrich (hir z.b. X forcd () G().U()) rgib im Originalbrich in Falung. Falungrgl dr Laplac-Tranformaion, Symbol dir Opraion: : Falung angwand auf unr Bipil für di rzwungn Löung X forcd () im Bildbrich: X forcd () G().U()!))" x forcd () g()u() mi: g() "))! G(), u() "))! U() NB: Für X fr () F()@J@x() rgib ich kin Falung, da di. Funkion (J.x()) dir Muliplikaion in Konan und kin Funkion von i. 8

20 Dfiniion dr Falung: ( ρ ) ( ρ ) x() g() u() g ρ u( ρ) dρ g( ρ) u ρ dρ ( ρ ) ( ρ ) allg.: ( ) ( ) Vorchrif i alo: g() und u() rzn durch g(-k) und u(k) rp. g(k) und u(-k); k i Variabl, wird al Konan bhandl. Di in Variabl wird alo von "link (D ) nach rch" mi dr andrn "von rch (D ) nach link" muliplizir Falung. g(): Soanwor Gwichfunkion (. Übrragungfunkion: Di Laplac-Rückranformir dr Übrragungfunkion i di Soanwor: G() )) g() ) Di Löung di Falungingral, nach Einzn inr pzifichn Eingangfunkion u()... (in dr Forml inzn al u(k) rp. u(-k)), rgäb di glich Löung wi bim vorhr ghnn dirkn Einaz d pzifichn Eingang bri im -Brich. Di Löung d Falungingral im Zibrich i jdoch hr umändlich und aufwndig. E mpfihl ich dhalb, all im Laplac-Brich aufzubrin (d.h.: di pzifich Eingangfunkion bri in dn Laplac-Brich zu ranformirn und dor zu muliplizirn) und am Schlu di Gam-Rückranformaion vorzunhmn. Alo z.b.: dn Sprung al pzifich Eingangfunkion u() a.f() mi U() a/ in dn Laplac- Brich übrragn. Di Brchnung dr Rückranformaion mil Falung im koninuirlichn Brich i alo nich grad infach. E wird ich daggn zign, da di Falung im zidikrn Brich rch infach zu handhabn i und dhalb dor in vil grör Bduung ha al im koninuirlichn Brich. Au dm Falungingral wird dann nämlich in vil infachr zu handhabnd Falungumm. 9

21 Aufgab: E ind folgnd Zifunkionn ggbn: - und u().5@ wird di Falung x() g()u() guch. Si könnn für di Löung. dn Falungaz anwndn und. dn Vrglich mi dm "Umwg übr Laplac" machn (d.h. im Bildbrich X() G()@U() brchnn und anchlind rückranformirn) Wa i infachr? Löung:. Falung ( ) ( ρ ) ρ ( ) x () g () u () 5, ρ dρ 5, ρ dρ Möglichki chin infachr in dr Barbiung ρ ρ ρ ρ ρ dρ dρ ρ dρ ( al Konan) Parill Ingraion d n Trm: Toal: ( ) ρ ( ρ ) ( ) ρ ρ ρ x() - - (J ) ρ dρ ρ dρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ. übr Laplac: g () o G () u () 5, o U() X() G() U() ( ) Grafich Inrpraion: 5, o x() Abb. 9

22 4.5 Zuammnfaung Di Laplac-Tranformaion i in von mhrrn Möglichkin, Diffrnialglichungn zu lön. Dabi wrdn Diffrnialglichungn, di bchribn, wi ich in Sym im Zibrich vrhäl, mil dr Laplac-Tranformaion in infach zu handhabnd algbraich Glichungn ranformir, in wlchn di Zi nich rchin, man arbi im Laplac-Brich. In dim Brich könnn nun normal algbraich Manipulaionn mi dn Variabln infach vorgnommn wrdn. Um di Löung zu rhaln, di bchrib, wi ich da Signal zilich vrhäl, vrwnd man di invr Laplac-Tranformaion (Rückranformaion au dm Laplac-Brich in dn Zibrich) mi in Form von Korrpondnz-Tablln. Di Löung dr DGl. mil Laplac-Tranformaion rfolg alo ignlich übr inn Umwg au dm Zibrich (Originalbrich, Obrbrich al f()) in dn Laplac-Brich (Bildbrich, Unrbrich al f(), -Brich) und widr zurück. Trozdm i di Handhabung vil infachr al bi dr Such dr Löung im Zibrich. Di Schwirigki bim Lön von Diffrnialglichungn wird dabi haupächlich auf di Rückranformaion vom Laplac- in dn Zibrich vrchobn, doch hn vil Tablln dr Laplac-Tranformaionn (Korrpondnz-Tablln) für din Fall zur Vrfügung, mu alo kin Rückranformaionforml glö wrdn. Um auf di in dn Tablln andardiirn Trm zu glangn, bdin man ich mi dr Parialbruchzrlgung. Di Laplac-Tranformaion rmöglich di Ingralranformaion mi Brückichigung dr Anfangbdingungn auf idal Wi und rmöglich in infach Handhabung dr Brchnungn. Di Löungrm rchinn owohl im Laplac-Brich wi im Zibrich chön übrichlich aufgil in forcd rpon und fr rpon. Vorauchaund könnn wir bmrkn, da man im zidikrn Brich mi inr ähnlichn Vorghnwi arbi, di nprchnd Tranformaion vom Zibrich in dn dorign z- Brich i di z-tranformaion ("dikr Laplac-Tranformaion"). Wnn man da Arbin im Laplac-Brich bgriffn ha, i da Vorghn im z-brich nprchnd infach. E xiirn dann für di Rückranformaion nprchnd z-tablln. Bipil dr Tablln glichziig für - und z-brich (au Abarglung, J. Ackrmann): (Im z-brich rchin dann al wir Argumn auch di Abazi T) f () F() F() z a Tz at ( ) at a ( z ) Di ggniign Zuammnhäng zwichn dn inzlnn Ebnn könnn folgndrman dargll wrdn: Zibrich Laplac-Brich "nich induig": - au dn Süzlln von f k lan ich vrchidn f() Z { - {F()} kt } inrprirn. Zibrich abga - z-brich Abb.