Martin Meyer. Signalverarbeitung

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2 Mari Myr Sigalvrarbiug

3 Au dm Programm Nachrichchik/Kommuikaiochik lkommuikaio vo D. Corad Opraiovrärkr vo J. Fdrau Kommuikaiochik vo M. Myr Digial Kommuikaioym ud vo R. Nockr Digial Sigalvrarbiug mi MALAB vo M. Wrr Nachrichübrragugchik vo M. Wrr N, Prookoll, Schill ud Nachrichvrkhr vo M. Wrr Sigal ud Sym vo M. Wrr viwg

4 Mari Myr Sigalvrarbiug Aalog ud digial Sigal, Sym ud Filr 4., übrarbi ud akualiir Auflag Mi 6 Abbildug ud abll Sudium chik

5 Bibliografich Iformaio Dr Duch Naioalbibliohk Di Duch Naioalbibliohk vrich di Publikaio i dr Duch Naioalbibliografi; daillir bibliografich Da id im Ir übr <hp://db.d-b.d> abrufbar.. Auflag 998., durchgh Auflag 3., korrigir Auflag Spmbr 3 4., übrarbi ud akualiir Auflag Novmbr 6 All Rch vorbhal Fridr. Viwg & Soh Vrlag GWV Fachvrlag GmbH, Wibad 6 Lkora: Rihard Dappr Dr Viwg Vrlag i i Urhm vo Sprigr ScicBui Mdia. Da Wrk ichlißlich allr ir il i urhbrrchlich gchü. Jd Vrwrug außrhalb dr g Gr d Urhbrrchg i oh Zuimmug d Vrlag uuläig ud rafbar. Da gil ibodr für Vrvilfäligug, Übrug, Mikrovrfilmug ud di Eipichrug ud Vrarbiug i lkroich Sym. Umchlaggalug: Ulrik Wigl, Druck ud buchbidrich Vrarbiug: MrcdDruck, Brli Gdruck auf äurfrim ud chlorfri gblichm Papir. Prid i Grmay ISBN ISBN

6 V Vorwor Di Buch bhadl auf Hochchulivau di Grudlag dr aalog ud digial Sigalvrarbiug, wi i für Awdug i dr Nachrich-, Rglug- ud Mchik böig wrd. Da Buch ad au mir äigki al Do a dr Fachhochchul Nordwchwi FHNW. Di Sigalvrarbiug bfa ich mi dr mahmaich Darllug vo Sigal owi vo Algorihm.B. Filrug, di vo Sym augführ wrd. I dim iführd Buch wird di klaich hori dr Sigalvrarbiug bhadl. Au mhrr Grüd wird i abrak, horilaig Darllug bu: Abrak Brachug id uivrllr, alo brir awdbar. Di hori lä ich dadurch mi Aalogi aufgrud vorhrghdr Kapil aufbau, i wird omi kompakr. Di hori vral vil wigr chll al di Prai. Ur Prai vrh ich hir di Implmirug i Sym,.B. mi im digial Sigalproor. Di Implmirug ud di dau bu Hilfmil wrd darum ur kapp bproch. Hu h aürlich di digial Kop im Vordrgrud, i wrd im Folgd auch pill bo. rodm fid ich och Kapil übr aalog Sigal ud Sym. Au dr horichm Fudam wäch ämlich di hori dr digial Sigal ud Sym hrau. Dr Aufwad vrdoppl ich alo kiwg durch di Bhadlug bidr Wl. Zudm wrd immr och bid hori böig: digial Rkurivfilr bipilwi wrd häufig aufgrud ihrr aalog Vorbildr dimioir, ud hr of vrarbi ma urprüglich aalog Sigal mi digial Sym. Da Buch umfa i aalog il Kapil, 3 ud 4 ud i digial il Kapil 5, 6 ud 7, wlch i ich glich aufgbau id: Sigal - Sym - Filr. Da Buch ka auf wi Ar durchgarbi wrd: wdr prchd dr Nummrirug dr Kapil odr abr aalog ud digial il quai paralll, d.h. Kapil, 5, 3, 6, 4, 7. Au Plagrüd mu vil ira Gbi wggla wrd,.b. di hori ud Awdug dr Zufalligal. Frr fhl di Symdarllug im Zuadraum. Ich rach doch al vorilhafr, ich ur i olid Bai ud i if Vrädi dr Grudlag u rarbi, bvor ma ich mi Spialgbi bfa. Zudm möch ich ich dr Vollädigki halbr.b. Korrlaiofukio iführ, di abr da au Plagrüd odr wil dr Rahm gprg würd doch ich awd. Al Vorauug um Vrädi di Buch brauch dr Lr Ki dr Mahmaik, wi i i dm chich odr aurwichaflich Grududium agbo wrd. Kokr bdu di d Umgag mi kompl Zahl, Fukio, Rih ibodr Fourir-Rih owi dr Diffrial- ud Igralrchug. Ki dr Elkrochik, Elkroik ud Digialchik id ülich, abr ich ubdig rfordrlich. Di Ewicklug i Sym für di Sigalvrarbiug rfolg hu mi Hilf d Compur. Di bdu abr ich, da fudir Ki dr hori durch Mauklick r wrd kö. Of lä ich ämlich i Aufgab ur ährugwi lö. Dr Igiur mu dhalb di Vor- ud Nachil dr vrchid Vrfahr owi di horich Gr k, um d für i Awdug güig Kompromi u fid ud i

7 VI Vorwor Sym u opimir. Di iglich Rcharbi übrlä ma aürlich dm Compur. Dau id liugark Sofwarpak rhällich, di auch ga, di hori u viualiir ud u übrprüf. Im vorligd Buch arbi ich mi MALAB. Ich mpfhl drigd, di Buch uamm mi im Sofwarool durchuarbi, i MALAB odr irgd i dr Kokurrproduk. Dr Gwi lig r im ifr ud achaulichr Vrädi dr hori ud wi vrfüg dr Lr daach übr i wirklich ark Wrkug ur Bhadlug ur Aufgabllug. Di Buch rchi bri i dr 4. Auflag. Di Rückmldug u d bihrig Auflag war hr poiiv, allrdig wurd vrchidlich ahlrichr Rchbipil ud di Bhadlug vo Zufalligal gwüch. Nu rchi da Buch i im grör Forma, wa i rwir Umfag rmöglich. Di hab ich auchlilich gu für uälich Bipil. Zudm hab ich d formal übrarbi ud di Darllug dr Fourirraformaio für Abaigal dr hu üblich Epoialform agpa. All ir ihallich Erwirug dr Sigalvrarbiug rchi im Viwg-Vrlag i wir Buch vo mir mi dm il Grudlag dr Iformaiochik. Di häl dri wir Kapil ud bhadl auch di hori ud Awdug dr Zufalligal. Im Hiblick auf i für Sudird rräglich Vrkaufpri oll di Siahl ich aig. E war darum ich möglich, all wüchbar Rchbipil i d iufüg. Zuälich Bipil ud iig Abchi dr hori id dhalb i i Ahag auglagr, dr im Olirvic ur ur Vrfügug gll i. Ebfall dor fid ich Hiwi um Eia vo MALAB i dr Sigalvrarbiug owi iig ülich MALAB-Roui. Bi d Miarbiri ud Miarbir d Viwg-Vrlag bdak ich mich für di aghm Zuammarbi. Hau AG Schwi, im Spmbr 6 Mari Myr

8 VII Ihalvrichi Eiführug.... Da Kop dr Symhori.... Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug... 4 Aalog Sigal Klairug dr Sigal Urchidug koiuirlich - dikr Urchidug drmiiich - ochaich Urchidug Ergiigal - Liugigal Di Fourir-Rih Eiführug Siu- / Coiu-Darllug Brag- / Pha-Darllug Kompl Darllug Da horm vo Parval für Liugigal Di Fourir-raformaio F Hrliug d Ampliuddichpkrum Di Falug Da Rch mi dr Dla-Fukio Di Fourir-raformaio vo priodich Sigal Di Eigchaf dr Fourir-raformaio Da horm vo Parval für Ergiigal abll iigr Fourir-Korrpod Di Laplac-raformaio L Wio i wir raformaio? Dfiiio dr Laplac-raformaio ud Bihug ur F Di Eigchaf dr Laplac-raformaio Di ivr Laplac-raformaio abll iigr Laplac-Korrpod iiig raformaio Aalog Sym Klairug dr Sym Liariä Ziivaria Kaual ud drmiiich Sym Dyamich Sym Sabiliä Di Impulawor odr Soawor Dr Frqugag ud di Übrragugfukio Di Schriawor odr Sprugawor Kaual Sym Pol ud Nullll Eiführug Ampliudgag, Phagag ud Grupplaufi PN-Schmaa dr Filrar... 96

9 VIII Ihalvrichi Raliirugmöglichki Boddiagramm Symvrhal im Zibrich Spill Sym Midphaym Allpä Zwipol Polyomfilr Normirug Übrich übr di Symbchribug Eiführug Sabil LI-Sym mi dlich vil korir Elm Nichliar ud/odr ivaria Sym Bimm dr Symglichug Compurgü Symaaly... 4 Aalog Filr Eiführug Approimaio d idal ifpa Eiführug Burworh-Approimaio chbychff-i-approimaio Bl-Approimaio chbychff-ii- ud Caur-Approimaio Filr mi kriichr Dämpfug Frquraformaio ifpä Hochpä Badpä Badprr Allpä Di prakich Raliirug vo akiv Aalogfilr Darllug i dr Kakadrukur ud Skalirug Di Filr-Koffii Digial Sigal Eiführug Di Fourir-raformaio für Abaigal FA Eiführug Di idal Abaug vo Sigal Da Spkrum vo abga Sigal Da Abahorm Di Rkorukio vo abga Sigal DA-Wadlug Di dikr Fourir-raformaio DF Di Hrliug dr DF Di Vrwadchaf mi d kompl Fourir-Koffii Di Eigchaf dr DF Di chll Fourir-raformaio FF Di Rduda im Spkrum rllr Zifolg... 8

10 Ihalvrichi IX 5.4 Spkralaaly mi dr DF/FF Eiführug Priodich Sigal Quaipriodich Sigal Nichpriodich, aioär Liugigal Nichaioär Liugigal rai Sigal Mug vo Frqugäg Zuammfaug Di dikr Falug Di -raformaio Z Dfiiio dr -raformaio Zuammhag dr Z mi dr L ud dr FA Eigchaf dr -raformaio Di ivr -raformaio abll iigr -Korrpod Übrich übr di Sigalraformaio Wlch raformaio für wlch Sigal? Zuammhag dr vrchid raformaio... 6 Digial Sym Eiführug Di Diffrglichug Di Impulawor Dr Frqugag ud di -Übrragugfukio Di Schriawor Pol ud Nullll Srukur ud Blockchalbildr Digial Simulaio aalogr Sym Übrich übr di Sym Dr Eiflu dr Ampliudquaiirug Di Raliirug vo digial Sym Digial Filr IIR-Filr Rkurivfilr Eiführug Filrwurf mi dr impulivaria -raformaio Filrwurf mi dr biliar -raformaio Frquraformaio im -Brich Dirkr Ewurf im -Brich FIR-Filr ravralfilr Eiführug Di 4 yp liarphaigr FIR-Filr Filrwurf mi dr Frmhod Filrwurf durch Frqu-Abaug Filrwurf durch Syh im -Brich Liarphaig Hochpä, Badpä ud Badprr Di Raliirug i Digialfilr... 33

11 X Ihalvrichi Liraurvrichi Vrichi dr Formlich Vrichi dr Abkürug... 3 Sachworvrichi... 3 Di Ahäg Bipil ud Ergäug ur hori, Hiwi um Eia vo MALAB id rhällich im Olirvic ur

12 Eiführug. Da Kop dr Symhori Di Sigal- ud Symhori bfa ich mi dr Bchribug vo Sigal ud mi dr Bchribug, Aaly ud Syh vo Sym. Di Awdug dir hori,.b. i Form vo digial Filr, hi Sigalvrarbiug. Sigal id phyikalich Grö,.B. i lkrich Spaug. Abr auch dr variabl Börkur ir Aki, di Pulfrqu i Sporlr, di Drhahl i Arib uw. id Sigal. Sigal id rägr vo Iformaio ud Ergi. Ur Sym vrh ma i kompl Aordug au dm chich, ökoomich, biologich, oial uw. Brich. Al Bipil oll di: Di Radaufhägug i Fahrug, dr Vrdauugrak i Lbw, i digial Filr uw. Sym vrarbi Sigal ud omi auch Iformaio ud Ergi. Iformaio i i Wiihal, di phyikalich Rpräaio di Wi alo di Widarllug i i Sigal. Bipil: Di Körprmpraur d Mch i i Sigal ud gib Aukuf übr d Gudhiuad. Für di Uruchug vo Sym bdi ma ich i mahmaich Modll. E ig ich, da i dr abrak mahmaich Formulirug vil äurlich vrchidarig Sym dilb Form ahm. Bipil: i gdämpfr lkrichr Schwigkri ka mi dr glich Diffrialglichug bchrib wrd wi i mchaich Fdr- Ma-Ribugym, Bild.. Fdr Dämpfug C L R Eipaug Ma Bild. Gdämpfr Srichwigkri lik ud gdämpfr mchaichr Schwigr rch Di phyikalich Gmiamki dr bid Sym i Bild. i di Ei vo wi vrchidarig Ergipichr, ämlich Kapaiä C ud Idukiviä L bw. Fdr ud Ma. Di führ u im chwigugfähig Gbild, fall i mid im dr Spichr Ergi vorhad i. Z.B. ka di Kapaiä glad ud di Fdr gpa i. Bid Sym hab i Dämpfug, wird ich alo bi dr Frigab dr Sym chli d Sromkri bw. Lö dr Arrirug i gdämpf Schwigug ill. Mahmaich lau di Formulirug mi d Variabl i für d lkrich Srom bw. für di Lägkoordia:

13 Eiführug Spaug: di ul L L i& d uc i d C ur R i Kräf: FM m && FD b & FF c räghi Dämpfug Fdrkraf Nach dm Kirchhoff'ch G mu di Summ dr Spaug Null i. Dami da Igral i dr Kodaorglichug vrchwid, li wir all Glichug ach dr Zi ab ud rhal di Diffrialglichug d gdämpf lkrich Schwigkri. Ebo mü ich ach d'almbr all Kräf u Null ummir ud wir rhal di Diffrialglichug d gdämpf mchaich Schwigr. Bi bid Glichug orir wir di Summad ach dm Grad dr Abliug. L & i R i& i m && b & c C Mi d Korrpod iiadr übrführ. L m, b R ud c / C la ich di bid Glichug Di Bobachug ha wi Koqu: Er i vorilhaf, i Symhori al igädig Diipli alo oh Bug u ir ral Awdug u pflg. I dir mahmaich Abrahirug lig di ughur Särk dr Symhori bgrüd. Vrrr vrchidr Fachgbi prch dadurch i gmiam Sprach ud kö vri a ir Aufgab arbi. Zwi i möglich, d glich Wiihal Iformaio auf vrchid Ar phyikalich darull: dr Vrlauf i Wardruck bipilwi ka opich Farb, mchaich Höh ir Quckilbräul odr auch i Form ir lkrich Spaug dargll wrd. E i di Aufgab dr Sorik ud Mchik, di Iformaio mpraur, Druck, Kraf, Wg, Hlligki, Gchwidigki uw. i ir gwüch phyikalich Form darull. Ma wird u Sigalar wähl, wlch ifach übrrag, vrarbi ud gpichr wrd kö. Di id aürlich di lkrich Sigal, für di Übrragug mi wachdm Ail auch opich Sigal. Au dim Grud imm di Symhori für di Elkroigiur i ral Sllug i. Di umgkhr Aufgab, ämlich i lkrich Sigal i i adr phyich Form umuwadl, wird durch Akor wahrgomm. Bipil: Lauprchr, Elkromoor. I dr Rglugchik wird mi Akor i da phyich Sym iggriff. I dr Mchik ud dr Symaaly wrd di Ergbi dr Sigalvrarbiug ldiglich agig, Bild.. Auwl, phyich Sym Sor Akor Sigalvrarbiug Aig Bild. Akopplug dr Sigalvrarbiug a di Auwl

14 . Da Kop dr Symhori 3 Ei wirr Voril dr abrak hori lig dari, da ma Sym uabhägig vo ihrr aächlich Raliirug bchrib ka. Ei digial Filr bipilwi ka i rir Hardwar raliir wrd odr al Programm auf im PC ablauf. E lä ich abr auch auf im Mikroproor odr auf im DSP digialr Sigalproor implmir. Für d Symhorikr mach di ki Urchid. Zwi Bipil: di horich Grudlag dr CD Compac Dic wurd 949 rarbi, di brauchbar Raliirug rfolg übr dri Jahrh pär. E wird ich ig, da Sigal ud Sym auf dilb Ar mahmaich bchrib wrd, mihi alo gar ich mhr urchidbar id. Di Symhori bfa ich dmach mi Sym ud Sigal. Ei idimioal Sigal i i Fukio ir Variabl mi dr Zi. Mhrdimioal Sigal id Fukio mhrrr Variabl,.B. wir Orkoordia im Fall dr Bildvrarbiug. I dim Buch wrd ur idimioal Sigal bhadl. Di uabhägig Variabl i di Zi odr di Frqu, di hori lä ich abr uvrädr übrrag auf adr uabhägig Variabl,.B. i Lägkoordia. Bipil: Am Augag i Muikvrärkr rchi i iabhägig Spaug u. Auf im obad i higg di Muik i Form ir lägabhägig Magiirug m gpichr. raporir ma da obad mi ir koa Gchwidigki v / am okopf vorbi, o h wg /v widr i iabhägig Sigal u m/v. Wg dir Umwadlbarki pil alo di phyikalich Dimio bowig wi dr Nam dr Variabl i Roll. Da mahmaich Modll i ral Sym i i Sa vo Glichug. Um loglö vo phyikalich Bduug arbi u kö, wrd di Sigal of i ormirr, dimiolor Form oir. Zum Bipil chrib ma all i Spaugigal u mi dr Dimio Vol da dimiolo Sigal : u V [ ] Di Möglichki dr Dimiokoroll gh dami lidr vrlor, dafür gwi ma a Uivraliä. Um d mahmaich Aufwad i hadhabbar Gr u hal, wrd vom ral Sym ur di irird ud domia Apk im Modll abgbild. Da vrifach Modll prich omi ich mhr dm ral Vorbild. Di i olag oh Blag, al da Modll brauchbar Erklärug ud Vorauag für da Vrhal d ral Sym lifr. Adrfall mu da Modll chriwi vrfir wrd. Grudälich gil: Ei Modll oll o kompliir wi owdig ud o ifach wi möglich i. Bipil: i dr Mchaik wird häufig di Ribug vrachläig, di priipill Fukiowi ir Machi blib rodm richlich. Möch ma abr d Wirkuggrad dir Machi bimm, o mu ma aürlich di Ribug brückichig. Da Vorgh bh alo au dri Schri:. Abbild d ral Sym i i Modll Aufll d Glichugym. Barbi d Modll Aaly, Syh, Opimirug uw. 3. Übrrag dr Rula auf da ral Sym.

15 4 Eiführug Für Puk wird da Glichugym häufig auf im Rchr implmir frühr Aalogrchr, hu Digialrchr. Dak dr ihilich Brachugwi i dir Puk für all Fachgbi idich. Au dim Grud loh ich di Ewicklug vo liugfähig Hilfmil i Form vo Sofwar-Pak. Ei dir Pak MALAB wird im vorligd Buch iiv bu. Dr i dr Awdug wohl chwirig il i di Modllirug Puk. Di Frag, ob i Modll für di Löug ir kokr Aufgabllug gügd gau i, ka ur mi Erfahrug iigrma ichr bawor wrd. Mi Simulaio ka da Vrhal d Modll mi dmig d ral Sym vrglich wrd. Allrdig wrd dau vrif Ki dr phyikalich Zuammhäg böig di prich Puk 3 i obigr Aufählug. Di Symhori al ri mahmaich Diipli urü di phyikalich Irpraio ich. Di Symhori i omi ich wir al i Wrkug w auch i faiird ark ud dipir d Awdr i kir Ar ud Wi vo profud Fachki i im agamm Fachgbi. Haupawduggbi für di Symhori irhalb dr Elkrochik fid ich i dr Nachrichchik, dr Rglugchik ud dr Mchik. ypichrwi id di Fächr abrak ud horilaig, dafür abr auch uivrll ibar. Für di Awdug wird b dr hori auch Erfahrug böig, di ihrri durch di Awdug gwo wird, Bild.3. Problmlöug hori Erfahrug Übrich Bild.3 hori alli güg ich! Di Erfahrug ka r durch di Awdug gwo wrd.. Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug Zil di Abchi i, mi ir Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug i Moivaio für di um il abrak hori dr folgd Kapil u rug. Di hir vorgll Priipi kiir d Wald, di folgd Kapil bhadl di Bäum. E gh alo kiwg darum, di glich folgd Auführug cho im Dail u vrh. All, wa i dim Abchi bhadl wird, wird pär och ak brach wrd.

16 . Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug 5 Sigal dargll durch iabhägig Fukio wrd vrarbi durch Sym. Ei Sym bild i Eigagigal auf i Augagigal y ab, Bild.4. Sym y Bild.4 Sym mi Ei- ud Augagigal Di durch da Sym augführ Abbildug ka ma bchrib durch i Fukio: f y. Klii, Bild.5: y Bild.5 Abbildugvorchrif al Symklii Di Klii i Bild.5 ka mahmaich bchrib wrd durch i Porih: y b b b b b....3 Di Glichug.3 i i Nährug dr Fukio.. Di Nährug ka blibig gau gmach wrd. Di Bchribug i Sym durch di Klii bw. durch di Abbildugfukio id dmach äquival Bchribugar. J ach Fragllug i di i odr di adr Ar br gig. Ei hr wichigr Spialfall rgib ich au.3, w di Koffii b i all vrchwid, aur für i. Di dgrir Form vo.3 lau da: y b Sym, di mi ir Glichug dr Form.4 bchrib wrd, hi liar. I dr Koffii b iuabhägig, o i da Sym uälich auch iivaria. Solch Sym id i dr chik hr wichig, i hi LI-Sym liar im-ivaria. Prakich dr.4

17 6 Eiführug gam Soff di Buch bih ich auf olch LI-Sym. Ei möglich Klii i LI-Sym ig Bild.6. y Bild.6 Klii i aich LI-Sym Vorich: I dr Mahmaik hi Fukio dr Form y b b liar. I dr Symhori mu di Zuabdigug b ighal i, r da prich ma vo liar Sym. Di Klii mu alo durch d Koordiaullpuk gh, wi i Bild.6 gig. Dr gro rick dr liar Sym bh dari, da i mahmaich ifach u bchrib id. Dr Grud lig dari, da bi liar Sym da Suprpoiiog gil. Di bag, da i Sigal aufgil wrd ka i Summad: Di Summad iligal kö il auf da Sym mi dr Abbildugfukio f ggb wrd, h dadurch wi Augagigal: y f y f Di Summ Suprpoiio dr bid Augagigal rgib da Gamigal y. Dalb Sigal rgib ich, w ma da urprüglich Eigagigal auf da Sym gb würd: y y y f f f f.5 Di Suprpoiiog ka wg dr Aoiaiviä dr Addiio auf blibig vil Summad rwir wrd: Hä i Sym i Abbildugfukio i dr Form y b b mi b, o würd da Suprpoiiog ich gl. Di lä ich a im Zahlbipil ifach ig: Symklii: y Eigäg: 3 Augäg: y y 3 y 4 y y 3 5

18 . Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug 7 Im Zuammhag mi LI-Sym i alo vorilhaf, i kompliir Sigal darull durch i Summ vo ifach Sigal. Ma di Rihwicklug. Glichug.3 ig i Bipil ir og. Porih, wlch hr gu für di Bchribug vo Symklii gig i. Für di Bchribug vo Sigal bwähr ich higg di Fourir-Rih wiau br. Bi dr Rihwicklug r og. Koffii auf, i Glichug.3 id di di Zahl b, b, b uw. Ha ma ich auf i yp ir Rihwicklug fglg,.b. auf Fourir-Rih, o güg dmach di Agab dr Koffii alli. Di og. Fourir-Koffii bchrib da Sigal vollädig, formal ih da Sigal u abr ga adr au. Di u Form i abr of hr achaulich irprirbar, im Fall dr Fourir-Koffii ämlich al Spkrum. Für d Umgag mi LI-Sym wrd di Sigal alo rlg i ifach Grudglidr, ämlich i harmoich Fukio. J ach Ar dr Sigal gchih di mi dr Fourir- Zrlgug, dr Fourir-raformaio, dr Laplac-raformaio uw. All di raformaio id abr g miiadr vrwad ud bair auf dr Fourir-raformaio. Dir wird dhalb im Abchi.3 brir Raum gwidm. Bi LI-Sym ka au im Spialfall.B. Symrakio auf harmoich Sigal auf d allgmi Fall Symrakio auf i blibig Eigagigal gchlo wrd. Di Klii i Bild.6 mü wir och wa gaur brach. Di Klii gil ur da, w ich da Eigagigal hr lagam ädr. kö.b. i Siu-Sigal hr ifr Frqu i. Wird di Frqu rhöh, o ragir dr Augag wg dr Symräghi vrögr, d.h. Ei- ud Augagigal id phavrchob ud di Klii wird u ir Ellip, Bild.7. y Bild.7 Klii i dyamich LI-Sym I Bild.6 i di Sigug dr Klii i Ma für di Vrärkug d Sym. I Bild.7 higg ck di Vrärkug i dr Sigug dr Halbach, währd di Eriiä dr Ellip i Ma für di Phavrchibug i. Di Ellip i Bild.7 i ich adr al i Liaou-Figur.

19 8 Eiführug Ei LI-Sym ragir auf i harmoich Eigagigal mi im bfall harmoich Augagigal drlb Frqu. Gau au dim Grud id di Fourir-Rih ud di Fourir-raformaio o blib für di Bchribug vo LI-Sym. Da da harmoich d.h. coiu- odr iuförmig Eigagigal di Grudfukio dr Fourir-Rihwicklug darll ud da bi LI-Sym da Suprpoiiog gil, ka auch fgll wrd: LI-Sym ragir ur auf Frqu, di auch im Eigagigal vorhad id. Ei LI-Sym vrädr alo i harmoich Eigagigal qualiaiv ich, odr ädr ldiglich Ampliud ud Pha. Di ka frquabhägig rfolg, d.h. für d Frqu mu di Liaou-Figur ach Bild.7 aufgomm wrd. Da vo di Figur ldiglich wi Zahl irir umrchbar i Vrärkug ud Phadrhug, ka i Sym a mi ahlrich Liaou-Figur kompakr mi im Frqugag aufilbar i Ampliud- ud Phagag dargll wrd. Di Phavrchibug wich Ei- ud Augagigal i di Folg ir Symräghi, wlch ihrri durch di Ei vo Spichrlm im Sym vrurach wird. Ei Nwrk au Widräd bipilwi ha ki Spichrlm, vrurach alo ki Phadrhug. Ei Nwrk au Widräd ud Kodaor higg bwirk i Phadrhug. Ei Sym mi Spichr hi dyamich Sym. Bild.8 ig i Spaugilr al Bipil für i ifach liar Sym oh Spichr. u R R u y Bild.8 Spaugilr al aich LI-Sym Glichug.4 lau für di Fall: R y R R 443 b Dr Koffii b lä ich dirk durch di Widräd bimm, b i darum rll ud koa..6

20 . Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug 9 Saich LI-Sym wrd bchrib durch algbraich Glichug mi koa ud rll Koffii. Nu brach wir i dyamich Sym, al Spichr di i Kapaiä, Bild.9. u R C u y Bild.9 RC-Glid al dyamich LI-Sym Dr Srom durch di Kapaiä i glich dm Srom durch d Widrad: i du du u u C C C ir d d R C Di Vrwdug dr allgmir Nam ud y a u ud u owi dr Subiuio RC Zikoa rgib: C y& R y C y& R R y RC y& y y y&.7 Brch ma kompliirr dyamich Sym, d.h. olch mi ahlrichr ud vrchidarig Spichr, o rgb ich prchd kompliirr Audrück. Di allgmi Srukur lau abr : a y a y& a && y... b b & b &....8 Di i i liar Diffrialglichug. Di Koffii a i ud b i rgb ich au d Nwrklm, i id darum rll ud koa. Au.8 glag ma u.6, idm ma di Koffii a i ud b i für i > auf Null ud b mi a u b uammfa. Glichug.8 i omi umfadr. Dyamich LI-Sym wrd bchrib durch liar Diffrialglichug mi koa ud rll Koffii. Diffrialglichug id lidr ur mi Aufwad löbar. Mi dr Laplac- odr dr Fourir- raformaio ka ma abr i liar Diffrialglichug umwadl i i algbrai-

21 Eiführug ch Glichug. Allrdig wird di komplwrig. All Zifukio, y uw. mü r wd durch ihr og. Bildfukio X, Y Laplac bw. X, Y Fourir. All Abliug wrd r durch i Fakor Laplac bw. Fourir. Au.8 h dadurch im Fall dr Laplac-raformaio: X b X b X b Y a Y a Y a.9 Mi Auklammr vo Y ud X rgib ich darau: b b b X a a a Y. Dividir ma Y durch X, o rgib ich di Übrragugfukio H, wlch da LI- Sym vollädig charakriir a a a b b b X Y H. Im Fall dr Fourir-raformaio i da Vorgh idich, rgib ich au dr Subiuio dr Frqugag H, dr da LI-Sym bfall vollädig bchrib: a a a b b b X Y H. LI-Sym wrd im Bildbrich bchrib durch i komplwrig Quoi au wi Polyom i bw.. Bid Polyom hab rll ud koa Koffii. Für d ifach Fall d RC-Glid au Bild.9 rgib ich mi a b ud a : Übrragugfukio: H Frqugag: H Di Rula i bri au dr kompl Wchlromchik bka. Dor gh um gau dalb: ur Ikaufahm komplr Grö vrmid ma da Lö dr Diffrialglichug. E wurd bri fgll, da ma bi LI-Sym vom pill auf d allgmi Fall chli ka. Für di Symbchribug bu ma darum gr pill fukio, all vora d Diraco δ. Di So ka ma ich al hr chmal abr dafür hr hoh Pul vorll. Phyich i δ ich raliirbar, mahmaich ha δ abr hr ira Eigchaf. Rg ma i LI-Sym mi δ a, o rgib ich i pill Augagigal, ämlich di Soawor h odr Impulawor, Bild.. LI-Sym δ y h Bild. Soawor h al Rakio d LI-Sym auf δ

22 . Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug h bchrib da LI-Sym vollädig, mu darum mi h auch di Rakio d LI- Sym auf i blibig Argug brch wrd kö. aächlich i di möglich, ämlich durch di Falugopraio, di mi dm Symbol * dargll wird, Bild.. Wa di Falugopraio gau mach, wird im Abchi.3. bhadl. y h.3 LI-Sym y h Bild. Rakio y d LI-Sym auf i blibig Eigagigal Di Soawor h bchrib da Sym vollädig, dalb gil auch für di Diffrialglichug, di Übrragugfukio H ud d Frqugag H. Zwich di Grö mu dmach i Zuammhag bh: H i di Laplac-raformir vo h H i di Fourir-raformir vo h Vo H glag ma u H mi dr Subiuio Di Diffrialglichug ud H hab dilb Koffii, vgl.8 ud. Di Laplac- ud di Fourir-raformaio bild Zifukio wi.b. i Bildfukio wi X bw. X ab. All vo il Fukio kö auch ga Glichug raformir wrd. Spär wrd wir h, da au dr Falugopraio im Zibrich i ormal Produkbildug im Bildbrich wird. Au.3 wird dmach: Y H X y h Y H X Lö ma di ach H bw. H auf, o rgib ich dalb wi i. bw... Nu brach wir och di Grüd, whalb di Fourir-raformaio mi all ihr Abkömmlig o blib i für di Sigal- ud Symbchribug. Ei Grud lig dari, da di raformaio i Diffrialglichug.8 i i komplwrig algbraich Glichug.9 übrführ. E gib abr hr vil adr raformaio, di di auch rmöglich. Wa di Fourir-raformaio pill auich i di aach, da da Spkrum i Ewicklug ach harmoich Fukio i. Ma bchrib alo d Sigal al Summ vo Baui dr Form. Mi dr Forml vo Eulr la ich darau auch di Siu- ud Coiu-Fukio uamm. LI-Sym la ich mi Diffrialglichug dr Form.8 bchrib. Ei Diffrialglichug bild i Fukio Eigagigal i i adr Fukio Augagigal y ab. Di Eigfukio ir Diffrialglichug i diig Fukio, di bi dr Abbildug durch di Diffrialglichug ihr Gal ich ädr. Jdr yp vo Diffrialglichug ha i adr Eigfukio..8 i i liar Diffrialglichug ud di hab al Eigfukio di harmoich Schwigug. Di i hr rach gig:

23 Eiführug d d.4 Di höhr Abliug la ich auf.4 urückführ. All Summad i.8 id dmach harmoich mi drlb Frqu, alo i auch di Summ harmoich mi dr glich Frqu. Di i dr Grud, whalb LI-Sym ur auf dig Frqu ragir kö, di auch im Eigagigal vorhad id. Di Fourir- ud di Laplac-raformaio id alo dhalb o blib, wil i auf d Eigfukio dr für di Bchribug vo LI-Sym bu liar Diffrialglichug aufbau. D Fakor i.4 fid ma übrig i. widr. Dami id wir fa am Ed ur Übrblick aglag. Folgd Erki kö fghal wrd: Di Symhori i mahmaich, abrak ud uivrll. Wir bchräk u auf i allrdig chich hr wichig ud häufig Fall, ämlich di LI-Sym. LI-Sym ka ma glichwrig durch i liar Diffrialglichug Zibrich, Soawor Zibrich, Übrragugfukio Bildbrich odr Frqugag Bildbrich bchrib. Zi- ud Bildbrich id urchidlich Brachugwi dlb Sachvrhal. Jd Brachugwi ha ihr Vor- ud Nachil. Am b arbi ma mi bid Varia. Für di digial Sigal ud Sym rgb ich ga ählich Brachug, für di um Glück wighd mi Aalogi garbi wrd ka. Auch digial LI-Sym di hi LD-Sym: liar im-ivaria dicr wrd durch di Soawor Zibrich odr d Frqugag bw. di Übrragugfukio Bildbrich dargll. Im Bildbrich rgb ich widrum Polyomquoi mi rll ud koa Koffii. All dr Laplac-raformaio wird doch di -raformaio bu. Vo ralr Bduug i da Kop d Sigal. Sigal id mahmaich Fukio, di iformaioragd Ei- ud Augaggrö vo Sym bchrib. Spill Sigal ämlich di kaual ud abil Sigal wrd bu ur Bchribug dr Sym, gmi id di bri rwäh Soawor. Di Eigchaf kaual ud abil id ur bi Sym ivoll, ich bi Sigal. Da Soawor i LI-Sym vollädig bchrib, r i llvrrd für di Sym auf. LI-Sym id i ihrr mahmaich Darllug alo ldiglich i Urgrupp dr Sigal. D wir id Filr ich adr al i Urgrupp dr LI-Sym. E loh ich, di Hirarchi ich ädig vor Aug u hal, dami di Qurbihug wich d achfolgd Kapil dck wrd. Di Sigalvrarbiug mi LI-Sym bw. LD-Sym ha wi Aufgab u lö: Syhproblm: Ggb i i gwüch Abbildugfukio. Bimm di Koffii a i ud b i Gl.. odr. d dau gig Sym. Aalyproblm: Ggb i i Sym, charakriir durch i Koffii a i ud b i. Bimm da Vrhal di Sym Frqugag, Soawor, Rakio auf i bimm Eigagigal uw..

24 . Übrich übr di Mhod dr Sigalvrarbiug 3 Bid Aufgab wrd mi Rchrurüug agpack. Dau gib vrchid Sofwarpak, di pill für di Sigalvrarbiug gig id. Dak dr Rchrurüug ud dr graphich Rulaaugab kö umfagrich Aufgabllug rach glö ud di Rula ifach vrifiir wrd. Di Viualiirug rmöglich auch i iuiiv Zugag ur hori. Di Mahmaik wird bu ur Hrliug ud um Vrädi dr hori, da ffkiv Rch gchih ur och auf dm Compur. Für di Sigalvrarbiug i da Syhproblm glö, w di Koffii bka id. Di Sigalvrarbiug bchäfig ich alo ur mi Algorihm, dr auglichki.b. mi MALAB vrifiir wird. Da chich Problm i allrdig r da glö, w di Algorihm implmir id, d.h. auf ir Machi i Echi abgarbi wrd. Di Implmirug wird i dim Buch ur am Rad bhadl. Zur Implmirug i Algorihmu mu auf Fächr wi Elkroik, Schalugchik, Digialchik, Programmir uw. urückggriff wrd. Dau i Bipil: Ei Nachrichchikr böig irgdwo i Badpafilr. Er pifiir di Filr ud übrgib di Aufgab dm Sigalvrarbiug-Spiali. Dir dimioir di Koffii ud übrgib i Rula dm Digialchikr. Dir implmir da Filr, idm r i Prikar mi im DSP digialr Sigalproor wickl, da Programm für d DSP chrib ud da Edrgbi au. E i klar, da ich ubdig dri Pro dami bchäfig id, gauogu ka di auch i iigr uivrllr Igiur auführ. Wlich i, da di äigki Spifiir, Dimioir, Aalyir, Implmir ud Vrifiir grudälich vrchid Aufgab darll, di i dr Prai kombiir aufr. I dim Buch gh primär um di Syh Dimioirug ud di Aaly.

25 4 Aalog Sigal Ei grudlgd Hilfmil für di Bchribug aalogr owi digialr Sigal i di Darllug d Spkrum. Di ig di pkral odr frqumäig Zuammug i Sigal. Da Spkrum i i Sigaldarllug im Frqubrich odr Bildbrich all d urprüglich Zibrich odr Origialbrich. Di bid Darllug id durch i iiduig d.h. umkhrbar mahmaich Abbildug iiadr übrführbar. Di Umkhrbarki bdu, da ich durch di oga raformaio i d Frqubrich dr Iformaioghal i Sigal ich ädr, da Sigal wird ur adr dargll. Häufig i i Sigal im Bildbrich bdud ifachr u irprir ud u barbi al im Zibrich. E gib u vrchid olch raformaio, di Auwahl rfolg ach dm yp d u raformird Sigal. Vorgägig mü wir darum di Sigal klair.. Klairug dr Sigal.. Urchidug koiuirlich - dikr Wi bri bproch, bchräk wir u auf idimioal Sigal ud chrib di al Fukio mi dr Zi al Argum ud im dimiolo Wr. Da owohl di Zi- al auch di Wrach ach d Kriri koiuirlich bw. dikr uril wrd kö, rgb ich vir Sigalar, Bildr. ud.. Koiuirlich bdu, da da Sigal u dm Zipuk dfiir i ud d Sll auf dr Wrach ahm ka. Dfiiio- bw. Wrbrich prch omi dr Mg dr rll Zahl. Quaiir odr dikr hi, da da Sigal ur bimm mi äquidia Sll ihm ka. Ei wrdikr Spaugigal i.b. ur i Schri vo mv ädrbar. Ei idikr odr abga Sigal iir ur u bimm Zipuk,.B. ur auf di voll Millikud. Für di horich Bchribug i di Wrquaiirug mi vo urgordr Bduug. Er bi dr Raliirug vo Sym r durch di Quaiirug Effk auf, di brückichig wrd mü. Dhalb wird i dr Liraur mi mi abga Sigal garbi ud di Ampliudquaiirug w übrhaup para brückichig. Koqurwi mü ma vo idikrr Sigalvrarbiug a digialr Sigalvrarbiug prch, vgl. il vo [Opp95]. Im vorligd Buch wird di Quaiirug r im Abchi 6. bhadl, vorgägig wird abr dm lockr Sprachgbrauch prchd ich gau urchid wich abga idikr ud digial i- ud wrdikr Sigal. Di Aalog-Digial-Wadlug vo Sigal umfa ach Bild. alo wi Quaiirug. Digial Sigal wrd i im Rchr dargll al Zahlrih Squ. Zichrich wrd i al rppkurv odr al Folg vo chmal Pul mi variablr Höh dargll. Da quaiir Sigal i Bild. c i bfall i rppkurv. Dr Urchid um digial Sigal lig dari, da di Wrwchl u blibig Zipuk aufr kö. Di bid Sigal hab darum urchidlich Eigchaf.

26 . Klairug dr Sigal 5 aalog Sigal wrkoiuirlich ikoiuirlich Aba abga Sigal wrkoiuirlich idikr Quaiir Quaiir quaiir Sigal wrdikr ikoiuirlich Aba digial Sigal wrdikr idikr Bild. Klairug dr Sigal ach dm Mrkmal koiuirlich - dikr 5 a aalog Sigal 5 b abga Sigal c quaiir Sigal 5 d digial Sigal Bild. Bipil u d Sigalkla au Bild.

27 6 Aalog Sigal Fall di Quaiirug gügd fi i gügd Aahl Abawr ud gügd fi Auflöug i dr Wrach, o präir ich i digial Sigal i dr rppkurvdarllug dm Brachr wi i aalog Sigal. Urprüglich aalog Sigal kö darum digial dargll ud vrarbi wrd Awdug:.B. Compac Dic. Abga Sigal mi blibig Ampliudwr wrd i dr CCD-chik Charg Coupld Dvic ud i dr SC-chik Swichd Capacior vrwd. Si wrd mahmaich glich bchrib wi di digial Sigal, aur da ki Ampliudquaiirug u brückichig i. I dr hori lig alo dr gro Brock i dr Ziquaiirug, währd di Wrquaiirug ur och i kli Zua darll, dr i dim Buch im Abchi 6. hal i... Urchidug drmiiich - ochaich Dr Vrlauf drmiiichr Sigal i vorhragbar. Si ghorch alo ir Gmäigki,.B. ir mahmaich Forml. Priodich Sigal id drmiiich, d ach Ablauf ir Priod i dr wir Sigalvrlauf bimm. Drmiiich Sigal id of ifach u bchrib ud auch ifach u rug. Di Sigal ibodr priodich wrd darum häufig i dr Mchik ud i dr Symaaly bu. Sochaich Sigal Zufalligal wi i ich vorhragbar Vrlauf auf. Di rchwr ihr Bchribug, ma bhilf ich mi dr Agab vo aiich Kgrö wi Milwr, Effkivwr, Ampliudvrilug uw. Nur Zufalligal kö rägr vo ubkar Iformaio i koa ud priodich Sigal rag ki Iformaio!. Di aach mach di Sigalkla vor allm i dr Nachrichchik wichig. Sörigal ghör häufig auch u dir Sigalkla Rauch. Blib di aiich Kwr i Zufalligal koa, o prich ma vo im aioär Zufalligal...3 Urchidug Ergiigal - Liugigal Ei Spaugigal u güg folgdr Bdigug: u <. Di Aahm dr bchräk Ampliud i ivoll im Hiblick auf di phyich Raliirug. Di Liug, wlch di Sigal i im Widrad R um, bräg: u p u i R Di ormir Liug bih ich auf R Ω ud wird Sigalliug ga. Normir ma uälich da Spaugigal auf V, o wird da Sigal dimiolo. Di Zahlwr dr Momawr blib rhal. Di wifach ormir Sigal wird fora ga. Normir Sigalliug Momawr: p.

28 . Klairug dr Sigal 7 I dir Darllug ka ma ich mhr urchid, ob urprüglich i Spaugodr i Sromigal war. Di Zahlwr wrd idich, fall R Ω bräg. Di Dimio i vrlor, i Dimiokoroll i ich mhr möglich. Di ormir Sigalrgi rgib ich au dr Igraio übr di Zi: Normir Sigalrgi: W p d d.3 Zwi Fäll mü urchid wrd: a W, P < udlich Sigalrgi, dlich milr Sigalliug: Liugigal Wg. bdu di, da übr i udlich lag Abchi dr Ziach iir mu, i i ilich ubgr Sigal. All priodich Sigal ghör i di Kla. Auch ichpriodich Sigal kö ilich ubgr i,.b. Rauch. Wird i ilich ubgr Sigal währd ir bimm Bobachugi B rfa, o ig mi B auch di gm Ergi übr all Schrak. Di Ergi pro Ziihi, alo di Liug, blib doch auf im dlich Wr. Bi vil Sigal wird di Liug ogar mi igdm B auf i koa Wr kovrgir,.b. bi priodich Sigal ud aioär ochaich Sigal. Di Sigal hi darum Liugigal. Di milr Liug brch ich ach Glichug.4. Milr Sigalliug: B P lim d.4 B B B b W <, P : dlich Sigalrgi, vrchwidd Sigalliug: Ergiigal Di Sigal id wdr ilich bgr.b. i Eilpul odr ihr Ampliud klig ab.b. i Auchwigvorgag. Abkligd Ampliud ka dahighd irprir wrd, da ur ir gwi Gr da Sigal gar ich mhr rfa wrd ka, ma prich vo pudoibgr odr rai Sigal. Ewa vrifach ka ma darum ag, da all Ergiigal ilich bgr id. I di Bobachugi B glich dr Eidaur d Sigal, o ig bi wir wachdm B di gm Ergi ich mhr a. Di gmil Ergi pro Ziihi, alo di gmil Liug, fäll doch mi wir wachdm B auf Null ab. Di Sigal hi darum Ergiigal.

29 8 Aalog Sigal Bipil: Di Ergi d Rchckpul i Bild.3 bräg: W τ / A d A τ / τ A -τ/ τ/ Bild.3 Rchckpul al Bipil i Ergiigal ε A τ b- Bipil: Di Ergi d i Bild.4 gig abkligd -Pul räg ε i di Sprugfukio: W ε A d d A τ τ τ d A τ τ A ε A τ Bild.4 Lik: Sprugfukio odr Haviid-Fukio, rch: abkligdr Epoialpul Di Eiilug ach d Kriri priodich, rai ud ochaich rfolg i dr Prai wa willkürlich aufgrud vo Aahm übr d Sigalvrlauf aurhalb dr Bobachugi. Bich ma i Sigal al drmiiich odr aioär, o i di Audruck dr Vrmuug odr Hoffug!, da dr bobach Sigalauchi da gam Sigal vollädig bchrib. Im Gga dau bgüg ma ich bi ochaich Sigal dami, d bobach Sigalauchi ldiglich al Bipil Mur für da Gamigal u bhadl. Mi gügd vil olch Bipil la ich di charakriich Grö d Zufalligal ämlich di aiich Kwr wi Milwr, Sruug uw. chä. Gau brach id priodich Sigal mahmaich Koruk ud phyich gar ich raliirbar. Ei harmoich Sigal Siu- odr Coiufukio mü a vom Urkall bi ur Apokalyp iir. Mahmaich hab abr di harmoich Sigal hr chö

30 . Di Fourir-Rih 9 Eigchaf, auf di ma ich vrich möch. Im mahmaich Modll bu ma i dhalb ro ihrr fhld Raliirbarki ud gi da ifachr Modll. Wir wrd och h, da di Rula rodm hr gu brauchbar id. Spär wrd wir al wir Bipil ir ich raliirbar abr rodm häufig bu Fukio d Diraco δ k lr.. Di Fourir-Rih.. Eiführug Di Fourir-Rih wird al bri bka voraug. I dim Kapil wrd dwg ur di Glichug uammgfa ud im Hiblick auf ihr Vrwdug ur Sigalbchribug irprir. Darau rgb ich vrchid Schribwi für di Fourir- Rih, wovo ich di kompl Noaio al di wiau am b gig Darllug rwi wird. Vorr oll abr iig grll Puk ur Rihwicklug rörr wrd. Dabi wird da Priip dr Orhogoaliä ähr bluch. Daillirr Auführug fid ich i [Höl86] ud [S94]. Ei Rihwicklug i di Darllug ir kompliir Fukio durch di Summ vo ifach Erafukio. Dr Zwck lig dari, da liar mahmaich Umformug Addiio, Diffriaio, Igraio uw. a d Erafukio a a dr Origialfukio augführ wrd kö ach dm Moo: Libr h Mal i ifach Brchug al i iig Mal i kompliir!. Bi dr Brchug vo liar Sym ud di wrd hr häufig brach lä ich aufgrud d wg dr Liariä gülig Suprpoiiog auf hr lga Ar di Rihdarllug d Augagigal au dr Rihdarllug d Eigagigal rhal. Allrdig i i Rihdarllug ur da hilfrich, w di Erafukio lbr ifach id dami wird di mahmaich Bhadlug ifach ud di Paramr dr Erafukio ifach brch wrd kö dadurch lä ich di Rih ifach aufll. Ei Rihdarllug i i Approimaio, di bi udlich vil Rihglidr ak wird, ofr di Rih kovrgir. I dr Prai kö aürlich ur dlich vil Glidr brückichig wrd. Da oll di Approimaio wig im Si d miimal Fhlrquadra rfolg. Fall al Erafukio i Sym orhogoalr Fukio bu wird, o lä ich di Bdigug rfüll. Darübrhiau wrd di Paramr koppl, alo uabhägig voiadr brchbar. Di bdu, da für i gaur Approimaio ifach wir Rihglidr brch wrd kö, oh di Paramr dr bihr bu Glidr modifiir u mü. Ur im Sym orhogoalr Fukio vrh ma i udlich Folg vo Fukio f i, i, wlch di Orhogoaliärlaio rfüll: b für m fm f d.5 K für m a

31 Aalog Sigal Im Fall vo K hi da Sym orhoormir. Ka dr Approimaiofhlr blibig kli gmach wrd, o hi da Orhogoalym vollädig. All Paar vo Siu- ud Coiu- Fukio bild i vollädig Orhogoalym, fall ihr Frqu i gaahlig Vilfach ir gmiam Grudfrqu id. E gib och ahlrich wir Fukiogrupp, di bfall i vollädig Orhogoalym bild,.b. di i/-fukio, Walh-Fukio, Blfukio uw. Nich d Erafukio ig ich glich gu ur Approimaio ir Origialfukio. Ei Siufukio bipilwi ka durch i Porih dargll wrd, dau wrd abr udlich vil Glidr böig. Higg i i Ewicklug i i Fourir-Rih bri mi im iig Glid ak. Ei Rchckfukio doch brauch udlich vil Glidr i dr Fourir-Rih, abr ur i iig i ir Rih vo Walh-Fukio. Di LI-Sym wrd durch Diffrialglichug d yp.8 bchrib, wlch harmoich Fukio al Eigfukio aufwi Eigfukio wrd durch da Sym ich vrrr. Für olch Sym i di Fourir-Rih gradu magchidr. Au dmlb Grud wird.b. i dr Gomri i Quadr wckmäigrwi mi karich Koordia bchrib ud ich wa mi Kuglkoordia. Di Fourir-Rih i udm agpa für di Awdug auf priodich Fukio, wlch häufig i dr chik ig wrd. Ud llich la ich di Fourir-Koffii bqum al Spkrum irprir. Au di Grüd ha di Fourir-Rih ud auch di Fourir-raformaio i dr chik i hrauragd Bduug rlag. Eigchaf dr Fourir-Rih: Ei ig priodich Sigal wird durch di Fourir-Rih blibig gau approimir, di Rih ka abr udlich lag i. Wivil Rihglidr ud omi Koffii owdig id, häg vo d Eigchaf vo ab, ämlich vo d Badbri. Wird di Rih voriig abgbroch dlich Rih, o rgib ich wg dr Orhogoaliä wig i Approimaio ach dm miimal Fhlrquadra. Wi da Sigal Sprugll auf, o ri da og. Gibb'ch Phäom auf: b d Sprugll oillir di Rihumm mi im maimal Übrchwigr vo ca. 9%, a d Sprugll lbr rgib ich dr arihmich Milwr wich lik- ud rchiigm Grwr. Mi dm Gibb'ch Phäom wrd wir u r widr im Zuammhag mi d ravral Digialfilr im Abchi 7..3 hrumchlag. Di Koffii dr Fourir-Rih id ifach u brch ud i id voiadr uabhägig. Di Fourir-Koffii bchrib da Sigal vollädig, formal ih da Sigal abr ga adr au. Di u Form i hr achaulich irprirbar al Spkrum, d.h. al Ivar dr i hal Frqu... Siu- / Coiu-Darllug Ei priodich Fukio mi dr Prioddaur P ka i i Fourir-Rih wickl wrd, Glichug.6. Für di Brchug dr Koffii mu übr i ga Priod vo igrir wrd. E i doch gal, wo dr Sarpuk dr Igraio lig.

32 . Di Fourir-Rih Grudpriod vo i co i co f d k b d k a k b k a a P P k P k k k k P P π.6 Di grad Ail vo bimm di Coiu-Glidr, di ugrad Ail di Siu- Glidr. Vor dm Summaioich dr r Glichug i.6 h grad da arihmich Mil vo. Di prich dm Glichail vo, auch DC-Wr ga DC dirc curr, Glichrom...3 Brag- / Pha-Darllug Di Brag- / Pha-Darllug ka au dr Darllug.6 brch wrd: π ϕ ϕ b a A k A A k k a b k k k k k k k arca co.7 Di Form i äquival ur Darllug.6, i i abr mi achaulichr irprirbar. Ma prich vo im Bragpkrum odr Ampliudpkrum Folg dr A k ud im Phapkrum Folg dr ϕ k. Di Phawikl ϕ k id aufgrud dr Eigchaf dr arca-fukio ich iduig bimmbar. Au d Vorich vo a k ud b k ka ma doch d Quadra für ϕ k aggb. Nu brach wir ur i il harmoich Schwigug mi dr Ampliud Spiwr A ud dr Krifrqu. Mi d Addiiohorm dr Goiomri ka ma chrib: i co i i co co co b a A A A ϕ ϕ ϕ.8 Au dm Koffiivrglich rgb ich grad di Umrchugforml für d Übrgag auf di Siu- / Coiu - Darllug:

33 Aalog Sigal i co k k k k k k A b A a ϕ ϕ.9 Amrkug: Alraiv Form vo.7 vrwd di Siufukio all d Coiu, prchd mü auch di ϕ k modifiir wrd. Dr Voril dabi i dr, da bi Glidr oh Phavrchibug dr Fukiowr für vrchwid. Dami ka i Symargug oh Sprugll ifachr bchrib wrd. Dmggübr ha di Form.7 d Vorug dr gro Ählichki ur Prokio i Zigr auf di rll Ach, wa a di Zigrdiagramm dr allgmi Elkrochik rir...4 Kompl Darllug Ur Vrwdug dr Eulr'ch Forml co wird.8 u: c c A A ϕ ϕ ϕ ϕ *. mi: ϕ ϕ ϕ ϕ A c b a A A c i co *. Ei harmoich Schwigug lä ich dmach gmä. i dr kompl Eb darll al Summ wir kougir komplr Zigr, wobi dr i im Gguhrigri roir Krifrqu ud dr adr im Uhrigri kri Krifrqu. Di Summ dr bid Zigr i rll, da di Koffii c ud c* kougir kompl uiadr id. Ggübr.7 i di Läg dr Zigr halbir. S ma i. für a ud b di Audrück au.6 i, o rgib ich: [ ] P P P k P P d d k k c / / i co. Erwir ma di Umformug vo ir il harmoich Schwigug ach.8 auf i ga Rih ach.7, o rgib ich di Fourir-Rih i komplr Darllug. Dabi wrd di Koffii mi. bimm. P k P k k k k d c c.3

34 . Di Fourir-Rih 3 Da Igraioirvall mu gau i Priod übrrich, dr Saripuk i gal. Di Darllug i kompakr al di bihrig, ibodr fäll di Spialbhadlug d Glichglid a. Dr Haupvoril ig ich abr r bim Übrgag auf di Fourir- raformaio, idm ich dor i fa glicharig Schribwi rgib. Formal ich phyich! r u gaiv Frqu auf, wa für i achaulich Vorllug Schwirigki bri. Ma prich vo wiiig Spkr. Di ig ich vor allm für horich Brachug, währd di iiig Spkr mchich dirk u rfa id lkiv Volmr. Für di Koffii gil: c c k k P P P P k k d d P P P P co k i k * co k i k d c d k Rll Ziigal hab i dr wiiig Darllug i kougir kompl Spkrum, d.h. dr Ralil i grad ud dr Imagiäril i ugrad, dr Ampliudgag i grad ud dr Phagag i ugrad. Di vkorill Summ vo wi mi glichr Frqu, abr mi ivrr Sarpha ud gggm Drhi roird Zigr rgib i rll Grö. Für all Frqu ka dak d kougir kompl Fourir-Koffii i olch Paarug vorgomm wrd, aur für da Glichglid. Lr ha abr bri i rll Wr. Dmufolg mu auch di Summ dr gam Rih rllwrig i, Bild.5. Mahmaich ka di au.3 hrgli wrd: c k k k k c { c k 443 a k Zigr likdrhd * k ck 443 Zigr rchdrhd Im c k R c -k Bild.5 Jd kougir kompl Zigrpaar ummir ich u im rll Zigr

35 4 Aalog Sigal Di Umrchugforml wich d vrchid Darllug lau: a b k k c k c c k k c R c k k Im c Ak ck ck ck c Im c ϕ arg arca k k ck R c k k k.4.6 c c k k c c a a k k k k A k Ak b k b ϕk k ϕk.5.7 All Umrchugforml i gmiam, da ur Koffii dr glich Frqu i komplr Darllug auch dr prchd gaiv Frqu miiadr vrrch wrd. Di ha i Urach i dr Orhogoaliä dr harmoich Fukio. Brach ma ur di Folg dr Koffii, o rgib ich da Fourir-Rih-Spkrum. Di i i dm Fall i Liipkrum, alo i dikr Spkrum. Allgmi gil: Priodich Sigal hab i dikr Spkrum mi dm Liiabad Δf /Prioddaur. Bipil: Da Sigal A i mi π H oll al Fourir-Spkrum i all dri Varia dargll wrd, Bild.6. Da da Sigal harmoich i, komm ur grad i Frqu vor. Mi d Glichug.6 li ich a ud b brch. Wir wi abr cho oh Rchug, da a vrchwid wird, da i ugrad Fukio i. Dmach mu b d Wr A hab. Di Auwrug dr Glichug.6 rgib dalb, wa vom Lr lbr übrprüf wrd ka. Di adr Koffii A, ϕ ud c, c - la ich.b. mi.5 ud.7 brch, wa bi dim rivialbipil doch ich öig i. Bild.6 ig, da i dm Fall wi Graph owdig id, um da Spkrum vollädig darull. Machmal irir ma ich ich für di Pha, i dim Fall güg i dr Bragpkr wi Zil lik odr l Zil lik. Wa würd pair, w a dr Siufukio di Coiufukio dargll würd? Dr Graph vo b k blib lr, dafür würd i Lii im Graph vo a k rchi. Drlb Auauch würd bim kompl Spkrum i dr Ral-/Imagiäril-Darllug afid. Bi d bid Brag-/Phapkr würd higg ur di Pha ädr. Offichlich id di Bragpkr uabhägig vo ir ilich Vrchibug d Sigal, wir wrd di im Abchi.3 och bwi.

36 . Di Fourir-Rih 5 Siu-/Coiu-Darllug: a k b k A Brag/Pha-Darllug: A A k ϕ k -π/ Kompl Darllug Ral- ud Imagiäril: Rc k Α/ Imc k -Α/ Kompl Darllug Brag ud Pha: Α/ c k π/ argc k -π/ Bild.6 Darllugar d Fourir-Rih-Spkrum Koffii dr Siu-Fukio Bipil: Ei priodich Fukio mi Pul dr Bri τ, Höh A ud Priod P oll i i kompl Fourir-Rih wickl wrd, Bild.7.

37 6 Aalog Sigal P τ/ -τ/ A Bild.7 Pulrih al priodich Fukio Mi Glichug.3 rgib ich: [ ] [ ] / / / / / / / / τ τ τ τ τ τ k k P k P k P k P k P k k A k A d A d d c P P P Nu bu wir di Forml vo Eulr: [ ] [ ] / i / i / i / co / i / co τ τ τ τ τ τ k k A k k A k k k k k A c P P k J rfolg och i Umformug auf di Form i/: / / i τ τ τ τ τ k i A k k A c P P k.8 i i di abgkür Schribwi für i/. Irpraio: Da Ziigal i priodich, dhalb i di Frquvariabl dikr Liipkrum. Da Spkrum i rll, da di Zifukio grad i. Dami i da Spkrum abr auch kougir kompl, wa für all rll Zifukio gl mu. Di Evlopp d Spkrum ghorch im i/ - Vrlauf. Di Nullll dr Evlopp lig bi folgd Frqu k wird durch di koiuirlich Variabl r: > ; / / f f τ π π τ π τ E rgb ich alo äquidia Nullll im Abad /τ. J chmalr di Pul, do brir ihr Spkrum! Für d Spialfall τ P / rgib ich di uipolar Rchckfukio. Brückichig ma och, da πf π/ P, o rgib ich au.8:

38 . Di Fourir-Rih 7 A ck i kπ ck A ; k A ; k ugrad π k ; k grad.9 Di Rchckfukio ha ur ugradahlig Harmoich! Di hm mi /k ab k Ordugahl. Di gradahlig Harmoich vrchwid, wil i im Abad / P /τ aufr, i fall darum grad i di Nullll dr Evlopp. Für k rgib ich dr Glichromail u A/. Dau wird folgd Bihug bu: i lim. Subrahir ma vo i Bild.7 di Koa A/, o rgib ich di bipolar, glichromfri Rchckfukio. Im Fourir-Spkrum ädr ich dadurch ldiglich dr Koffii mi dr Ordugahl Null. I dr Prai rch ma di Glichug.3 aürlich möglich ich au, odr bruf ich auf abll i mahmaich Formlammlug. Dabi mu ma ich darübr im klar i, ob di abll di Spiwr odr Effkivwr widrgb Fakor Urchid ud ob da iiig odr da wiiig Spkrum gmi i Fakor...5 Da horm vo Parval für Liugigal Frühr hab wir fghal, da di Spkraldarllug i Sigal glichwrig i wi i Darllug al Zifukio. Da priodich Sigal Liugigal id, hab i i dlich milr Sigalliug, di dmach owohl au dr Zifukio al auch au dm Sorim dr Fourir-Koffii brchbar i mü. Di i di Auag d horm vo Parval. I Alhug a.4 bräg di milr Liug: P P P P d P P d P P * d. Im wi il vo. wurd da Ziigal al komplwrig agomm. Solch Fukio kö durchau i i Fourir-Rih wickl wrd, allrdig i da wiiig Spkrum da ich mhr kougir kompl. Au.3 i richlich, wi ma vo dr Fourir-Rih vo u drig vo * glag: ma di kougir kompl Koffii i ud wchl da Vorich d Epo.

39 8 Aalog Sigal k k c k * * Eig i.: [ ] k k k k k k k P k k k k P c c c d c d c P P P * * * Dami rgib ich di Parvalch Glichug für priodich Sigal: k k P c d P P. Di Glichug ag au, da di Sigalliug im Zibrich idich i mi dr Sigalliug im Frqubrich. I dr mahmaich Vrallgmirug i da horm vo Parval ich adr al di Vollädigkirlaio. Bipil: Wir hm da Sigal au Bild.7, al Bipil τ P / ud brch di Sigalliug im Zibrich mi dm lik il vo.: 4 / 4 / A d A d P P P P P P Im Frqubrich mu ich dilb Liug rgb. Mi dm rch il vo. ud.9 owi dr Symmri dr Koffii rgib ich:? A A A c c c P k k k k π 8? ? π π Di l Rihwicklug lä ich aächlich i d Mahmaikbüchr fid..3 Di Fourir-raformaio F Dir Abchi i wohl dr wichig für da Vrädi d gam Buch. J ach Sigalar priodich - apriodich, koiuirlich - abga bu ma i adr Spkralraformaio, di abr all auf dr Fourir-raformaio bruh. Di achhd abg-

40 .3 Di Fourir-raformaio F 9 li Eigchaf gl i ählichr Form für all raformaio, alo auch für di bri bchrib Fourir-Rih-Koffii owi für di digial Varia..3. Hrliug d Ampliuddichpkrum Auf apriodich Sigal ka ma di Fourir-Rihwicklug ich dirk awd. Ma ka doch al Kugriff i.3 di Priod P gg rb la. Dir Grübrgag i ga, fall abolu igrirbar i, d.h. fall gil: d <.3 Für vil Ergiigal owi für di pär ur Symbchribug bu Impulawor abilr Sym riff di Vorauug u. Für priodich Sigal i di Vorauug ich rfüll, glücklichrwi i.3 hirichd, abr ich owdig, d.h. di Kovrgbdigug.3 i wa u charf formulir. Mi im wir Kugriff, ämlich ur Eia dr bri imal rwäh Diracö, glig auch, priodich Sigal dr Fourir-raformaio u urih. Ei Fourir-Rih-Spkrum d.h. da Sorim dr Koffii i i Liipkrum. Dr Abad dr Lii bräg f / P auf dr Frquach bw. πf auf dr Krifrquach. Mi grör wrddr Prioddaur rück di Spkrallii dmach ähr uamm. Im Grfall P vrchml i u im koiuirlich Spkrum, dm Fourir-Spkrum. Bi dr folgd Hrliug dr Fourir-raformaio, bi dr ur um da Aufig dr Vrwadchaf u d Fourir-Rih-Koffii gh, gh wir au vo dr kompl Darllug dr Fourir-Rih ach.3: c k k P k mi ck P k Nu wir di Koffii ach dr rch Glichug i di Rih i ckig Klammr. Dabi mü wir wg dr Eiduigki di Igraiovariabl umb. Zudm vrchib wir da Igraioirvall um di halb Priodläg: P k τ τ d π k P τ k P k τ τ τ k π d k P Dr Grübrgag P bwirk di Übrgäg d ud k. lim τ π d k τ dτ d d

41 3 Aalog Sigal Di Summaio wird u im uiglich Igral: τ π τ dτ d Dr Audruck i dr ckig Klammr wird al X bich ud para gchrib. Dadurch ka widrum a τ vrwd wrd. X hi Fourir-raformir vo. X d.4 X d.5 π Di bid Glichug ghör u d grudlgd Bihug dr Symhori..4 hi Fourir-raformaio F ud bchrib di Abbildug vom Zibrich Fukio i d Frqubrich Fukio X..5 hi ivr Fourir- raformaio IF ud bchrib di Abbildug vom Frqubrich i d Zibrich. X prich d Fourir-Koffii c k ud i im Allgmi komplwrig. Ei Vrglich vo.4 mi.3 ig di g Vrwadchaf. Fall dimiolo i, o ha X gmä.4 di Dimio Ampliud mal Zi odr Ampliud pro Frqu. E hadl ich alo um i Ampliuddich. I i Spaugigal, o ha X di Dimio V odr V/H. Di i dadurch rklärbar, da i.3 di Fourir-Koffii c k durch d Grübrgag P u Null wrd. Ma brach dhalb ich di vrchwidd Ampliud auf ir Frqu alo c k, odr di dlich Ampliud i im Frquirvall d, alo b di Ampliuddich X. Aalogi au dr Mchaik: wird i Eiag i forwährd dür Schib räg, o rb di Ma ir il Schib gg Null, di Dich blib doch koa. Amrkug : Häufig wird di Fourir-raformaio gmä.4 lbädig dfiir ud ich wi dargll au d Fourir-Rih-Koffii hrgli. Ei ira Varia bchri d umgkhr Wg: aughd vo dr Fourir-raformaio wrd übr di Poio'ch Summforml di Fourir-Rih-Koffii hrgli [Fli9], obwohl hiorich gh di Fourir-Rih ur bka war. Amrkug : Di Schribwi dr Fourir-raformaio i Varia urworf. Of ih ma di Form: πf πf X f d X f df Di Form ha d Voril dr Symmri wich Hi- ud Rückraformaio. Hir wird di aufummir Ampliuddich im Frquirvall df brach, i.4 di aufummir Ampliuddich im Irvall d π. df. Dr Urchid lig ldiglich i ir Koa π, omi i dr Iformaioghal wi auch di Auagkraf bidr Form glich-

42 .3 Di Fourir-raformaio F 3 wrig. Vorilhaf a dr Form.4 i higg, da di Argum dr rigoomrich Fukio dirk ig wrd kö. Wichig i iig, da i Hi- ud daach i Rückraformaio widr auf da urprüglich Sigal führ. Di rgab di Moivaio u ir wir Schribwi, di bid Voril kombiir ud v.a. i dr Phyik gbräuchlich i: X d X d π π I dim Buch wird auchlilich di Darllug ach.4 bu. Amrkug 3: Ma kö gauogu X chrib a X. Di wi Varia gib wa mhr Schribarbi, vrdulich abr di Vrwadchaf ur Laplac-raformaio vgl. pär. Puri mü iglich X chrib, d Spkralfukio id i.a. komplwrig. Bqumlichkihalbr wird abr durchwg auf da Urrich vrich. Di Glichug.4 übrführ i Sigal vom Zibrich i d Frqubrich. ud X bild i og. Korrpod, wofür di ymbolich Schribwi oo X bu wird. Dilb Schribwi wird auch für di Laplac- ud -raformaio gbrauch. Aufgrud dr Argum, odr owi au dm Zuammhag i klar, um wlch raformaio ich hadl. Machmal wird dr Puk auf dr Si d Bildbrich och uälich augfüll. X i i komplwrig Fukio ud ka auf mhrr Ar gchrib wrd, idm wi auch i Bild.6 dr Ralil ud dr Imagiäril odr dr Brag ud di Pha vrwd wrd: X R arg Im X X X X X [ R X ] [ Im X ] arg X Im arca R Im arca R X X X X π für R R X X Bipil: Wi lau da Spkrum d abkligd Epoialpul i Bild.8? > < ε A α A τ /α Bild.8 Kaualr, abkligdr Epoialpul Kopi vo Bild.4 rch, τ Zikoa