Quantenmechanik I. Musterlösung 4.

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1 Quatmchaik I. Mustrlösug 4. Hrbst 011 Prof. Rato Rr Übug 1. Rch mit Kommutator. Dr Kommutator [A, B] AB BA zwir Oprator ist liar i A, B ud atisymmtrisch: [A, B] [B, A]. a Zig di Produktrgl ud di Jacobi-Idtität, [A, BC] [A, B]C + B[A, C] 1 [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] 0. Für di zwi folgd Tilaufgab b ud c glt für di btrachtt Oprator A ud B [A, [A, B]] 0, 3 [B, [A, B]] 0. 4 b Zig, dass c Zig, dass [A, B ] B 1 [A, B], 5 [A, B] A 1 [A, B] 6 A+B A B 1 [A,B]. 7 Dis Glichug ist utr dm Nam Bakr-Campbll-Hausdorff-Forml bkat. Hiwis. Zig, dass ft ta tb di Diffrtialglichug df dt A + B + t[a, B]f rfüllt ud lös dis. d Nu si A, B widr blibig Oprator isbsodr wrd di Bdigug 3,4 icht mhr vorausgstzt für di gilt [A, B] c1 c 0, c C. 8 Zig, dass di Aahm A, B si bid bschräkt, im Widrspruch zu 8 stht. Hiwis. Zig zurst, dass aus 8 B 0 für all N folgt. Btracht dazu d Oprator [A, B ] ud si Norm. Si u x, p wi üblich dr Orts- rspktiv Impulsoprator. Brch [x, p ], [x, p ], [xp, p ] f Si gx, fp i ir Taylor-Rih twicklbar Fuktio. Zig, dass da aus [x, p] i di Oprator-Rlatio [p, gx] i d dx gx ud [x, fp] i d dpfp folg.1 1 A disr Stll soll och auf di vtull twas vrwirrd Vrwdug vo x, p sowohl als Oprator wi auch als Variabl iggag wrd. Gmit ist hir - salopp formulirt - folgds: Das Argumt dr Fuktio f ist pr s mal i Zahl. Lässt sich dis Fuktio i ir Taylor-Rih twickl, da ist f auch als Fuktio is Oprators dfiirt, da wir Oprator addir sowi dr Potz brch kö. Im Trm [x, fp] ist also x i Oprator, fp ist di Fuktio f mit dm Oprator p als Argumt ud somit bfalls i Oprator. 1

2 Lösug. a Kommutator ausschrib. b Bwis pr Iduktio: Für 1 ist di Bhauptug 5 offsichtlich rfüllt. Dr Schritt + 1 ist ggb durch [A, B +1 ] [A, B B] B [A, B] + [A, B ]B B [A, B] + B 1 [A, B]B 9 B [A, B] + B [A, B] + 1B [A, B], 10 womit 5 bwis ist. Dr Bwis dr zwit Bhauptug vrläuft ählich. Für 1 ist dis offsichtlich rfüllt. Dr Iduktiosschritt ist [A +1, B] [A, B]A + [A, B]A [A, B]A + A 1 [A, B]A 11 c Utr Vrwdug ds vorhrig Aufgabtils rhalt wir [ ta, B] A [A, B] + A [A, B] + 1A [A, B]. 1 t [A, B] A 1 t [A, B] tta [A, B] t[a, B] ta. 13 Wir dfiir ft ta tb ud lit ft ach t ab: df dt AtA tb + ta B tb A + ta B ta ft A + B + [A, B]tft. 14 Es gilt f0 1 ud aufgrud vo 3 ud 4 gilt [A + B, [A, B]] 0, ud wir rhalt Für t 1 rhält ma also ft ta+b 1 t [A,B]. 15 A B A+B 1 [A,B], 16 was ach ir Multiplikatio vo rchts mit 1 [A,B] das gwüscht Rsultat rgibt. d Als rsts vrgwissr wir us, dass aus 8 dirkt di Bhauptug 3,4 folg. Wir hab [A, [A, B]] [A, c1] 0 17 ud di aalog Argumtatio gilt für 4. Damit dürf wir di Rsultat 5,6 im Folgd vrwd. Also ächts woll wir Bwis, dass B 0 N. Für 1 btracht wir c c1 [A, B] AB BA AB + BA A B, 18 was im Widrspruch zu B 0 ud A 0 stht. Für d Iduktiosschritt hab wir irsits ud adrrsits [A, B ] B 1 [A, B] B 1 c1 c B 1, 19 I [A, B ] A, B + B A A B A B 1 B. 0 II III Vrglich vo I ud II zusamm mit A 0 zigt d Iduktiosschritt B c B 1. 1 A Damit ist B 0 N bwis ud wir dürf I ud III durch B 1 dividir. Wir rhalt c A B, was im Widrspruch zur Aahm stht, dass A ud B bid bschräkt sid, da blibig gross Wrt ahm ka. Das hisst, dass sich di kaoisch Kommutatorrlatio dr QM icht durch zwi bschräkt Oprator rfüll lass.

3 Wir wiss: [x, p] i, [x, x] [p, p] 0. [x, p ] p[x, p] + [x, p]p i p 3 [x, p ] x[x, p ] + [x, p ]x i xp + px 4 [xp, p ] x [p, p ] +[x, p ]p i p 5 0 f Wir twickl di Fuktio Mit gx g 0 x, fp f 0 p. 6 [p, x ] x[p, x 1 ] i x 1 xx[p, x ] i x i x x 1 [p, x] i 1x 1 i x 1 8 folgt ud aalog [p, gx] g 0 [p, x ] i g 0 x 1 i d gx, 9 dx [x, fp] i d fp. 30 dp Übug. Trasfrmatrix Formalismus. I disr Aufgab wird gzigt, wi di bhadlt idimsioal Pottialstuf aus Kapitl 3.3 im Skript zu im ützlich Formalismus zur Btrachtug allgmir, stückwis sttigr Pottial rwitrt wrd ka. Wir wrd sh, dass sich di Propagatio is Tilchs durch i solchs Pottial mit ifachr Matrizmultiplikatio dr komplx Amplitud bschrib lässt. Zurst btracht wir ochmals i Tilch dr Ergi E a ir Pottialstuf, V x { V1 falls x < 0 V falls x 0, 31 mit V 1 < V sih Skizz. Skizz zur Pottialstuf für d Fall V 1 > E > V. Wir stz di Wllfuktio liks ud rchts dr Pottialstuf folgdrmass a: ψx { a λ 1 x + b λ 1x falls x < 0 A λx + B λ x falls x 0, 3 wobi wir gsh hab, dass λ i rll odr komplx Wrt aimmt, j achdm ob E < V i odr E > V i gilt. 3

4 a Di Amplitud a, b häg liar vo d Amplitud A, B ab, a A M, 33 b B wobi M M, C. Butz di üblich Sttigkitsbdigug a dr Sprugstll um di Koffizit vo M für di Fäll E < V 1, V 1 < E < V ud V < E zu bstimm. b Si u V 1 > V. Gib widrum di Koffizit vo M für di gat 3 Fäll a. c Nu fhl och di Matriz, wlch di Propagatio im kostat Pottial zwisch d Sprugstll bschrib. Wir btracht i übr i Strck w kostats Pottial V sih Skizz. Wi laut di Amplitud a, b i Abhägigkit vo A, B? Utrschid di Fäll E > V ud E < V. Skizz zur Propagatio im kostat Pottial, dargstllt für d Fall E > V. d Zultzt wrd wir d Formalismus och a im kokrt Problm awd. Eim Tilch dr Mass m mit Ergi E wird i Sri vo Pottialbarrir dr Höh V E i d Wg gstllt. Ei izl Barrir hat di Brit w π/ me ud dr Abstad zwisch d Barrir btrag bfalls w. Wi vil Barrir muss ma dm Tilch i d Wg stll, damit di Wahrschilichkit ir Trasmissio wigr als 10 6 bträgt? Hiwis. Für dis Tilaufgab ka gigt Computrsoftwar igstzt wrd. Lösug. Wir dfiir k i me V i/ für Brich mit E > V i ud α i mv i E/ für E < V i. Aus dr Sttigkit vo ψ, dψ folg dirkt i Glichugssystm für di Amplitud. Di Koffizitmatriz für di izl Fäll laut wi dx folgt: a E < V 1 < V : α α 34 V 1 < E < V : iα 1 iα 1 iα iα 35 V 1 < V < E: 36 b Ebso rhält ma für E < V < V 1: α α 37 4

5 V < E < V 1: V < V 1 < E: i i i i c Ei Vrschibug dr Wllfuktio um w i gativ x-richtug rgibt für E < V αw 0 M 0 αw ud für E > V ikw 0 M 0 ikw. 41 d Da V E hab wir k α me/. Wir brch zurst di Trasfrmatrix durch i Barrir: a b ikw 0 1 i 1 i 0 ikw 1 i i fri Propagatio Stuf hoch kw i i 0 kw i 1 i xp. Abfall Stuf rutr Matrixmultiplikatio ud ausrch vo kw π rgibt somit a cosh π i sih π A b i sih π cosh π B :M B A B ud für solchr Pottial aiadrgriht lautt di Trasfrmatrix somit MB. Zum Brch dr -t Potz vo M B ka u twdr tsprchd Softwar vrwdt, odr abr di Diagoalisirbarkit vo M B ausgutzt wrd. Ma fidt di Eigwrt λ 1 cosh π + sih π ud λ cosh π sih π zu d Eigvktor Daraus folgt v 1 i 1 MB λ T λ 1, v i T 1 i 1, T 1 i Somit rhalt wir für d Fall, dass vo rchts ki ilaufd Wll auf di Hidriss auftrifft, a i 1 λ i 1 A b 1 i 0 λ 1 Aλ Aλ 1 i 0 iaλ 1 iaλ. 46 Di Trasmissioswahrschilichkit rgibt sich also zu T A a 1 cosh π + sih π + 1 cosh π sih π. 47 Ei Log-Plot vo T zigt, dass scho für 3 Barrir di Trasmissioswahrschilichkit klir als 10 6 ist. Log-Plot dr Trasmissioswahrschilichkit als Fuktio vo. 5