Lsöungen Eigenschaften der Fourier-Transformation Mathematik 4 MST, Blatt 4

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1 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 grabwski@htw-saarlad.d Zu Aufgab aus! Füll Si di bigfügt Tabll zur FR ud zum FI vllstädig zum FI Sih Ahag! Zu Aufgab Ord Si jdr dr Fukti i a) bis d) das zughörig Spktrum zu! Fukti: für < x π a) f ( x), f(x) f(x+kp) für k œz für π < x π b) für π / < x π / f ( x), f(x) f(x+kp) für k œz für π / < x 3/ π c) f ( x),5 + cs(ω x) d) f ( x) Ax für < x ud f(x) f(x+k) für k œz a) puktsymm. h Offst <-> C) b) achssymm. Offst --> a <-> B) c) ist sch di FR, hat ur i Spktrallii für a-kffizit : <-> A) d) <->D) Zu Aufgab 3 jwt Wir vrwd di Symblik f(t) F(, w F( w) π ghörd Spktralfukti ist. di zu f(t) Bwis Si flgd Eigschaft dr Furir-Trasfrmati f(t) F( :

2 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 a) Liaritätssatz grabwski@htw-saarlad.d a,b R gilt: W f(t) F(w) ud f(t) F(w), s gilt: f(t)a f(t) + bf(t) F(w) af(w) + bf(w) Bwis: Si f(t)a f(t) + bf(t). Da gilt ach Dfiiti dr Spktralfukti: F( f t af t + bf t π ( ) π ( ( ) ( )) Liarität ds Itgrals [ a π + b f ] af(w) + bf(w) q..d b) Dämpfugsatz (Dämpfug im Zitbrich bwirkt Vrschibug im Frquzbrich) at a R, a > gilt: W f(t) F(w), s gilt: е F( w ja) Bwis: Es gilt laut Dfiiti dr Spktralfukti: at G( π g π ( ) π a (j ω + )t f(t) j π f(t) π f(t) (j ω ja)t (a + jt F( ω ja) qd. c) Vrschibugssatz im Zitbrich (Vrschibug im Zitbrich bwirkt Dämpfug im Frquzbrich) jwa R, a > f t a F( w) a gilt: f(t) F(w) ( ) Bwis: Es gilt laut Dfiiti dr Spktralfukti: G( π g π f ( t t ) Substituti: ut-t du t:, dmzuflg u:. Mit disr Substituti rhalt wir :

3 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 G( π f j t ω F( ω ) t t f ( u) ( ) π ( j ω u t ) du grabwski@htw-saarlad.d j ωt π jωu f ( u) du qd. Zu Aufgab 4 falls t Di Fukti u bzicht ma als Havisid-Fukti. falls t < Si wird vrwdt, um Eischaltvrgäg (Stärk ud Daur is Sigals) zu bschrib. u(t-a) ist di ach rchts um a vrschb Havisid-Fukti: falls t a u( t a). falls t < a a) Stll Si di Fukti f(t) u(t-) grafisch dar! b) Stll Si di Fukti f(t) u(t) + u(t-) u(t-) grafisch dar! c) Wi lautt di Fuktisglichug dr i Abb. a dargstllt Fukti f (t)? d) Wi lautt di Fuktisglichug dr i Abb. b dargstllt Fukti f (t)? Abba. Abbb. f falls falls falls sst t < t < t < 4 a t < a f sst ) Brch Si utr Vrwdug ds Liaritätssatzs di Furirtrasfrmirt dr bid Fukti f(t) ud f(t) utr Vrwdug dr Furir-Trasfrmirt dr Havisid-Fukti ud dr Eigschaft dr Furir-Trasfrmati! 3

4 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 Zu a) ud b) grabwski@htw-saarlad.d Zu c) ud d) Darstllug: f (t) u(t) + u(t-) -3u(t-) + u(t-4) f (t) u(t-a) u(t-a) Brch Si di Furirtrasfrmirt disr Fukti utr Vrwdug dr Furir- Trasfrmirt dr Havisid-Fukti ud dr Eigschaft dr Furir-Trasfrmati! Zu ) Lösug: Zu f(t): f(t)u(t)+u(t-) u(t-). Daraus flgt wg () Liaritätssatz ud () u(t-a) jωa U ( dass gilt: f(t) F( j πω jωa j jω jω ( + ) πω Zu f(t): f (t) u(t-a) u(t-a) Daraus flgt wg () Liaritätssatz ud () u(t-a) jωa U ( dass gilt: f(t) F( j πω jωa j jωa jω a ( + ) πω 4

5 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 Zu Aufgab 5 grabwski@htw-saarlad.d Es si flgd Furir-Trasfrmati bkat (wr s icht glaubt, muss s slbst achprüf): si( at) F ( ω ) [ u( ω + a) u( ω a)] (u( ist di Havisid-Fukti) t bt t f ) sst ( b ω F ( j (b>) π b + ω b + ω Gb Si utr Vrwdug dr Sätz aus Aufgab 3) di Furir-Trasfrmirt F( flgdr Fukti a: a) 3f (t) b) ( b+ ) t, t, sst c) 4si( at 3a) t 3 Lösug : Zu a) 3f(t ) 3 3 b ω F ( j ) π b + ω b + ω Liaritätssatz ( b+ ) t, t Zu b) t f, sst F ( ω j) π b + j( ω j) π ( b + ) + jω Dämpfugssatz Zu c) 4si( at 3a) t 3 4si( a( t 3)) t 3 f (t 3) jω3 Vrschibugssatz F ( jω3 ( u( ω + a) u( ω a)) Ahag : Tabll zu Aufgab 5

6 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 grabwski@htw-saarlad.d Eigschaft Furir-Rih Furir-Itgral Vrausstzug für π ) f(t) ist icht pridisch, Existz ud Eidutigkit ) f(t) ist pridisch, Prid T, ω ds Spktrums ω Grudfrquz, ud ) f(t) rfüllt di Dirichlt-Bdigug D ud D ) f(t) ist abslut itgrirbar: d.h. < Zrlgug v f(t) i Schwigug (kmplx) Di kmplx Amplitud, bzw. das kmplx Spktrum jωt c, c kmplx Amplitud dr Schwigug mit dr Frquz ω. (D.h., i di Schwigugszrlgug gh ur gazzahlig Vilfach dr Grudfrquz i). Als Spktrum wrd di kmplx Amplitud c bzicht. Es ist: jωt F( F( kmplx Amplitud zur Schwigug mit dr Frquz ω (D.h. i di Schwigugszrlgug gh all rll Frquz i!) F( wird als Spktralfukti bzicht. c T j ω t ( T ) für Z F( π I NF ist: c R(c ) + jim(c ) j () I EF ist: c c ϕ c hißt Amplitudspktrum ϕ() hißt Phasspktrum I NF: F( R(F() + j Im(F() jϕ ( I EF: F ( F( F ( Amplitudspktrum ϕ ( Phasspktrum 6

7 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 Di grafisch Darstllug ds Amplitudspktrums lifrt i Liispktrum : grabwski@htw-saarlad.d Di grafisch Darstllug ds Amplitudspktrums (ud Phasspktrums) lifrt i ktiurlich Fukti: Jdr Strich a dr Stll stllt di (rll) Amplitud dr Schwigug zur Frquz ω dar. Eigschaft ds Spktrums Es gilt: * ) c c ud daraus flgt: ) c c (D.h. das Amplitudspktrum ist achssymmtrisch). Es gilt: ) F*( F(- ) F( F(- Ampl.Spktrum ist achssym. 3) R(F() R(F(-) Raltil ist achssymm. 4) Im(F() - Im(F(-) Immag.til puktsymm. Rll Frm dr Furir- a Zrlgug, + [ a wbi: cs( ω t) + b si( ω t)] wbi: A( cs( + B( si( dω 7

8 Lsöug Eigschaft dr Furir-Trasfrmati Mathmatik 4 MST, Blatt 4 a c T ( T ) grabwski@htw-saarlad.d (Offst dr Glichspaugsatil dr Schwrpuktlii a R( c ) cs( ωt) T b Im( c ) T ( T ) ( T ) di rll Amplitud sid. si( ω t) Wir rhalt das rll Liispktrum: A( R( F( ) B( Im( F( ) di rll Amplitud sid. Wir rhalt das rll Spktrum: A(w) achssymm., B(w) puktsymm. Auswirkug v Symmtriigschaft v f(t) f(t) achssymmtrisch ---> b f(t) puktsymmtrisch ---> a f(t) achssymm. --> A( cs( dω f(t) puktsymmm.---> B( si( dω 8