Digitale Signalverarbeitung

Transkript

1 Tchisch Uivrsität Brli Fakultät V Vrkhrs- ud Maschisystm FG Tchisch Akustik Prof. Dr.-Ig Michal Mösr Digital Sigalvrarbitug Brli

2 Ihaltsvrzichis Sit Vorwort. Eilitug. Liar Systm 3. Dr Ivariazsatz 7.3 Harmoisch Zrlgug priodischr Sigal ( FOURIER -Rih).4 FOURIER-Trasformatio 8.5 Sätz übr di FOURIER-Trasformatio.6 Ei Bispil: dr ifach Rsoator 5. Abtastfolg 3. FOURIER-Trasformatio vo Zahlfolg 3. Eigschaft dr FOURIER-Trasformatio vo Folg 33.3 Das Abtastthorm 37.4 Sigalmodll Eimaligs Sigalmodll Diskrt Spktr Diskrtisirug ds Rchtckfstr-Spktrums 5.5 Praktisch Rchtchik Skalirug, Amplitudspktrum Schll FOURIER-Trasformatio (FFT) Fstr ud Gwichtug Das HAIG-Fstr 6 3. Di Hrstllug vo Gwichtsfolg Di Vrwdug statioärr Zufalssprozss als Msssigal 74

3 Vorwort Dis Vorlsug dit (fast ausschlißlich) im shr praktisch Zwck: si möcht d Hörr i di Lag vrstz, i hut isbsodr aus dr Tchisch Akustik icht mhr wgzudkd Mssirichtug - d sogat FFT-Aalysator - zu vrsth. Diss Vrstädis soll sowit vrtift wrd, dass di Hörr am Ed i dr Lag sid, ihr PC slbst zu im solch Aalysator auszurüst ud zu programmir. Adrrsits bdutt dis kokrt Aufgabstllug glichzitig auch d Vrzicht auf gaz Tilgbit dr Sigalvrarbitug wi di z-trasformatio ud d Filtrtwurf, um ur zwi Bispil zu. Grudsätzlich ist "Digital Sigalvrarbitug" i spzillr Zwig dr agwadt Mathmatik, das trifft dshalb atürlich auch für dis Lhrvrastaltug zu. Tatsächlich vrsucht dr scho agsproch FFT-Aalysator igtlich ur wig mhr als i ggb Fuktio (z.b. i gmssr Zitvrlauf) i i Fuktiorih zu zrlg. Wir wrd di Vorlsug damit bgi, di ützlichkit disr a sich ja ri abstrakt, shr mathmatisch Aufgabstllug für das Vrstädis akustischr Übrtragr zu schildr. Daach wd wir us dr "praktisch Rchrtchik" zu: wir müss d rhalt Formlapparat so umstz, dass r vo im Digitalrchr auch bwältigt wrd ka. Dis Lhrvrastaltug ght also ir shr spzill mathmatisch ud rchtchisch Fragstllug ach: dr rchrgstützt Zrlgug is (z.b. durch Mssug ggb) Spaugs-Zit-Vrlaufs i harmoisch Bstadtil. D Kr usrr Btrachtug bild di bid dabi auftrtd Problm:. Dr Rchr hat i "bschräkts Blickfld", r ka ur i gwiss zitlich Ausschitt aus dm u.u. shr lag Sigal praktisch auch "bhalt".. Dr Rchr "blizlt" fortwährd. aturgmäß ka r d ja igtlich kotiuirlich Fuktiosvrlauf ur zu diskrt Zit i Stützstll rfass. Wir wrd us mit d Kosquz disr Problm bschäftig ud (iig) Kozpt klr, wi ma di achtil abmildr bzw. maipulir ka. Kurz gfasst köt ma sag, dass sich dis Vorlsug mit digital dr Darstllug ir Fuktio durch i spzill Rih "utr imprfkt Umstäd" bfasst.

4 . Eilitug Di (digital) Sigalvrarbitug hat hut i so vil Brich i hoh Stllwrt rlagt, dass Bispil wi "Sprachvrarbitug, Wrkstoffprüfug, Mdizitchik" fast baal wirk. Wir woll dshalb ilitd mit ir i vil igiurwissschaftlich Diszipli vorkommd Fragstllug bgi: dr Btrachtug vo (ifach) liar Übrtragr. Für di Akustik sid solch "liar Systm" zum Bispil Lautsprchr, Mikrofo, adr Wadlr, Schall - Lauf - Strck, schwigd Struktur ud vils mhr. Bi all dis "Systm" itrssirt umittlbar di zitlich Raktio y (t) - z.b. i Schalldruck vor im Lautsprchr -, di durch i Argug x(t) - z.b. di aligd Spaug - hrvorgruf wird. Symbolisch kzicht ma dis Pfad aus Ursach ud Wirkug durch i Block-Bild mit im Eigag x(t) ud im Ausgag y(t): x(t) Systm y(t) Dabi blibt s ltztlich fri, auf wlch Wis Eigag ud Ausgag durch physikalisch Größ dfiirt wrd. Im Fall ds Lautsprchrs hätt ma zum Bispil Strom ud Mmbraschll butz kö. Ma wird di Wahl wohl sivoll so vorhm, dass dr jwilig Si dr Btrachtug vrüftig widrggb wird. Utr im "liar Systm" woll wir u i solch Übrtragr vrsth, für d das Prizip dr ugstört Übrlagrug gilt. W also das Systm auf i Eigag x (t) mit y (t) ragirt x (t) y (t) ud bso dr Zusammhag x (t) y (t) gilt, da soll auch jd Liarkombiatio dr Eigäg zu dr glich Liarkombiatio dr Ausgäg führ: ax (t) + bx (t) ay (t) + by (t). Diss "Suprpositiosprizip" ist völlig glichbdutd mit dm Bgriff "Liarität". Oft schit s us slbstvrstädlich zu si: addir wir zum Bispil Kräft, auch vrschid Zitvrlaufs, di auf i Bigschwigr wirk, da wrd wir zu rcht rwart, dass sich di Stabbschluigug aus dr Summ dr Tilraktio zusammstz. I dr Physik dr Schallwllausbritug rstz wir das Wort "liar"

5 3 durch "Itrfrz" ud mi i ud dasslb. Wir dürf also oft, abr icht immr für di Bschribug dr Wirklichkit Liarität vorausstz. Ei Ggbispil sid Fdr mit gkrümmt Klii. Allgmir wird ma bi groß Amplitud ichtliarität rwart. Dis gilt auch für Luftschall mit dr (schwach) gkrümmt Adiabatklii (sih VL "Thortisch Akustik").. Liar Systm W ma zuächst vo im "Stadpukt oh witr Vorktiss" ausght, so ist s wohl ahligd, i liars Systm ifach durch Bstimmug dr Zitvrläuf vo Eigag ud Ausgag zu bschrib ud zu charaktrisir. u wrd sich für vrschid Eigagsfuktio x(t) atürlich auch utrschidlich Ausgagsfuktio y(t) istll, wobi di Bzihug zwisch x(t) ud y(t) twas "Systmtypischs" widrspiglt. Ma wird sich frag, wi ma aus dr Vilfalt wählbarr Eigagsfuktio x(t) i spzill Eigagsfuktio so hraussucht, dass di daraufhi vorligd Ausgagsfuktio i bsodrs gutr Rprästat für das Systm ist. Isbsodr ist s sivoll, i Eigagsfuktio x(t) so zu wähl, dass aus dm zughörig Ausgag y(t) das Systmvrhalt auch für all adr ur dkbar Eigagsvrläuf brcht wrd ka. Wi das folgd zigt, ist dis Fordrug grad da rfüllt, w als "ausgzicht" Eigagsfuktio i (idal kurzr) Impuls butzt wird. Um di Bdutug diss Impulss hrauszuarbit, müss wir zuächst i xakt Dfiitio agb. Mathmatisch bschrib wird r als "Dlta-Fuktio" odr "Dirac-Fuktio" δ(t). Si bsitzt außr a dr Stll t übrall d Wrt ull, δ(t ), i t ist di Dlta-Fuktio "udlich groß" drart, dass di Fläch utr dr Kurv glich ist: b δ(t)dt ; a,b > (.) a

6 4 (a >, b > ). Wi ma siht, ist di Dlta-Fuktio ki Fuktio im "gwöhlich Si", ma bzicht si dshalb auch als Sodrfuktio. Wir kö si (zum Bispil) als Grzfall dr i Bild. dargstllt Rchtckfuktio r T (t) auffass: ( t) lim r ( t) δ (.) T T Dr für usr Zwck dr Systmbschribug wichtig utz dr Dirac-Fuktio δ(t) bstht u dari, dass ma blibig Fuktiosvrläuf f(t) durch i Summ (gaur: i Itgral) vo Dlta-Fuktio darstll ka. Tatsächlich kö wir ja i Fuktiosvrlauf f(t) zuächst durch i Trppvrlauf f T (t) aähr wi i Bild. dmostrirt.

7 5 f(t) wird so durch i Summ vo Rchtckfuktio approximirt: T ( t) f ( T) r ( t T) T f (.3) T Bild wir d Grzübrgag T, so gh di "diskrt Stützstll" T a dr Fuktio f(t) i i kotiuirlich Variabl übr, di wir mit τ bzich woll: T τ. Glichzitig wird aus dm Abstad T dr Stützstll das ifiitsimal Itgratioslmt dτ. Es ist also f ( t) lim f ( t) f ( τ) δ( t τ) dτ T T (.4) Di Eigschaft (.4) dr Dlta-Fuktio hätt wir atürlich auch aus dr Aschauug gwi kö: di Dlta-Fuktio im Itgrad "bwrtt" d Fuktiosvrlauf f(τ) übrall mit ull, außr im izig Pukt τ t. I dism Pukt - dm Grzfall is mit T immr klir wrdd Itrvalls - dürf wir abr f(τ) als kostat ash, s ist also ( τ) δ ( t τ) dτ f ( t) δ( t τ) dτ f ( t) f. (.5) Di - villicht twas formal - Ablitug übr di Aährug durch i Trppfuktio zigt us jdoch d Ihalt dr Btrachtug klarr a: wir kö i jd zitlich Vrlauf darstll durch i Summ glichartigr, ur ggiadr vrzögrtr schmalr Impuls, di im Grzfall "adlförmig" Dltafuktio wrd, wobi di Summ i di Summatio ifiitsimal klir Größ - i Itgral - übrght. Es ligt wohl auf dr Had, dass dis Eigschaft für di us itrssird liar Systm shr utzbrigd ist. K wir ämlich di Atwort h T (t) ds Systms auf i izl Impuls Eigag r T (t) Ausgag h T (t) da kö wir wg ds Suprpositiosprizips di Ausgagsfuktio für i Trppfuktio als Eigag bstimm. Si stzt sich ach (.3) zusamm aus zitvrzögrt Impulsatwort, di och mit d "Kostat" Vrstärkugsfaktor f( T) T zu multiplizir sid: y T ( t) x( T) T h ( t T) T

8 6 Im Grzfall T ist offsichtlich ( t) x( τ) h ( t τ) dτ y (.6) Ma zigt licht, dass sich.6. auch auf di Form brig lässt. ( t) x ( t τ) h ( τ) dτ y (.6 a) Wir hab damit i idutig Systmcharaktrisirug gfud, w ur di Atwort is liar Systms h(t) auf i argd Dlta-Impuls δ(t) bkat ist. Eigag δ (t) Ausgag h (t), da kö wir di Systm-Raktio für jd blibig Eigag ach (.6) brch. Di sog. "Impuls-Atwort" h(t) stllt also i vollstädig Systm-Bschribug dar. Gl. (.6) wird oft als "Faltugsitgral", di tsprchd Opratiosktt als "Faltug" bzicht. Ma sagt kurz: dr Ausgag y(t) ist glich dr Faltug ds Eigags x(t) mit dr Impulsatwort h(t). Dr am stammt ldiglich davo hr, dass h(τ) zur Bildug ds Itgrad i (.6) a dr Stll τ t "umgklappt" wrd muss (aufgzicht auf i Blatt wär diss zu falt). Als Opratiossymbol für di Faltug wird häufig das Zich * butzt. Ma schribt y ( t) x ( τ) h ( t τ) dτ ( x h) ( t) Zum Abschluss si och rwäht, dass ma zum Faltugsitgral.6 auch dirkt oh d mhr aus didaktisch Erwägug bvorzugt "Umwg" übr di Zrlgug vo Fuktio i Trppgstalt hätt glag kö. I dr Tat gügt s völlig, Liarität ud Zitivariaz dr Übrtragug vorauszustz. Si also mit L di liar Opratio "Abbildug ds Eigags x auf d Ausgag y" bzicht: ( t) L{ x ( t) } y ach.5 ist da auch y ( t) L x( τ) δ ( t τ) dτ

9 7 odr, da L ud di Itgratio bid liar Opratio sid y ( t) x( τ) L{ δ ( t τ) } dτ Wg dr vorausgstzt Zitivariaz ist L { δ (t τ) } h(t τ) ach Dfiitio dr Impulsatwort h, so dass ma bfalls.6 als Ergbis rhält.. Dr Ivariazsatz Im vorig Abschitt hab wir gsh, dass di Impulsatwort h(t) i kompltt Systmbschribug bihaltt. Obwohl wir mit dm Faltugsitgral.6 ud dr Impulsatwort h(t) übr i Wrkzug vrfüg, das us immrhi di Bstimmug is Ausgags y(t) zu im ggb Eigag x(t) rlaubt, ist h(t) i rcht uübrsichtlich Schribwis ds Systmvrhalts. Es dürft zimlich schwr fall, oh Brchug vo (vil?) Faltugsitgral für tsprchd Eigäg x(t) das "Systmtypisch" ds Übrtragrs "auf i Blick" aus h(t) hrauszuls. Wir sid ja aus vil Btrachtug (auch) i dr Akustik brits gwöht, i Frquzgäg - ri Tö bzw. Zusammstzug aus ri Tö - zu dk. Offsichtlich muss auch durch das Wrkzug dr Zrlgug vo Sigal i "toal Atil" i Systmbschribug möglich si, di darübr hiaus d Vortil größrr Aschaulichkit ud Übrsichtlichkit bitt. Dr tifr Grud dafür, dass zitlich sius-förmig Zitvrläuf bvorzugt für di Bschribug ds Vrhalts vo Übrtragr butzt wrd, bstht ifach dari, dass solch Zitfuktio stts UVERZERRT übrtrag wrd. Mit adr Wort: ligt am Eigag is liar ud zitivariat Systms i Argug x(t)x cos ω t vor, da ωt + ϕ. bstht dr Systmausgag STETS bfalls i dr glich Sigalform y(t)y cos ( ) Ma ka das umittlbar ud allgmi mit Hilf ds Faltugsitgrals.6 zig. Ist ämlich x(t) R { j t } x ω (.7) (di Ktis vo komplx Zahl ud dr Vortil dr Zigrschribwis wird hir vorausgstzt), da folgt aus.6a

10 8 jωt jωτ y(t) R x h( τ) dτ jωt R H( ω)x (.8) mit H( ω) jωτ h( τ) dτ (.8a) uabhägig vo t. Glichug.8 bsagt, dass JEDES liar ud zitivariat Systm auf i Eigag i Form is ri Tos auch am Ausgag mit im ri To ragirt. Ldiglich ka das Systm di Phas ds Ausgags ggübr dm Eigag vrschib ud di Amplitud bi dr Übrtragug vrädr. Dis bid Möglichkit sid dr komplx Zahl H H H jϕ (.9) zusammgfasst. Es ist villicht übrflüssig, darauf hizuwis, dass dis Tatsach allgmi ur für ri Tö zutrifft. All adr Eigagssigal kö bi dr Übrtragug i ihrr Sigalform vrädrt wrd. Ma dk ur a das achschwig ir schwach gdämpft Struktur (z.b. ir Gitarr- odr Klavirsit) ach kurzr Stoßargug: dr Auskligvorgag hat zitlich gar ki Ählichkit mit dr Argfuktio mhr. Als i Bispil für vil mag Bild.3 hrhalt. Es zigt d Zitvrlauf dr Schwigugsgschwidigkit is mit im kurz Schlag ( Dlta-Fuktio) zu Bigschwigug agrgt Stabs a ir gwiss Stabstll (thortisch grcht für i shr lag Stab). Di agrgt Dlta- Fuktio ist stark "vrzog" ud icht mhr zu rk.

11 9 Ei witrs Bispil bstht i im schmalbadig Filtr, vo dm wir wohl rwart dürf, dass was aus im BELIEBIGE Eigagssigal i ri To hrausfiltrt ud so d Systmigag i dr Sigalform sogar rhblich vrädrt. Im Grud bziht sich di Thori (ud di Praxis) dr spktral Fourrir-Zrlgug vo Sigal ihr Motivatio aus dm ob rläutrt "Ivariazprizip" a liar, zitivariat Übrtragr bzüglich harmoischr Fuktio (wi ri Tö dr Gstalt.7 auch gat wrd). Gligt s ämlich, i blibig Eigag x(t) durch i Summ vo harmoisch Fuktio mit utrschidlich Frquz darzustll, z.b. x(t) x i jω it i (.) da ist das Übrtragugsproblm glöst, w ur di vom Systm izig bwirkbar komplx Vrstärkug H(ω i ) für di Frquz ω i bkat ist: y(t) y i jw it H (ω i ) x i jω it i i (.) Ma t H(ω), mit vrädrlich gdachtr Frquz, di komplx Übrtragugsfuktio. Si stllt offsichtlich i bso kompltt Systmbschribug dar wi di Impulsatwort h(t). W s ur möglich ist, blibig, ggb Sigal wi i. i harmoisch

12 Fuktio zu zrlg, da rmöglicht us di Übrtragugsfuktio H(ω) di Brchug dr Systmatwort aus.. Wir sid damit auf i mathmatisch Aufgabstllug gstoß, di us für di Btrachtug vo Übrtragugsvorgäg als utzbrigd rschit: wi muss ma - aalog zur i. ausgdrückt Absicht - vrfahr, um i Sigal i harmoisch Bstadtil zu zrlg, wi ist di gau Rchvorschrift, um s aus dis widr zusammzustz? Wi dr folgd Abschitt zigt, sid dis Btrachtug vrglichswis ifach, w wir us zuächst auf priodisch Sigal f(t) f(t + m T) mit ir Priod T bschräk. Dr Grud dafür bstht ifach dari, dass i im priodisch Sigal ur solch harmoisch Atil vorkomm kö, dr Prioddaur T gazzahlig i dr Sigalpriod T thalt sid: T T. Für di Frquz hißt das ω ω. T Es komm also ur Vilfach dr Sigalfrquz für di harmoisch Bstadtil i Frag: Wir rhalt also i Asatz für das Sigal, dr ur diskrt Frquz thält. Wir wrd da im Aschluss a di Btrachtug priodischr Vorgäg vo d dort gfud Ergbiss ausghd d Fall immr witr gstigrtr Prioddaur btracht. Wir rhalt da als Grzfall T auch di Möglichkit, blibig "imalig" Vorgäg izubzih..3 Harmoisch Zrlgug priodischr Sigal ("FOURIER"-Rih) Als Igiur ud aturwissschaftlr sid wir gaz allgmi a i bstimmt Vorghswis bi dr Btrachtug vo (physikalisch) Vorgäg gwöht. Auf Grud gwissr wohlbgrüdtr Übrlgug stll wir i mathmatischs Modll für d Vorgag auf. Durch Vrglich zwisch dr Thori ud gigt Mssug wrd da di im mathmatisch Modll thalt Ubkat bstimmt. Zum Bispil stllt ma für di Schallausbritug i Rohr i mathmatischs Modll auf, das aus ggläufig Schallwll bstht. Es thält als fri Paramtr i Rflxiosfaktor, dr durch "Apassug" ds mathmatisch Modlls a di bobachtt Wirklichkit rmittlt wird.

13 Bi dr Zrlgug vo priodisch Sigal i harmoisch Fuktio kö wir aalog vorgh. Wir dfiir us i Modllfuktio f M (t), di pr Dfiitio aus harmoisch Bstadtil zusammgstzt ist: f M ( t) a jωt. (.) Dabi kö wir di Summatios-Koffizit a als fri Paramtr ash. Wir wrd u di Ubkat a so bstimm, dass f M (t) dm ggb Vrlauf f(t) (dr z.b. i Msskurv darstllt) möglichst ählich wird. Es gibt mhrr Möglichkit, d Bgriff "Ählichkit zwisch zwi Fuktio" zu dfiir. Zum Bispil - ud das ist dr üblich Wg - ka ma vrsuch, di Koffizit a i (.7) so zu bstimm, dass dr quadratisch Fhlr Q zwisch Modll ud Wirklichkit Q T T T f(t)f M (t) dt (.3) so kli wi möglich wird. Wir woll hir dis Wg durch i mhr aschaulich Vorghswis rstz, di dafür - so ist s zu hoff - i klars Licht auf prizipill Eigschaft ud Abhägigkit wirft. Usr Ählichkitsbgriff dfiir wir im Folgd durch di Fordrug, dass das ach (.) dfiirt, +, zuächst ubkat thalt Modll i bfalls + glichabstädig Pukt irhalb ir Priod T mit dr "Wirklichkit" f(t) übristimm soll (sih auch Bild.4): f M ( k t) f ( k t) für k,,,... ud t T / ( + ) (.4)

14 Glichug (.4) gibt damit Bstimmugsglichug für di ubkat Koffizit a ds Sigalmodlls f M ach (.) a. Stzt ma (.) i (.4) i, so rhält ma mit ω T ud t T ( +) j k + a k,,,..., f (k t) (.5) Es ist damit also i Glichugssystm aus + Glichug (Variatio vo k) mit d + Ubkat a tstad. W s us gligt diss Glichugssystm ach d Ubkat a aufzulös, da hab wir damit glichzitig auch i Bwis dr Lösbarkit usrs Ausgagsproblms gführt: Wir hab damit gzigt, dass s b auch tatsächlich möglich ist, i ggb Fuktio f(t) durch i Fuktiorih dr Form (.) darzustll, ud zwar drart, dass f(t) vom Modll f M (t) i ir blibig groß (abr dlich) Azahl vo Stützstll völlig korrkt bschrib wird. Das bdutt da, dass i blibig vorgb bar Fuktio f(t) wirklich auch immr durch harmoisch Fuktio wi i (.) "blibig gau" im Si dr Apassug i blibig vil, blibig dicht ligd Eizlpukt dargstllt wrd ka. Tatsächlich britt di Lösug ds Glichugssystms (.5) ki Schwirigkit. jmk / + Multiplizirt ma (.5) mit, m zuächst fst gwählt, ud summirt aschlißd übr k, so rhält ma

15 3 a j (m)k f(k t) j mk + (.6) k k Di ir summ liks stllt i gomtrisch Rih dr Form q k k q+ q (.7) m j dar, s ist also mit q + (m)k j k +, m, m (.8) Aus dr lik Sit vo.6 vrblibt dshalb ur das Summfld mit m, s ist also a m f(k t + ) j mk + (.9) k Glichug (.9) gibt dirkt di Lösug ds Glichugssystms (.5) a. Zwar ist m zu Bgi "fst gwählt" word, abr atürlich darf m dabi achiadr all Wrt m ahm. W wir zuächst "glatt", "icht sprigd" - i dr mathmatisch Sprach ausgdrückt also sttig Fuktio f(t) btracht (wi z.b. i d Bildr.5a bis c), da zigt us di Hrlitug dr "Apassug i Pukt" das Prizip dr Erfassug vo f durch das Modll f M : j größr di Azahl dr Pukt "mit Übristimmug" ist, dsto bssr wird das Origial i si Eizlhit achgbildt (Bildr.5a bis c). Wi ma am Bispil rkt, bötigt ma bi Stigrug dr Azahl + immr klir höhrfrqut Korrktur, di durch di Hizuahm vo Harmoisch höhrr Ordug bwrkstlligt wird. Es ligt b ifach i dr atur "glattr" Fuktiosvrläuf, dass schll Wchsl im Itrvall zwisch zwi Pukt icht mhr auftrt kö, w dis Pukt ur imal i hirichd kli Abstad hab. Dmzufolg wrd hoh Frquzatil auch icht zur achbildug bötigt. Wi auch di Bildr.5 zig, ka s Problm ur dort gb, wo di Ädrug vrglichswis plötzlich sid: i d Brich kickd Vrlaufs. Hir wrd vil Stützstll bötigt, um d Kick auch dtailgtru zu rfass; dmzufolg sid dafür auch tsprchd vil Harmoisch voöt. Isgsamt hm wir di höhr Amplitud da ab im gwiss aufwad rasch ab: di Hizuahm ur

16 4 Pukt ud damit ur Harmoischr "brigt ichts mhr". Di Fuktiorih (.) muss zimlich rasch kovrgir, ma ka mit dlich vil Summad i jdm Kurvpukt i blibig gau Aährug a f(t) hrstll.

17 5

18 6 Das Ggtil trifft für usttig, "sprigd" Fuktio zu (Bild.6 ud.7a bis d): dr "abstigd Ast" i Bild.6, dr di bid sttig Kurvstück mitiadr vrbidt, ka bi dlichr Puktdicht gar icht vo im Pukt gtroff wrd, ud dmzufolg muss si achbildug immr quasi "ugügd" blib, solag ma vo ir dlich Puktzahl ausght. Erst w dr Abstad dr Apassugspukt wirklich gg ull strbt, ka i "prfkt achbildug" auch glig: dis stzt also strg gomm udlich vil Summad i (.) voraus. Di Folg dr Amplitud a kovrgirt dshalb für usttig Fuktio shr vil lagsamr gg ull als für "glatt", sttig Vrläuf. Das bdutt glichzitig, dass usttig Fuktio stts obrtorich sid, also "vil" hoh Frquz thalt; higg sid sttig Vrläuf (ahzu) badbschräkt ud tiffrqut. Di Bildr (.7a bis d) zig durchgrcht Bispil für di achbildug ir usttig Fuktio. Wi ma siht, ist dr "Sprugbrich" slbst kritisch. Ma bötigt immr mhr Bstadtil i dr Summ (.), w das Itrvall "mit schlchtr achbildug" um di Usttigkit hrum schmalr gmacht wrd soll. Offsichtlich immt di Brit "dr Problmzo" mit wachsdm Aufwad ab, si ka dshalb atürlich auch blibig schmal igstllt wrd. Dabi blibt "das Problm slbst" irhalb sis (mit wachsdm abhmd) Itrvalls jdoch uvrädrt: di achbildug f M (t) schwigt übr, wobi zwar di Übrschwigfrquz mit größr ud di Übrschwigdaur mit klir wird, di maximal Höh diss Effkts blibt jdoch vo ubiflusst. Di Tatsach, dass sich Fhlr i dr achbildug usttigr Fuktio mit stigdm auf i immr schmalrs Itrvall bgrz, irhalb diss Itrvalls jdoch di Abwichug quasi ur zusammdrückt, asost abr uvrädrt blib, ist als "Gibbschs Phäom" bkat. Solag di Azahl dr Summglidr i (.) dlich, tritt s stts auf. ur wirklich udlich vil Frquzbstadtil (ud Apassugspukt) kö di Brit dr "Problmzo" um di Usttigkit hrum zu ull mach ud usttig Fuktio so "übrall gau" achbild. Di Folg dr Amplitud a kovrgirt dshalb auch rcht lagsam gg ull. Wi ma allgmi zig ka gilt für usttig Fuktio a ~/ für hirichd groß. Aus d gat Zusammhäg lässt sich übrigs licht i Systmatik für di Kovrgzigschaft dr vorkommd Folg a ablit. Dazu si zuächst "gstücklt", dabi abr sttig Fuktio wi i d Bildr.5 btrachtt. Offsichtlich sid dr rst Ablitug f'(t) usttig Fuktio. Da di Ablitug vo (.) glichbdutd mit ir Multiplikatio vo a mit ist, gilt also a ~/. Das bgrüdt auch, dass für di "gut achbildug" i d Bildr.5 so vil wigr Summglidr otwdig war als für di Bildr.7. Auf glich Wis wi b zigt ma, dass sttig Fuktio mit sttigr rstr, abr usttigr zwitr Ablitug zu Folg a ~ /3 führ. Allgmi gilt:

19 7 Sid f(t) ud di rst m Ablitug vo f(t) sttig ud ist di (m+)-t Ablitug usttig, da ist a~ (/)m+ für hirichd groß. atürlich wird us u och di Frag itrssir, i wlchr Form di Glichug zur Bstimmug dr Koffizit a (.9) übrgführt wird, w dr i ausgdrückt "achbildugsaufwad" immr mhr ud mhr stigt, bis schlißlich di Fuktio f(t) durch ihr Modll f M (t) übrall korrkt rfasst ist. dis Btrachtug ist glichbdutd mit im a.9 zu vollzihd Grzübrgag, bi dm glichzitig dr Abstad t T /( + ) zwisch zwi Pukt gg ull strbt. Mit / ( + ) T / t wird zuächst aus.9 a T f(k t) j k t T t Bim Grzübrgag lig di Pukt k t u blibig dicht, dshalb ght k t i di kotiuirlich Variabl t übr, di Summatio ght i di Summatio ifiitsimal klir Elmt - i Itgral also - ud t i das ifiitsimal kli Elmt dt übr: k t t... t T...dt T Es ist also schlißlich T a f(t) jω t dt (.) T di Bstimmugsglichug für dijig Modllfuktio f M (t), di u übrall mit dm Origial f(t) idtisch ist. Es ist also f M (t) f(t) a jω t (.) i Idtität, w di a ach. brcht wrd. Abschlißd woll wir och imal d Charaktr usrr Btrachtug - di das Ausdrück ir Fuktio durch i Fuktiorih zum Ggstad hatt - klar blucht. Wir hab zuächst di (als ggb azushd) Fuktio f(t) i diskrt Pukt rfasst. Wir kö di Fuktioswrt f(k t) i dis diskrt Stützstll als

20 8 dijig Iformatio rfass, di wir b übr f(t) zur Vrfügug hab. Glichug.9 formt u dis Iformatio i i adr Gstalt - di Amplitud a ämlich - um. Dis sid dadurch zwar auch "Iformatiosträgr" gword, abr si schildr (wi i gativ ir Photographi) dabi doch auch ki adr Ihalt als si Stützstll ds Origials (dr Photoabzug, das Positiv) slbst. So ist s atürlich auch mit dr "übrall xakt" Bschribug. ud.: f(t) ud di Folg dr a gb sozusag ur vrschid Lsart i ud dsslb Sachvrhalts, dr z.b. aus ir Mssug rsultirt. Durch "bloß Umrchug" utr Butzug vo. vo f(t) auf a ist kirli Iformatiosihalt hizugwo odr vrlor word. Etwas boshaft köt ma auch sag: wir hab ri Formalismus btrib. Dass us disr jdoch gut Dist tu ka, hab wir brits i d voraggag Abschitt gsh. Di TRASFORMATIO. ds Zitvrlaufs stllt i Zitfuktio wi i. durch i Summ vilr rir Tö dar, i shr ützlichs Hilfsmittl zur Btrachtug liarr Übrtragr..4 FOURIER-Trasformatio Grad für di ltztgat Aufgab - dr Charaktrisirug liarr Systm - kö wir atürlich icht bi priodisch Fuktio sthblib. Vilmhr müss wir auf d allgmi, icht-priodisch Fall abzil. Wir kö das tu, idm wir us zuächst vorstll, wir hätt i t T / umfassd Ausschitt aus im (icht-priodisch) Vorgag rfasst ud dis da - wi im vorig Abschitt - "küstlich" priodisirt. W u dr Ausschitt T immr mhr awächst, da rfass wir i immr größrs Stück aus dm igtlich itrssird Vrlauf. Im Grzfall udlichr Priod T hab wir da schlißlich di "gaz Wahrhit" i usrm Blickfld T. W di Prioddaur immr größr wird, da wird dr Abstad f /T zwir bachbartr Frquz immr grigr. Im Grzfall T ist di Dicht dr Frquz blibig groß. Ma muss dahr di bi d priodisch Fuktio vorhad Summ übr diskrt Frquz mit zughörig diskrt Amplitud i i Itgral übrführ. Dabi muss ma bacht, dass di diskrt Amplitud a mit wachsdm T jdfalls da abhm, w Fuktio btrachtt wrd, di außrhalb is bstimmt, bgrzt Zititrvalls glich ull sid: s ist ja di Eigschaft wohl allr akustisch Vorgäg, dass si i Afag ud i Ed hab. Wg a mit T wird dahr i dr FOURIER-Summ. och mit rwitrt: T / T T f

21 9 f(t) a T j ω t f - (.) Dr Grzübrgag T muss sich u auf a T rstrck, d ur diss Produkt immt mit T i vo ull vrschid Grzwrt a, d wir mit F(ω) bzich woll: lim a T F(ω) T (.3) Glichzitig ght f i das ifiitsimal Itgratioslmt df übr. Es ist also: f(t) - F(ω) j ωt df - F(ω) j ωt dω (.4) I glichr Wis gwit ma aus dr Vorschrift zur Bstimmug dr FOURIERkoffizit T/ a T f(t) -j ω t dt -T/ (.5) di Trasformatiosglichug zur Brchug ds sogat "Spktrums" F(ω): F(ω) - f(t) -j ωt dt (.6) Wi ma siht, ist F(ω) i Amplituddicht-Fuktio. Si hat di Dimsio vo f(t) "pro Hrtz": [ F ] [ f ]/ Hz f(t) ud F(ω) wrd "FOURIER-Trasformatios-Paar" gat. F(ω) hißt di Trasformirt vo f(t), umgkhrt ist f(t) di Rücktrasformirt vo F(ω). Disr Sachvrhalt wird i disr Vorlsug kurz durch F F {f} f F - {F} (.7)

22 bzicht. Gmit ist damit immr dr Zusammhag f ( t) F - F( ω) F( ω) F f ( t) j { } ( ω) ω t F dω { } f ( t) jωt dt (.8 a), (.8 b) dr hir och imal zusammfassd aufgschrib word ist, wil r für dis Vorlsug vo großr Wichtigkit ist. Di aschaulich Itrprtatio ds obgat FOURIER-Glichugs-Paars ght brits aus dm Ablitugsgag hrvor. Di Rücktrasformatiosglichug f(t) F - {F(ω)} rklärt i blibig Fuktio f(t) als "aus udlich vil ri Tö zusammgstzt". Di Trasformatiosvorschrift F F {f} zigt, auf wlch Wis di zughörig Amplitud (igtlich dr Dicht) rmittlt wrd. Ma ka dahr di Trasformatiosglichug als "mathmatischs Filtr" itrprtir, wlchs di Frquzbstadtil dr Zitfuktio bi dr (zuächst fst gdacht) Krisfrquz ω durchlässt ud all adr Frquz ausbldt. Idm ω variirt wird, rhält ma schlißlich das gaz komplx Spktrum F..5 Sätz übr di Fourir-Trasformatio a) Faltug im Zitbrich Wir hab witr vor fstgstllt, dass jds liar Systm durch Faltug ds Eigag- Zitvrlaufs x(t) mit dr Impulsatwort h(t) ( t) h( τ) x( t τ) y dτ (.9) i sim Ausgag y(t) bschrib wrd ka. Ei Altrativ bstht i dr Bschribug im Frquzbrich ( ω) H( ω) X( ω) Y, (.3) wobi X ud Y di Fourir-Trasformatirt vo Eigag ud Ausgag darstll.

23 Bid Mthod dr Charaktrisirug (i ud dsslb) liar Systms müss vollkomm äquivalt si ud iiadr übrgh. Es fragt sich ur och, wi d di Übrtragugsfuktio H(ω) ud di Impulsatwort h(t) i Zusammhag sth. Um s vorwgzuhm: atürlich bild di Fuktio h (t) F - { ( ω) } H (.3) i Fourir-Trasformatiospaar. Dr Bwis ist licht. Trasformir wir dazu (.9) Y jωt jωt ( ) y( t) dt h( τ) x ( t τ) dτ dt ω ud khr di Rihfolg dr Itgratio um Y ( ω) h( τ) x ( t τ) h dt dτ jωt jω( tτ) ( τ) x( t τ) d ( t τ) dτ jωt so rhalt wir Y jωτ ( ω) X( ω) h( τ) dτ. Dr Vrglich mit (.) zigt H jωt ( ω ) h( t) dt also ist di Übrtragugsfuktio glich dr FOURIER-trasformirt Impulsatwort. Mathmatisch gsh hab wir ur gzigt, dass (.9) ud (.3) Folgrug ausiadr sid. Das hißt, dass dr Multiplikatio zwir Fourir-Trasformirtr im Zitbrich di Faltug dr zughörig Rücktrasformirt tspricht. Dis Tatsach wird als "Faltugssatz" bzicht. Es ist disr Faltugssatz, dr us och imal dutlich macht, dass di Systmbschribug durch di Impulsatwort ud durch di Übrtragugsfuktio gäzlich äquivalt ist. Dmach gibt s i aschaulich Dutug dr Tatsach, dass di Systm-Raktio h(t) auf di Impuls-Argug δ(t) i so ausgzicht Roll bsitzt. Dr Grud dafür ligt i dr Gstalt ds Spktrums vo δ(t). Gl. (.5) zigt ämlich, dass das Spktrum (ω)

24 jωt ( ω) δ( t) dt (.3) idal britbadig ist: s bsitzt für all Frquz d glich Wrt. Es ist wohl ki Wudr, dass i Argug mit disr izigartig Eigschaft idal gigt ist, i all "Frquzwikl" ds Systms "hiizulucht". Wirklich gibt s ki adrs Eigags- Tst-Sigal dlichr Daur, das icht midsts i spktral ullstll hätt: jds adr Tstsigal als di δ-fuktio würd dshalb gwiss Frquz übrhaupt icht thalt ud köt dahr auch icht "all Sait" ds Systms "zum Erklig" brig. b) Faltug im Frquzbrich Wir wrd a spätrr Stll och sh, saß auch di Multiplikatio vo Zitfuktio i dr Sigalvrarbitug i Roll spilt (sih Abschitt.4 "Sigalmodll"). Es si also z ( t) x( t) y( t) F - { z ( ω) } X ( ω) F { x } Y ( ω) F { y } da ist Z ( ω) X( u) Y( ω u)du (.33) Dr Bwis ist licht, w ma vo dr ltzt Glichug ausght ud si dr Rücktrasformatio utrziht. Ma zigt da wi im vorig Abschitt, dass z t x t y t folgt. ( ) ( ) ( ) Wi ma siht, tspricht dr Multiplikatio im Zitbrich di Faltug im Frquzbrich. Dr Faltugssatz ist umkhrbar, wobi ma ldiglich och d Faktor vor dm Itgral bi dr "Faltug im Frquzbrich" bacht muss. c) Ergisatz Stzt ma im Faltugssatz - H(ω) F(ω) j ωt dω h (τ) f (t - τ) dτ - für H(ω)

25 3 H(ω) F*(ω) ud tsprchd h(t) F - {F*(ω)} f*(-t) i, so rhält ma für t : - F(ω) F*(ω) dω - f*(-τ) f (- τ) dτ f (t) f*(t) dt - (.34) Di ltzt Glichug wird Ergisatz gat. d) Folgrug aus dr Kausalität Utr Kausalität is Systms woll wir vrsth, dass di Ausgags-Rlatio y rst ach dm Afag dr Eigags-Argug x bgi ka. Isbsodr gilt da: x t < y t <. ( ) ( ) Für rll Zitfuktio f(t) lass sich di folgd Symmtriigschaft dr FOURIER- Trasformatio licht zig: f(t) rll Fuktio: Im{f(t)} F(ω) F*(-ω) f(t) grad Fuktio: f(t) f(-t) F(ω) rll f(t) ugrad Fuktio: f(t) -f(-t) F(ω) imagiär u ka ma atürlich jds f(t) i grad ud ugrad Atil zrlg: f + [ f ( t) + f ( t) ] (.35) ( t) [ f ( t) + f ( t) ] fg ( t ) ach d gat Symmtriigschaft ist dshalb: fu ( t ) R {F(ω)} F{f g (t)} jim {F(ω)} F{f u (t)} (.36) d.h., dr Raltil dr FOURIER-Trasformirt korrspodirt mit dm grad Fuktiosatil vo f, dr Imagiärtil mit dm ugrad Atil. Das hat für kausal Fuktio f(t<) i itrssat Folg. Für dis muss f(t) f g (t) + f u (t)

26 4 f g (t > ) f u (t>) glt, d da ud ur da ist f(t<). Utr Butzug dr Sigum-Fuktio { - für t < sig (t) für t + für t > ist also f u (t) sig(t) f g (t) (.37) Da u für kausal Fuktio dr ugrad Atil f u (t) idutig aus dm grad Atil f g (t) hrvorght, bdutt dis: w dr Raltil dr FOURIER-Trasformatio ir kausal Fuktio ggb ist, da ist damit alli wg dr Kausalität dr Imagiärtil vo F(ω) auch brits fstglgt ud ka icht uabhägig vom Raltil gwählt wrd. W am i.37 trasformirt, so rhält ma mit.36 F{f u (t)} jim{f(ω)} F{sig(t) f g (t)} F{sig(t) F-{R{F(ω)}}},also Im{F(ω)}F{-j sig(t) F - R{F(ω)}}} (.38) I Wort: Dr Imagiärtil dr FOURIER-Trasformatio ght dirkt aus dm Raltil dr FOURIER-Trasformatio hrvor, kausal Zitfuktio vorausgstzt. Ist darübr hiaus das kausal f(t) och rll, da gügt für di Fstlgug ds kompltt Spktrums di Agab vo R{F(ω)} für ωε. I Wahrhit ist das icht vrwudrlich. Bzich wir di Fstlgug ir rllwrtig Fuktio tlag ir Halbachs (t > bzw. t < bzw. ω > bzw. ω < ) als "i Iformatiosihit". Da thält i komplx Zitfuktio 4 uabhägig Iformatiosihit. Etsprchd thält di Trasformirt 4 Iformatiosihit, d Symmtri sid icht bkat. Ist f(t) dagg rll, da sid ur Iformatiosihit i f(t) thalt. Das gilt auch, w ma vom Spktrum ausght: Ma ka F(ω) ur für ω > fri wähl, di Wrt für ω rgb sich aus F ω F* ω. Ist da f(t) rll ud kausal, so ist i f(t) ur och i Iformatiosihit ( ) ( ) thalt. Klar, dass da auch im Spktrum ur i Iformatiosihit vorhad si ka: di Agab vo R{F(ω)} für ω> bstimmt das Spktrum kompltt. Zum Abschluss si och rwäht, dass di obgat Opratiosktt F {j sig(t) F - {X(ω)}} H{X(ω)} (.39)

27 5 als "HILBERT-Trasformatio" bzicht wird. Si ist ki "Trasformatio im cht Si" wi di FOURIER-Trasformatio. Adrs als di ltztr kostatirt di HILBERT- Trasformatio i Zusammhag zwisch zwi icht-uabhägig Fuktio. Di FOURIER-Trasformatio dagg ist i "cht Trasformatio": Si trasformirt i Problm vo im "Origialbrich" (t) i i Bildbrich (ω), wobi das Problm slbst uvrädrt blibt (ud umgkhrt)..6 Ei Bispil: dr ifach Rsoator Ei i dr Akustik zimlich oft vorkommds Bispil bstht i im ifach Rsoator. Er bstht (Bild.8) aus ir Mass m, di mit ir Fdr (Stif s) ud im Ribdämpfr (Ribkostat r) a im Fudamt bfstigt ist. ach dm wtosch Prizip, ach dm di auf i Körpr dr Mass m wirkd Kraft zu bschluigt Bwgug führt, ist m d x dt f f s f r, (.4) w x di Auslkug dr Mass, d x/dt di zughörig Bschluigug, f di argd Kraft, fs di Fdrkraft ud fr di Ribugskraft bdut. Im ifachst Fall (bi hirichd kli Bwgug x ämlich) ka ma vo ir Hooksch Fdr f s s x ud vo viskosr Ribug

28 6 f r r dx dt ausgh. Da ist m d x dt + r dx + s x f (.4) dt di Bwgugsglichug. W ma di Kraft f als Argug ( Systmigag) ud di Auslkug x als Raktio asiht ( Systmausgag), da rhält ma aus.4 für di Übrtragugsfuktio H(ω) X(ω) F(ω) s mω + jω (.4) (wi ma licht mit x jωt X ud f jωt F zigt). Mit d "Abkürzug" Rsoazfrquz ω s ud (.43) m r ω r Vrlustfaktor η (.44) s s m ka ma auch - twas übrsichtlichr- H(ω) s ω ω + j η ω ω (.46) schrib. Bild.9 zigt i graphisch Darstllug für di dri vrschid Vrlustfaktor η.

29 7 W ma vo Rsoazgipfl i ω ω absiht, hadlt s sich um i Msspass, dss Frquzgag mit db/oktav obrhalb dr Rsoaz abimmt. Dr Frquzgag H(ω) stht z.b. für d is Kodsatormikrophos, bi dm bkatlich di Ausgagsspaug proportioal zur Mmbraauslkug ist ud das im mchaisch Aufbau (im Wstlich) im ifach Rsoator glicht. Di Rücktrasformatio vo H(ω) stllt di Impulsatwort h(t) dar, h(t) F - {H(ω)} s ω ω jωt dω ω + jη ω (.47) Das Ergbis dr im Prizip ifach, abr twas lagwirig Lösug ds Itgrals (am bst mit dm Rsidusatz odr mit ir Partialbruchzrlgug, sih Skript Thortisch Akustik bstht i dr kausal Impulsatwort h(t) mω, t < ηt d / si ω t d (.48)

30 8 di abr i gdämpft Ausschwigvorgag darstllt. Bild. zigt di Impulsatwort für vrschid Dämpfug ausgdrückt durch d Vrlustfaktor η. Ma ka dm Bild thm, dass Impulsatwort "kurz" odr "lag" si kö, i villicht slbstvrstädlich Tatsach, di jdoch bi dr Mssug vo Übrtragugsigschaft vo Systm (Kapitl 4) i rhblich Roll spilt. Zum Abschluss si och auf di (wohl bfalls slbstvrstädlich, oft abr vrgss) Tatsach higwis, dass jd Größ a ihr Dfiitio gbud ist: ob ist H(ω) aus dm Vrhältis vo AUSLEKUG ud Kraft dfiirt; h bschribt bfalls i Auslkug (ämlich bi dr Impulsargug). W ma dis Dfiitio ädrt, z.b. auf Hv(ω) Schll/Kraft V(ω)/F(ω) übrght, da rhält ma atürlich auch i gädrt Frquzgag ud i adr Impulsatwort; z.b. ist ud Hv(ω) jω H(ω) (.49) hv(t) dh/dt. (.5) Dis Bmrkug soll ur dutlich mach, dass s "di" Übrtragugsfuktio ds ifach Rsoators (als Bispil) gar icht gibt; ma muss scho dazu sag, wi si d dfiirt ist. Das wird oft vrgss ud führt da zu Rätslrat.

31 9

32 3. Abtastfolg Es ist wohl i Tautologi: digital Sigalvrarbitug gschiht mit Digitalrchr. Damit di Computr i umrischs "Procssig" auf Sigal durchführ kö, müss si d (igtlich kotiuirlich) Zitvrlauf dr Sigalspaug (di ja zum Bispil zu ir physikalisch Größ, twa "Schalldruck" proportioal si ka) rst imal "i Erfahrug" brig. Dis gschiht mit im Aalog-Digital-Wadlr. Er rmittlt i glich Zitabstäd t di Größ dr jwils momta Eigagsspaug ud litt dis Wrt als digital vrschlüsslt Zahl a d Rchr witr, wo di itrffd Spaugswrt dr Rihfolg ach im Spichr abglgt wrd. Ma rhält so i Zahlfolg x(m) als Rprästat dr kotiuirlich Zitfuktio x(t) (Bild.). Das -t Folg-Elmt ghört dabi zur Zit t t (.) wobi mist statt dm Ikrmt t di Abtastfrquz f tast t (.)

33 3 bzw. di Abtastkrisfrquz ω tast f tast (.a) als tchisch Kgröß aggb wird. Praktisch AD-Wadlr übrdck mit Lichtigkit d akustisch rlvat Brich vo Abtastfrquz, slbst Wrt f tast khz stll hut ki tchisch Problm mhr dar. Di Vrwdug is Digitalrchrs zur Datvrarbitug brigt s also zwagsläufig mit sich, dass das (igtlich itrssird) kotiuirlich Sigal ur i äquidistat Stützstll bkat ist. Durch dis "Diskrtisirug dr Zit" ght möglichrwis vil vo Iformatio übr d kotiuirlich Zitvrlauf vrlor: wir k ichts vo dm Sigal zwisch d zitlich Stützstll. Wir wrd also zu frag hab: utr wlch Vorausstzug ist di Abtastfolg x(m) d och i "vrüftigr" Rprästat ds kotiuirlich Vorgags x(t)? Ud isbsodr: wi häg d di Spktr vo Zahlfolg x() ud vo Vrlauf x(t) zusamm? Zuächst wrd wir dism Problm achgh. atürlich drägt sich us glich och i zwit Frag auf: was ist, w di vorgsh Spichrkapazität icht ausricht ud ur i "Ausschitt" ds Sigals zur Vrfügug stht? Auch diss Problm wrd wir spätr atürlich bhadl. Zuächst woll wir ahm, dr Spichr sth ubgrzt zur Vrfügug ud di Kosquz dr "Diskrtisirug dr Zit" diskutir.. FOURIER-Trasformatio vo Zahlfolg Da u ki kotiuirlichr Vrlauf x(t) mhr bkat ist, kö wir ur vrsuch, di Brchugsvorschrift ds Spktrums X(ω) X ( ω) x( t) jωt dt (.3) durch i Approximatio abzuschätz. Scho ituitiv würd wir vrsuch, das Itgral (.3) durch i Summ azuähr: ( ω) x( ) jω t X S t. (.4)

34 3 Wir rwart, dass wir dabi i "Schätzug" X S (ω) für das "wahr" Spktrum X(ω) bkomm. atürlich wird us di Güt dr Schätzug itrssir, wir wrd also och ach d Abwichug zwisch X S (ω) ud X(ω) zu frag hab. Um das zu tu, bötig wir zuächst atürlich widr "xakt Bgriff", d.h., wir müss zuächst di Trasformatio vo Zahlfolg dfiir ud ihr Eigschaft diskutir. Dr i (.4) ausgdrückt "Vrsuch ir Aährug a das wahr Spktrum" lgt i Dfiitio dr Abbildugsvorschrift ah. Stz wir och t /f tast (Gl..) i, so ist ( ω f ) ( ) ω j X ω ( ) ω S x tast. (.5) f tast Das Spktrum X S (ω) hägt - vo ir Skalirug abgsh - ur vom Frquzvrhältis f/f tast ab. Offsichtlich ist X S (ω) i priodisch Fuktio mit dr Priod ω tast : X ( ω ) X ( ω + K ω ) ; K, ±,, S S tast ± Wir kö daraus scho schliß, dass di Schätzug X S (ω) mit dm wahr Spktrum X(ω) allfalls i im Frquzitrvall übristimm ka, das höchsts di Brit ω tast bsitzt. Di bid gat Eigschaft "dr Schätzug" woll wir i dr Dfiitio dr Folgtrasformatio bfalls vorfid. Wir dfiir dahr als Fourir-Trasformirt ir Zahlfolg j ( ) x( ) j X. (.6) Uabhägig vo im "Zwck", stllt dis Glichug ifach i mathmatisch Abbildugsvorschrift - i Trasformatiosglichug - dar, di auf di Folg (x() agwadt wird ud X(j) - das Spktrum dr Folg - zum Ergbis hat. Praktisch utz rhalt wir aus (.6), wil wir si als "Schätzwrt-Brchug" itrprtir dürf. Es rgibt sich ämlich X S (ω) f tast X( j ) mit ω ω tast (.7a) (.7b)

35 33. Eigschaft dr FOURIER-Trasformatio vo Folg a) Rücktrasformatio Ei Trasformatiosglichug ist im Grud ja ichts witr als "di Umrchug vo Iformatio (z.b. di i im Zitvrlauf f(t) thalt Iformatio) i i adr Darstllugswis" (z.b. i i Spktralfuktio F(ω)). Dass dari auch i Si ligt, ist icht durch di Abbildugsvorschrift "Trasformatio" slbst bgrüdt. Erst das Problm, das durch di Mthod ds Trasformirs glöst wird (z.b. di Bschribug ds Übrtragugsvrhalts liarr Systm), dckt d Zwck ds Mittls auf. Di gat "Iformatiostru" zwisch Origial- ud Bildbrich rwart wir auch für di Trasformirt X(j) vo Folg x(). Es muss also glig, di Folg x() aus X(j) "widrhrzustll", sost wär X ki vollstädig Darstllug dr i dr Folg x() (glichfalls) thalt Iformatio. Di Bildug dr Rücktrasformatiosvorschrift muss aturgmäß vo dr Trasformatiosvorschrift j ( ) X F { ( ) } x( ) j x (.8) ausgh. Zur "Auflösug" vo (.8) ach Folglmt x() vrwdt ma di sogat "Orthogoalitäts-Rlatio" dr harmoisch Fuktiofolg -j. Wi ma shr licht zig ka, gilt ämlich jm j d j( m ) d δ( m ) (.9) wobi wir utr dr diskrt Dlta-Fuktio δ (m-) { ; m - ; m - (.) vrsth woll. Dis Eigschaft ka u butzt wrd, um aus dr Summ (.8) i Glid "hrauszubld". Multiplizirt ma (.8) mit jm (m fst gdacht) ud itgrirt, so ist

36 34 x j j( m ) ( ) d x( ) X ( ) δ( m ) x( m) d Wir hab so (.8) ach dm m-t Folgglid aufglöst. atürlich kö wir für m jd gaz Zahl istz, s ist also für all x() x j j ( ) X( ) d F - j { ( )} X (.) di gsucht Rücktrasformatiosglichug. b) Multiplikatio vo Spktr (Faltug im Origialbrich) Ebso wi bi "kotiuirlich" Systm itrssirt us das Übrtragugsvrhalt "diskrtr" liarr ud zitivariatr Systm. Wi i Abschitt folgt aus dr Liarität (ud dr Zitivariaz), dass di Systmatwort y() bi Eigag x() durch di Faltug ( ) h( k) x( k) h( k) x( k) k y (.) k mit dr diskrt Impulsatwort h() ggb ist. D Bwis rbrigt ma wi vor durch di Darstllug ds Eigags durch i Summ vo Impuls-Argug ( ) x( k) δ( k) k x. Jdr Eizlimpuls ( jds izl Summglid) rsultirt i im Tilausgag x k h k, di Summatio (ud das Suprpositiosprizip) lifrt (.). y E ( ) ( ) ( ) atürlich ghört auch dismal widr zur Faltug im Origialbrich di Multiplikatio dr Spktr im Bildbrich. Wir zig dis, idm wir aus (.) das Spktrum Y(j) bild.

37 35 j j ( ) y( ) h( k) x( k) Y k k k x x x ( k) h( k) jk j( k ) ( k) h( k) jk j j j ( k) h( ) X( ) H ( ) k j j (.3) wori H(j) F {h()} ist. c) Multiplikatio vo Folg Wir wrd bald Alass zu folgdr Frag hab: Wi wirkt sich di Multiplikatio zwir Folg y () g () x () (.4) auf di Spktr aus? Tatsächlich wrd wir sh, dass Folg (di vo Msssigal gbildt wrd) ur vrmittls ir Multiplikatio mit ir adr Folg (dr "Fstrfolg") bobachtt wrd. atürlich tspricht (.4) dr Faltug im Frquzbrich. Zum Bwis gh wir vom vrmutt Rsultat j j( ν) jν ( ) G( ) X( ) Y dν (.5) aus ud zig di Idtität mit (.4): Multiplikatio mit -j ud Itgratio rgibt y j ( ) Y( ) ( ) ( ) ( ) x( ) g( ) j( ν) jν ( ) X ( ) jν j( ν) ( ) G ( ) ( ) X jν ( ) X G j d jν ( ) G j dν d j d dν j( ν) j( ν) ( ) d dν

38 36 q..d. (.B.: Dabi ist di trivial Bzihug ++α +α j j j ( ) d G ( ) G j d butzt word, di ma licht aus dr Priodizität ds Itgrad bwis ka). d) Ergisatz, Autokorrlirt Dr Ergisatz bsagt, dass di "Ergi dr Folg" glich dr "Ergi ds Spktrums" ist:! E x j ( ) X( ) d (.6) Zum Bwis ght ma vom Faltugssatz k h j j ( k) x( k) H( ) X( ) aus, stzt h () x* (-) (woraus H (j) X* (j) folgt) ud rhält di sog. Autokorrlirt j d a j j ( ) x *( k ) x( k) X * ( ) X( ) j d k (.7) di offbar glich dr Rücktrasformirt ds Btragsquadrats vo X (j) F {x ()} ist. Wir wrd (.7) ud di Autokorrlirt spätr och imal bötig. Für jtzt gügt us, dass (.6) aus (.7) mit hrvorght. Offsichtlich gilt für di Autokorrlirt a () E ) Symmtri W x () rll ist, da gilt x () rll : X - j X* j (.8) (wi ma licht aus dr Dfiitiosglichug (.8) zigt). Das Spktrum ist also vollstädig auch für gativ Frquz dfiirt, w s im Itrvall bkat ist. Dm Btrag ach ist das Spktrum symmtrisch, di Phas ist

39 37 atimtrisch. Hadlsüblich Trasformator ("FFT-Aalysator") oprir auf (rllwrtig) Msssigal ud gb ur d positiv Frquzbrich a..3 Das Abtastthorm u hab wir us zwar lag mit d Eigschaft dr Fourir-Trasformirt vo Folg bschäftigt (ud dis Eigschaft wrd wir atürlich och oft bötig). Ubatwortt ist jdoch gblib: wi häg d Spktrum X(ω) is kotiuirlich Msssigals x(t) ud Spktrum X(j) dr daraus gbildt Abtastfolg x() x () x ( t) zusamm? Zur Batwortug disr Frag ght ma vo dr Abtastfolg x() aus. Wil si sich sowohl durch ihr Folgspktrum X(j) ach (.) x() X( j ) j d (.9) als auch durch das Spktrum ds kotiuirlich Zitvrlaufs X(ω) mit x() x( t) X( ω) jω t dω (.) ach (.8a) ausdrück lässt, bitt si d Schlüssl zur Bstimmug ds Zusammhags zwisch X(j) ud X(ω); s muss ach (.9) ud (.) (mit t/ω tast ) ämlich j j X( ) d X( ω) j ω ω tast t dω (.) si. Dr Priodizität dr Folg-Trasformirt X(j) mit dr Pridläg lgt i Utrtilug ds Itgratiositrvalls auf dr rcht Sit i Tilitrvall ah, di bfalls di Brit i (ω/ω tast ) hab, i ω also jwils das Itrvall ω tast abdck:

40 38 X( ω) j ω ω (k+ ) ω j ω tast ω tast dω X( ω) tast dω (.) k (k ) ω tast odr, mit dr Variablsubstitutio ω' ω-kω/ω tast j ω j ω' +k ω tast ωtast / ω X(ω) tast ω dω X(ω' +k ω tast ) tast dω (.3) k ω tast / W ma och jk brücksichtigt, di Rihfolg vo Summatio ud Itgratio vrtauscht ud di Summatiosrihfolg "vo ob ach ut" fstlgt (für k also ifach -k schribt) da rhält ma j ω ω j ω ω tast / X(ω) tast ω dω X(ω k ω tast ) tast dω (.4) ω tast / k Es ist also ach (.) mit (ω/ω tast ) zusammgfasst X( j ) j d ω tast X(ω k ω tast ) j d (.5) k Wg dr Eidutigkit dr Rücktrasformatio ist also X( j ) ω/ωtast ω tast X(ω kω tast ) (.6) k Gl. (.9) stllt d gsucht Zusammhag zwisch dm Spktrum X(j) dr Abtastfolg x() ud dm Spktrum X(ω) ds kotiuirlich Vrlaufs dar. Di Aussag vo (.9) ka ma licht aschaulich mach: offbar bwirkt di Abtastug i diskrt Zitschritt i "Staplug" vo Frquzitrvall (d "Blöck" i Bild.) ds kotiuirlich Sigalspktrums X(ω), dr Stapl wird aufsummirt (Bild.).

41 39 Ei Pukt i X (j) thält also di Summ dr Spktralwrt vo X(jω) a d Stll ω + k ω tast, k, ±, ±, ±3...

42 4 Offbar wrd bi dr Abtastug all um ω tast ausiadr ligd Frquz als "i ud dislb Frquz rkat". Ma ka dis Effkt auch "Frquzvrwchslug", im Eglisch spricht ma vo "aliasig". u ist X(j) ja das aus d Abtastwrt x() izig brchbar Spktrum, s ist also ur di Summ dr "wahr Spktralatil" X(ω + k ω tast ) übrhaupt brchbar. atürlich ka ma d Summwrt icht mhr im achhii "zrpflück". Di Frquzvrwchslug muss also vorab ausgschloss wrd, damit übrhaupt och i idutig Zuordug vom Spktrum X(j) dr Folg zum Spktrum X(ω) ds kotiuirlich Vrlaufs möglich ist. Im ifachst (ud gbräuchlichst) Fall sorgt ma durch Vrwdug is Tifpasss mit dm Durchlassbrich ω ω tast (.7) für di idutig Zuordug. All außrhalb ligd Frquzatil vo x(t) wrd so hrausgfiltrt, i Bild. blibt so ur och dr Ihalt vo Block für X (j) übrig. Di Spktr X (j) ud X(ω) sid utr Bachtug dr Frquzzuordug ωtast ω ω tast (.8) (ud abgsh vo ir Multiplikatio mit t, ir Kostat) glich. Wir übrsh a Had ds Bilds.3, dass di Butzug ds vorgat Tifpasss ur dr ifachst Sodrfall vilr Möglichkit bildt, i "übrlappugsfri" Additio dr Frquzblöck zu schaff.

43 4 Wir köt zuächst gigt si, all Blöck bis auf i izig durch i vorgschaltts Filtr zu lösch. Dis Möglichkit bstht ICHT: als ralisirbar physikalisch Systm mit rllr Impulsatwort müss Filtr stts i bzüglich dr Frquz symmtrisch Übrtragugsfuktio H(ω) H(-ω) bsitz, si bifluss positiv wi gativ Frquz stts glichrmaß. Es ka also ur glig, X (j) aus

44 4 zwi Blockihalt zusammzustz, wobi j i Hälft dr bid Blockihalt (ud atürlich all adr Blöck) glöscht wrd muss (bi im: di lik Hälft, bim adr: di rcht Hälft). Dis ka durch Vrwdug is Badpasss mit dm Durchlassbrich ( k + ) ω / kω / ω (.9) tast tast (offsichtlich di allgmir Form vo (.7)) gschh, dr (physikalisch) di Badbrit ω tast / bsitzt. Di Zuordug dr Frquz ud ω rgb sich da abschittswis aus folgd liar Zusammhäg - für gradzahligs k m k ω tast (k+) ω tast ω - (.3a) ( k + ) ω tast ω tast k ω - für ugradzahligs k m - ( k + ) ω tast ω tast k ω - (.3b) k ω tast (k+) ω tast ω (offsichtlich di allgmir Form vo (.8)). Schlißlich köt ma och frag, ob dr gat Badpass mit dr Badbrit ω tast / mit ir kotiuirlich vrschibbar Mittfrquz ausgstattt wrd ka. Bild.3 zigt, dass dis Möglichkit icht bstht: di Blockihalt übrlapp sich i Frquzbrich; ur w di Filtrgrz mit Vilfach dr halb Abtastfrquz zusammfall, ist dr Vrwchslugsffkt ausgschloss.

45 43 Di Möglichkit, schll vrädrt Sigal lagsam hitr im Badpass ach (.) abzutast, wird Zoom-Tchik gat. Si bitt i praktisch shr wichtig Vortil, dr damit im Zusammhag stht, dass ma atürlich auch im Frquzbrich ur i gwiss, bgrzt Azahl vo diskrt Frquzpukt bstimm ka. Di Azahl dr "Stützstll" im Frquzbrich ist i (machmal i iig Schritt wählbar) "Maschikostat" i FFT-Aalysator ud sichrlich bgrzt (typisch Wrt sid, 4, 8; mhr als 6 komm wohl i vor). Dis Zoom- ( Badpass-) Tchik rlaubt u ja auch groß Vrhältiss f M /f tast vo Mittfrquz f M ds Badpasss ud Abtastfrquz. Ma ka also f M hoch ud f tast kli wähl. Im Rsultat hißt das, dass all Frquzstützstll da auf i schmal, f tast / -brit Frquzbrich bi hohr Mittfrquz "vrtilt" wrd. Ma ka so xtrm hoh Frquzauflösug rhalt, ud das im Grud i blibig Frquzbrich..4 Sigalmodll Di xakt Bschribug ds zitlich Vrhalts vo Systm stzt aturgmäß voraus, dass all Zitfuktio(also Eigag x(t), Impulsatwort h(t) ud Ausgag y(t)) für all Zit t auch bkat sid; slbstvrstädlich ist abr b ur utr disr Vorausstzug z.b. i Bstimmug ds Ausgags aus Eigag ud Impulsatwort für "all Zit" möglich. Di otwdigkit "alls zu all Zit zu wiss" muss sich atürlich im gsamt butzbar mathmatisch Apparat idrschlag: so ghört auch zum Bgriff ds Spktrums is Zitvrlaufs (dr Fourir-Trasformirt) ghört uabädrlich, dass s ur da brcht wrd ka, w das Zitsigal für all Zit bkat ist. I dr Tat, di i dr Rücktrasformatiosvorschrift Kot. Zitsigal: x( t) X( ω) j ω t d j Folg: x( ) X( ) ω j d ausgdrückt Absicht bstht ja grad dari, das Sigal durch i Summ vo jwils "udlich lag" harmoisch Vrläuf zu rklär, wobi di Summatio durch ihr ifiitsimal Grzfall, di Itgratio, dargstllt ist. Wir wiss, dass dis Sigalzrlgug i ützlichs Hilfsmittl, z.b. bi dr Btrachtug liarr Übrtragr, bildt. Adrrsits sth wir vor dr Situatio, dass Zitsigal icht "udlich lag" durch Mssug bobachtt wrd kö. Slbst w di Sigalläg dlich ist, wird doch di Bobachtugsdaur i d mist Fäll wstlich klir si. Wir k also ω

46 44 ur i Stück ds Sigalvrlaufs (das wir atürlich sivoll so gwählt hab, dass s "rprästativ" für d Gsamtvrlauf ist) irhalb is "Fstrs". Damit wir trotzdm och i Spktrum zuwis kö, ist s zwigd rfordrlich, Aahm übr d witr Vrlauf ds Sigals außrhalb ds Bobachtugsfstrs zu mach: wir müss i Sigal-MODELL aus dr Ktis ur is Sigalstücks twickl. Dabi sid u vil Möglichkit off, di Extrapolatio für Sigaltil außrhalb ds Datfstrs aus d Wrt irhalb ds Datfstrs vorzuhm. Di möglich Extrapolatiosvorschrift kö wir i zwi Grupp zusammfass:. Am Fstr-Ihalt oritirt Extrapolatio Am sivollst wär s sichrlich, di i dr Bobachtug thalt Iformatio zu utz, um das Sigalmodll außrhalb ds Datfstrs fstzulg. W ma zum Bispil wiß, dass das Sigal ur wig spktral Kompot thält ud damit i bstimmt "glatt", priodisch widrholt Sigalform bsitzt, da köt ma (twa durch "scharfs Hish") Form ud Priodizität aus dm Fstrihalt hrausls ud das Sigal-Modll mit dr hrausgfud Priodizität fortstz. Wstlich dara ist, dass di Priodizität dm Sigal tomm wird (ud icht, wi utr d uivrsll Extrapolatio, i küstlich Priodizität postulirt wird). W solch A-priori-Ktiss wi "wig spktral Kompot" vorhad sid, da ka ma so offsichtlich i Sigalmodll twickl, das dm wahr Sigalvrlauf shr gut agmss ist. Di utzug vo Vorktiss zur Bstimmug vo Spktr bildt d Ausgagspukt vo Vrfahr, di utr dm Bgriff "modr spctral stimatio" zusammgfasst wrd. Ihr achtil ligt auf dr Had: ma bötigt b Vorktiss, um si awd zu kö. I iig Fäll vrfügt ma ja auch i dr Tat übr solch Vorab-Eischätzug (z.b.: "s hadlt sich um Rsoazschwigug"), i shr vil adr Fäll dagg (z.b. bi britbadig Übrtragr, wi lktroakustisch Wadlr) schit i völlig uvorigommr Stadpukt agmssr. Am Fstr-Ihalt oritirt Extrapolatio ka ma offsichtlich ur "i Spzialfäll" butz, di Mthod kö icht uivrsll auf ALLE Sigal agwadt wrd.. Uivrsll Mthod müss sich darauf stütz, bi dr Bildug ds Sigalmodlls möglichst wig a Iformatio "hizuzurfid". Es blib da ur zwi Möglichkit off: a) Edlich lags Sigalmodll

47 45 Ma dfiirt das Sigalmodll x M () x M ( ) für <, x( ) für so, dass außrhalb dr Bobachtug - alls zu ull gstzt wird. b) Priodisirts Sigalmodll Ma dfiirt das Sigalmodll x p () x p x ( ) x( ) für ( m) x ( ) für m, ±,, + p p ± als priodisch Fortstzug ds kompltt Fstr-Ihalts. Dabi wird i küstlich Priod butzt, di glich dr Fstrläg dr Bobachtug ist. Dis küstlich Priod T hägt i gar kir Wis mit dm zu utrsuchd Sigal x() zusamm, si ist im Ggtil vom Awdr ds priodisirt Sigalmodlls WILLKÜRLICH postulirt word. Wir woll hir di bid gat uivrsal Sigalmodll "imalig gmachtr Vorgag" ud "küstlich priodisirtr Vorgag" ähr btracht ud di "modr Spktral-Schätz-Vrfahr" im spätr Abschitt vorbhalt..4. Eimaligs Sigalmodll D Vorgag ds "imalig Machs" ka ma auch als Multiplikatio ds wahr Sigals x() mit ir Gwichtsfolg g() auffass, das Modll x M () ght durch di Opratio x M ( ) g( ) x( ) (.3) aus x() hrvor, wobi g() i dlich lag Folg g ( ) für <, darstllt. Im ifachst Fall ist g() i rchtckförmigr Vrlauf g ( ) r( ) für,

48 46 d wir da als "Rchtckfstr" r() bzich. Wir wrd och sh, dass s durchaus vo Vortil si ka, Abwichug vom Wrt für g() irhalb ds Datfstrs zuzulass. Wir wiss u vo frühr Btrachtug, dass dr Multiplikatio im Origialbrich di Faltug im Bildbrich tspricht (Gl..4 mit Gl..5), s ist also X M j j j ( ) G( ) X( ) j( ν) jν ( ) X( ) G dν (.3) Stts also ist das (izig auch brchbar) Spktrum ds Sigalmodlls glich dr Faltug ds Spktrums dr Gwichtsfolg G(j) mit dm "wahr" Sigalspktrum X(j). Wi i ifachs Bispil lhrt, wirkt di Faltug "vrschmirt", si macht i impulsförmig Vrlauf ds wahr Spktrums X(j) britr, glattr: X M (j) rschit "vrmischt" ggübr dm "kotrastrich" wahr X(j). Aus dism Grud t ma d i (.5) idrglgt Sachvrhalt auch "Uschärfrlatio". Zur Vrdutlichug butz wir das Bispil is bsodrs "kotrastrich" wahr Sigals dr Form X j ( ) δ( ) X (.33) das aus ir izig spktral Kompot mit dr ormirt Sigalfrquz x bstht. Das Spktrum dr Modllfolg ist ach (.5) X M j j( X ) ( ) G( ) glich dm vo x ach rchts vrschob Spktrum dr Gwichtsfolg. Für das Rchtckfstr ist bispilswis si / (.34) si j j j j( ) ( ) R( ) G [Bwis: Summforml dr gomtrisch Rih z ( z )/( z) ], dss Vrlauf für i Bild.4 für i spktral Priod widrggb ist. Er ist licht zu diskutir: