Poisson-Verteilung. Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert:

Transkript

1 oisso-vrtilug Di Noral-Vrtilug ist i kotiuirlich Vrtilug Di Bioial-Vrtilug ist diskrt. Ei witr diskrt Vrtilug ist di oisso-vrtilug. Di Awdug dr oisso-vrtilug ist brit gfächrt: Azahl dr Tlfogspräch, di i ir bstit Zit bi ir Fira itrff. Azahl dr Kud a i Bakschaltr pro Zitihit. Azahl dr Baktri pro Litr Nährlösug. Azahl dr Vrkhrsufäll pro Zitihit a ir Kruzug. Azahl dr i ir bstit Zit zrfalld Atokr. 9.. Vorlsug 7

2 oisso-vrtilug ist di Azahl vo Erigiss i ir bstit Zit odr i i bstit Volu, wobi i bstitr Mittlwrt solchr Erigiss rwartt wrd ka. Di Erigiss üss zufällig ud uabhägig voiadr si.! ( ), wobi,,,3,... Hrlitug dr oisso-vrtilug ist auf hrr Art öglich: Zuächst Erklärug ds izig aratrs. 9.. Vorlsug 7

3 oisso-vrtilug Wi groß ist dr Mittlwrt (Erwartugswrt)?! ( ) Dr rst Tr dr Su ist Null. Dr Faktor /! ka durch /(-)! rstzt wrd. ( )! ! 3! Das hißt dr aratr, dr di oisso-vrtilug charaktrisirt, ist glich dr ittlr Azahl dr gzählt Erigiss, di rwartt wird, w wir das Zählprit vil Mal widrhol. 9.. Vorlsug 7 3

4 9.. Vorlsug 7 4 oisso-vrtilug Wi groß ist di Stadardabwichug? Zuächst Brchug dr Variaz ( ) ( )!! σ σ!!!

5 9.. Vorlsug 7 5 oisso-vrtilug ( )!! σ rstz vo it ( ( - ) ), führt zu ( ) ( ) ( ) σ!!! Erstz vo - durch ν, suir vo ν rgibt für di Su d Wrt is ud dait wird: ( ) σ )! (! σ σ

6 oisso-vrtilug σ Di Stadardabwichug ist soit glich dr Wurzl aus d Mittlwrt. Dr Fhlr ds Mittlwrts ist ggb durch: wobi di Azahl dr Mssug ist, σ σ di wir vrwdt hab u d Mittlwrt zu bsti. Dr rlativ Fhlr dr oisso-vrtilug ist soit: σ 9.. Vorlsug 7 6

7 Di oisso-vrtilug Bispil: A ir Kruzug fid pro Woch zwi Vrkhrsufäll statt. Di Häufigkit dr Vrkhrsufäll wird durch i oissovrtilug it bschrib. Wi groß ist di Wahrschilichkit dafür, dass i ir Woch ki Ufall stattfidt? ( )!! ( ) Vorlsug 7 7

8 Di oisso-vrtilug Bispil: A ir Kruzug fid pro Woch zwi Vrkhrsufäll statt. Di Häufigkit dr Vrkhrsufäll wird durch i oissovrtilug it bschrib. Wi groß ist di Wahrschilichkit dafür, dass wigr als vir Vrkhrsufäll i zwi Woch stattfid? ( 3) () () () (3).4335 ( ) 4 4! ()! ( )! () ! Ählich Frag sid z. B. wi vil Kidr wrd pro Tag i i Krakhaus gbor? (Jahrszitlich Schwakug)!!. Ligt tatsächlich i oissovrtilug vor? Qualitativr graphischr Vrglich Quatitativ ittls χ -Tst 9.. Vorlsug 7 8

9 oissovrtilug Übugsaufgab zur oissovrtilug: Wir zähl di Azahl vo Erigiss pro Zitihit t. Wir führ i Mssug 84 al durch Wir rhalt als Mittlwrt.9 Di Stadardabwichug ist.456 Dr Fhlr ds Mittlwrts ist.6. ± Vorlsug 7 9

10 oissovrtilug Aah wir wär zu faul gws ud hätt bi dr glich Mssug di Apparatur 84 t lauf lass Wir hätt ur i Mssug durchgführt. Dr Mittlwrt wär 78 Erigiss. Di Stadardabwichug Dr Stadardfhlr soit 3. Das Edrgbis: 78 ± 3. ± Vorlsug 7

11 oisso-vrtilug Zusahag zur Bioial-Vrtilug Broulli- Vrtilug diskrt aratr:, p Bioial-Vrtilug diskrt aratr:, p Bi () Zusahag dr Vrtilug! p! oisso- Vrtilug diskrt aratr σ () Bi ( ) ( ) p p "Grzfall sltr Erigiss" Awdug auf radioaktiv Zrfall I ir radioaktiv rob si shr vil () Tilch vorhad, di it ir äußrst grig Wahrschilichkit p zrfall, (z.b. utr Aussdug is - Quats). Wir rgistrir di Azahl dr ittirt - Quat i i bstit Zititrvall t. Wir ss shr vil Zititrvall i ud rhalt Azahl vo Erigiss. Dr Erwartugswrt (Mittlwrt) ist p. Grzübrgag zu! 9.. Vorlsug 7

12 9.. Vorlsug 7 oisso-vrtilug Zusahag zur Bioial-Vrtilug ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) für!...!!...!!! p p Bi

13 Noral-Vrtilug Zusahag zur Bioial-Vrtilug Broulli- Vrtilug diskrt aratr:, p Bioial-Vrtilug diskrt aratr:, p Bi ()! p! cost. Gauss-Vrtilug Noral-Vrtilug kotiuirlich aratr:, σ G () Wir ach i Mssug Di Msswrt stz sich aus ir groß Zahl vo kli Eltarfhlr β zusa, di u d wahr Wrt (Mittlwrt) vrtilt sid. Di Eltarfhlr trt al auf, al positiv ud - al gativ. Dr Fhlr f stzt sich soit zusa aus (p /): f β -(-) β β β [ / f / β] 9.. Vorlsug 7 3

14 Noral-Vrtilug Zusahag zur Bioial-Vrtilug Di Wahrschilichkit dafür, dass dr Fhlr al positiv ud - al gativ auftritt wird durch di Bioial-Vrtilug ggb: p ( p)!! ( )! Di Vrtilug ist trppförig Lass wir β ir klir wrd ud ir größr, da wird di Azahl dr Stuf ir größr, di Kurv ir "glattr". Vrsuch, i Fuktio zu fid, di d Vrlauf bschribt. 9.. Vorlsug 7 4

15 9.. Vorlsug 7 5 Noral-Vrtilug Zusahag zur Bioial-Vrtilug f f f ud β f Di Rchug soll durchgführt wrd für Fhlr, di kli sid gg d aial Fhlr, also f << β ud >>. β f f sowi [ / f/ β]

16 Noral-Vrtilug Zusahag zur Bioial-Vrtilug f β [ / f / β] - - -f / β ud dr Nr / f / β / f f β f β d df Abkürzug : β σ d df f d f df σ σ l σ cost d σ d π σ 9.. Vorlsug 7 6

17 Bioialvrtilug Zusahag zur Noral-Vrtilug Zusahag dr Vrtilug Broulli- Vrtilug diskrt aratr:, p Bioial-Vrtilug diskrt aratr:, p Bi ()! p! oisso- Vrtilug diskrt aratr σ ()! p! cost. Gauss-Vrtilug Noral-Vrtilug kotiuirlich aratr:, σ G ()! p 9.. Vorlsug Vorlsug 7 7

18 oissovrtilug Zusahag zur Noral-Vrtilug oisso- Vrtilug diskrt aratr σ () Gauss-Vrtilug Noral-Vrtilug kotiuirlich aratr:, σ! p G () 4.. Vorlsug Vorlsug 7 8

19 Zusahag dr Vrtilug Ist di opulatio dlich? JA NEIN Ist groß? Ist p > 9? JA NEIN JA NEIN Hyprgotrisch Gauß oisso Bioial 9.. Vorlsug 7 9

20 Awdug dr Bioialvrtilug bi dr Qualitätssichrug Urodll it Zurücklg Wir hab di Aufgab i Lifrug zu tst. Di Lifrug bstht aus N Til vo d M fhlrhaft sid. Di Wahrschilichkit bi ialig Zih i fhlrhafts Til zu zih ist: p M/N (Fhlrquot) Wir tst isgsat Til ud frag, wi wahrschilich ist s, dass di Til ki Fhlr aufwis? 9.. Vorlsug 7

21 Awdug dr Bioialvrtilug bi dr Qualitätssichrug Wir tst isgsat Til ud frag, wi wahrschilich ist s, dass di Til ki Fhlr aufwis? p p Bioialvrtilug ( ) ( ) W (Ki fhlrhafts Til) W!!! ( ), w ( ) ( p) Wahrschilichkit für Null fhlrhaft Til,,8,6,4, Til.5 Bispil 5,,,,,3,4,5 Fhlrquot 9.. Vorlsug 7

22 Awdug dr Bioialvrtilug bi dr Qualitätssichrug Erhöhug dr Tilchzahl führt zu sichrr Etschidug Wahrschilichkit für Null fhlrhaft Til,,8,6,4, Til.5 Wahrschilichkit für Null fhlrhaft Til,,8,6,4, Til.5 Til. Til.5,,,,,,3,4,5 Fhlrquot,,,,3,4,5 Fhlrquot Kostfaktor? 9.. Vorlsug 7