Die Normalverteilung

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1 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr Di Normalvrtilug Hrlitug ud Motivatio Amrkug: Dr folgd Til ist tilwis imlich mathmatisch. Lass si sich bitt icht vrwirr. Dis ist ur für Itrssirt gdacht ud kiswgs Schularbits-odr Maturastoff. Bishr hab wir us ldiglich mit diskrt Zufallsvariabl (X0,,...) bfasst (Ma ka um Bispil aus ir Ur rot Kugl odr rot Kugl ih, das Zih vo,3 rot Kugl ist abr umöglich. Es sid also ur gaahlig Wrt möglich). I dr rais trt abr shr häufig sttig Zufallsvariabl auf (.B. Um wi vil µ mm i Siliiumschib vo dr vorgschrib Dick abwicht). riipill ist abr für dis Abwichug jdr rdklich Wrt logisch. Di Wahrschilichkit, dass i Abwichug jdoch gau i bstimmt Wrt aimmt ist 0 (Es ist uwahrschilich, dass wir i Abwichug vo, µ mm mss). Dis bdutt, dass di für (X)0 daughörig Wahrschilichkitsfuktio f:y0 i Nullfuktio ist, di ki Aussagkraft bsitt. Logischrwis mach wir us dshalb i Klassitilug (Itrvall) ud schau, wi wahrschilich s ist, dass Wrt i disr Klass lig. Bispil: Vo ir Maschi wrd Nägl hrgstllt. Ma immt i Stichprob vo 80 Stück ud misst auf mm gau. Frtig i Histogramm a. Lösug: Mssug i mm Absolut Häufigkit Rlativ Häufigkit / / /85 4 / /85 Rlativ Häufigkit 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 Rlativ Häufigkit Mssug i mm Bacht: Di Gsamtfläch disr Trppfuktio ist, da di Gsamtsumm allr rlativ Häufigkit stts si muss.

2 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr Nu möcht ma allrdigs doch twas gaur wrd. Dshalb wird dislb Stichprob och imal gmss, dismal allrdigs auf halb mm gau. Frtig widr i Histogramm a. Mssug i mm Absolut Häufigkit Rlativ Häufigkit 38,0 /85 38,5 3 3/85 39,0 5 5/85 39,5 /85 40,0 5 5/85 40,5 7 7/85 4,0 6 6/85 4,5 5 5/85 4,0 6 6/85 4,5 4 4/85 Wir rhalt folgds Diagramm: Rlativ Häufigkit 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 Rlativ Häufigkit Mssug i mm 38 38, , ,5 4 4,5 4 Bacht: Di Gsamtfläch blibt. J gaur ma also misst, dsto fir wird di Klassitilug. Im Grwrt (bi "udlich" klir Utrtilug) tstht aus dr Trppkurv i sttig Kurv f, di ma als di Wahrschilichkitsdichtfuktio f bicht. Di Gsamtfläch disr Fuktio ist. Typisch ist außrdm dis Glockform dr Kurv. Gauß hat fstgstllt, dass

3 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr dis Form shr häufig auftritt, dshalb woll wir us mit ihrr Brchug ähr bfass: Bacht: )Uabhägig vo dr Klassitilug ist di Gsamtfläch utr dr Kurv stts. Auch di Summ dr Wahrschilichkit vo all Eilrgbiss ist stts. )Nach dm Sat für groß Zahl ist für groß di Wahrschilichkit für das Eitrt is Erigisss glich sir rlativ Häufigkit. Folgrug: Eigtlich itrssirt bi drartig roblm ja ldiglich di Frag ob i Wrt utrhalb, obrhalb odr i i bstimmt Itrvall ligt. Di Wahrschilichkit dafür ist jdoch gau di Fläch dr Kurv. Bispil: ) Di Wahrschilichkit, dass dr Msswrt klir als 50 ist. (X<50) Gsamt Kurvfläch ) Di Wahrschilichkit, dass dr Msswrt größr als 40 ist. (X>40) Fläch dr Kurv vo 40 bis um Ed. 3) Di Wahrschilichkit, dass dr Msswrt wisch 40 ud 4 ligt. (40<X<4) Fläch dr Kurv wisch 40 ud 4. Was wir also bötig ist das Wiss, wi ma di Fläch drartigr Glockkurv brcht. Eifachkitshalbr woll wir dafür och i kli Übrlgug aführ. Eigtlich itrssirt us immr, ob i Wrt i bstimmt Bdigug rfüllt odr icht (Etwdr dr Msswrt ist größr als 40 odr r ist < 40), wobi di Wahrschilichkit p für das Erfüll dr Bdigug auch bi mhrmaligr Übrprüfug stts glich blibt ud di Wahrschilichkit q für das Nichtrfüll dr Bdigug glich -p ist. Ituitiv rkt ma also, dass sich di Biomialvrtilug durch di Normalvrtilug approimir lässt, d.h. di Biomialvrtilug ist ldiglich i spill Normalvrtilug. Dshalb vrwd wir für di Brchug dr Glockkurv i Biomialvrtilug. 3

4 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr Hrlitug dr Wahrschilichkitsdichtfuktio Disr Til ist atürlich ur für di Itrssirt ud für das Vrstädis gdacht, wird abr da ki rüfugsstoff si. Ei grob Übrblick übr dis Thori wrd ich ih i dr Kotaktstud lifr!!.schritt: Wir dk us i Biomialvrtilug mit 0 ud p (.B. 0 maligs Wrf ir Mü) ud trag (Xk),k0,,...,0 als Histogramm i i Koordiatsystm i. (Mittlwrt µ p 5, Varia p q, 5) Brchug: ( X 0) 0, ( X ) u. s. w. Wir rhalt folgds Diagramm: 9 0,0098 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Wir vrmut u ach dm Gst dr groß Zahl. J größr wird, dsto bssr wird di Biomialvrtilug di igicht Glockkurv approimir. Wähl wir.b. 5,p0,5 ud 0,p0,5; 0, 0,5 0, 0,

5 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr Wir sh: Di Kurv wrd immr britr ud si "wadr ach rchts" j größr wird. Wir hätt u folgd Aufgab. Wir müsst das ob aggb Diagramm abrud (Also i Fuktio fid, di d Vrlauf hirichd bschribt). 0, 0,5 0, 0,05 0-0, Nu müsst wir i Fuktio fid, di dis Graph bschribt. Dis ist di Wahrschilichkitsdichtfuktio, wlch abr shr kompliirt ist. Si lautt: y µ. Jd Fuktio, di disr Form tspricht, t ma ormalvrtilt. Um jtt i Wahrschilichkit u brch, müsst wir di Fläch utr dr Fuktio i im bstimmt Itrvall brch. Wir müsst also itgrir. Wi sich abr jdr vorstll ka, ist das itgrir vo obigr Fuktio mit ifach Mittl icht möglich. Aus dism Grud kam Gauß auf i gial Id. Wir trasformir all dis ählich Fuktio auf i iig stadardisirt Fuktio (Dis t ma da di Stadardormalvrtilug). Für dis Stadardormalvrtilug hab us da di Mathmatikr di Itgral all brcht ud i Tabll dau hrausggb, so dass wir ur och i dr Tabll achschau müss. y 0,3 0, 0, ,50 0,00-4,00 -,00 0,00,00 4,00 y Ursprüglich Normalvrtilug Stadardormalvrtilug Di Fläch utr d bid Fuktio müss atürlich idtisch groß, also si, da wir dis ja da als di Wahrschilichkit für i bstimmts Erigis itrprtir woll. Zur Utrschidug wrd all Wrt i dr 5

6 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr ursprüglich Normalvrtilug mit bat, dr tsprchd Wrt i dr Stadardormalvrtilug mit. Um u di Biomialvrtilug mitiadr vrglich u kö, führ wir im. Schritt dis sogat Stadardisirug durch; d.h., wir trasformir di Trppfuktio so, dass sich di Häufigkit dr trasformirt Zufallsvariabl um d u Mittlwrt 0 vrtil ud di Stadardabwichug bträgt:.schritt: (Stadardisirug vo X) µ Wir rst di Zufallsvariabl X durch Z X ud dis (u) Zufallsvariabl Z, di u X stadardisirt Variabl (W wir jd Wrt um µ vrschib, so muss dr u Mittlwrt bi Null lig, was wir ja rrich woll. Durch di Divisio durch wird di u Stadardabwichug, was bfalls rwüscht ist). Dr Vortil: Z hat d Mittlwrt 0 ud di Stadardabwichug. Durch di Trasformatio gschiht folgds: ) Dr Nullpukt fällt jtt mit dm Mittlwrt µ usamm. ) Di Brit dr Trppstuf wird vrädrt. Di u Brit ist das -fach dr alt. Zum Ausglich dafür (di Gsamtfläch muss ja witrhi si) ist di u Höh dr Trppfuktio das -fach dr alt. Dis vorrst stadardisirt Biomialvrtilug siht folgdrmaß aus: y 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0, y 3. Schritt: Wir sh u brits, dass sich di Trppfuktio dr stadardisirt Biomialvrtilug bi ir (glatt) Glockkurv aähr wrd. Ud dis Grübrgag woll wir u auch rchrisch durchführ, um di Glichug dr Glockkurv u rhalt. Di Vrtilug dr Wahrschilichkit bi dr Biomialvrtilug mit p lautt wi folgt: 6

7 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr 7 f X!!! Utrsuch wir u, was mit disr Biomialvrtilug gschiht, w shr groß wird. Dau vrwd wir di STIRLING-Forml für di Fakultät:! Wir wd di Forml a:!!! Wir form d Dopplbruch um: Da für groß folgt: Damit rhalt wir folgd Wahrschilichkitsfuktio: f ) ( Nu müss wir usr graphisch brits durchgführt Trasformatio auch rchrisch durchführ. Wir stz X µ. Durch Umform gilt also: µ wobi wg dr Biomialvrtilug gilt: 4 q p p µ Wir st also ud µ i ud rhalt: µ Außrdm bötig wir och -:

8 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr 8 / / Nach dr Trasformatio rhalt wir i u Fuktio ϕ i Abhägigkit vo. Graphisch hab wir us brits übrlgt, dass di Balkhöh (Also di Fuktioswrt) dr trasformirt Fuktio gau das -fach dr ursprüglich Fuktio ist. Es gilt also: f f ϕ Nu st wir f() i: ϕ Nu st wir di für ud - trasformirt Wrt i ud form um: 4 Da gilt: a a a a a a folgt für usr Fuktio: 4 ϕ Durch Zusammfass ud Kür rhält ma: 4 ) ( ϕ Nu rlg wir di Epot: Nu kür wir ud fass di r Epot usamm:

9 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr 9 Nu fass wir di igicht Trm usamm: Dadurch rhalt wir: ) ( ϕ Nu ist s och güstig di il Faktor twas umuform: Zuächst form wir um: Nu form wir um: [ ] Nu form wir och um:

10 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr 0 Wir rhalt also folgd Dichtfuktio: ϕ Nu bötig wir och i witr Sat aus dm Brich dr Grwrtbrchug, ud war gilt: a a ± ± lim Nu bild wir d Grwrt für usr Dichtfuktio, da dis ja für groß glt soll: lim lim ϕ Bmrkug: Es ist üblich di Dichtfuktio dr stadardisirt Normalvrtilug mit ϕ statt mit f u bich. Aalog schribt ma für di Vrtilugsfuktio statt F mist Φ. Ud dis Glichug ist- wi wir glich sh wrd- di Glichug dr gsucht Glockkurv. 4.Schritt: Was fag wir u mit disr Kurv a? Hauptwck dr mist Aufgab ist di Brchug vo X. W wir. B. usr Biomialvrtilug am Bgi dr Hrlitug stadardisir (d.h. µ0 ud ) ud dis Trppfuktio durch di Glockkurv ϕ approimir, so ist usr gsucht Wahrschilichkit ichts adrs als di Fläch disr Glockkurv im Itrvall ;. Für di gsucht Wahrschilichkit gilt da

11 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr ( X ) ( Z ) Fläch utr dr Glockkurv im Itrvall d Dis siht uächst icht ach ir Vrifachug aus. Doch ligt i Vrifachug vor, d mittls usrr Stadardisirug hab wir sämtlich Wahrschilichkit bi ga blibig vrtilt Variabl auf i iig Fuktio Φ urückgführt. Dis ist dshalb i so großr Vortil, wil sich usr Glockkurv ur shr schwr itgrir lass (Lass sich mittls umrischr Itgratio approimir). Durch di Stadardisirug ist für us ldiglich i Glockkurv itrssat, ud dr Fläch, also di Wahrschilichkit, wurd tabllirt. 5.Schritt: Dfiitio: Ist i Zufallsvariabl so vrtilt, dass ihr Wahrschilichkitsdich- t ϕ ist, so sag wir: Z ist 0--ormalvrtilt, kur N(0,)-vrtilt. Di Bichug N(0,) ist dadurch grchtfrtigt, dass dr Erwartugswrt 0 ud di Stadardabwichug ist. Dis Fuktio hißt ach ihrm Etdckr ud ihrr Gstalt GAUSSsch Glockkurv.

12 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr RAKTISCHE ANWENDUNG DER NORMALVERTEILUNG Wi wir sofort sh wrd, ist di so schwirig Thori i dr rais widr imal rlativ licht auwd. Bispil: Ei Maschi stllt Nägl hr. Di Läg dr Nägl si ormalvrtilt mit dm Erwartugswrt µ 0cm ud dr Stadardabwichug 0, cm. Wi groß ist di Wahrschilichkit, dass a) di Läg is blibig Nagls utr 0, cm ligt b) di Läg is blibig Nagls utr 9,7 cm ligt? c) di Läg is blibig Nagls übr 0, cm ligt? d) di Läg is blibig Nagls wisch 9,8 cm ud 0,5 cm ligt? ) di Läg is Nagls um maimal ε0, cm vom Erwartugswrt abwicht? Lösug: Wir hab laut Agab i Normalvrtilug vorlig, wobi wir µ ud k. Wir uächst imal X...Läg is Nagls a) Hir soll wir also Folgds brch: (X < 0,) Wir wchsl u vo usrr Normalvrtilug i di Stadardormalvrtilug, das hißt wir such d u 0, tsprchd -Wrt. Dis rhalt wir mittls usrr Trasformatiosforml µ. Wir trasformir 0, idm wir ist: 0, 0 0, I dr Stadardormalvrtilug tspricht also usr Fragstllug: ( X < 0,) ( Z < ) Das vorhad Tabllwrk für di Stadardormalvrtilug gibt abr gau all Wahrschilichkit a, di klir als i bstimmtr Wrt sid. Wir müss also ur och di tsprchd Fläch abls. Formal bicht ma di im bstimmt -Wrt ugordt Fläch mit dr Fuktio ϕ (). Wir bötig also: ( X < 0,) ( Z < ) ϕ Di Tabll fid si u i ihrm Formlhft odr i ihrm Lhrbuch REICHEL 8 ga hit. Um d richtig Wrt u fid, such wir uächst i dr Zil,00. Di Spaltübrschrift ob gb ih aschlißd di wit Nachkommastll a. Da bi us dis Null ist, such wir d Wrt i dr. Spalt ud rhalt:

13 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr Wir rhalt also: ( X < 0,) ( Z < ) ϕ 0, Mit 84,3% igr Wahrschilichkit ist i Nagl also kürr als 0, cm. Übug: Übugsblatt ; Aufgab Lös wir u Til b) dr Aufgab: b) Hir soll wir also Folgds brch: (X < 9,7) Wir wchsl widr vo usrr Normalvrtilug i di Stadardor- - malvrtilug, das hißt wir such d u 9,7 tsprchd Wrt. Dis rhalt wir mittls usrr Trasformatiosforml µ. Wir trasformir 9,7 idm wir ist: 3

14 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr 9,7 0,5 0,, I dr Stadardormalvrtilug tspricht also usr Fragstllug: ( X < 9,7) ( Z <,5) ϕ(,5) Das vorhad Tabllwrk für di Stadardormalvrtilug gibt abr ur Wrt für positiv a (Amrkug: Hat ihr Tabllwrk im Formlhft auch i Spalt ϕ ( ), so kö si dort dirkt di Wahr- also uächst schilichkit für gativ -Wrt abls!). Wir müss imal logisch Übrlgug astll, wi wir i glich groß Flädi Stadardor- ch mit positivm rhalt. Dau ich wir us malvrtilug (Bacht: µ0) ud trag i gativ -Wrt i: ϕ bötig, so brch wir ja di Fläch, di liks vo ligt (Sih obr Zichug). Wg dr Symmtri dr Normalvr- di rchts tilug muss dis Fläch abr gau glich si, dr Fläch, vo ligt. Da di Gsamtfläch utr dr Fuktio abr ist, muss dis Fläch mius dr Fläch, di liks vo ligt, si (Sih utr Zichug). Es gilt also: ϕ W wir ( ) Ngativitätsrgl: ϕ Nu wd wir dis Forml auf usr Bispil a: ( X < 0,) ( Z <,5) ϕ (,5) ϕ(,5) Nu such wir i usrm Tabllwrk ϕ (,5). Wir rhalt: 0,9339 0,0668 Mit 6,68% igr Wahrschilichkit ist i Nagl also kürrr als 9,7 cm. Übug: Übugsblatt ; Aufgab 05 Lös wir u Til c) dr Aufgab: c) Hir soll wir also Folgds brch: (X > 0,) 4

15 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr Wir wchsl widr vo usrr Normalvrtilug i di Stadardormalvrtilug, das hißt wir such d u 0, tsprchd - Wrt. Dis rhalt wir mittls usrr Trasformatiosforml µ. Wir trasformir 0, idm wir ist: 0, 0 0,5 0, I dr Stadardormalvrtilug tspricht also usr Fragstllug: ( X > 0,) ( Z > 0,5) Das vorhad Tabllwrk für di Stadardormalvrtilug gibt abr ur Wrt a, di klir als i bstimmtr -Wrt sid. Folglich müss wir auch hir di gsucht Fläch durch i adr ausdrück. Übrlg Si sich mittls ihrs Lhrbuchs (REICHEL 8; Sit 3; Ski u Rchtr Spit ), dass Folgds gilt: Sat: ( Z > ) ( Z < ) Auf usr Bispil agwadt rhalt wir: ( X > 0,) ( Z > 0,5) ( Z < 0,5) ϕ( 0,5) Wir schlag widr i usrm Tabllwrk ach: 0,6946 0,30854 Mit 30,85% igr Wahrschilichkit ist i Nagl also lägr als 0, cm. Übug: Übugsblatt ; Aufgab 06 d) Hir soll wir also Folgds brch: ( 9,8 < X < 0,5) Wir wchsl widr vo usrr Normalvrtilug i di Stadardormalvrtilug. Dismal müss wir wi -Wrt mittls usrr Forml trasformir, ämlich 9,8 ud 0,5. Wir trasformir 9,8 idm wir ist: 9,8 0 0, Nu trasformir wir 0,5: 0,5 0,5 0, I dr Stadardormalvrtilug tspricht also usr Fragstllug: ( 9,8 < X < 0,5) ( < Z <,5) Nu müss wir us widr twas ifall lass, wi wir u di tsprchd Fläch rhalt. Wi wir a folgdr Ski sh, brch wir bi disr Fragstllug di Fläch wisch wi -Wrt: 5

16 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr y 0-4,00 -,00 0,00,00 4,00 Dis Fläch rhalt wir abr, idm wir us di Fläch, di klir als ist ud di Fläch, di klir als ist ausrch ud da di Diffr dr bid Fläch bild: ( Z < ) y 0-4,00 -,00 0,00,00 4,00 6

17 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr ( Z < ) y 0-4,00 -,00 0,00,00 4,00 W Si di Diffr dr bid Fläch ob bild rhalt wir di gwüscht Fläch. Es gilt also: Sat: < Z < ) ( Z < ) ( Z < ) ( Wir wd dis Forml auf usr Bispil a: ( < Z <,5) ( Z <,5) ( Z < ) ϕ (,5) ϕ Nach dr Ngativitätsrgl bsitig wir och d gativ -Wrt. ϕ (,5) ( ϕ) Wir lös di Klammr auf: ϕ (,5) ϕ Wir such i usrm Tabllwrk di bid Wrt ud rhalt: 0, ,8434 0,73569 Mit 73,57% igr Wahrschilichkit hat i Nagl i Läg wisch 9,8 ud 0,5 cm. Übug: Übugsblatt ; Aufgab 07 ) Da dr Erwartugswrt bi 0 cm ligt, bdutt i Abwichug um maimal 0, cm, dass di Läg ds Nagls wisch 9,9 cm ud 0, cm lig soll: ( 9,9 < X < 0,) Wir köt dis Aufgab u wi Til d) lös, da di bid Gr abr hir symmtrisch um µ lig, lässt sich hir i ifach Forml hrlit: ( ε < X < ε ) Da di bid Gr symmtrisch u µ lig, müss si i dr Stadardormalvrtilug symmtrisch u Null (Dis ist ja dort µ) lig, das hißt di bid tsprchd -Wrt utrschid sich ur durch das Vorich. Si laut also ud. Wir st dis i: ( < Z < ) 7

18 Mathmatik: LhrrItam Arbitsblatt Smstr Nu wd wir usr Rchgst aus d) a: ( Z < ) ( Z < ) ϕ ϕ( ) Wir wd di Ngativitätsrgl a: ϕ ( ϕ) Wir lös di Klammr auf: ϕ ϕ) Wir fass usamm ud rhalt: ϕ Sat: Ei symmtrischs Itrvall um d Mittlwrt t ma i Strubrich. Disr lässt sich folgdrmaß brch: ( < Z < ) ( Z > ) ϕ Nu wd wir usr Rchgst auf das Bispil a. Wir trasformir uächst d größr -Wrt. Amrkug: Vrwd Si bi dr Strubrichsforml immr d größr -Wrt ur Brchug ds -Wrts. Wir trasformir 0, idm wir ist: 0, 0 0,5 0, Nu st wir i usr Forml i: ( 9,9 < X < 0,) ϕ ( 0,5) Wir schlag i usrm Tabllwrk ach: 0,6946 0,389 Mit 38,9% igr Wahrschilichkit hat i Nagl i Läg wisch 9,9 ud 0, cm. Übug: Übugsblatt ; Aufgab 08-8