Grundwissen JS 8. Algebra 26. Mai 2011

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Lioba Kirchner
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1 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthm-thnolog u sprhl Gymnsium Grunwissn JS 8 WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Algr 26 Mi 20 Wi knn mn rknnn, o zwi Größn un y irkt proportionl zuinnr sin? Gi vir Möglihkitn n Di Größnpr r Wrttll sin quotintnglih Dr gminsm Quotint hißt Proportionlitätsktor m y 0,5 3,75 7,5 5,25 2,25 m y 3 4 Dm 3,,2,3,4,,k hn r inn Größ wir s 2 3,,2,3,4,,k h r nrn Größ zugornt 2 Zwishn un y stht i Forml y m, woi m in Konstnt ist Di Wrtpr ( y) lign u inr Ursprungsgr 2 Nnn Größnpr, i inutig () irkt proportionl zuinnr sin () niht irkt proportionl zuinnr sin () ghrn Strk un ür nötigt Zit i konstntr Gshwinigkit Pris un Mng r gkutn Wr (lls kin Mngnrtt gwährt wir) Krisrius un Krisumng (m 2π) () Körprgröß un Altr Kntnläng un Flähninhlt ins Qurts (A 2 ) Rius un Flähninhlt ins Kriss (A πr 2 ) 3 Erklär n inm Bispil i Bgri () Funktion () Wrttll () Dinitionsmng un () Wrtmng () Grph r Zuornung () Bi inr Funktion wir jm us inr Mng D gnu in y-wrt zugornt ZB ornt r Trm T() y 2 2 jm -Wrt i Hält sins Qurts zu () Di Wrttll listt ür inig -Wrt i zughörign y-wrt u 0, 5 2 2,5 2 y 0, , () Di Dinitionsmng D lgt st, wlh Wrt ür ingstzt wrn ürn (im Bsp: D Q) () Di Wrtmng W ist i Mng r möglihn y-wrt (im Bsp: W Q + 0 ) () Dr Grph stllt ll Wrtpr ( y)lspunkt imkoorintnsystm r

2 4() Wlh Eignshtn ht i Nullstll inr Funktion? () Ws ist r y-ahsnshnitt inr Funktion un wi knn mn ihn rhnn? () Wi rknnt mn n inm Grph, o r zu inr Funktion ghört? Bispil: y () Di Nullstlln sin i -Wrt, rn y-wrt glih Null ist Dr Grph shnit ort i -Ahs im Bsp: Nullstll:,5 () Dr y-ahsnshnitt t ist r y- Wrt, r zu 0 ghört Dr Grph shnit ort i y-ahs im Bsp: t 2 տ N-Stll y-ahsn () Bi Funktionsgrphn r j Prlll zur y-ahs n Grph höhstns inml shnin kin Funktionsgrph Funktionsgrph 5() Wi lutt i llgmin Grnglihung inr Gr g Wi zihnt mn i Prmtr? () Wlh Aussgn knn mn ür n Vrlu s Grphn inr linrn Funktion mhn, wnn mn nur i Funktionsglihung knnt () Wlh Grn s Koorintnsystms lssn sih niht urh i llgmin Grnglihung rstlln? Wi lutn ihr Zuornungsglihungn? () y m + t; m hißt Stigungsktor, t hißt y- Ahsnsshnitt () J größr m, sto stilr vrläut g m > 0 : g stigt nh rhts n m < 0 : g ällt nh rhts m 0 : g vrläut prlll zur -Ahs g shnit i y-ahs im Punkt T(0 t) t m 3 m 2 m m 3 () Di Prllln zur y-ahs hn kin Funktionsglihung wil zu jm -Wrt vil y-wrt ghörn Ihr Zuornungsglihung lutt zb 3 or 2 6() Wi knn mn zu inr vorggnn Grnglihung n zughörign Funktionsgrphn inn? Gi zwi Möglihkitn n () Wi knn mn i Zuornungsglihung inr Gr us ihrm Grphn stimmn? Bispil: y 5+ () Mit Hil inr Miniwrttll suht mn zwi Punkt s Funktionsgrphn, i niht zu ng ninnr lign 2 2 y 4 2 y-ahsnshnitt mrkirn (+) un in niht zu klins Stigungsrik m y nhängn Stigungsrik im Bispil: m y (m or KäE) () Wnn i Gr prlll zur y-ahs vrläut, ht si i Glihung {Nullstll}, wnn niht, so list mn m y-ahsnshnitt t un rhnt mittls Stigungsrik m y y 6 4 3

3 7 Erklär n inm Bispil, wi mn i Glihung inr Gr stimmt, i urh 2 Punkt ght Wi knn mn s Ergnis ürprün? Bispil: P(2 3), Q( 6 3) Di llgmin Grnglihung ustlln y m+t m mittls Stigungsorml rhnn m y yq yp m 3 ( 3) q p 6 2 0,75 m un i Koorintn von P in i llgmin Grnglihung instzn un is nh t ulösn 3 0,75 2+t t,5 m un t in llgmin i Grnglihung instzn y 0,75,5 Pro: P un Q instzn mit P: 3 0,75 2,5 mit Q: 3 0,75 ( 6),5 8 Erklär n inm Bispil, wi mn in linr Unglihung mit Hil von Äquivlnzumormungn löst 4+2, {ll u in Sit, ll Konstntn u i nr} 0,5 3 ( 2) 6 L [ 6; [ Bht: Bi r Multipliktion mit or Division urh in ngtiv Zhl muss s Unglihhitszihn umgrht wrn Multipliktion mit Null un Division urh Null sin kin Äquivlnzumormungn 9 Erklär n gigntn Bispiln, wi mn in linrs Glihungssystm (LGS) mit 2 Vriln grphish löst, un wlh Sonräll utrtn könnn Mn stimmt i gminsmn Punkt r in Grn g un h, i zu m LGS ghörn g un h shnin sih in gnu inm Punkt, h s git gnu in Lösungspr I: y,5+ II: y 0,5 L {( 0,5)} g un h sin prlll, h s git kin Lösung I: y 0,5+0,5 II: y 0,5 L {} g un h sin intish, h ll Punkt r Gr sin Lösungn I: y 2 +0,5 II: y 0,5+ 2 L {( y) y 0,5+0,5}

4 0 Erklär n inm gigntn Bispil, wi mn in LGS mit 2 Vriln nh m Einstzungsvrhrn löst I: 0 2 y +3 II: 3+y 8 Aulösn inr Glihung nh inr I : y 2+3 Vril Einstzn r rhtn Sit in i 3+(2+3) 8 zwit Glihung un lösn isr y Glihung Einstzn r Lösung in in r in Anngsglihungn Zwitn Vrilnwrt rhnn in I instzn 0 2 y +3 y Lösungsmng ngn L {( 5)} Wi rknnt mn im Einstz- un im Glihstzvrhrn, ss s LGS () kin () unnlih vil Lösungn Bim Aulösn r Glihung, i nh m Ein- zw Glihstzn ntstht, rgit sih in () unrüllr Aussg (zb 3 0) () llgmingültig Aussg (zb 0 0) sitzt? 2 Nnn i wsntlihn Eignshtn r Funktion mit r Glihung y ( Q+ ) D Q\{0}, W Q\{0} Dr Grph stht us zwi zuinnr punktsymmtrishn Hyprlästn im I zw III Qurntn; Dr Grph ght urh n Punkt ( ) Di -Ahs ist wgrht, i y-ahs snkrht Asymptot s Funktionsgrphn Di Größn un y sin prouktglih, mn sgt uh, si sin inirkt proportionl ( y )

5 3 Wi wrn Bruhtrm rwitrt zw gkürzt? Bispil! Wlhs Prolm rgit sih im Erwitrn zw Kürzn möglihrwis? Bispil! Zählr un Nnnr wrn mit m glihn Fktor multiplizirt zw urh n glihn Fktor iviirt Di knn sih r Dinitionsrih änrn 2 2 DQ\{0} ( ) 2 2 DQ 2 ( )( 2) 2( 2) DQ\{2} 4 Wi irst u () Bruhtrm mit glihn Nnnrn? () Bruhtrm mit vrshinn Nnnrn? () Ws ist i r Ang s Dinitionsrihs zu htn? Bispil! () Zählr + Zählr, Nnnr lit glih (kürzn!) (2+2) (+3) 3 +3 () Brüh u Huptnnnr rwitrn, nn wi in () vorghn 3 2 (+3) 3 +3 (+3) (+3) +3 (+3) () Innrhl s Dinitionsrihs müssn ll Trm r Umormung inirt sin In in oign Bispiln ist lso D Q\{0; 3} 5() Wi multiplizirst u zwi Bruhtrm? () Wi iviirst u zwi Bruhtrm urhinnr? Bispil! () Zählr Zählr urh Nnnr Nnnr Bht: Mn ruht kinn Huptnnnr iln un sollt (lls möglih) vor m Multiplizirn kürzn ( 3) (+3) 2 3 2(+3) () Bruh Khrruh Erst vor m Multiplizirn kürzn : ( 2)

6 6 Erklär n inm Bispil, wi mn in Bruhglihung löst Bispil: D stimmn: DQ\{0;6} 4 3 i Sitn ls Bruh rstlln: mit m HN multiplizirn: (6 )2 3 vrinhn: Pro: Lösungsmng: L{ 6 7 } 7 Wi sin Potnzn mit gnzzhlign Eponntn inirt? Bispil! Für Q un n N gilt 0, n n Fktorn n n ür Q\{0} Bispil: ( 3) ( ) 2n+ ür n N ( 2 3) 2 ( 3 2) 2 2,25 8 () Ws vrstht mn untr r Glitkommrstllung inr Zhl? () Wozu ist si gut? () Gi olgn Lösungn in r Einhit mm in GKD n: () Di Drstllungsorm m 0 z mit m < 0 un z Z hißt Glitkommrstllung r Zhl () Mn knn mit Zhln ürsihtlih un mit stglgtr Gnuigkit (Stihwort: gültig Zirn) rstlln () 432m mm 4, mm 0,0023mm 0, m, m 432m 0,0023mm

7 9 Wi lutn i Potnzgstz? Bispilugn! Für, Q\{0} un m,n Z gilt m n m+n m n m n n n ( ) n ) n n n ( ( m ) n m n Bispil ( 2 9 )2 ( 3 2 )2 ( )2 ( 3 )2 9 (3 2 ) 3 3 6

8 Stohstik 20 Erklär mit Hil ins Zhlnispils, ws mn untr m Zählprinzip vrstht Anwnungsispil! Ist in Zullsprimnt zb in 5 Stun zrlgr un git s ür i inzlnn Stun 0,8,6,4 un 2 möglih Ausgäng, nn git s ür s gsmt Zullsprimnt möglih Ausgäng Anwnungsispil: Bim 4-hn Wrlwurgits zb6 4 möglih Ausgäng (wnn mn ls Bohtungsggnstn i Folg r Augnzhln trhtt) Aus 6 vrshin Buhstn knn mn 6! 720 vrshinn Kunstwörtr iln Bsitzt mn 3 Hosn, 5 Hmn un 2 Krvttn, nn knn mn sih u vrshin Artn nzihn 2() Ws ist in Lpl-Eprimnt? Bispil! () Wi rhnt mn i Lpl-Eprimntn i Whrshinlihkit ins Erignisss? () Ein Zullsprimnt, i r js möglih Ergnis mit r glihn Whrshinlihkit vorkommt, hißt Lpl- Eprimnt Bispil: Ep: Wur zwir untrshirr grhtr Würl BG: gwürlt Augn J Augnolg kommt mit r Whrshinlihkit 36 vor Di wir zb zwishn m Ergnis ( 2) un (2 ) untrshin () Für js Erignis A gilt P(A) Anzhl r ür A günstign Erigniss Anzhl r möglihn Erigniss Bispil (Fortstzung von on) gwünshts Erignis A: Augnsumm 3 P(A) P((,2),(2,))

9 Gomtri 22 Ggn sin zwi Grn g un h, i sih in inm Punkt shnin Wi lutt r rst Strhlnstz? Stll mit Strknvrhältniss i inr V- un inr X- Figur u Gnu nn wnn g un h von zwi prllln Grn gshnittn wrn, vrhltn sih zwi Stknshnitt u g wi i ntsprhnn Strknshnitt u h g S y S h h g u g + + u h y y Ggn sin zwi Grn g un h, i sih in inm Punkt S shnin Wi lutt r zwit Strhlnstz? Stll mit Strknvrhältniss i inr V- un inr X- Figur u Gnu nn wnn g un h von zwi prllln Grn gshnittn wrn, nn vrhltn sih i Ashnitt u n Prllln wi i Entrnungn ihrr Enpunkt von S u g (or h) g S y S h h g y 24() Bshri n Bgri Ähnlihkit nshulih () Nnn Bispil ür ähnlih Figurn () Wlh Eignshtn sitzn ähnlih Figurn? () Wnn in Figur s intish or vrgrößrt Ail r nrn Figur ist, so hißn i Figurn ähnlih () All Qurt, Kris, glihsitign Drik sin jwils innr ähnlih Mßstälih Lnkrtn s glihn Gits sin innr ähnlih () Entsprhn Sitn sthn stts im glihn Vrhältnis m Diss Vrhältnis wir Ailungsmßst gnnnt Für i Flähninhlt A un A zwir ähnlihr Figurn gilt A m 2 A

10 25 Nnn i Ähnlihkitssätz ür Drik Zwi Drik sin ähnlih, wnn si in olgnn Konstruktionstn rinstimmn: im Vrhältnis r ri Sitnlängn (vvv) im Vrhältnis zwir Sitnlängn un r Größ s ingshlossnn Winkls (vwv) inrgröß zwir Winkl(ww) im Vrhältnis zwir Sitnlängn un r Größ s r längrn r in Sitn ggnürlignn Winkls (VvW) vvv vwv ww VvW

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