N die Teilchenzahl der Beute- und 2. die Wachstumsrate der Beutepopulation im ungestörten Fall, 0. die Wachstumsrate der Räuber pro Beutetier.

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1 Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn Hom Startsit Imprssum Kontakt Gästuh Aufga: Erstlln Si inn Konturplot r Räur-But-Potntials ) ( inm Si as Kurvnintgral zwitr Art lösn Dai sin i Tilhnzahl r But- un i Tilhnzahl r Räurpopulation 0 i Wahstumsrat r Butpopulation im ungstörtn Fall 0 i Strrat r Räur wnn kin But vorhann ist 0 i Frßrat r Räur pro Butlwsn i glih r Strrat r But pro Räur ist un 0 i Wahstumsrat r Räur pro Buttir Lösung: Mit n Koorinatn s innrn Glihgwihtspunkts un lassn sih zwi r vir Ratn liirn un i Potntialfunktion vrinfaht sih zu on isr Potntialglihung iln wir nun as total Diffrntial 0 wlhs wir nah ntsprhnr Umformung auf n Ausruk 0 ringn woi i Komponntn s ktorfls als Graint s skalarn Fls ausgrükt wrn könnn: Mit n zwitn partilln Alitungn 0 0

2 Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn un r Funktionaltrant 0 D han wir im Punkt in asoluts Potntialimum vorlign: wlhs in r Rgl ngativ ist An r Glihung zw rn Rziprokm kann man rknnn aß i folgnn vir Punkt all auf in un rsln Konturlini lign: (4) (3) () () womit wir i folgnn Koffizintnglihungn aufstlln könnn: (4) (3) () () Durh Sutraktion von j zwi Glihungn rgn sih i in Rlationn 0 zw 0 aus nn man urh i infahr zu mssnn Ekwrt i imal un imal Population i in Fipunkt stimmn kann i r Population im Glihgwihtszustan ntsprhn: Fassn wir hinggn i zwi untrn Äst r Räur-But-Trajktori zusammn:

3 3 ( 4) ( 3) 0 0 rhaltn wir wil in m linarn Glihungssstms sämtlih Koffizintn intish vrshwinn müssn i folgnn Bstimmungsglihungn für i vir Halahsn: Diss Glihungssstm slst könnn wir nah n Ratnvrhältnissn auflösn: ( 4) ( 3) Da as Kurvnintgral zwitr Art ins Graintnfls wgunahängig ist h as Ergnis ausshlißlih von Anfangs- un Enpunkt s Wgs ahängt ist s gal auf wlhm Wg wir von inm Punkt zum anrn glangn Frnr vrshwint as Kurvnintgral längs ins gshlossnn Wgs intish: Für as unstimmt Intgral rhaltn wir nah Trnnung r arialn un anshlißnr Intgration onst woi i Konstant ggn ist urh onst ah ntsprhnr Umformung rhaltn wir i allgmin implizit Lösung s Kurvnintgrals Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn

4 4 Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn In Ahängigkit von r Lag zum Fipunkt urhläuft unsr Räur-But-Sstm 4 Phasn i wir wi folgt finirn: I III II I Phas Dr Räur-But-Zklus ginnt in r Rgl mit wnign Räurn un urhshnittlih vil But (Phas I) In Phas II nimmt i Zahl r Räur witrhin zu währn i But rits animmt In Phas III sin ann urh i witr anhmn But auh i Räur im Anhmn griffn un in Phas I han sih i Räur an n Ran ihrr Eistnz graht währn sih i But shon wir liht rholt Bginnn wir mit m Durhlaufn s Räur-But-Zklus im Ggnuhrzigrsinn im Minimum r Räur lautt as stimmt Intgral für Phas I un II (+) un für Phas III un I rhaltn wir ginnn im Maimum r Räur analog (3+4) ah Ausführung r Intgrationn rgn sih für i in Zwig i folgnn Funktionn: 0 0 Biln wir nun as gshlossn Kurvnintgral inm wir i Tilstük airn so rhaltn wir wir i in Halahsnfinitionn 0 un 0 Di anrn in Halahsn rhaltn wir wnn wir längs r Asziss intgrirn

5 5 Allgmin han all is Glihungn i Form a wnn wir uns für i infahr otation gmäß nahfolgnr Tall ntshin: a ( ) (3 4) Dfinirn wir nun in Funktion f rart aß f ( ) ) a 0 ) so sin i Fipunkt ggn urh a un as Ratnvrhältnis lautt: a a / / a a a / a / Mit n Alitungn a f ( ) a f ( ) muß für n Startwrt gltn: f ( ) f ( h ( ) f ( ) ) zw Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn

6 6 a ) a a Daraus könnn wir Bstimmungsglihungn für n Startwrt alitn Das wtonvrfahrn hat ann i Itrationsvorshrift ( m) ( m) ( f ( f ( m) ( ( m) m) ) ) a Für n Fall aß ist a ) 0 a ) a g Damit rhaltn wir i Ashätzung a a a a g a a zw a a a a g 0 3 Im Grnzfall r quaratishn Glihung lautt unsr Lösung 3 5 g a a a 4 Um as orzihn r Funktion g zu stimmn müssn wir in Etrmwrtstimmung urhführn Aus ) ( / ) folgn sofort i rstn un zwitn Alitungn g ( ) un g ( ) woi im Punkt ) 0 h für Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn

7 7 in lokals Etrmum vorlign muß An r Stll fint sih also wgn g ( ) / 0 in rlativs Minimum ligt h g ) Da is Funktion sttig un monoton wahsn ist muß as Maimum ntwr an r Stll or lign so aß witr gilt: 0 ) ) Wgn un wgn ) zw ) 0 zw 0 gilt im Fall aß ( ) ) 0 g ( ) 0 witr aß a sin muß un amit a g Aus ( ) a( / ) 0 3 ag a 4 a g folgt für Da i Wurzl größr null un g 0 ist gilt i Ashätzung: 5 a a Im Fall aß a ) 0 folgt a a a a g ( ) 0 Mit a g a ) rgit sih i Erwitrung Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn

8 8 a a a g a 0 woi wir i in Unglihungn zusammngfaßt han Im Grnzfall s Glihhitszihns rhaltn wir als Lösung r quaratishn Glihung 3 g a a a 4 Für a gilt wgn g 0 gnau wi on a a a 4 a Wil i Wurzl niht ngativ wrn kann rhaltn wir wgn a für as positiv orzihn i Ashätzung 05a a In m nahfolgnn Konturplot ist as Ergnis unsrr Brhnungn graphish argstllt umrish Lösung r Lotka-oltrra-Glihungn Phasn I & II Phasn III & I Räurpopulation Butpopulation Ailung umrish ausgwrttr Konturplot ins Räur-But-Zklus anhan s wton-rfahrns Im Anhang ist in numrishs Lösungsvrfahrn für i implizit Funktion f anggn anhan r man n Rhngang nahvollzihn kann Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn

9 9 Anhang % umrish Lösung r Lotka-oltrra-Glihungn lar all m = 00; n = 70; = 00; = 300; = 0; = 80; h = (-)/m; h = (-)/n; a = roun(-)/(lo)-lo)) = roun(-)/(lo)-lo)) = (--lo/))/(-a-alo/a)) % Phasn I & II = a; = ; for j = :n+ (j) = + (j-)h; g = (j)--lo(j)/); () = 5a; f() = (()--alo()/))+g; f() = (-a/()); f() = a/()^; if as(f()f()/f()^) < () = () - f()/f(); ls hprim = as(f()f())/f()^; n k = ; whil as((k)-(k-)) > 0000 f(k) = ((k)--alo(k)/))+g; f(k) = (-a/(k)); (k+) = (k) - f(k)/f(k); k = k+; n n k = k; (j) = (k); (j) = (j); plot('r') % Phasn III & I = a; Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn

10 0 = ; for j = :n+ (j) = - (j-)h; g = (j)--lo(j)/); () = 05a; f() = (()--alo()/))+g; f() = (-a/()); f() = a/()^; if as(f()f()/f()^) < () = () - f()/f(); ls hprim = as(f()f())/f()^; n k = ; whil as((k)-(k-)) > 0000 f(k) = ((k)--alo(k)/))+g; f(k) = (-a/(k)); (k+) = (k) - f(k)/f(k); k = k+; n n k = k; (j) = (k); (j) = (j); hol on plot('') gri on lal ('Butpopulation _'); lal('räurpopulation _'); titl('umrish Lösung r Lotka-oltrra-Glihungn'); lgn('phasn I & II''Phasn III & I'); lim([0 400]) lim([0 00]) >> LGplot a = = = 0565 Copright 04 Manfr Hil All Rht vorhaltn