Integration Grundniveau DEMO. Trainingsaufgaben
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- Harald Biermann
- vor 5 Jahren
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1 ANALYSIS Intgration Grundnivau Trainingsaufgabn zum unbstimmtn Intgral (Stammfunktionn) und zum bstimmtn Intgral mit shr ausführlichn Erklärungn Hir nur Intgration ohn Substitution Dati Nr. 8 Stand 8. Fbruar 8 Fridrich W. Buckl INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
2 8 Intgration - Grundnivau Vorwort Vil Bundsländr habn inzwischn dn Stoffbrich dr Analysis ingschränkt. Damit wrdn vil Intgrationsmthodn nicht mhr bhandlt, u. a. dshalb, wil dazu höhrwrtig Rchnr vrwndt wrdn dürfn. Damit spart man knapp Untrrichtszit im G8. In dn Pflichtaufgabn ohn Hilfsmittl wrdn jdoch bstimmt Grundknntniss abgprüft. Dazu ghörn di Intgration von Potnzfunktionn allr Art, von ganzrationaln Funktionn und von gbrochn rationaln Funktionn, zu dnn man kin Substitution bnötigt. Disr Trainingstt passt sich dism Trnd an und bitt Training auf dism Grundnivau an. Wr jdoch inn Listungskurs bsucht, in dm Substitution usw. noch bhandlt wird, dr findt im Tt 8 witr Aufgabn zum vorligndn Thma. Dort gibt s auch zum Inhalt diss Tts witr Bispil und Aufgabn.
3 8 Intgration - Grundnivau Stoff-Vrtilung Intgration Dati Nr. 8 Til Einführung in di Grundlagn: Ändrungn und Diffrnzial Linar Ändrungn / Nicht-linar Ändrungn Linar Ändrungn auf dr Tangnt - Diffrnzialbgriff Das unbstimmt Intgral Stammfunktionn - Grundintgral Dati Nr. 8 Til : Dati Nr. 8 Til Intgrationsrgln Unbstimmt Intgral für ganzrational und gbrochn rational Funktionn mit viln Substitutionsartn. Umfangrichs Übungsmatrial Das bstimmt Intgral für Potnzfunktionn, ganzrational und gbrochn rational Funktionn, auch mit Substitution. Dati Nr. 8 Til Intgration von Wurzlfunktionn () Dati Nr. 8 Til Dati Nr. Til 6 Dati Nr. 6 Til 7 Dati Nr. 86 Til 8 Dati Nr. 8 Partill Intgration: alls Eponntialfunktionn alls Ln-Funktionn alls Trigonomtrisch Funktionn alls Grundnivau für infach Anfordrungn: Gmischts Trainingshft Gründlichn Widrholn und Trainirn: Potnzfunktionn, Rational Funktionn, Wurzl-, Eponntial- und Trigonomtrisch Funktionn. Dati Nr. 8 Lrnblatt: Di wichtigstn Intgral Dati Nr. 8 Dati Nr. 8 Dati Nr. 8 Dati Nr. 8 Höhrs Nivau (Studium) Intgrationsmthodn zu gbrochn rationaln Funktionn Gbrochn rational Funktionn: Intgration mit Partialbruchzrlgung Gbrochn rational Funktionn: Rduktionsforml bzw. Umgkhrt partill Intgration Gbrochn rational Funktionn: Intgration mit arctan-funktionn Dati Nr. 86 Schwr Intgral mit gbrochn rationaln Funktionn Dati Nr. 86 Dati Nr. 87 Dati Nr. 87 Dati Nr. 86 Dati Nr. 86 Dati Nr. 87 Intgration von Wurzlfunktionn () mit arcsin-funktionn Intgration von Wurzlfunktionn (): Substitutionn mit sin und sinh Intgration dr Arkusfunktionn Schwirig Intgral Aufgabnsammlung Schwirig Intgral Aufgabnsammlung Substitutionn mit sin und sinh
4 8 Intgration - Grundnivau Inhalt Intgration von Potnzfunktionn. Grundwissn. Unbstimmt Intgral, Stammfunktionn 6. Bstimmt Intgral 8 Intgration von ganzrationaln Funktionn. Unbstimmt Intgral. Bstimmt Intgral Intgration von gbrochn rationaln Funktionn. Vrschidn Mthodn für dri Typn von Funktionstrmn. Unbstimmt Intgral Typ (im Nnnr kin Summ). Bstimmt Intgral Typ. Unbstimmt Intgral Typ (im Zählr kin ). Bstimmt Intgral Typ 6 Intgration von infachn Wurzlfunktionn 7. Unbstimmt Intgral: Ohn Summ im Radikandn 7. Unbstimmt Intgral: Radikand vom Typ a+b 8. Bstimmt Intgral: Ohn Summ im Radikandn 9. Bstimmt Intgral: Radikand vom Typ a+b Intgration von infachn Eponntialfunktionn. Unbstimmt Intgral. Bstimmt Intgral 6 Intgration von infachn trigonomtrischn Funktionn 6. Unbstimmt Intgral 6. Bstimmt Intgral 7 Erstllung von bstimmtn Stammfunktionn 7 8 Zusammnstllung allr Übungsaufgabn 9 Lösung allr Aufgabn - 9
5 8 Intgration - Grundnivau. Grundwissn Intgration von Potnzfunktionn Litt man in Funktion ab, dann rhält man natürlich ihr Ablitungsfunktion. Macht man disn Vorgang rückgängig, rhält man in Funktion, di man in Stammfunktion nnnt. Grundfunktion: f() Ablitungsfunktion: f' f f' f f' Wil das Absolutglid bi dr Ablitung Null wird, habn dis dri (und igntlich di Funktion f C) all dislb Ablitungsfunktion. Nun khrn wir disn Vorgang um und litn auf : Grundfunktion: Stammfunktion: F C Intgralschribwis: f F d C Grundfunktion: f C Ablitungsfunktion f' Umkhrung: Grundfunktion: f Stammfunktion: Wir bnötign hirzu dis bidn Intgrationsrgln:. Potnzrgl: In Wortn: n n n d C für n Dr Eponnt wird um rhöht, F d C und dann tilt man durch dn nun Eponntn. Dis ist jdoch nur möglich, wnn dr Eponnt n nicht ist:? d d C ist wgn dr Division durch nicht möglich. Ausnahmrgl: d ln C. Konstant Faktornrgl: k f d k f d Ein konstantr Faktor blibt bim Intgrirn unvrändrt sthn.
6 8 Intgration - Grundnivau 6. Unbstimmt Intgral, Stammfunktionn zu Potnzfunktionn Bispil: c) d) ) f) g) h) i) d d d d C C Erklärung: und C C Das. Intgral kann wgblibn. d d C C Erklärung: und und d d C C C Erklärung:, und d d d C C Erklärung: und d d C C C Erklärung: und d d C C und Di im Zählr tritt als Faktor auf. d d d C C Di im Nnnr rgibt dn Faktor. d d d C C C Man dividirt durch inn Bruch, indm man mit sinm Khrwrt multiplizirt. Erklärung: Zur Brchnung dr Stammfunktion muss man di Wurzl in in Produkt Zahl Potnz aufsplittn. Dr Zahlnfaktor blibt sthn, di -Potnz wird aufglitt. j) 6 d d d d C C C
7 8 Intgration - Grundnivau 7 Aufgab 6 d 6 d c) d d) d ) d Aufgab 8 6 d d c) d d) d ) d Aufgab d d c) d d) Lösungn im Lösungstil am Ttnd d ) d
8 8 Intgration - Grundnivau 8. Bstimmt Intgral zu Potnzfunktionn WISSEN: Mit dm unbstimmtn Intgral brchnt man Funktionn, gnaur gsagt Stammfunktionn. Man bnötigt in dr Prais shr oft di Diffrnz zwir Funktionswrt inr solchn Stammfunktion. Di zughörig Brchnung nnnt man dann in bstimmts Intgral. Ein unbstimmts Intgral lifrt also in Funktion, in bstimmts Intgral in Zahl. Bispil Di Funktion f hat dis Stammfunktionn: Für in bstimmt Aufgab bnötigt man z. B. dis Diffrnz:. 6 F d C C FF F C C C C C Daran rknnt man zwirli: Abkürznd Dasslb, Das ist F() Das ist F Schribwis nur ausführlichr. Für dis Diffrnz gibt s in nu Schribwis: b a F. Dis bdutt, dass man zurst di obr Grnz b instzn und drn Funktionswrt brchnn soll, und dann dasslb mit dr untrn Grnz a. Anschlißnd wrdn bid Wrt subtrahirt. Ausführlich bdutt dis also: F b FbFa a. Bim Unbstimmtn Intgral, also bi dr Stammfunktion, ntstht zunächst immr in unbkannts Absolutglid C, wil man diss bi dr Auflitung dr Funktion f(), drn Trm intgrirt wird, nicht mhr rknnn kann. Bim bstimmtn Intgral fällt diss jdoch wg, wil C zwimal auftritt und dann subtrahirt wird. Dahr wird man bim bstimmtn Intgral für di Stammfunktion immr C = vrwndn, also im Grund das C wglassn. Und so siht dann di ndgültig Brchnung diss bstimmtn Intgrals aus: 8 9 d F() F() F( )
9 8 Intgration - Grundnivau 9 Dri Mustrbispil für Potnzfunktionn: d Erklärung: Zurst wurd di Stammfunktion brchnt: F. Man vrwndt dazu C =. Man sollt di Nnnr zurst noch nicht mitinandr multiplizirn, dnn man kann (shr oft) glich anschlißnd kürzn, und Kürzn vrklinrt ja bkanntlich Zahln! Man kürzt 8 und, dnn 8 7. Noch bssr ist s jdoch, wnn man gar nicht rst brchnt, sondrn so kürzt: wrdn dividirt, indm man ihr Eponntn subtrahirt.) 7 (Potnzn mit glichr Basis Hinwis: Bi solchn Rchnungn ist s shr hilfrich, wnn man Potnzn im Kopf hat. Es gibt dazu tra in Lrnblatt: (Ordnr Klass -, Untrordnr _Klassn bis 7) d d Erklärung: Zur Brchnung dr Stammfunktion muss man dn Bruch in in Produkt Zahl Potnz aufsplittn. Dr Zahlnfaktor blibt sthn, di -Potnz wird aufglitt, also dr Eponnt wird um rhöht, und durch dis nun Eponntn wird gtilt. Dann stzt man di obr Grnz zurst in und kann kürzn, dann stzt man di untr Grnz in und subtrahirt di Wrt. c) d d d 7 7 Erklärung: Zur Brchnung dr Stammfunktion muss man di Wurzl in in Produkt Zahl Potnz aufsplittn. Dr Zahlnfaktor blibt sthn, di -Potnz wird aufglitt, also dr Eponnt wird um rhöht, und durch dis nun Eponntn wird gtilt. Dann stzt man di obr Grnz zurst in und kann kürzn, dann stzt man di untr Grnz in und subtrahirt di Wrt. Dabi wrdn dis Knntniss übr das Wurzlrchnn bnötigt:,, und schlißlich noch aus dm Bruchrchnn: (Khrwrt!)
10 8 Intgration - Grundnivau Aufgab d d c) d d) d ) d Aufgab d d c) d d) d ) d Aufgab 6 f) 9 d d g) d c) 8 Zusatz zur Ausnahmrgl: d h) 8 d d) 8 d i) Lösungn im Lösungstil am Ttnd d ln C d ) 9 d j) Bispil: d d ln ln ln ln dnn ln = d d ln ln ln dnn ln = 8 d d In bidn Fälln wurd dr Intgrand in in Produkt Zahl Potnz aufgsplittt: und. Di Zahl blibt dann als Faktor infach sthn. Aufgab 7 d d c) d
11 8 Intgration - Grundnivau Intgration von ganzrationaln Funktionn. Unbstimmt Intgral zu ganzrationaln Funktionn, Stammfunktionn Wnn man in Summ von Trmn ablitt, dann bsagt di Summnrgl für di Ablitung, dass man jdn Summand für sich ablitt: Grundfunktion: f C Ablitung: Umkhrung: f' Grundfunktion: f Stammfunktion: Intgralschribwis: Grundfunktion: f C Ablitung: Umkhrung: F C f' Grundfunktion: f Stammfunktion: Intgralschribwis: d C C c) d) F C F d C d 6 6 d 6 6 C 8 6 C Erklärung: Hir muss man zurst di zwit binomisch Forml zur Anwndung bringn. Dabi darf man das Dopplt Produkt nicht vrgssn: also lautt diss dopplt Produkt hir: ab 6. Aufgab 8 d d c) d d) d ) d f) 8 d h) d g) i) d j) F ( C)d C 7 d d a b a ab b
12 8 Intgration - Grundnivau. Bstimmt Intgral zu ganzrationaln Funktionn Das Grundwissn dazu wurd in. auf Sit 6 kurz widrholt. Bispil zu ganzrationaln Funktionn: 7 d [ ] F() F() F() Tipp: Addir zurst all ganzn Zahln, dann di Brüch mit glichm Nnnr d c) d 667, 6 8 d) 7 d Tipp: Zurst Brüch mit glichn Nnnrn addirn: d d ) 8 6 Tipp: Klammrt man aus dr. Klammr (-) aus, ist si idntisch glich zur rstn Klammr, also kommt dis dopplt vor: Aufgab 9 d d c) d d) ) 8 d f) 8 8 d d g) d h) 6 d
13 8 Intgration - Grundnivau Intgration von gbrochn rationaln Funktionn (Vil Aufgabn dazu findn man auch in 8). Vrschidn Mthodn für dri Typn von Funktionstrmn WISSEN: Typ : Es gibt dri Typn von gbrochn rationaln Funktionstrmn: Im Nnnr stht kin Summ. Dann zrlg man dn Trm in Einzlbrüch. Typ : Typ : Jtzt kann man intgrirn. Im Zählr stht kin. Dann bringt man di Funktion in in Potnzform. 6 6 Jtzt kann man intgrirn, muss abr in Zusatzrgl bachtn. Im Nnnr stht in Summ und im Zählr stht Dann bnötigt man bsondr Intgrationsmthodn, di in dism Tt nicht bhandlt wrdn. Sih dazu Tt 8 Abschnitt. und.6 und für bstimmt Intgration Tt 8 Sit 9 bis. odr sind Bispil dafür, si wrdn hir nicht bhandlt. 9. Unbstimmt Intgral Typ d d d C C c) C 6 d d d C Erklärung: Im. Intgral wurd in Zahl Potnz aufgsplittt! Auch bi c: d d d ln C ln C Sih Aufgab auf Sit 6 Aufgab d 6 d c) d d) d ) 8 d f) d 6 g) d h) d i) t dt t j) d k) d l) 6 d
14 8 Intgration - Grundnivau. Bstimmt Intgral Typ Bispil: d d c) d) d) d d d Hir bringt man glich alls auf dn Nnnr 8, also ausnahmswis wird nicht gkürzt sondrn inmal rwitrt. d d Auf das. Intgral kann man vrzichtn. d ln ln ln ln 6 6 d d 6 d 6 ln ln6 86ln 66ln666ln 6ln66ln 6ln6 ln Nun sollt man sich an in Logarithmusrgl rinnrn: Von rchts nach links angwandt lifrt si: 6 ln. 6 d d ) a ln lna lnb b. 6 ln6 ln ln ln. Also lautt das Ergbnis: Aufgab 8 d c) 8 d f) d d Aufgab 9 d d c) d d) d ) d f) d
15 8 Intgration - Grundnivau. Unbstimmt Intgral Typ Bispil: Es ght hir um Funktionstrm, di im Nnnr in Summ habn, abr im Zählr kin! d d C C Hir wurd gnau so aufglitt, wi bi d, nur dass statt in Summ da stht. Man sollt, wnn man unsichr ist, ob das so richtig gwordn ist, di Prob machn. Dazu litt man dis Stammfunktion F C kommn. Zum Ablitn braucht man widr di Potnzschribwis: F C C ' Ablitn ab und sollt widr auf F Bitt daran dnkn, dass man bi dr Anwndung dr Ablitungs-Potnzrgl auf Klammrn di Kttnrgl anwndn muss, di da bsagt, dass man (wil man ja in Klammr und kin infach -Potnz ablitt) noch mit dr innrn Ablitung (dr Klammr) multiplizirn muss. Dis ist hir di Zahl. Hir hat dis innr Ablitung also nichts vrändrt. Dislb Mthod wird jdoch hir zu inm Fhlr führn: d d C C falsch! Um zu rknnn, was hir falsch gmacht wordn ist, machn wir wi obn di Prob: F C C F' Ablitn Wi man siht taucht plötzlich di innr Ablitung im Zählr auf. Und dahr war unsr Intgrationsrgbnis falsch. Nun ist s jdoch licht, dn Fhlr zu korrigirn: Wir müssn bi dr Bildung dr Stammfunktion zusätzlich durch di innr Ablitung tiln: d Eponnt dr Klammr um rhöhn und durch dn nun Eponnt tiln zusätzlich noch durch di innr Ablitung (dr Klammr) tiln Richtig Brchnung dr Stammfunktion: d d C C Hinwis: Dis Mthod, inn Klammrtrm zu intgrirn, klappt nur bi linarn Klammrinhaltn, also dr Form (a+. Enthält di Klammr bispilswis, wird das Ergbnis widr falsch. Man kann das jdrzit durch in Ablitungs-Prob übrprüfn.
16 8 Intgration - Grundnivau 6. Bstimmt Intgral Typ Bispil 8 d d Di obr Grnz wird zurst ingstzt, dann di untr, dann wird subtrahirt, d d ln ln6 ln ln 6 dnn ln =. Das. Intgral kann man wglassn und sofort di Stammfunktion anschribn. d d d d 6 Aufgab d c) Aufgab d c) Aufgab d c) Aufgab 6 d d) 8 d d) 8 d d) d c) 7 6 d d) 8 6 d d d d
17 8 Intgration - Grundnivau 7 Intgration von infachn Wurzlfunktionn. Unbstimmt Intgral: Ohn Summ im Radikandn ( Wurzltrm wi,,, usw., di also nur im Radikandn habn, lassn sich als Potnz von schribn. Man intgrirt dann Potnzfunktionn, wi in. gzigt. d d C C C (kommt ganz oft vor) ( d d d C C d d C C C Stht im Radikand noch in Zahlnfaktor, dann spaltt man di Wurzl in in Produkt auf so dass man auf di Form Zahl Potnz kommt. Dis wurd auf Sit und 7 gzigt: d d d C C C 6 d d d d C C C Erklärung: d, und und und und Aufgab von Sit 6: d c) d Man dividirt durch inn Bruch, indm man mit sinm Khrwrt multiplizirt. d) d ) d f) Aufgab 7 d d d c) d d) d ) d f) d
18 8 Intgration - Grundnivau 8. Unbstimmt Intgral: Radikand vom Typ a+b Man wndt di Potnzrgl an und muss noch durch di innr Ablitung tiln. Im Tt 8 wird gzigt, wi man dis Intgral auf andr Wis mit Substitution vrinfachn kann. Di Nummrirung dr folgndn Aufgabn ntspricht dr aus Tt 8: () d d C C Zur Prob kann man di Ablitung machn: () d d F C C F' C C Zur Prob kann man di Ablitung machn: F C C F' Wil in disr Aufgab dn Koffizintn hat, kommt man bim Ablitn untr Brücksichtigung dr Kttnrgl dr Faktor (Ablitung dr Klammr) hinzu. (In (7) war dis dr Faktor, dr gar nicht angschribn wrdn musst.) Und dahr muss man bim Bildn dr Stammfunktion durch dis innr Ablitung tiln, also durch. (6) d 9 d C C 9 C 6 6 Dr Eponnt wird nach dr Potnzrgl dr Intgralrchnung um rhöht zu. Durch dis Zahl man muss dann tiln. Außrdm bsitzt di Klammr ( - 9) di (innr) Ablitung, durch di man auch tiln muss. Im Nnnr stht dann das Produkt 6, das man kürzn sollt. (7) d d C C Hir muss man durch di Ablitung dr Klammr tiln und di ist -. Di Division durch dn nun Eponntn führt zur Multiplikation mit dm Khrwrt, was dann zusammn mit dm Minuszichn im Nnnr zu wird. (8) d d C C (9) d d C 6 C Hir musst man noch durch di Klammr-Ablitung - tiln. Aufgab 8 d 8 d c) d) g) d ) d f) d h) d 9 i) d 6 d 6 d
19 8 Intgration - Grundnivau 9. Bstimmt Intgral: Ohn Summ im Radikandn (Nummrn wi in 8) (7) d d d d (8) Erklärung: odr so: (9) Lrnn: und odr so; 6 d d Erklärung: und und. 8, dnn 8 d d 8 () Das kann man auch twas andrs aufschribn, twa so: d d Wnn dr Radikand inn Faktor nthält, kann man so vorghn: 8 8 () 8 d d 8 8 Nun ziht man tilwis di Wurzl: 8, kurz: Bi disr Mthod wurd dr Zahlnfaktor durch Zrlgn dr Wurzl abgspaltt:! Odr in andr Lösung mit Substitution (sih Hft 8) Sit 6.
20 8 Intgration - Grundnivau () 8t 8t 8t 8t t 8t d t d t d t t t t t t t t 8t t t t t t t t t t Um das partill Wurzlzihn kommt man hrum, wnn man nach dr Intgration di abgspaltn Wurzl t widr dazu multiplizirt: t t. Nu. Zil: 8t t t t 8t t t 6t t t t t t () d d d Mit rhält man:. Bstimmt Intgral: Radikand vom Typ a+b 6 d d () d d 6 6 () () d d 9 d ) d f) Aufgab 9 d c) d g) 6 Anlitung: Summandn gtrnnt intgrirn 9 d 8 d h) d i) d j) t d t k) d (Anlitung: Radikand in zwi Brüch zrlgn)
21 8 Intgration - Grundnivau Intgration von infachn Eponntialfunktionn. Unbstimmt Intgral Man hat ja glrnt, dass bim Intgrirn in Stammfunktion brchnt wird, als in Funktion drn Ablitung widr di ursprünglich Funktion ist. Dahr kann man zu jdr Intgration (Auflitn) in Prob dadurch machn, dass man widr ablitt und mit dr Ausgangsfunktion vrglicht. Wnn man wiß, dass f als Ablitung f' unbstimmts Intgral aufschribn: f f'. Odr: f f'. bzw. Also gilt: ablitn C auflitn f f'. Odr: f f'. bzw. Also gilt: Analog: ablitn C auflitn ablitn auflitn C Odr: C ablitn auflitn d C hat, kann man sofort di Umkhrung als d C d C Mit inm allgminn linarn Eponntn a + b folgt: a b a b f f' a Tilt man di Funktion durch di innr Ablitung a ds Eponntn, so folgt a a f f' a ab ab ab Dazu di Umkhrung, rgibt das nächst Grundintgral: Mrksatz: ab d C d C ab d C a Bim Intgrirn blibt in Eponntialfunktion mit inm linarn Eponntn rhaltn, s wird ldiglich noch durch di innr Ablitung gtilt.
22 8 Intgration - Grundnivau. Bstimmt Intgral Bispil. () d 9,7 Di innr Ablitung, also di Ablitung von - ist -. Durch si wurd gtilt, was dann zum Minuszichn von - gführt hat. () () d,78 Hir wurd durch di innr Ablitung gtilt, also durch, was inr Multiplikation mit glichkommt. d,9 ln () ln ln d ln Hilfn: Es ist und ln ln Außrdm ist O lna a also folgt ln l n - Wnn man will ght auch noch Das Zwischnrgbnis kann man dahr so vrinfachn: ln6 ln6 ln6 () d d ln ln ln6 Bim Auflitn solchr Funktionn blit dr -Trm ja rhaltn und man dividirt noch durch di Ablitung ds Eponntn. Disr hißt -+ und sin Ablitung ist -. Dis stht dahr im Nnnr. Dann kürzt man und und ziht das Minuszichn vor dn Bruch. Da in - ja nicht ingstzt wird, ist s günstigr (kürzr), wnn man disn konstantn Faktor - vor di ckig Klammr stzt. (6) d,6
23 8 Intgration - Grundnivau Aufgab ) d ) d ) d ) d ) d 6) d d 8) d 9) 7) d ) ) d ) d ) ln d 7) 6) ln ln9 d ) Aufgab 9) d () ln d ) d d t t t d 8) t d ) d d
24 8 Intgration - Grundnivau 6 Intgration von infachn trigonomtrischn Funktionn 6. Unbstimmt Intgral Zunächst muss man sich an folgnd Ablitungn rinnrn: sin ' cos und cos ' sin Daraus rgbn sich dis bidn Grundintgral: sin d cos C und cosdsinc Bsitzt das Argumnt inn Zahlnfaktor, dann wird dr übr di innr Ablitung ausgglichn: Bim Auflitn wird durch di innr Ablitung gtilt. ablitn sin C cos auflitn ablitn auflitn sin C cos cos ablitn cos C sin auflitn ablitn auflitn cos C sin sin ablitn sin C cos auflitn ablitn sin C cos cos auflitn ablitn cos C sin auflitn ablitn cos C sin sin auflitn cos d sin C sin d cos C cos d sin C sin d cos C Für vil ist s in Hilf, wnn si di innr Ablitung sichtbar in dn Nnnr schribn: cos sind C cos C sin cos d C sin C Das gilt für all linarn Argumnt (d. h. von dr Form a+: cos sin d C cos C sin cos d C sin C cos sin d C cos C
25 8 Intgration - Grundnivau 6. Bstimmt Intgral Wichtig: / Gradmaß Bognmaß sin cos = o = = o 6 = o = 6 o = 9 o = 8 o - () / sin d cos cos cos () () cos d sin sin sin dnn sin sin cos sin d 8 cos / () / () 8 cos 8 cos sin cos d / / sin sin /6 /6 sin cos d sin sin /6 /6 (6) Dn Bruchstrich mit dm Nnnr kann man wglassn! Bruchrchnn: und Jtzt bnötigt man di Tatsach, dass di Sinusfunktion punktsymmtrisch zum Ursprung ist, d. h. s gilt sin sin, also ist / / cos / sin d cos / / / sin sin cos cos cos cos Wi man bstimmt Intgral mittls Substitution vrinfachn kann, wird im Tt 6 gzigt. Hinwis: Di dargstllt Fläch hat natürlich nicht dn Inhalt. Diss falsch Ergbnis kommt dahr, dass übr di Nullstll hinwg intgrirt wordn ist. Richtig: / sin d /
26 8 Intgration - Grundnivau 6 Aufgab ) cosd ) sin ) sin ) cos d ) sin d 6) cos 7) sin d 8) cos d d / Aufgab ) sind ) cos d ) sin / ) cos d ) sin d 6) / /8 7) sind (8) 7 / / sin d / / d cos d
27 8 Intgration - Grundnivau 7 7 Erstllung von bstimmtn Stammfunktionn Wlch Stammfunktion zu f ght durch dn Punkt A Zunächst brchnt man di allgmin Stammfunktion:? F d C Wil drn Schaubild durch A ghn soll, müssn wir di Bdingung F umstzn: F C 8 F : F 8 C Bdingung: C 8 Also folgt: C Ergbnis: F 8 Prob: F 8 Wlch Stammfunktion zu f ght durch dn Punkt P? Allgmin Stammfunktion: Bdingung: F F Also folgt: C. F d C C Ergbnis: F c) Bstimm di Stammfunktion zu f Allgmin Stammfunktion:, drn Schaubild durch R ght. F d d d C C Bdingung: F : Also wird Ergbnis: 7 F C C 7 7 C C F d) Bstimm di Stammfunktion zu f, drn Schaubild durch R6 ght. Allgmin Stammfunktion: Bdingung: F6 : F d d C C 6 F6 C 8C C 6 6 Daraus folgt: C C Ergbnis: F
28 8 Intgration - Grundnivau 8 Aufgab Stammfunktion zu durch f A f Q c) f P d) f B ) f C f) f R g) f T h) f Aufgab Stammfunktion zu U durch f A f B9 c) f C6 d) f D ) f C f) f Aufgab 6 Stammfunktion zu R durch f A f B c) f C d) f D ) f C f) f R ln
29 8 Intgration - Grundnivau 9 8 Zusammnstllung allr Übungsaufgabn Aufgab 6 d 6 d c) d d) d ) d Aufgab 8 6 d d c) d d) d ) d Aufgab d Aufgab d Aufgab Aufgab 6 f) d 9 d d g) Aufgab 7 d d c) d d c) d c) d c) 8 d h) d c) d) d d) d d) 8 d d) 8 d i) d Aufgab 8 d d d ) d ) d ) d ) 9 d j) c) d d) d ) d f) 8 g) i) d j) Aufgab 9 d h) d d d 7 d d 8 c) 8 d d d 8 d d d d) d ) 8 d f) g) d h) 6 d d
30 8 Intgration - Grundnivau Aufgab d 6 d c) d d) d ) 8 d f) d 6 g) d h) d i) t dt t j) d k) d l) 6 d Aufgab d) 6 d Aufgab d) d ) 9 d d ) Aufgab d Aufgab d Aufgab 8 d c) 8 d f) 6 d c) 6 d f) d c) d c) 8 8 d d d d d d) d d) d d d d c) d d) d Aufgab 6 d d c) 7 6 d ) d
31 8 Intgration - Grundnivau Aufgab 7 d) d d c) d ) d f) d d Aufgab 8 d 8 d c) d d) g) Aufgab 9 d ) d f) d d h) i) 9 d ) d f) d c) d g) 6 Anlitung: Summandn gtrnnt intgrirn h) d i) k) d j) d (Anlitung: Radikand in zwi Brüch zrlgn) 9 t 6 d 6 d d 8 d d t
32 8 Intgration - Grundnivau Aufgab ) d ) d ) d ) d ) d 6) d d 8) d 9) 7) d ) Aufgab ) d ) d ) ln d 7) 6) ln ln9 d 9) d () ln Aufgab ) cosd ) sin ) d ) d d t t t d 8) t d ) ) d d ) cos d ) sin d 6) cos 7) sin d 8) Aufgab / cos d ) sind ) cos d ) sin / ) cos d ) sin d 6) / /8 7) sind (8) sin / / 7 / / sin d d d cos d
33 8 Intgration - Grundnivau Aufgab Aufgab Aufgab 6 Stammfunktion zu durch f A f Q c) f P d) f B ) f C f) f R g) f T h) f Stammfunktion zu U durch f A f B9 c) f C6 d) f D ) f C f) f Stammfunktion zu R durch f A f B c) f C d) f D ) f C f) f R ln
34 8 Intgration - Grundnivau Nur auf dr Math-CD:
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Klausur "Informatik I" vom Teil "Rechnerstrukturen"
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Ersti-Info O-Phase 2012
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Geldpolitik und Finanzmärkte
Gldpolitik und Finanzmärkt Di Wchslwirkung zwischn Gldpolitik und Finanzmärktn hat zwi Richtungn: Di Zntralbank binflusst Wrtpapirpris übr dn Zinssatz und übr Informationn, di si dn Finanzmärktn zur Vrfügung
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Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung
V Normalvrtilung als Nährung dr Binomialvrtilung Ggbn ist in nach B(n,p) vrtilt Zufallsgröß mit großm n. Sthn di Wahrschinlichkitn für das btrffnd n nicht in dr Tabll (z.b. wil n zu groß ist), dann ist
Graphentheorie. Folie 1
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19. Bauteilsicherheit
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