c) Die Funktion g(x) modelliert den Verlauf des Kabels genauer, weil der Graph im Bereich des größten Durchhangs flacher verläuft.

Transkript

1 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Brüc großr Blt a Wähl das Koordinatnsystm so, dass dr tist Punt dr Brüc di Koordinatn D hat. Ein Pilrspitz hat in dism Koordinatnsystm di Koordinatn P8 89 Bgründung: 8 / und 89 Mit dm Ansatz b b b Mit dm Ansatz g a g, Bgründung: a c olgt dr Funtionstrm,8 olgt dr Funtionstrm,9,9 Es gilt g a a,, da das Koordinatnsystm glich gwählt blibt. 8b 8b Außrdm: g 8, 89 Substituir: 89 8b u u u u, u u, ± 98 ; u, 99, u, 79 ln,79 Und mittls Rücsubstitution: b, 9 8 c Di Funtion g modllirt dn Vrlau ds Kabls gnaur, wil dr Graph im Brich ds größtn Durchhangs lachr vrläut.

2 d Es gilt, und somit 8, und,9,9 g,89 und somit g 8, Di Salirung wird in vrtialr und horizontalr Richtung glich sin, di Stigung ntspricht an dn Pilrspitzn hr dm Stigungswrt, von g. Nimmt man di Funtion g, so gilt ür di Läng ds Tragsils Nr.7. g g, und ür di Funtion : 8 7 7, Vrglicht man dis Längn mit dm Bild und dr Läng ds Pilrs übr dr Fahrbahn 89 m, so modllirt jtzt di Funtion das Sil bssr. Gsucht ist das Maimum dr Funtion g. Dis lirt bi numrischr Brchnung dn Wrt, dort bindt sich abr in Minimum dr Dirnzuntion Zichnrisch rmittlt man mittls Zoom ungähr in Maimalstll bi, di größt Abwichung ligt also zwischn dm 7. und 8. Sil.

3 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Forllnzucht a Di Forlln rrichn nach zwi Jahrn in durchschnittlich Läng von cm und sind dann ausgwachsn. Dm Anwachsn ist also in natürlich Schran S gstzt. Di Zunahm pro Zitinhit wird umso gringr, j mhr sich dr momntan Bstand t dr Schran nährt, j linr also di Dirnz S t ist. Zur Modllirung ist di Annahm brchtigt, dass di momntan Wachstumsgschwindigit t propor- tional ist zur Dirnz S t, also t S t mit >. b Zur Lösung disr Dirntialglichung ds bschräntn Wachstums macht man dn t Ansatz t S c. Es gilt lim t S t Witr c, c und,9 ln,9, 7 Nimmt man andr Wrtpaar dr Tabll, so gibt s gringügig Ändrung bi dn Nachommastlln. c Für dn Mittlwrt gilt m t dt, 87 d möglichr Ansatz: h t a t bt ct d ührt au das Glichungssystm:

4 h a b c d, h a b c d, h a b c d, h 8 a b 8c d Mit dm CAS rgibt dis di Koizintn a,9 ; b, ; c, ; d, 988 Di in Til ggbn Funtion modllirt dn Sachvrhalt bssr. rlvantr Brich

5 Ansatz h t c t I. h c, ; II. h c, II. aulösn nach c und instzn in I.,,,,, ln,97 c 7,,97, Di Zichnung zigt, dass dr ponntill Ansatz das Längnwachstum übr Monat bssr bschribt, da dr Graph auch jnsits von ca. Monatn obrhalb dr - Achs vrläut. Ob di Funtionsanpassung sinnvoll ist, ann man z.b. durch Autragn dr Msswrt in in lny-koordinatnsystm shn., lnlängnwachstum pro Monat,, y -,8,97 8 Altr in Monatn Dr gwählt Ansatz dr Eponntialuntion ist angmssn, s rgibt sich in Ausglichsgrad im lny-koordinatnsystm.,97 t 7,,97t g 7, dt 8,,97 Di Sigrländr Forll ist also nach Monatn ungähr 8 cm lang, s handlt sich also um in größrs Emplar. t 7,,97t h h t, h t dt,,97

6 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Vrhrszählung a Di Abbildung in Til c zigt di Graphn dr Funtionn,, b Ansatz: a b c d Bdingungn: 8 78a 9b c d 8 8 8a 8b 9c d 78a 8b 7c 9d 98a 97b 88c 8d 7 7a 9b 87c d b,8 ; c, 799 ; d,, ; Aus disn Bdingungn rgbn sich mit Hil ins Computralgbrasystms di Koizintn a,877 ; Grundt rgbn sich di Wrt dr Kontrolluntion, mit dr auch witrgarbitt wird.,,7,7, c Gsucht wird bi i dr Hochpunt dr Funtion - disr sollt bi gutr Wahl von bi lign -,sowi bi ii dr Hochpunt von, 9,8,,,9 7,8,,,79,8, Di Nullstlln dr rstn Ablitung sind grundt,8 ; 8 ; ; 7

7 Di hinrichnd Bdingung ür Etrma rgibt:,8, > TP 8 9,9 < HP > TP 7, < HP TP,8 78 ; HP8 ; TP ; HP7 7 Di höchst vorommnd Vrhrsdicht lag wi anggbn um 8 Uhr. Di Nullstlln dr zwitn Ablitung sind, ;,7 ;, 7, 8,7 <,7,7 <,7, > Di Vrhrsdicht nimmt also zwischn und Uhr am schnllstn zu und s gilt, 7 blaur Graph dr rstn Ablitung hat dort das absolut Maimum d Dr Graph von vrläut urz hintr untrhalb dr -Achs, was abr in Hinblic

8 au di Augabnstllung unralistisch ist. Ersatzuntion: g 8 8 Funtionswrt soll um 8 Uhr übrinstimmn g 8 8 Di Stigung auch g Ansatz: g a b c I. g 8 a 8b c, 9 II. g 8 a b, 7 III. g 7a b c Widr mit dm CAS rgibt sich a 8,97 ; b. 97 ; c, 7 Graph von g in rot, Graph von hir in schwarz. Di durchschnittlich Vrhrsdicht bträgt Kz Kz vgl. violtt Grad h h

9 im Bild obn. Dn atn Wrt rhält man mittls 8 d g d 8 7,,8 97, Di Funtionn modllirn dn Wrt also rcht gut. Anzahl dr Kz von bis 9 Uhr: d 9 78 Prozntualr Antil: 78, 7 97,, also ungähr,7%

10 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Graph,, F a Di Achsndurchschlagspunt sind di Schnittpunt ds Graphn von mit dn Koordinatnachsn: y-achs: P -Achs: N- Vrhaltn im Unndlichn: lim und lim rlativ Etrma: notwndig Bdingung und hinrichnd Bdingung und < HP, also HP > TP, also TP b Bild zigt dn Funtionsgraphn, Bild di Ablitung und Bild di Stammuntion Bgründung: Dr Graph in Bild rüllt als inzigr Graph das rwarttt Grnzvrhaltn im Unndlichn Dr Graph hat di brchntn Hochpunt, Tipunt und Achsndurchschlagspunt Dr Graph dr Ablitungsuntion schnidt di Achs an dn Stlln, an dnn dr Graph von Hoch- bzw. Tipunt hat. Di Stammuntion hat an dr Stll - inn Sattlpunt, dort hat di Funtion inn Tipunt mit waagrchtr Tangnt

11 c Di Funtion F ist Stammuntion von, wi man durch Ablitn von F mittls Produtrgl soort nachwisn ann. Di Fläch richt ins Unndlich, Grnzn sind also und di Grad z. lim z z z z z z z z z F z F F d Durch Grnzwrtbildung rhält man dn Flächninhalt

12 Di nächst Abbildung zigt di Graphn von und von g, sowi di bschribn Tilung dr Fläch. Brchnt wird nun di Fläch untr dm Graphn von g. z g d lim z z z z Durch Grnzwrtbildung rhält man dn Flächninhalt Obn rgab sich ür di Fläch untr dm Graphn von dr Inhalt. Tilvrhältnis ist also : d Da di Fläch zwischn dn Graphn von und g im I. Quadrantn nach Til c dn Flächninhalt hat, muss di Fläch im II. Quadrantn zwischn - und bnalls dn Flächninhalt habn. Dr Graph von g ligt im II. Quadrantn übr dm Graphn von, dshalb wird g d < also - Gsamtintgralwrt ist dann s wird also nicht dr Flächninhalt, sondrn di Bilanzsumm brchnt.

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14 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. 7 Lipnatur a Bstimmung dr Funtionsglichung Ansatz ür di achsnsymmtrisch Funtion virtn Grads ist a b c Bdingungn: hat an dr Stll in Nullstll, also, hat an dr Stll E in rlativs Etrmum, also und dr Graph schnidt di y Achs an dr Stll y, also. I. c S II. { a b mit I. III. a b a b II. a b III. a b II III: 8a a Einstzn in III. olgt: b b b 8 Also ist 8 b Schnittpunt 8 8, ± Schnittpunt sind S und S ; di y Koordinat rgibt sich jwils durch Einstzn von und - in odr.

15 c Etrmpunt notwndig Bdingung ür Etrma odr, ± hinrichnd Bdingung ür Etrma: und > Minimum TP < Maimum HP, < Maimum HP-, Wndpunt notwndig Bdingung ür Wndpunt ±, ± ±, hinrichnd Bdingung ür Wndpunt: und ± m 8 77 also gibt s Wndpunt WP, ± odr WP, ±,,

16 ± ± 8 ± d Sizz ds Firmnlogos - - -,87, ,, - -,87,97 - -,87,97 -,, -,87,897 Lipnatur,, - / /8, , - -, / , Flächninhalt ds Kussmunds d d d

17 , 8 Flächninhitn FE Etrmwrtaugab Gsucht ist in Rchtc mit maimalm Flächninhalt: Größ, di trmal wrdn soll: ; y y A Bacht: da A positiv ist und y nach untn zigt, rgänz das Minuszichn; ist nur in Hält ds Rchtcs Nbnbdingung: Dr Ecpunt ds Tilrchtcs lign au dm Graphn dr Funtion, also gilt 8 y Einstzn dr Nbnbdingung in di Etrmalgröß rgibt A 8 8 Bstimmung dr Etrmwrt dr Funtion A notwndig und hinrichnd Bdingung 8, ± ± A muss positiv sin, da s sich um in Rchtcläng handlt. < A y 9 9 ; y A

18 g Funtionsschar Ansatz ür di gsucht Funtion: c Bdingungn: c c

19 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. 8 Kombi Innrmathmatisch Augab Dr blau Graph ist dr in dr Augab abgbildt von, dr rot Graph ist dr von F.. Kurvndisussion a Nullstll { b Etrmpun t notwndig Bdingung { hinrichnd Bdingung und < HP

20 c Wndpunt notwndig Bdingung hinrichnd Bdingung und 8 WP d Grnzvrhaltn Di Eponntialuntion ntschidt übr das Grnzvrhaltn lim wgn ommt hir das Minus hin; vgl. mit Graph lim Stammuntion F Flächnbrchnung Brchn das Intgral von bis zur Nullstll. Da di Fläch obrhalb dr -Achs ligt, müssn in Bträg vrwndt wrdn. F F d Flächnbrchnung u u u u F F d lim u u u Gomtrisch bdutt dis, dass di nach lins ins Unndlich richnd Fläch inn ndlichn Flächninhalt bsitzt.

21 Etrmwrtaugab y y A ; Nbnbdingung: Dr Punt ; y P ligt au dm Graphn von, also y A Etrmpunt notwndig Bdingung A,, ± ± A hinrichnd Bdingung A und A A < A HP,8 A Untrsuchung dr Rändr und rgibt jwils A, also ist dr gsucht Flächninhalt,8 FE Flächninhitn

22 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. 9 Staus Korrigirt Fassung vom. März 7 Di Funtion z bschribt di Zulaurat ds Wassrs in dn Staus gmssn in tausnd Kubimtr pro Tag. Di Abbildung zigt dn Graphn dr Funtion in inm größrn Brich blau, sowi di Stammuntion rot, di di Wassrmng im Staus zu inm bstimmtn Zitpunt bschribt.. Da in ngativ Zulaurat bdutt, dass Wassr hrausläut, wrdn bi dism Augabntil di Nullstlln dr Funtion z gsucht. z, ± ± und. Bis zum virtn Tag inschlißlich lißt Wassr zu; am üntn und schstn Tag lißt Wassr ab; nach dm schstn Tag lißt widr Wassr zu. Zulau < und > Ablau <. Bstimmung dr innrn Etrmstlln von z Notwndig Bdingung: z z

23 9, ± ± Aus dm Graphn ght hrvor, dass di Lösung sin wird. hinrichnd Bdingung: z und z z ist ggbn 9 9 < z Wgn,8,, > z z ist di Zulaurat allrdings am Rand ds Intrvalls bi, maimal.. Ändrung dr Wassrmng, < z. Zum Zitpunt ist di Zulaurat ngativ, das hißt, dass aus dm Staus Wassr hrausläut.. Stärst Ändrung dr Zulaurat Notwndig Bdingung z { 8 8, ± ± z ntällt, wil s sich um in Zit handlt bzw. außrhalb ds vorggbnn Dinitionsbrichs ligt. Hinrichnd Bdingung: z und z z 8 ist ggbn

24 z 8 Es gilt z, 9,9 >,78 z stärst Ändrung am Rand ds Intrvalls. Am stärstn ällt di Zulaurat allrdings bi.. Di Fläch, di dr Graph dr Funtion z mit dr -Achs inschlißt, bschribt di Wassrmng, di insgsamt in das Bcn hinin- und hrausglaun ist. Da di Fläch obrhalb dr -Achs größr ist als di Fläch untrhalb dr -Achs, bdutt das, dass zur Anangsmng mhr Wassr zuglaun als abglaun ist, also wird dr Anangszustand nicht widr rricht.. Zur Lösung dr Augab vrwnd man olgndn Zusammnhang: Ist w mit [ ; ] di momntan Ändrungsrat inr Größ B und B dr Bstand dr Größ zum Zitpunt, dann gilt ür dn Bstand dr Größ zum Zitpunt : B B w d Hir ist B B und ; w in Batrin pro Tag B d Nach Tagn sind 7 Batrin im Staus.

25 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Wllnsslig Di Abbildung zigt di dri in dr Augab btrachttn Graphn. a Mit dr Produt- und Kttnrgl olgt g a m g und g t 8 a Di Fußstütz ist sinnvoll im Brich zwischn dm Erdbodn und dm Brührpunt mit dm Graphn von g, also zwischn t und dr Brührstll. Brich: b Knicri bdutt: g s und g s

26 s 8 s g s g b notwndig Bdingung ür Etrma: s 8 hinrichnd Bdingung s und s s > ür all, also auch ür 8 Tipunt s 8 8 TP ; 8 c Es handlt sich um di Fläch zwischn Achs und dn Graphn von g und t. c ist di Nullstll von t vrglich a g ist Nullstll von g g ist dr Schnittpunt ds Graphn von g mit dr y-achs. Das Rchtc hat in Mindstläng von von,m, m,m, m und in Mindstbrit c Di Fläch stzt sich zusammn aus dr Fläch untrhalb dr Tangnt im Brich von - bis - und dr Fläch untrhalb ds Graphn von g von - bis.

27 , G G A A A g G Dric,8,, m m

28 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Umghungsstrass. Di alt Bundsstraß vrläut durch di Punt A-, und C -, und schnidt di y-achs im Punt,. Di Stigung dr linarn Funtion, di dis Straß bschribt ist,, m y. Di Umghungsstraß vrläut durch di Punt A, C, B, und schlißt glatt in A an di alt Straß an, also gilt im Punt A: Stigung ist, a b c d ; a b c I. 8a b c d, II. a b c d,

29 III., 8 d c b a IV., c b a, a,b,c in II.: 9 c in II: und a 8 c in III:.. 8, c b a d b c a b a a a c a I III III c c II IV IV c b a I II II also. Man bstimm das Minimum dr Dirnzuntion g g g 7 9 9, ± ± g,8, TP TP g > Dr minimal Abstand bträgt ungähr m, di Bdingungn sind also rüllt.. Gsucht ist dr Wndpunt dr Funtion Dr Wndpunt rgibt sich zu WP odr,,7 WP

30 Am Wndpunt ändrt sich das Krümmungsvrhaltn.. Darstllung dr gsuchtn Fläch d h g d h A d d h g

31 Größ dr Fläch A m 9,m, m Di Einnahmn btragn also ungähr Mio. Euro.

32 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Funtionnschar Altrnativlösung Hinwis: Dr Fall ührt au di Funtion, disr Fall wird bis Augabntil d nicht brücsichtigt. a Gminsamitn: i. All Graphn habn mindstns in Nullstll ii. Gminsam Asymptot iii. Wndpunt iv. gminsamr Punt P - Untrschid: inn odr zwi Etrmpunt b Es gilt völlig unabhängig von :, d.h. all Graphn dr Schar schnidn sich im Punt P -. Man ann sogar zign, dass P - dr inzig Schnittpunt dr Schar ist: Für und t gilt nämlich: t t t t t t t t t t t t t t Dis ist in Widrspruch zur Voraus st- und wgn zung. c

33 Wndstlln: notwndig Bdingung: Wgn vrglich Hinwis am Anang, olgt: und hinrichnd Bdingung: und ± ± ± ± ± ± ± ± ± m m

34 Für inn Sattlpunt muss zusätzlich gltn ± also ± ± ± ± ± ± ± ± ± 9 Wgn olgt ± ± Für dn Fall Minus gibt s in Lösung, ür dn Fall Plus gilt: 7 9 Nur ür 7 gilt, dshalb hat nur disr Graph dr Schar inn Sattlpunt. d, ür ngativ habn di Graphn Polstlln Brchnung dr Schnittstlln ür > Es gibt also in Schnittstlln. b a d d d d b a b a b a b a b a arctan arctan arctan Für a und b rgibt sich ür das Intgral dr Wrt π Unndlich Fläch mit dm ndlichn Flächninhalt A π

35 Btrachtt man statt dr Funtion di Funtion g, so rhält man di Schnittstlln a und b d d d,, arctan arctan arctan π π ,,,,, Mit Hil ins Computr-Algbra-Systms rhält man nährungswis di Nullstll, FE,,, arctan,,,,,, d A Di Flächn lign all im Dric A ; B- vgl. Nullstll und C - vgl.til b Es gilt also di Abschätzung A

36 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Funtionnschar Sit von

37 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Funtionnschar Sit von

38 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Augab mit Lösung. 8 8 a a a a Achsnsymmtri. 8a 8a lim 8a : Fall c d a >! a < ± 8a.. Etrmpunt 8a a a. NB: a a a a a MESt a { a;;a}. HB: a VZW a bi Etrmstll von a a < VZ dr EP Stll a a a VZW EPArt Wrt a< a a > / / / HP TP a / / / TP HP a a / / / TP HP a Di zusätzlichn arbign Angabn dinn dr Untrstützung von Erlärungn in nacholgndn Augabntiln. Bi inr händischn Lösung dürn si ruhig twas gqutscht abr bitt dutlich von dr igntlichn Lösung abgstzt ingügt wrdn, wil man im Vorhinin ja nicht unbdingt di Notwndigit ds Nachtragns siht. Wnn man abr grundsätzlich damit rchnt und di Vortil siht, sollt man all Tablln und andrn Darstllungn im Ansatz großzügig anlgn.. Wrt: a ; a ± a a 8a a a 8a Di Brchnung. ann au inm NR-Zttl rolgn. Di Angab dr Wrt in dr rwitrtn Tabll gnügt.. Wndpunt. NB: a a a a a 8a a a MWSt a; a. HB: a VZW a bi Wndstll von a Stll a a VZW PA Wrt a a / / WP a 9 a / / WP a 9 Bim /--VZW stigt di Ablitung vor dr Nullstll dahintr ällt si. Di Krümmung ght also von inr Linsrümmung in in Rchtrümmung übr bim -/-VZW ist s umghrt.

39 NB.. Es muss gltn: a a Da bid Glichungn rüllt sin müssn, ommn höchstns di Lösungn dr rstn Glichung als Lösung ds Systms in Frag; di stz ich in di zwit Glichung in. i a passt nicht! ii ± a a a a Höchstns a ann dr gsucht Wrt sin; ich übrprü, ob daür auch tatsächlich in Etrmpunt dr vrlangtn Art vorligt. ± ± Es gibt inn Wrt ür a mit inm Etrmpunt au dr -Achs! Ups! a muss dn Wrt habn. ± Etrmpunt bi - und. Mit a ga gilt: a a a g a 8 a 8a 8 8. Dr Graph von a rgibt sich aus dm Graphn von a durch Spiglung an dr Gradn y. Er hat ntsprchnd gspiglt Grnz-, Etrm- und Wndwrt di Stlln blibn dislbn; auch di Achsnsymmtri blibt rhaltn. 8a a NSt: a 8a a 8a Substitution: z a ± a a a ± a a a a ± a a a Anzahl dr Nullstlln: VZ a < < a < < a a a gsamt < a < [ ] ür Anzahl dr Lösungn ür z: ür a a ür a < a > Rücsubstitution: < a < : Nullstlln ür a : Nullstlln, nämlich und ür a< a > : Hir muss nachgwisn wrdn, ob di z-trm linr, glich odr größr als null sind; dann lign, bzw. Nullstlln ür z und somit, wnn dr z-wrt null ist, wnn dr z-wrt positiv ist, wnn in z-wrt null und dr andr größr als null ist odr Nullstlln wnn di z-wrt positiv sind ür vor.

40 . Fall: a a a a ± di Folg wär: in Nullstll ür, nämlich! a a a a a a a a Quadrirn ür a < * a a a a : a! a a a Di bidn nbnsthndn Glichungn habn di Lösung a ; [ alsch! ] disr Wrt ommt hir nicht in Frag. a a a a a a a a Di Einschränungn ür a ommn Quadrirn ür azustand, > * wil nur bi glichm Vorzichn a a a a :a! bidr Sitn das Quadrirn in Äquivalnzumormung ist. a a a [ alsch!] * Für a > bi bzw. a < bi gibt s auch in Lösung ür a, wil di Sitn vrschidns Vorzichn habn.. Fall: a a a a ± < di Folg wär: in Nullstll ür! a a a a < a <a a a Quadrirn ür a < ** a < a a a :a <! a > a a > [ wahr!] ** Für a > gibt s in Lösung ür a, wil di rcht Sit dann ngativ ist und nicht größr als di lin, positiv Sit sin ann. z a a a a lirt also ür a < ür in Lösung. a a a a < a < a a a Quadrirn ür a > *** a < a a a :a a < a a < [ alsch!] *** Für a < gibt s auch in Lösung ür a, wil dann di rcht Sit ngativ ist und nicht größr als di lin, positiv Sit sin ann.

41 . Fall: a a a a ± > di Folg wär: zwi odr vir Nullstlln ür! a a a a > a >a a a Quadrirn ür a < **** a > a a a :a <! a < a a < [ alsch!] **** Für a > gibt s abr in Lösung ür a, wil di rcht Sit ngativ und damit linr als di lin, positiv Sit ist. z a a a a lirt also ür a > ür zwi Lösungn. a a a a > a > a a a Quadrirn ür a > ***** a > a a a :a a > a a > [ wahr!] ***** Für a < gibt s auch in Lösung ür a, wil di rcht Sit ngativ ist und damit linr als di lin, positiv Sit ist. z a a a a lirt also ür a < und ür a > ür zwi Lösungn. Für a > gibt s also immr Nullstlln und ür a < immr Nullstlln. Wnn man mit. bgonnn hätt, hättn sich di andrn bidn Fäll slbst rldigt. Augrund dr Zichnungn und dr Grnzwrt hätt disr Vrdacht auommn önnn. Altrnativ Lösung. Wgn dr Lag dr Etrmpunt sih. bi a und dr Grnzwrt sih. bi a rgbn sich olgnd Fäll: a < : Nullstlln ; < a < : in Nullstlln ; a : Nullstlln ; a > : Nullstlln. a 8a 8a 8a a a : a a Polynomdivision s. NR a a a Nullprodut, pq Forml a a ±

42 < a < a a a > a Es wrdn di dri Graphn zu Wrtn aus. Nullstll, in Graph ohn Nullstll <a< und in witrr mit vir Nullstlln a> dargstllt.

43 Wgn a > lign di bidn Minima untrhalb a < und das Maimum dr. Achs. Wgn dr Symmtri B D lin Sit C dopplt so groß, wi dr rchts untrhalb dr. Achs lignd halb Til D > obrhalb muss dann di obrhalb dr. Achs lignd Fläch dr untrhalb dr. Achs ligndn Fläch sin. Di Btragsstrich dinn dazu, aus dm ngativn Intgralwrt dn positivn Flächninhalt zu machn. Dr Ansatz ist also richtig. Wgn dr Symmtri muss di rcht Hält von C, dr obrhalb dr. Achs ligndn Fläch, gnauso groß wi di Hält dr untrhalb dr. Achs ligndn Fläch und das ist D sin. Dr orintirt Flächninhalt muss dann wgn dr vrschidnn Vorzichn natürlich null sin; disn Sachvrhalt drüct dr Ansatz aus und ist dshalb auch richtig. Di sich aus dn bidn Ansätzn rgbnd Rchnung ist bi V jdoch wsntlich lmntarr.

44 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung Augab Nr. : Fischbstand Hinwis: Di Eintilung dr y-achs in dr mitglirtn Graphi ist minr Minung nach nicht orrt. Statt, und, müsst s, und, hißn. a Nullstlln: t Da t ür all t nicht rüllbar ist, gibt s in Nullstlln. Etrma: t notwndig Bdingung t t t t t t t t t t t ür t, also t Übrprüung dr hinrichndn Bdingung: < lirt ür t inn Hochpunt., bdutt, di Funtion hat in H, inn Hochpunt. Wndpunt: notwndig Bdingung t Also: t t Si z t z z ür z, bzw. z,7 d. h.: t ln, bzw. t ln,7, Di rst Lösung ntällt, da t > vorausgstzt wurd. Als y-koordinat rgibt sich,,7 und damit hat in W,,7 inn Wndpunt. b lim t lim t t t c i zu zign: t ür all t >. Wi man licht siht gilt: t > und t > und t < t >, sodass dr Bruch ür all t > inn ngativn Wrt annimmt. Damit monoton allnd ür t >, w. z. z. w.

45 ii Nin, da dn Zuwachs und nicht dn Bstand anzigt. Dr Zuwachs ist sinnd, was bdutt, dass witrhin di Population wächst. t b b t t d dt dt t a a Si z t z dz b a z b a t b a also Ft t i B ist dr Anangsbstand Mio.! Das Intgral als Wirung intrprtirt zigt dn Zuwachs in dn rstn t Jahrn an. Also wird durch Bt dr Fischbstand zum Zitpunt t bschribn. ii B B d t,8 Nach Jahrn ist dr Bstand au,8 Mio. angwachsn. iii Bt - t, - t Für t? 8 nährt sich dr Wrt,. Langristig sind also, Mio. Fisch zu rwartn.

46 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Olympiaschanz Garmisch a Lg das Koordinatnsystm so, dass A im Ursprung ligt. Ansatz a b c d a b c Bdingungn d c a a b 8 b III IV b b in IV a a Daraus olgt di Funtionsglichung vrglich Ergbnis mit dr Kontroll in c Di Abbildung zigt dn witrn Vrlau ds Graphn. Voll Taschnrchnr Anzig bdutt:

47 a,7 und b 9987 Gsucht ist das maimal Gäll ds Graphn im rlvantn Brich, also das Maimum dr rstn Ablitung!! von notwndig Bdingung: hinrichnd Bdingung: und < Di rst Ablitung hat an dr Stll 78 in Maimum Stigungswinl zum Vrglich mit dr Zichnung: tanα α 7, 9 In dr Zichnung ist sind di Winl 7,9 und, augührt. Au halbr Strc zwischn A und B, also gnau bi 78 in dm vorggbnn Koordinatnsystm rhält man also inn plausibln Wrt. Di Funtion modllirt dn Hügl im rlvantn Brich gut. b a b a b a b a Di Etrmstlln rgbn sich aus

48 a b b a b und a Di Wndstll rgibt sich aus b b a b a a Di Wndstll ligt also gnau in dr Mitt dr bidn Etrmstlln. c Ansatz a b c d a b c Bdingungn d c a a b 8 b III IV b b in IV a a Im Prinzip hrt man das Vrahrn aus a um ; 97 8,, tan 9, Di Entrnung zwischn A und B muss also ungähr m btragn, um in maimals Gäll von 9 zu habn.

49 d Vrschib dn Funtionsgraphn um di Höh h und brchn h d h m Witr gilt h m h m, m cm m Di Schnhöh bträgt also cm Für di at Brchnung dr Bognläng inr grümmtn Lini gilt di Forml L b d a Da nur in nährungswis Brchnung vrlangt wird, richt hir in Bschribung dssn, was untn shr ormal hrglitt wird. Di grümmt Lini wird angnährt durch inn Polygonzug, bsthnd aus inzlnn Gradnstücn. Disr Polygonzug wird immr witr vrinrt, bis man annährnd di Läng dr Kurv brchnn ann. Formal siht das so aus: Zrlg das Intrvall a b durch di Punt,,..., n in n, nicht notwndig glich T il. Di zu disn -Koordinatn ghörign, au dm Kurvnbogn ligndn Punt sin P, P,,P n-. Vrbindt man dis gradlinig, so rhält man inn Shnn- odr Polygonzug. Stzt man v v v und yv yv yv, so rhält man ür di inzlnn Shnnlängn nach Pythagoras: s v y v v yv v v Di Läng ds gsamtn Shnnzugs rgibt sich durch Summation dr inzlnn Tilstüc, also s n n v Summ yv v, a v und n b das Zichn stht ür

50 Für di im Intrvall a b sttig dirnzirbar Funtion gibt s Mittlwrtsatz ür jds Intrvall v v in Stll v z mit yv zv v mit v z v v Strbt n nun ggn Unndlich, dann ist, unabhängig wi di Tilung gwählt wurd: lim s n n n v d lim z n v v b a Das Vrahrn ist ähnlich zur Brchnung von Obr und Untrsumm bi Intgraln.

51 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Tnnis a Di Läng und Brit ds Tnnisplatzs rgibt sich aus dn Koordinatn von Q odr E odr F bzw. G odr H Läng m; Brit 9 m b Wg s Dinition dr Gschwindigit v Zit t s ist di Läng dr Strc PH, also d, 8, t s v,8m,7 Sundn m 8 h c Gsucht ist dr Winl zwischn dr Gradn durch P und H und dr -Ebn. Es gilt n u sin α, wobi n und u PH n u sin α, α,, o 9, d Dr Spiglpunt von H an dr -Ebn ist H -. Gradnglichung durch H und P:, t 8 Schnitt mit dr -Ebn mit dr Glichung rgibt: 8t t S

52 Es soll dr Til ds Auschlaglds bstimmt wrdn, dr vom Ball bi inm gültign Auschlag gtron wrdn ann. Stratgi:. Di möglichn Flugbahnn ds Tnnisballs lign in dn Ebnn E durch H, D und B bzw. E durch H, D und F. Bstimm di Normalnvtorn n und n disr Ebnn.. Bstimm di Schnittgrad g dr Ebnn E und E. Dis ist idntisch mit dr Gradn durch H und D.. Bstimm dn Schnittpunt S dr Schnittgradn g mit dr -Ebn.. Bstimm di Schnittgradn von E und E mit dr -Ebn. Als Ortsvtor nimmt man s und als Richtungsvtorn jwils das Vtorprodut von n bzw. n mit dm Normalnvtor dr -Ebn.. Di - Koordinat muss wgn dr Größ ds Auschlaglds di Bdingung, 9 rülln. Lösung:,,,. n HD BD 9,,,,,, n HD FD 9,,,., g : t, 8.,t t S ; S,7, , 9,, 9, 9,, ; 9,, 9, 8 7 9, s :, ; 8 7 s : l, 7 7

53 . Di Grad s schnidt di Auschlagmittllini, also gilt: SP,,8 Di Grad s schnidt di Auschlagaußnlini, also gilt: 9 l 9 l 7 7 SP 9,8 ; Disr Punt ligt allrdings außrhalb ds T-Flds. Brchn dn Schnittpunt von s mit dr T-Lini: 8 l l 7 Di Grad s schnidt di T-Lini im Punt SP 8, SP bildt zusammn mit SP, S und P, di vir Ecn dr Landläch.

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55 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. 8 vtorill Gomtri ohn Zichnungn a : λ g und 9 : t h t µ 9 t µ λ I. 7 µ λ II. t µ λ III. µ λ Aus I. olgt µ λ 7 ; in III. olgt λ µ µ µ In II. olgt 8 t t ; Schnittpunt S 9 7 a Ein Punt au dr Gradn g hat di Koordinatn λ λ λ G λ λ λ 7 QG , ± ± λ λ λ λ λ λ λ λ d λ und λ Einstzn in G rgibt di gsuchtn Punt A 9 7 S und B

56 c Di zur Gradn g snrcht Ebn E, di dn Punt Q nthält hat dn Richtungsvtor dr Gradn g als Normalnvtor, also n, daraus olgt di Ebnnglichung E: 9 : 9 z y E z y Stz di Grad g dort in: t t t t t Dr Schnittpunt von E und g ist also F 7. Für dn Spiglpunt Q olgt 7 9 QF OQ OQ ; also Q d 7 9 : l E Normalnvtor: 8 E n Normalnorm: z y Koordinatnorm: 8 z y Dr Normalnvtor dr Ebn F ist F n. Salarprodut mit E n rgibt: 8, also sind di Ebnn snrcht zuinandr.

57 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Kranhit Sit von

58 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Kranhit Sit von

59 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung Augab Nr. - Flugbahnn a Bstimmn dr Sitnvtorn AB ; AC 8 ; CD ; BD 8 zigt, dass s in Paralllogramm ist. AB AC lirt dn Nachwis ür di Eistnz ins rchtn Winls. Also handlt s sich um in Rchtc. b Für dn Lotußpunt L ds Punts P zur Gradn gilt: L,t - t 8,7,t FL r,t, t,7,t,, da di Vtorn snrcht auinandr sthn. Als Lösung rgibt sich t,7. Damit hat dr Vtor FL di Läng. Dr Abstand bträgt also Mtr. c Mithil ds Kruzproduts rhält man als Normalnvtor dr Ebn E Landbahn und y z als Koordinatnorm ür di Ebn E. Dr Schnittpunt von E und dr Gradn t rgibt sich nach Lösn dr Glichung - t 8,7,t Einstzn von t in E Di Lösung t lirt als Schnittpunt Austzpunt ds Flugzugs dn Punt S 8 7,7, dr, wi man licht siht au dr Landbahn ligt. sin a,,,, lirt als Winl: a,.

60 Diss Mal müsst di Landung also lappn, da di bidn Bdingungn rüllt sind. d Bstimmn ds Schnittpunts durch Glichstzn dr bidn Gradnglichungn: t y lirt als LGS mit zwi Variabln,t - t - 8,7,t,7 das di Lösungn t 7 und hat, mit dm gminsamn Punt Q 9 -,7. Aus dn Paramtrn lässt sich ablsn, dass di bidn Flugzug zu vrschidnn Zitpuntn sich an dism Ort bindn. 9 und y 9 lirt di Koordinatn dr bidn Punt, an,7,7 dnn sich di bidn Fligr zum Zitpunt t bindn. Als Läng d ds Vtors zwischn disn bidn Puntn rhält man d 7, m. Für in blibigs t rgibt sich dr olgnd Vtor zwischn dn bidn Puntn:,t t,t 7. 8 Das Quadrat sinr Läng lirt olgnd Funtionsglichung: dt 78,t t. Mit dn Mittln dr Analysis rgibt sich nach Glichstzn dr. Ablitung mit Null ür t dr Wrt t. Nach Sundn ist also dr Abstand zwischn dn bidn Flugzugn minimal.

61 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Ödnis im Ostn a Aus dn Angabn rgibt sich dr olgnd Graph: Di Matri lautt: M,999,,,988 b Schwachpunt: - Das Wandrungsvrhaltn ann sich ändrn politisch Entschidungn. - Das natürlich Wachstum blibt unbrücsichtigt. Annahm: - Di Bdingungn blibn in dn nächstn Jahrn so wi im Tt bschribn. 9, 9,9 c : M,,7 : M 9,9,7 9,88,,998,,997, d M M,,97,,9 9, 9,8 M Abwichungn wgn Rundungn!,, Intrprtation:, % aus dn nun Bundsländrn sind in di altn abgwandrt, währnd nur, % in di ntggn gstzt Richtung wandrtn.

62 ,999,,,988 y y Glichungssystm. y 8,999, y,,988 y y als Ansatz lirt das olgnd das di Lösungn,8 und y 7, hat.,8 Mio. Einwohnr wrdn langristig in dn nun Bundsländrn sich bindn, währn s in dn altn Bundsländrn 7, Mio. sind. Di Zahln sind also noch dramatischr als in dm Artil vrmldt. Als Ansatz rgibt sich,999 a 7 7, a, da di Einwohnrzahl in dn nun Bundsländrn nicht untr Mio. sinn soll und das Wandrungsvrhaltn in dn altn Ländrn glich blibt. Daraus rgibt sich di olgnd Glichung:,999 7 a 7 mit dr Lösung a,7. Das hißt, dass di Abwandrungsrat in dn altn Bundsländrn bi,7 % lign müsst.

63 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Bvölrungsntwiclung Es gilt A und A. 8 a b Mit A rgbn sich di Glichungn c d I 8a b 7 b,8 a II 8c d d, c III 7 a b 7 IV 7 c d 8 b ingstzt in III rgibt a, 9; d ingstzt in IV rgibt c, b, d, 8,9, Also A.,,8 Diagramm: 9% C % % V 8% 7 7 Vrtilung ür : A, d.h. 7 lbn in dr City, 87 in dn 8 87 Vorortn Vrtilung ür : A, d.h. 988 lbn in dr City, in dn 87 Vorortn. Für dn Vrtilungsvtor r r von 98 gilt 8 r 8 A A. Bstimm A - : 8,9,,9,,,7,8 7 7,,8,7,, 9,7,, Damit ist A lbtn ca. 87 Lut in dr City, 8 in 8 7 dn Vorortn. r r,9, r r. Für di stationär Vrtilung gilt: A, also.,,8,, y,, y Damit y und r r. Sit 7 von

64 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Bvölrungsntwiclung Da außrdm y, olgt r r r und damit ist r di stationär Vrtilung. Bzogn au Einwohnr hißt das: ca. 7 Bwohnr in dr City und in dn Vorortn. Für di stochastisch Grnzmatri G gilt: n,9, G lim dnn dis stimmt in dn Spaltn übrin, jd Spalt n,,8 stllt di stationär Vrtilung dar, G multiplizirt mit inm Vrtilungsvtor vrändrt disn nicht. Langristig ist mit City- und Vorortbwohnr zu rchnn. r r. IR ist Eignwrt dr Matri A, wnn gilt A.,9, r r,9,y,,8 y,,8,9,,9,,,8,7,7 Das homogn LGS hat außr dr trivialn Lösung in Lösung, wnn gilt,7,7,8±,,7 bzw.,7 sind di Eignwrt dr Matri A. r Eignvtor zum Eignwrt :,9,y y r. r Eignvtor zum Eignwrt,7:,,y y t q. Z.Z. ist: Di stationär Vrtilung dr Matri A ist p q r. p p q r r A p q r r p q p qy p q y y q p qy p qy y, da y gilt p q p q y y y. Damit:. p q p q p Sit 8 von

65 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Bvölrungsntwiclung Sit 9 von p q p p q q Da di stationär Vrtilung di Spaltn dr Grnzmatri angibt, hat G di ggbn Form.. Z.Z. ist ür all IR q p, gilt a q p A und b p q p q A. a q p q p q p q p q p b p q pq p pq pq pq q p q q p q p. Damit ist di Bhauptung gzigt.

66 Di Vröntlichung disr Lösung gschiht ohn inhaltlich Prüung durch di Bzirsrgirung Düssldor und dn Math-Tr. Di Lösung stammt nicht vom Originalautor dr Augab, sondrn von inm Lsr ds Math- Trs. Wir bdann uns hrzlich ür di Erstllung dr Augabnlösung. Lösung zu Augab Nr. Dricspyramidn Altrnativlösung a 9 Di Grad g mit g: t vrläut snrcht zu E durch dn Punt D. Für dn Schnittpunt disr Gradn mit dr Ebn gilt: 9 t t t 8 8 9t 8 t, dn Spiglpunt von D zur Ebn E rhält man ür t -8, also D Spigl -7 - b Flächninhalt ds Drics mittls A AB AC 8 7 FE Volumn dr Pyramid AB AC V AD 9 c Einstzn dr Gradn in di Ebn E rgibt: t 8 t 7 t 8 t t 8 t t t t Di Gradnschar h ligt also in dr Ebn E. VE d Dr Richtungsvtor dr Gradn AC und dr Richtungsvtor dr Schar sind linar abhängig ür, außrdm ligt dr Punt A au jdr Gradn dr Schar, d.h. di G- rad AC ghört zu dr Schar. Bwis dr linarn Abhängigit:

67 t 7 ührt au di dri Glichungn:. 7. t III. - t - II t I Einstzn von III. in I. und II. ührt zu: I * 7 und II* Aus III. olgt dann noch t : t h,, cos α α

68 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Dricspyramid Sit von

69 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Dricspyramid Sit von

70 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Münzwandrung / / a Übrgangsmatri Von dn in Dutschland umlaundn Münzn blibn 88 % in,88 A,, Dutschland D, % ghn nach Franrich F, % ghn in sonstig Ländr S. Von dn in Franrich umlaundn Münzn ghn % nach D, blibn 9 % in F und ghn % nach S. Von dn in sonstign Ländrn umlaundn Münzn ghn % nach D, % nach F und blibn 8 % in S. b,,9, D A D D AD,,,8,88,,,88,,,,9,,,9,, 88,,8 Man rhält wi rwartt, dass nach inm Jahr 88 % dr dutschn Münzn in D, % in F und % in S bindn.. Nach zwi Jahrn bindn sich 78,7 % dr dutschn Münzn in D,,98 % in F und, % in S,787,8, Di - jährig Übrgangsmatri ist A AA, 98,8,9,,7,,87 D A D 8,7, Zum.. sind,8 % dr dutschn Münzn in D, 8, % in F und, % in S, 88 78,7,,98,8, cd stationär Vrtilung A D D, dis ührt zu dm homognn LGS: /,,,,,,,,, 7, 7 7 7,,, d d d d Si d t d t d t 7, t 8t d t L t, t R Mit d d d Lösungn zum Radr Mathmati Abituraugabn/ von

71 Lösungn zum Radr Abituraugabn Mathmati Augab - Münzwandrung / / /,8 ist t und D /9, in stationär Vrtilung, wobi 9 / 9,9,8 % dr dutschn Münzn in D,, % in F und,9 % in S-Ländrn sind. ddi Anzahl dr Münzn in Dutschland rrchnt sich ntwdr aus,88 8,, 7, [Mio ] und analog olgt, dass 9, Mio Münzn in Franrich und 9 Mio. in dn sonstign Ländrn am.. sind odr 7, 8 mit Hil dr Übrgangsmatri A zu 9, A. 9 I p DD,77 77, % II p FD;SD,, % III Satz von Bays; p D F pfd / p DD;FD;SD,7.., % Wandrung dutschr Münzn D % 88% % S F D 8 88% % 9% % S F D S F D S F D Lösungn zum Radr Mathmati Abituraugabn/ von