so dass die Anwendung der Laplacetransformation auf (6.14) wegen (6.15) sehr einfach

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Siegfried Förstner
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1 Übrtrgungfunktion u DGL Di Gwinnung dr Übrtrgungfunktion u dr Diffrntilglichung in Sytm wird m Bipil d prungfähign Sytm. Ordnung RCL Glid u bhndlt. LCu + RCu + u LCu (6.4) Mit Blick uf di Dfinition dr Übrtrgungfunktion (6.0) wird vorugtzt, d di bidn Spichr C, L in t 0 lr ind (w gwi dr Fll it, wnn d RCL - Glid vor t0 gnügnd lng ich lbt übrln wr). Ein in t 0 ufgchltt Eingngignl u (t), t 0, ruft d dzu korrpondirnd Augngignl u (t), t 0, hrvor. Dmit gilt (6.), d.h. u ( 0) 0 u ( 0) 0,, u ( 0) 0 u ( 0) 0 (6.) o d di Anwndung dr Lplctrnformtion uf (6.4) wgn (6.) hr infch wird: ( LC + RC+ ) U LC U U G( ) U LC. (6.6) LC + RC + Di it in (uncht) gbrochn rtionl Funktion zwitn Grd in dr komplxn Lplcvribln. Zählr- und Nnnrgrd ind hir m n, w Konqunz dr Ttch it, d in dr DGL (6.4) d Eingngignl u (t) uf dr rchtn Sit uch wi u (t) in dr. Ablitung uftritt. Di zigt im Bildbrich di Sprungfähigkit d RCL Glid n, di phyiklich (lktrotchnich) in 3.4. rklärt wurd. Wnn mn di Diffrntilglichung (6.4) mit dr Übrtrgungfunktion (6.6) vrglicht, o rknnt mn dn infchn Formlimu, wi bid Bchribungformn für d Sytm zummnhängn bzw. uinndr hrvorghn: Zitblitungn in dr Diffrntilglichung wrdn zu Potnzn von in G() und dr linr Diffrntiludruck uf dr linkn Sit dr Diffrntilglichung (bim Augngignl) korrpondirt mit dm Nnnr von G() und di rcht Sit dr Diffrntil-

2 69 glichung (bim Eingngignl) korrpondirt mit dm Zählr von G(). Dir Formlimu it infch zu hndhbn (mn brucht nicht wirklich zu rchnn ) und zu mrkn! Nchdm nun di Übrtrgungfunktion (6.6) für d Bipilytm bknnt it, knn mn für in ggbn Eingngignl u (t) di Antwort d Sytm u (t) für vrchidn Anfngbdingungn bi t -0 brchnn. Zurt rmittlt mn zu dm ggbnn Eingngignl u (t) di Lplctrnformirt U () {u (t). Dzu bnutzt mn m btn Korrpondnztfln für di Lplctrnformtion. Für di in dn Anwndungn vorkommndn typichn Eingngignl u (t) findt mn U () durch Abln von inr olchn Tfl. Dnn bildt mn d Produkt G() * U (). Di Produkt it gmäß (6.) di Lplctrnformirt d zu u (t) ghörndn Antwortignl u (t) d RCL Glid: U () G() * U (). Durch Rücktrnformtion findt mn d Zitvrluf u (t). D G() gbrochn rtionl in it, it uch U () in ll dn Fälln, wo U () {u (t) uch in gbrochn rtionl Bildfunktion in it, bnfll gbrochn rtionl, o d di Rücktrnformtion mit Hilf dr Prtilbruchzrlgung rfolgn knn. Für vrchidn Eingngignl oll di bipilhft gzigt wrdn. Für di Bulmnt d RCL Glid glt R 3[], C 0, [F], L [H] 0, G (6.6) 0, +, ( + )( + ).) u (t) δ(t) U () Au it bknnt: Wird in linr zitinvrint Sytm dn ämtlich Spichr lr ind mit δ(t) m Eingng rrgt, dnn rhält mn m Augng di Gwichtfunktion g(t) d Sytm. Und nch it di Gwichtfunktion g(t) d Sytm in Sytmfunktion (in nichtprmtrich Sytmmodll) in dm Sinn, d bi Knntni und nur untr Vrwndung von g(t) di Antwort y(t) d Sytm uf jd blibig ndr Eingngignl u(t) brchnt wrdn knn: ih Fltungintgrl (3.98) / (3.99). Mit dr Übrtrgungfunktion G() gm. (6.6) bzw. (6.6) gilt im -Brich für di Antwort uf u (t)δ(t) und dmit für di Gwichtfunktionbrchnung lo { g ( G( )) G( ) * { δ G() *, g(t) - {G() (6.7) - { ( + )( + ) { ( + )( + )

3 70-4 { t t g( t) δ + 4, t > 0. (6.8) Mit (6.7) ht mn in für linr zitinvrint Sytm wichtig, llgmin gültig Ergbni rhltn: G() {g(t) g(t) - {G() (6.9) D.h. di Übrtrgungfunktion G() in linrn, zitinvrintn Sytm knn uch l Lplctrnformirt inr Gwichtfunktion gdutt wrdn! Hinwi: Mit dm Fltungtz dr Lplctrnformtion (.6) knn mn di Ergbni bzw. di Erknntni uch ofort u (6.6) gwinnn: d. h. Y() G() * U() mit Fltungtz (.6) y(t) g(t) * u(t) (3.99) g(t) - {G(). Di für d pzill Bipil brchnt Gwichtfunktion (6.8) nthält lbt inn δ(t) Antil. Di it di Konqunz dr Sprungfähigkit d RCL Glid (ih 3.4.., 3.4.., ), di mn nhnd dr Übrtrgungfunktion G() ofort drn rknnt, d dr Zählrgrd m glich dm Nnnrgrd n hir m n it. Durch Polynomdiviion Zählr durch Nnnr knn mn dhr dn og. gnzrtionln Antil hir im Bipil di Kontnt, wi in dr Brchnung von (6.8) gzigt bpltn, o d bi dr Rücktrnformtion wgn δ dr δ(t) Antil in g(t) nttht..) u (t) σ U Au it bknnt: Wird in linr zitinvrint Sytm, dn ämtlich Spichr lr ind, mit σ(t) m Eingng rrgt, dnn rhält mn m Augng di Übrgngfunktion h(t) d Sytm. Mit dr Übrtrgungfunktion (6.6) und (6.) rhält mn H() {h(t) G() * (6.0) * ( + )( + )

4 7 ( + )( + ) und dmit für di Übrgngfunktion d RCL - Glid h(t) - { ( + )( + ) - { + (6.) + + h(t) - -t + -t. (6.0) tllt widr inn für linr zitinvrint Sytm llgmingültign Schvrhlt dr: Di Lplctrnformirt dr Übrgngfunktion it di Übrtrgungfunktion odr multiplizirt mit, di Lplctrnformirt dr Übrgngfunktion it di durch dividirt Ü- brtrgungfunktion. Mit Blick uf (6.) it dr Fktor in (6.0) di Lplctrnformirt dr l Eingngignl ufgchlttn Einhitprungfunktion σ(t). Mn knn br in dm Produkt (6.0) dn Fktor uch ndr dutn, und zwr im Sinn d Intgrtiontz dr Lplctrnformtion (.4). wird jtzt l Oprtor (im Bildbrich) intrprtirt, dn Äquivlnt im Zitbrich di Oprtion Intgrirn it. Alo rhält mn u (6.0), wnn mn (6.0) im Sinn d Intgrtiontz intrprtirt und (6.7) brückichtigt H * G( ) mit Intgrtiontz (.4) t h g( τ ) dτ. (6.) 0 Dir Zummnhng zwichn Übrgngfunktion h(t) und Gwichtfunktion g(t) in linrn zitinvrintn Sytm wurd brit in im Zitbrich ih (3.93) bglitt. Im Lplcbrich knn mn ihn uf infch und forml Wi findn bzw. btätign. Für d vorlignd pzill Bipil (6.8) lifrt (6.) ntürlich d richtig Ergbni (6.).

5 7 3.) Brchnung dr Antwort uf u in t, t 0 Widr untr dr Vorutzung, d ll Spichr lr ind, oll di Antwort d RCL Ntzwrk u(t) für in m Eingng ufgchltt Sinupnnung u in t, t 0 brchnt wrdn. Di Lplctrnformirt di Eingngignl it (ih Korrpondnztfln!) U (6.3) ² Mit (6.) bzw. (6.6) gilt für di Lplctrnformirt d guchtn Antwortpnnungvrluf U * ( + )( + )( ) (6.4) Durch Lplcrücktrnformtion findt mn dn zughörign Zitvrluf u (t) dr Sinuntwort: u (t) { ( + )( + )( ² ) (6.) Hir it folgnd (Prtilbruch-) Zrlgung zwckmäßig: C C A + B + + ( + )( + )( ) * + *. (6.6)

6 73 Di glidwi Rücktrnformtion lifrt t t 3 u + co t + in t 3 ( )² + ( )² co(t + rctn ) 3 0 co(t 8,4 ) 0 in(t + 7,6 ) t t 0 u + in(t + 7,6 ). (6.7) Übrgngvorgng, trnintr Vorgng, ght für t ggn Null ttionärr Löungntil Mn rknnt: Di Sinuntwort u (t) d RCL Glid tzt ich u Antiln zummn. Di bidn rtn Summndn tlln dn og. Übrgngvorgng (trnintn Vorgng, flüchtign Vorgng) dr. Er tzt ich u -Funktionn zummn, drn Exponntn durch di bidn Pol dr Übrtrgungfunktion G ( + )( + ) bi -, - btimmt ind. D bid Pol ngtiv rll ind, klingn bid - Funktionn uf Null b; i rrichn chon für t [] inn Wrt, dr nhzu Null it. Mn muß lo nur in ndlich lng Zit wrtn (und nicht bi t ), bi dr Übrgngvorgng zu Null gwordn it. Dr dritt Summnd in (6.7) tllt dn ttionärn Löungntil dr Sinuntwort d RCL Glid dr. Er ht wi d Eingngignl Sinuform und bitzt di glich Frqunz [ - ] wi d Eingngignl. Jdoch it di Amplitud nicht mhr wi bim Eingngignl u (t) ondrn 0 0, 63 und tritt in Phnvrchibung ggnübr dr Nullphnlg dr Eingngchwingung u (t) um 7,6 - lo in Phnvorilung in. Wir hltn ft (mit Blick uf dn pätr in 6.6. inzuführndn Frqunzgng in linrn zitinvrintn Sytm): Dr ttionär Löungntil dr Sinuntwort in linrn zitinvrintn Sytm it wi d Eingngignl lbt widr in Sinuchwingung mit dr glichn Frqunz hir wi bim Eingngignl, br Amplitud und Phnlg ändrn ich ggnübr dm Eingngignl.

7 74 D folgnd MATLAB Fil lifrt di grfich Drtllung von u (t) und u (t) in inm Digrmm: >>t 0 : 0.0 : 0; >>u in ( * t); >>u 0.4 * xp (-t) xp (- * t) * co ( * t) + 0. * in ( * t); >>plot (t, u, t, u), grid

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