2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

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1 5 Mhmich Bhndlung von Rglkrin Von dn Prkikrn wird di gnu Bchribung inr Srck grn w gringchäzig bwr mi dm Argumn, d di mhmichn Mhodn komplizir ind und n dr Rliä vorbighn Jdoch ln ich di nnwr inr Srck, z B in chmichn Proz, primnll rmiln und mi Hilf dr hori innvoll inordnn Anlign dr Rglunghori i, di Zummnhäng im Rglkri zu rfn und ggbnnfll gzil inzugrifn Mn knn im voru di Wirkung in Rglprmr, ohn uf bloß Probirn ngwin zu in Bhrrungzund und Zivrhln in Rglkriglid Wir hbn in dn vornggngnn Brchungn ghn, d wir dn Rglkri im Wirkungpln drlln könnn und hbn din in zwi Hupblöck unril: Di Rglrck Di Rglinrichung Jdr dir Blöck lä ich nun widr in inzln rückwirkungfri Glidr zrlgn Jd dir grichn Glidr h inn Ein- und inn Augng Rückwirkungfri bdu, d d Signl d Glid nur vom Eingng zum Augng durchlufn knn, nich in umgkhrr Richung Bild Bild Blockymbol in Rglkriglid Mn unrchid zwichn dm Bhrrungzund ich Vrhln und dm Zivrhln dynmich Vrhln I dr Eingng X konn, o i bi proporionln Symn d Augngignl X uch konn Nch inr Ändrung dr Eingnggröß ll ich normlrwi nch inr bimmn Zi uch in konn Augnggröß in, wi bipilwi im Bild gzig i Möglich i uch, d in Bhrrungzund übrhup nich rrich wrdn knn Dnn i d Rglkriglid ohn Auglich bzw inbil X X X X Bild Zivrhln in Rglkriglid Springr Fchmdin Wibdn GmbH 7 S Zchr, M Rur, Rglungchnik für Ingniur, DOI 7/ _

2 6 Mhmich Bhndlung von Rglkrin Di Zummnhäng zwichn dn Signln im Bhrrungzund wrdn mi Hilf von ichn nnlinin bzw Funkionn X f X bchribn Di ionärn Ein- und Augnggrößn im Arbipunk in Rglkriglid wrdn l X und X bzichn Bi dr Unruchung d ichn Vrhln wrdn wir un uf klin Abwichungn X und X von inm Arbipunk bchränkn, d in bribfähigr Rglr nur klin Abwichung in inm Rglkri zulä Dbi i zwckmäßig, di klinn Abwichungn X und X infch durch di klinn Buchbn und zu bzichnn Di Augnblickwr zn ich dmi u dn ionärn Arbipunkwrn und dn zibhängign Abwichungn zummn: X X X X Im Wirn wrdn wir ldiglich di linchribung bnuzn, d di Unruchungn nur für di Abwichungn von inm Arbipunk durchgführ wrdn In inm Rglkri pil nbn dm ichn Vrhln d dynmich Vrhln in wnlich Roll, omi uch d dynmich Vrhln dr inzlnn Glidr Mßgbnd ind hirbi di Augnblickwr und owi drn zilich Abliungn & ; & & und & ; & & Glichungn, di dn ichn und dynmichn Zummnhng zwichn Ein- und Augnggröß bchribn, ind gwöhnlich, linr Diffrnilglichungn von dr llgminn Form: b &&& b && & b & && b &&& Di Ein- und Augnggrößn owi di konnn Biwr,,, n und b, b,, b m ind im Allgminn dimnionbhf Di DGL dr llgminn Form knn in di rglungchnich Normlform gbrch wrdn, indm mn: Di Augnggrößn bzw drn Abliungn uf di link DGL-Si ll Di Augnggröß bzw drn Abliung koffizinfri lä Al Bipil i unn in DGL Ordnung gzig & & b & b, di durch Diviion mi uf rglungchnich Normlform gbrch wird: b b & & &

3 D Auflln dr Diffrnilglichung 7 D Auflln dr Diffrnilglichung Bi dr Aufllung dr Diffrnilglichung in Sym mu mn di phyiklichn Gz nwndn, dnn d Sym unrlig, o z B di mchnichn, hydrulichn, pnumichn, lkrichn Gz uw Bipil A m R l U b Bild Elkropnumichr Wndlr Di Eingnggröß in lkropnumich Wndlr Bild i dr Lufdruck übr dm Mmbrnllr mi dr Fläch A Dir rzug in rf F A Infolg dir rf wird di olbnng um nch unn bwg Ddurch wird di Fdr um zummngdrück und rzug di Ggnkrf F c c Außrdm i in Dämpfunginrichung vorghn Bwg ich dr olbn nch unn, o mu r di unr dm olbn bfindlich Ölmng übr di Umwg-Liung mi dm Drolvnil nch obn fördrn Di rf, di dzu nowndig i, i proporionl dr Gchwindigki, mi dr ich dr olbn nch unn bwg: F b & k Frnr ind di bwgn il mi inr M m bhf, o d in wir Ggnkrf nh: F m m& Nun mu in dm Augnblick di Summ llr räf glich Null in Dru folg: m & & b c A Zwichn und bh di Proporionliä U, dru folg l U l

4 8 Mhmich Bhndlung von Rglkrin Szn wir Gl in Gl in, o rhln wir m l U b l U c l U & & A 4 Durch Vrglich mi dr llgminn Form dr DGL findn wir di Biwr: b A in [cm ], c l b l m l in [N/V], in [N/V], in [N /V] U U U Dividir mn Gl 4 durch dn Fkor cl /U, o folg in ndr Ar dr Drllung m b A U & &, c c c l bzw mi dn Abkürzungn: A U b m ; ; ; c l c c & & 5 und hbn di Dimnion inr Zi und ind di o gnnnn Zikonnn Bipil i R L u R u L Bild 4 Rihnchwingkri Eingnggröß d in Bild 4 gzign Rihnchwingungkri i di Spnnung und Augnggröß i di Spnnung übr dm ondnor Nch dm irchhoffchn Sz i di Summ llr Spnnungn in inr Mch glich Null u u 6 R L Dr Spnnungbfll m Widrnd rgib ich zu u R i R Nch dm Indukiongz i u L L di/d Frnr i dr Ldrom i proporionl dr Spnnungändrung m ondnor i d /d Di Bzihungn in di Gl 6 ingz rgib: R & L & Auch hir könnn wir di folgndn Zikonnn inführn: R und L Somi folg: & & 7 Mn rknn lich, d dr Aufbu dr bidn DGL 5 und 7, bghn vom Fkor, übrinimm Bid Sym vrhln ich nlog

5 Löung dr Diffrnilglichung 9 Löung dr Diffrnilglichung Mi dr gfundnn Diffrnilglichung knn mn noch nich llzuvil nfngn E inrir dr zilich Vrluf dr Augnggröß, wnn di Eingnggröß inn bimmn zilichn Vrluf nnimm Um di Diffrnilglichung mi dr Sörfunkion lön zu könnn, mu di gnu bknn in Al Eingngfunkionn bnuz mn pzill Signl, di lich rliirbr und vrglichbr ind Di Eingngfunkionn wrdn uch in dr Pri zur primnlln Ermilung d zilichn Vrluf d Augngignl ngwnd I d Übrgngvrhln für in pzill Eingngfunkion bknn, o lä ich dru d Zivrhln bi dr blibign Eingngfunkion rmiln Spzill Eingngfunkionn Di Sprungfunkion Sowohl für horich Unruchungn l uch l prkich funkion h di Sprungfunkion l Eingngrrgung in groß Bduung Si i dfinir durch für < con für > Dr Vrluf inr olchn Sprungfunkion i in Bild 5 widrggbn Vilfch wird di Höh d Eingngprung uf dn Wr Ein normir und l Einhiprung σ bzichn: σ für < für > Wgn dr infchrn Schribwi wird im Folgndn di Sprungfunkion durch σ ugdrück In Bild 5 link ind dr idl und dr chnich rliirbr Vrluf grichl gzig Bild 5 Sprungfunkion link und Anigfunkion rch

6 Mhmich Bhndlung von Rglkrin Ein idl Sprungfunkion, d h in phyiklich Größ, di ich zum Zipunk in unndlich kurzr Zi um inn ndlichn Brg ändr, i chnich nich rliirbr Mi dn lkronichn Bulmnn komm mn zu Anigzin, di klinr l in Nnokund ind Bi ndrn phyiklichn Größn Druck, mprur uw lign di Zikonnn z wnlich höhr b Di Anig- odr Rmpnfunkion Wi Bild 5 rch zig, ig bi Null bginnnd, linr mi dr Zi n σ für für < >, d wobi di konn Ändrunggchwindigki d Eingngignl d i Dr zilich Vrluf dr Augnggröß bi inr Anigfunkion m Eingng wird l Anignwor bzichn c Di Impulfunkion δ-funkion Di idl Impulfunkion zig zum Zipunk inn Sprung in Unndlich und i glich Null für Bild 6, link δ für für Di Funkion knn mn ich u inm rchckförmign Impul dr Bri ε und dr Höh /ε für ε, mi dr Zifläch, nndn dnkn Zwichn dr δ-funkion und dm Einhiprung σ bh dr Zummnhng dσ δ d Dr zilich Vrluf d Augngignl bi inr Impulfunkion m Eingng i di Impulnwor odr di Gwichfunkion g ε ε d ^ Bild 6 Impulfunkion link und Sinufunkion rch Für prkich Unruchungn, z B mi inm Impulgnror, h di Impulfläch di Dimnion dr Ampliud muliplizir mi dr Zi V, A uw

7 Löung dr Diffrnilglichung chnich knn di Impulfunkion nur mi ndlichr Dur und Höh rliir wrdn Di Anwndung inr Sprungfunkion übr inn längrn Zirum ll inn mivn, mnchml unzuläign Eingriff dr Ein kurzziigr Impul h dn Voril, d di durch ihn vrurch Binrächigung vrhälnimäßig gring i d Di inuförmig Eingnggröß Nbn dr Sprungfunkion zur Unruchung von Rglkriglidrn h di Mhod durch inuförmig Eingngrrgung in groß Bduung Di Sinuchwingung Bild 6, rch h dn zilichn Vrluf in, wobi di Schwingungmpliud und π f di rifrqunz i, mi f l Frqunz Di Schwingungpriod i /f Di ochich Eingnggröß Dr Volländigki hlbr i in wir Zifunkion rwähn, di llrding im Rhmn di Buch kin Brückichigung find Di unr bi d gnnnn drminiichn Eingngignl ind vilfch zur Idnifikion ungign Mn bnuz dn di immr vorhndnn ochichn, d h rgllo vrlufndn, Sörignl Bild 7, wi z B d Ruchn in lkronichn Grän odr di Sromchwnkungn in inr dr Elkrodn in Lichbognofn währnd d Einchmlzvorgng Bild 7 ypichr Vrluf in ochichn Signl Min ind di ochichn Signl klin ggnübr dn Bribwrn Di Burilung, Vrknüpfung und Auwrung dr Ein- und Augngignl rfolg mil iichr Mhodn Sochich Signl mi inr Gußchn Ampliudnvrilung piln vrglichwi in ähnlich fundmnl Roll, wi inuförmig Signl bi drminiichr Brchungwi Löung dr Diffrnilglichung bi prunghfr Vrllung dr Eingnggröß Di m häufign in dr Rglungchnik ngwnd Eingngfunkion i di Sprungfunkion Sz mn di Sprungfunkion l Sörfunkion in di Diffrnilglichung in und lö di DGL nch uf, o rhäl mn mi di o gnnn Sprungnwor

8 Mhmich Bhndlung von Rglkrin In dn Bipiln und hn wir folgnd DGL gfundn: & & Vrinfchnd wolln wir nnhmn, d di Zikonn hr klin i, und dmi d Glid & vrnchläigbr Di wär z B dr Fll, wnn di M m im Bipil bzw di Indukiviä L in Bipil hr klin bzw Null wär Di o rhln Diffrnilglichung Ordnung & 8 bzw für > & 9 wolln wir nun uf vrchidn Arn lön Löung dr Diffrnilglichung durch rnnn dr Vrändrlichn Au Gl 9 find mn durch Umlln nch d /d d und d Durch Ingrion bidr Sin folg: d d d d bzw ln Unr dr Annhm, d di Augnggröß d Sym für Null i, rgib ich di Ingrionkonn u mi dr Anfngbdingung Di widrum in Glichung ingz, rgib ln ln bzw und nch ufglö:, ln Dr Eingngprung und di Sprungnwor hbn dnn dn in Bild 8 drglln zilichn Vrluf

9 Löung dr Diffrnilglichung Bild 8 Sprungfunkion und Sprungnwor Di urv h für di größ Sigung Lg mn n di urv zum Zipunk di ngn, o chnid di dn Bhrrungwr für Dr Vrluf dr Sprungnwor i durch di Zikonn und dn Übrrgungbiwr induig bimm 4 Löung dr Diffrnilglichung durch gignn Anz Di vornggngn Löungmhod bnd drin, d di Vrändrlichn grnn und nchlißnd ingrir wurdn Dir Wg i nur bi DGL und Ordnung möglich Bri bi inr DGL Ordnung i dr Aufwnd zimlich umfngrich, wil zunäch di Ordnung rduzir wrdn mu Löung dr homognn Diffrnilglichung Bi dr Löung dr Diffrnilglichung 8 & nch dr z zu bprchndn Mhod, wird zunäch di homogn Diffrnilglichung glö, d h d Sörglid wird Null gz: & Unbhängig von dr Ordnung dr DGL mch mn nun gnrll dn Anz: λ E wird dhlb in -Funkion gwähl, wil di Abliung inr -Funkion bnfll widr in -Funkion rgib Wir zn nun λ und λ-wr o, d di Glichung rfüll i: λ λ λ λ und dnn λ Di i dr Fll für λ, bzw & λ in di Gl in und bimmn dn λ λ Anz mi λ / in Löung dr homognn DGL i Dru folg, d dr gwähl

10 4 Mhmich Bhndlung von Rglkrin Wi mn ich lich durch Einzn übrzugn knn, rfüll uch dr Anz λ di homogn Diffrnilglichung Nun i br di zu lönd Diffrnilglichung 8 nich homogn, ondrn mi inm Sörglid bhf b Löung dr inhomognn Diffrnilglichung durch di Mhod dr Vriion dr onnn nch Lgrng Di Mhod dr Vriion dr onnn bh drin, d di onn, in dr Löung dr homognn Diffrnilglichung durch in Funkion rz wird Sz mn dn modifizirn Anz 4 in di inhomogn Diffrnilglichung 8 in, o folg: & bzw & Nch & ufglö rgib: & Durch Ingrion zwichn dn Grnzn τ und τ rhäl mn: d d τ τ τ τ τ & Nch dm Hupz dr Infiniimlrchnung i d τ τ τ bzw d τ τ τ 5

11 Löung dr Diffrnilglichung 5 5 in 4 ingz, führ zu τ τ dτ Unr Brückichigung inr llgminn Anfngbdingung für folg Somi lu di volländig Löung: τ τ dτ Di Augnggröß z ich u zwi rmn zummn Dr r rm brückichig di Abhängigki von dr Anfngbdingung, dr zwi rm i di Rkion dr Augnggröß uf di Eingnggröß Wähln wir widr di Anfngbdingung und l Eingnggröß di Sprungfunkion o wird und dmi für < con für >, dτ τ 6 Di Ergbni i idnich mi dm zuvor gfundnn 5 Löung mil Lplc-rnformion Di Übrrgungfunkion Bi linrn Symn i vorilhf, di Löung von Diffrnilglichungn nich im Zibrich, ondrn mil Lplc-rnformion vorzunhmn Gmäß dr Lplc-rnformion rhäl mn für di inzlnn DGL-Glidr unr dr Voruzung, d di Anfngbdingung Null i, folgnd Lplc- rnformirn:

12 6 Mhmich Bhndlung von Rglkrin L [ ] L [ & ] L [&& ] L [ d] Bipilwi rn in dr DGL 8 n di Sll dr Glidr im Zibrich nun di Ein-/Augnggrößn im Bildbrich: & Di Lplc-rnformir ll dmi in lgbrich Glichung dr und lu: 7 Allgmin i d Vrhälni dr Lplc-rnformirn Augnggröß zur Lplc-rnformirn Eingnggröß l Übrrgungfunkion G dfinir, drn ng Bzihung zum Frqunzgng noch bprochn wird Für di Gl 7 gil: G Für di Sprungfunkion m Eingng Bild 5 i di Lplc-rnformir L [ ] Sz mn di in di Glichung 7 in, o folg Au dr lzn Bzihung ind di Pollln, d h di Nulllln d Nnnr mi und richlich Di Rückrnformion in dn Zibrich knn mil Prilbruchzrlgung, Ridunzz odr orrpondnzbll rfolgn Mi / folg u dr Bzihung 5 dr orrpondnzbll Anhng ofor, 8 di mi dn zuvor gfundnn und 6 idnich i

13 Löung dr Diffrnilglichung 7 Im wirn Vrluf d Buch wird zur Löung von Diffrnilglichungn uchlißlich di Mhod dr Lplc-rnformion bnuz Bipil i R L u u R u L u u Bild 9 Drllung in Rihnchwingkri im Bildbrich Di Spnnungn u und u in Rihnchwingkri Bild 9 wrdn l Eingng- und Augnggrößn brch E oll dr Einchlvorgng rmil wrdn, wnn di Eingngpnnung bi von uf u prungförmig gändr wird Zur Brchnung von Einchlvorgängn in lkrichn Nzwrkn i nich nöig, di DGL wi in Bipil ufzulln, vilmhr knn mn di u dr hori dr Wchlromlhr bknnn Rgln in modifizirr Form l Übrrgungfunkionn nwndn Nch dm Ohmchn Gz gil für Bild 9 im Zi- und Bildbrich ur R i ur R i 9 An dr Indukiviä Bild 9 ind di Bzihung zwichn zilichn und Lplc- rnformirn Srom und Spnnung wi folg ggbn: u L L i& u L i Di Vrhälni n dr pziä im Zi- und Bildbrich ind: L i u& i u bzw i u Für di Augngpnnung folg di Lplc-rnformir u dm irchhoffchn Sz: u ur ul u Szn wir nun di Gln 9 und in di Glichung u R i L i u und rzn wir dn Srom i u dr Gl durch u, o rgib ich u R u L u u L u R u u u Au lzr Glichung folg nch dr Diffrniionrgl dr Lplc-rnformion di DGL L u& R u& u u Zur Ermilung d zilichn Vrluf dr Augnggröß bi ggbnm Eingng i di DGL nich rfordrlich, ondrn wird dirk u Gln in dn Zibrich zurückrnformir

14 8 Mhmich Bhndlung von Rglkrin Di Übrrgungfunkion ll d Vrhälni dr Lplc-rnformirn Augnggröß zur Lplc-rnformirn Eingnggröß dr: u G 4 u L R Mi dn Abkürzungn L und R rgib ich di Normlform dr Ordnung u G 5 u Aufgb Ein nchlung von zwi glichrign Virpoln mi Ein- und Augnggrößn u und u i im Bild gzig i R i R u u u Bild nchlung von zwi Virpoln Virpol Virpol Ggbn i di Übrrgungfunkion dr nchlung u G, u mi folgndn Zikonnn: R R R Ermiln Si u bi dm für ggbnn Eingngprung von dr Höh u mi R 5 kω µf R kω µf Löung im Anhng Bipil 4 E oll di Übrrgungfunkion in Fdr-M-Dämpfr Sym Bild rmil wrdn F m D Bild Mchnich Sym

15 Löung dr Diffrnilglichung 9 Di Eingnggröß i di rf F, di Augnggröß i dr Wg dr M m Di Wgrck i von dr Fdrkrf F und dr Dämpfr-Widrndkrf F D bhängig: F und F D D &, 6 worin und D di Fdrkonn und di Dämpfungkonn ind Au dm räfglichgwich m& F F FD 7 rhäl mn di Diffrnilglichung d mchnichn Sym, indm mn di Glichungn 6 in di Gl 7 inz: m & F D & Nch Lplc-rnformion folg dru mi dn Abkürzungn m, D und di Übrrgungfunkion Ordnung, di mi Gl 5 idnich i: G F Aufgb Ggbn ind d in Bild gzig Nzwrk mi R-, - und L-Elmnn owi di d Sym bchribnd Übrrgungfunkion: u G bzw G u u R R u Bild RL-Brücknchlung Allpßglid L Di Zikonnn ind durch di folgndn Abkürzungn bzichn: L und R R Di Anfngbdingungn ind Null E i mi R kω, µf R kω L H zu rmiln:

16 Mhmich Bhndlung von Rglkrin Di Augngpnnung u nch inm Einhiprung dr Spnnung u u σ b Di Wr von u für und Hinwi: Zur Rückrnformion in dn Zibrich gh mn m zwckmäßign von dm prilbruchzrlgn Audruck u 6 Löung dr Diffrnilglichung bi inuförmigr Eingnggröß Wi i dr Vrluf dr Augnggröß, wnn di Eingnggröß in inuförmig Schwingung i? Di Frg oll für d in Bild gzig linr Sym bnwor wrdn Bild Zuchln inr inuförmign Spnnung uf in R-Glid Di Übrrgungfunkion nprich dn Gln 4 und 5 mi R und ohn Indukiviä L bzw mi : R u u G 8 Di Anfngbdingung i Null Für di inuförmig Eingngfunkion bi > u u u ˆ in ˆ i di Lplc-rnformir, gmäß dr Bzihung 4 dr orrpondnzbll ˆ ˆ u u u 9 Mi 9 in 8 folg: ˆ u u In dir Form ind di dri Pol mi bknn Di Rückrnformion in dn Zibrich rfolg m zwckmäßign mil d Ridunz: u R u u R u

17 Löung dr Diffrnilglichung ] R R [R ˆ u u Für di rn zwi Pol rgbn ich di Ridun R R, di ich wi folg zummnfn ln: R R bzw durch rigonomrich Funkionn ugdrück: ] co [in R R D Riduum d drin Pol R wird vrinfch R und uch durch rigonomrich Funkionn ugdrück: }] co [in R und in ingz, rgib: co in co in ˆ u u

18 Mhmich Bhndlung von Rglkrin D di Summ bzw Diffrnz inr Sinu- bzw inr oinufunkion, bi glichr Frqunz, widr in Sinuchwingung rgib, knn mn für di rn bidn rm in dr ckign lmmr chribn: in co A in ϕ Hirin i A di Schwingungmpliud und ϕ dr Phnvrchibungwinkl dr rulirndn Schwingung Mi Hilf dr Addiionhorm find mn: und omi in ϕ in coϕ co in ϕ [ in co ϕ co in ϕ] in co A Sz mn di Glidr mi in bzw co bidr Sin glich, o rgib ich : A coϕ A in ϕ Durch Diviion bidr Glichungn rhäl mn n ϕ und durch Qudrirn und Addirn bidr Glichungn bzw A co ϕ in ϕ A Somi rgib ich di ndgülig Löung uˆ u in ϕ in ϕ A Nch inr Zi 5 i d Glid mi dm Fkor nhzu Null und vrnchläigbr, d h dr Einchwingvorgng Bild 4 i bgchlon und di Augnggröß i dnn in ungdämpf Sinuchwingung mi dm zilichn Vrluf u uˆ in ϕ 4 Wi u Gl 4 richlich, h di Augnggröß u im ionärn Zund di glich rifrqunz wi di Eingnggröß mi dr Schwingungmpliud û uˆ uˆ

19 Löung dr Diffrnilglichung Di Ampliud û i in Funkion von und nimm mi zunhmndm b ^ ϕ ^ Bild 4 Einchwingvorgng bim Einchln in inuförmign Eingngignl Dr Phnvrchibungwinkl ϕ, dn mn u dr Gl rhäl: ϕ rc n i ngiv und bnfll in Funkion von Mi zunhmndr rifrqunz wird dr ngiv Phnvrchibungwinkl ϕ größr D i uch u dm Symufbu zu rknnn Mi zunhmndr Frqunz knn di Augngpnnung, infolg dr durch di Zikonn R fligndn räghi, dr Eingngpnnung nich mhr folgn D bhndl Bipil, d zu inr DGL Ordnung führ, h gzig, d bi inr inuförmign Eingngrrgung m Augng bnfll in inuförmig Schwingung glichr Frqunz nh Allgmin gil bi inm linrn Sym, d zu inr Diffrnilglichung blibigr Ordnung führ, d in hrmonich Schwingung m Eingng m Augng bnfll in hrmonich Schwingung rzug Sinuförmig Eingngignl wrdn nich nur zur Unruchung lkrichr Rglkriglidr, ondrn uch für pnumich und ndr Sym ngwnd Di Mhod h bondr bi chnlln Symn Voril ggnübr dr Sprungfunkion Vilfch rfolg di Anwndung nur horich, wi bi Sbiliä- und Opimirungproblmn Aufgb Wi mü dr Phnwinkl dr Eingngfunkion u uˆ in gwähl wrdn, dmi dr ionär Schwingungzund dirk ohn Einchwingvorgng rrich wird?

20 4 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr 4 Bchribung von Rglkrin im Frqunzbrich 4 Dr Frqunzgng Di Rchnung bi inuförmigr Eingnggröß wird bondr infch, wnn mn di Sinuchwingung ˆ in 5 u inm, um dn Urprung dr Gußchn Zhlnbn roirndn Zigr nndn dnk, dr uf di imginär Ach proizir i Bild 5 Im ^ co ^ in R ^ f Bild 5 Zummnhng zwichn Linin- und Zigrdrllung Dr Zigr i durch di bidn omponnn induig fglg: ˆ co in ˆ co und in ˆ Nch dr Eulrchn Glichung i: co in Dmi wird: ˆ 6 D hiß, wir brchn nich nur di imginär omponn d roirndn Zigr, ondrn wir nhmn noch di rll omponn hinzu Anll von 5 chrib mn nun 6 Wird in linr Sym m Eingng mi inr Sinuchwingung rrg, dnn wird, wi im vorhrign Abchni bgli, uch di Augnggröß im ingchwungnn Zund inn inuförmign Vrluf hbn Bi glichr Frqunz hbn Ampliud und Phnlg von Ein- und Augnggrößn im Allgminn vrchidn Wr Di Augnggröß i ggnübr dr Eingnggröß um dn Phnwinkl ϕ vrchobn, wi Bild 4 zig

21 4 Bchribung von Rglkrin im Frqunzbrich 5 Dr zilich Vrluf dr Augnggröß i omi: in ˆ ϕ Brchn wir di Augnggröß nprchnd dr Eingnggröß l roirndn Zigr, o könnn wir chribn: ˆ ϕ 7 D Vrhälni dr Zigr von Augng- zur Eingnggröß bzichn mn l Frqunzgng Dir i, wi wir pär hn wrdn, nich mhr in Funkion dr Zi, ondrn von ˆ ˆ ˆ ˆ G ϕ ϕ 8 Bi lkrichn Symn gwinn mn dn Frqunzgng mil dr Mhodn dr hori dr Wchlröm In dim Abchni oll dr Frqunzgng, wi bi nichlkrichn Symn üblich, u dr Diffrnilglichung bgli wrdn Dfür lln wir zur di zilichn Funkionn 6 und 7 dr Ein- und Augnggrößn und im Frqunzbrich l Funkionn von dr: ˆ 9 ˆ ϕ 4 Unr Bchung dr Abliungrgln dr Eponnilfunkionn d d rhln wir di zilichn Abliungn dr Eingnggröß dr Gl 9 wi: ˆ & bzw & ˆ & & bzw & & ˆ && & bzw && & uw Ähnlich rgbn ich di zilichn Abliungn 4 dr Augnggröß zu: & & & && & uw Nch Gl lu di llgmin Form dr Diffrnilglichung:

22 6 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr b b b b &&& && & & && &&& Szn wir und owi drn Abliungn in di llgmin Diffrnilglichung in, o wird: b b b b Auf dr linkn Si dr Glichung lä ich dr gminm Fkor und uf dr rchn Si hruzihn Bild mn nch dr Gl 8 d Vrhälni zu, o folg dr Frqunzgng G b b b b G Bipil 5 Ggbn i di Diffrnilglichung & & & ih Bipil und Zu rmiln i dr Frqunzgng G Sz mn di Ein- und Augnggrößn und l Funkionn von in di DGL in, o rgib ich: Dru folg: G 4 Di Orkurv In Abchni 6 wurd gzig, d in Sinufunkion l Eingnggröß in Sinuchwingung glichr Frqunz m Augng zur Folg h Di Ampliud und di Phnlg dr Augngchwingung ind bhängig von dr Frqunz Um d Vrhln in Rglkriglid durch inuförmig Errgung buriln zu könnn, gnüg nich, di Schwingung dr Augnggröß bi nur inr Frqunz zu rmiln, ondrn mün di Ampliud und di Phnlg bzogn uf di

23 4 Bchribung von Rglkrin im Frqunzbrich 7 Eingnggröß für ll Frqunzn von bi bknn in Di Eingnggröß h immr di glich Ampliud ˆ In Bild 6b und d ind di Sinuchwingungn für Ein- und Augnggröß für zwi vrchidn Frqunzn und drgll, wobi < i Vrwnd mn nll dr Lininbildr di Zigrbildr, o glng mn zu dr in Bild 6 und c gzign Drllung Im, ϕ ^ b ^ ^ R ϕ ^ Im, ^ ϕ ^ R ^ ^ ϕ c d Bild 6 Ein- und Augnggröß bi vrchidnn Frqunzn im Zigr- und Lininbild Im Zigrbild blib di Läng und di Lg d Zigr ˆ für ll Frqunzn glich Ldiglich di Läng und Lg d Zigr ˆ ändr ich in Abhängigki von dr Frqunz Normir mn di Eingnggröß uf dn Wr ˆ, dnn wird di Augnggröß ˆ Für vrchidn Frqunzn rgbn ich dnn vrchidn ˆ ˆ -Wr mi wil vrchidnn Phnwinkln ϕ zu ˆ ˆ ˆ Zichn mn di bi dn vrchidnn Frqunzn rhlnn Augngzigr ˆ in in Schubild, wi in Bild 7 gzig i, und vrbind di Endpunk dr Zigr durch inn gchlonn urvnzug, o ll dir di Orkurv d Frqunzgng dr Zur Bchribung in Rglkriglid gnüg di Orkurv mi dm Frqunzmßb I i bknn, o knn dru dr Frqunzgng, di Diffrnilglichung und di Sprungnwor rmil wrdn

24 8 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr Im ϕ R 9 4 Bild 7 Orkurv d Frqunzgng Will mn di Orkurv u dm Frqunzgng rmiln, o wird dr kompl Audruck in Rl- und Imginäril zrlg und für vrchidn Frqunzn in di Gußch Zhlnbn ingrgn Di Ermilung dr Orkurv u dm Frqunzgng oll nun n inm Bipil gzig wrdn Bipil 6 Ggbn i di Übrrgungfunkion in Vrzögrungglid Ordnung G mi und, E i dr Vrluf dr Orkurv zu rmiln Dr Frqunzgng rgib ich u dr Übrrgungfunkion, indm wir di kompl Vribl durch rzn G Dr Frqunzgng G i in kompl Größ, di ich in dr Gußchn Zhlnbn drlln lä Zur rnnung von G in Rl- und Imginäril wird G mi dm konugir kompln Audruck d Nnnr rwir: G R G Im G Dru rgib ich: R G und Im G Vriir mn nun bi, o rgib ich für dn dikrn - Wr in rll und in imginär omponn, di zummn inn Punk in dr Gußchn Zhlnbn rgbn

25 4 Bchribung von Rglkrin im Frqunzbrich 9 In dr folgndn bll i d für vrchidn -Wr in c durchgführ und l Orkurv in Bild 8 widrggbn RG 9,6 8,6 7,5 6, 5,7,59 ImG,9,44 4,4 4,88 5 4,6 4,6 Im ϕ 45 / 4 R Bild 8 Orkurv in Glid Ordnung E Di Orkurv i in Hlbkri im virn Qudrnn Dr Frqunzgng G lä ich in Brg G und Phnwinkl ϕ zrlgn: G R G Im G Im G ϕ rcn rcn R G Bmrknwr i, d für di o gnnn Eckfrqunz E / dr Rlil von G glich dm ngivn Imginäril von G i, d h RG ImG / Odr ndr ugdrück, dr Brg G i für E nur noch ggnübr dm Brg für Di Phnvrchibung bräg bi dir Frqunz grd 45 4 Bzihung zwichn Orkurv und Sprungnwor Brch mn in Diffrnilglichung Ordnung d yp & mi dm Eingng und vrglich di Sprungnwor Bild 7 mi dr Orkurv Bild 7, o knn mn bimm Wchlbzihungn rknnn Bild 9: Für h di Sprungnwor dn Wr Din Wr findn wir u dr Orkurv für mi G Dru folg Für nimm di Sprungnwor dn Wr n Dn glichn Wr h di Orkurv für,

26 4 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr Bild 9 Sprungnwor und Orkurv in Vrzögrungglid Ordnung Di Sprungnwor und Orkurv nhmn di glichn Wr n für und, owi für und Di Wchlbzihung gil llgmin und rklär ich u dn Grnzwräzn: lim lim lim lim 4 4 Für inn Eingngprung ih Abchni, Bild 5 i G G bzw G und omi Sz mn nun di lz Gl in di Gln 4 und 4, o wird di Bzihung zwichn Zi- und Frqunzbrich wi folg formulir: lim,6 lim lim G lim G Ein wirr chrkriichr Wr i di Zikonn : Bi rrich di Sprungnwor 6% d Bhrrungzundwr Für Eckfrqunz E gil ϕ E 45 Aufgb 4 Auf in Sym, d durch di Übrrgungfunkion ϕ R / G v P bchri- bn wird, wirk in Eingngprung E i für und im Bildbrich mil Grnzwrz zu bimmn und mi dn nprchndn Punkn dr Orkurv zu vrglichn Im G

27 5 Bchribung von Rglkrin mi Übrrgungfunkionn 4 44 D Bod-Digrmm Bi dr Orkurvndrllung in Abchni 4 wird dr Frqunzgng G in Rl- und Imginäril zrlg und in inm inzign Digrmm in dr Gußchn Zhlnbn drgll Di Drllung im Bod-Digrmm rfolg in zwi grnnn Digrmmn, indm dr Frqunzgng in Brg G und Phnwinkl ϕ zrlg und l Funkion dr rifrqunz drgll wird hrkriich i, d G und im logrihmichn Mßb in Dzibl und in Dkdn, ϕ im linrn Mßb ufgrgn wird In pil 5 wird d Bod-Digrmm uführlich bhndl und di Voril dir Drllungr bprochn Bipil 7 Dr in Bipil 6 l Orkurv drgll Frqunzgng G mi und,, oll nun im Bod-Digrmm drgll wrdn Wi in Bipil 6 rmil, ind: G und ϕ rcn, indm dr Brg in Dzibl umgrchn wird: G db lg G Vriir mn von bi, o rhäl mn für dn dikrn - Wr inn Wr d Brg und d Phnwinkl ϕ, di in Bild l Bod-Digrmm drgll ind G db 4 db db Aympon lg db, /, ϕ 45 / 9 Bild Bod-Digrmm in Vrzögrungglid Ordnung

28 4 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr 5 Bchribung von Rglkrin mi Übrrgungfunkionn 5 Vrbindungmöglichkin von Rglkriglidrn In pil wurd gzig, d mn dn Rglkri im Wirkungpln drlln und dbi in zwi Hupblöck unriln knn, in di Rglrck und di Rglinrichung Um di mhmich Bchribung d Rglkri l Gmhi zu vrinfchn, zrlg mn dn dr bidn Hupblöck in inzln, rückwirkungfri Glidr, di ich nun br horich rfn ln I di Abhängigki zwichn Augnggröß und Eingnggröß ämlichr zur Rglrck bzw zur Rglinrichung ghörndn Glidr bknn, o lä ich in Aug übr di Abhängigki zwichn Eingng und Augng dr Rglrck, dr Rglinrichung und chlißlich übr d Vrhln d gchlonn Rglkri mchn Zur Bchribung von Rglkriglidrn gib vrchidn Möglichkin, wi di in dn vornggngnn Abchnin gzign Diffrnilglichung, di Sprungnwor, di Übrrgungfunkion, owi Frqunzgäng, Orkurvn und Bod- Digrmm I di Übrrgungfunkion G bknn, o gib di d Vrhälni dr Lplc-rnformirn Augnggröß zur Lplc-rnformirn Eingnggröß durch di Bzihung: G widr Di Drllung rfolg dnn wi in Bild gzig G Bild Blockdrllung im Bildbrich Bi dr rückwirkungfrin opplung mhrrr Übrrgungglidr rgbn ich bondr infch Bzihungn Al rückwirkungfri bzichn mn in Sym, dn Signlflu nur vom Eingng zum Augng rfolg Im Folgndn wrdn dri Grundformn dr opplung von zwi Rglkriglidrn mi dn Übrrgungfunkionn G und G bchribn Rihnchlung Dr Augng d rn Glid i, wi Bild zig, mi dm Eingng d zwin Glid vrbundn G G Bild Rihnchlung von Rglkriglidrn Brch mn di inzlnn Glidr, o rgib ich: G und G

29 5 Bchribung von Rglkrin mi Übrrgungfunkionn 4 Frnr i: Dru folg: G G G bzw di Gmübrrgungfunkion G G G Bi Rihnchlung von n Glidrn mi dn Übrrgungfunkionn G, G, G n i di Übrrgungfunkion d gmn Sym glich dm Produk dr inzlnn Übrrgungfunkionn G G G Gn b Prlllchlung D Eingngignl vrzwig ich und wirk glichziig uf di bidn Eingäng dr Glidr mi dn Übrrgungfunkionn G und G Bild Di bidn Augngignl und wrdn in inr Addiionll ddir G G Bild Prlllchlung von Rglkriglidrn Für d r und für d zwi Glid gil: G und G Frnr i: Dru folg: [ G G ] bzw di Übrrgungfunkion d Gmym: G G G Schl mn n Glidr mi dn Übrrgungfunkionn G, G, G n prlll, o i di Übrrgungfunkion d gmn Sym glich dr Summ dr inzlnn Übrrgungfunkionn G G G Gn

30 44 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr c Rückführungchlung Wi Bild 4 zig, wird di Augnggröß d rn Glid G übr in zwi Glid mi G uf dn Eingng von G zurückgführ und zu dr Eingnggröß ddir Mikopplung odr von dr Eingnggröß ubrhir Ggnkopplung G G Bild 4 Rückkopplungchlung Für dn obrn Block gil: G [ ± ] und für dn unrn Block im Rückführzwig: G Sz mn in di obr Glichung in, o rhäl mn: bzw G [ ± G ] [m G G ] G Dru folg di Übrrgungfunkion dr Rückführchlung: G G, m G G Mikopplung Ggnkopplung ˆ ngiv Vorzichn ˆ poiiv Vorzichn 6 Bhndlung d ichn Vrhln Ein Rglkri bfind ich unr dr Wirkung von Eingnggrößn, di mn mil Führung- bzw Sörvrhln bwchlnd unruchn knn Dr Rglr oll dn kulln Wr dr Rglgröß X ändig dm vorggbnn Arbipunk dr Rglrck X npn Di rfolg durch di Anurung dr Sllgröß Y, di im Arbipunk inn bimmn Wr Y nnimm Von uchlggbndr Bduung für di Aug übr di Gü dr Rglung ind di Abwichungn vom Arbipunk, di wir im Abchni durch linbuchbn und y bzichn hbn Zum Bipil gil für dn in Bild 5 gzign Rglkri: X X Y Y y Z Z z 4

31 6 Bhndlung d ichn Vrhln 45 z G Sz w G R y G Sy Bild 5 Wirkungpln in Rglkri mi Führung- und Sörgröß Im ionärn Zund oll kin Abwichung dr Rglgröß vorkommn, d h bi oll und X X, um d Vrhälni Iwr Sollwr bizubhln 6 Sich nnlinin Wi in dn Abchnin und gzig wurd, knn d dynmich Vrhln inzlnr Rglkriglidr owi d gmn Rglkri durch gwöhnlich, linr Diffrnilglichungn in llgminr Form bchribn wrdn Di Bchribung d ichn Vrhln knn mn u dr Diffrnilglichung d dynmichn Vrhln rhln, indm mn ll zilichn Abliungn glich Null z Bipil 8 Au inr DGL dr Rglrck für d dynmich Vrhln X& && X&& X& X b Y b Y& c Z 44 nh di folgnd Bchribung d ichn Vrhln: X b Y c Z 45 In dr Gl 45 bwirk in Vrändrung dr Sllgröß odr dr Sörgröß in proporionl Vrändrung dr Rglgröß, omi hndl ich um in linr Rglrck Di Gl 45 oll uch für dn Arbipunk gln, d h X b Y c Z 46 Subrhir mn di Gl 46 von Gl 44 und brückichig dbi di Glichungn 4, o nh di DGL dr Rglrck für d dynmich Vrhln von klinn Abwichungn vom Arbipunk linbuchbn: & && && & b y b y& c z Bi rln Rglrckn lign doch of Nichlinriän vor, wi z B bi Vniln, di inn nichlinrn Zummnhng zwichn dm Vnilhub und dm Volumnrom bizn Dbi nhn nichlinr Bchribungn, wi folgnd Bipil mi muliplikivn odr nichlinrn Funkionn und mi konnn offizinn und zign: X Z X Y Z X Y in Z Y

32 46 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr D ich Vrhln knn grfich bgbild wrdn D in inm gchlonn Rglkri bim Sörvrhln di Augnggröß d Rglr glichziig Eingnggröß dr Rglrck i, wi in Bild 6 gzig, könnn di ichn nnlinin dr Rglrck und d Rglr in in Digrmm ingrgn wrdn Z W X Rglr Y Rglrck X Bild 6 Wirkungpln in Rglkri bim Sörvrhln In Bild 7 i d nichlinr nnlininfld X f Y, Z inr Rglrck und di nnlini in linrn Rglr Y PR X mi dr Sigung PR Y / X drgll, wobi PR dr Proporionlbiwr d Rglr i Di Wr im Arbipunk A ind X, Y und Z D ich Vrhln d Rglkri wird durch Einzichn dr nnlini d Rglr in d nnlininfld dr Rglrck, und zwr mi dm Vorzichnumkhr, drgll, wi bipilwi in Bild 8 für d Sörvrhln gzig i X Z Y PR Z X A Y A dy PR dx Y Y X X Bild 7 nnlininfld inr Rglrck link und nnlini in Rglr rch X or B Z Z mr X A Z PR Bild 8 Zummnwirkung von Rglr und Rglrck bim Sörvrhln dy PR dx Y Y

33 6 Bhndlung d ichn Vrhln 47 Nhmn wir zur n, d dr Rglr unwirkm i In dim Fll wird in Vrändrung dr Sörgröß z B von Z uf Z bi dr konnn Sllgröß Y zum Wchl d Arbipunk führn, nämlich vom Punk A zum Punk B Wirk dr Rglr im Rglkri, o nprich di Sllgröß dr Rglrknnlini Punk Di Sigung dr Rglrknnlini d Rglr mu lo nggngz zur Sigung dr nnlinin dr Rglrck in, um di Abwichung mr mi Rglr ggnübr dr Abwichung or ohn Rglr zu minimirn J größr dr Proporionlbiwr PR d Rglr bzw di Sigung dr Rglrknnlini im Bild 7 wird, do flchr lig di Grd im Bild 9 und do klinr wird di Abwichung dr Rglgröß mr im grgln Zund Außrdm folg u dm Bild 8, d in dim ri in proporionlr Rglr im grgln Zund in Abwichung mr vom Arbipunk X bzw vom Sollwr W hinrlä 6 Sichr Rglfkor Nchdm di Rglgröß inn Bhrrungzund lim ingnommn h, knn dr Erfolg dr Rglung, wi im Bild 9 gzig, durch inn Vrglich dr blibndn Rgldiffrnzn mi Rglr mr und ohn Rglr or ugdrück wrdn lim lim lim w Gw Für w w con i w w und omi 47 w lim lim Gw w lim Gw 48 w z or z mr w mr or Bild 9 Sprungnworn bim Führungvrhln link und Sörvrhln rch

34 48 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr E wird dr o gnnn rll bzw ich Rglfkor R F ingführ R F mr or und unr Bchung von w in folgnd Form gbrch: w mr R F w or Ddurch wird nggbn, wi rk di Ändrung inr dr Eingnggrößn d Rglkri Sörgröß odr Führunggröß durch di Rglung biig wird J klinr dr Rglfkor i, do wnigr wirk di Sörgröß uf di Rglgröß und do ffkivr i dr Rglr Abhängig von Eingngörung wird dr Rglfkor nch zwi vrchidnn Formln, wi im Bild 9 ngdu, brchn: Führungvrhln w mr w mr RF w w R F Sörvrhln mr or mr or Dr ich Rglfkor knn durch di rivrärkung V ugdrück wrdn Sind bipilwi im Rglkri ih Bild 5 dr Rglr und di ilrck mi Proporionlbiwrn PR und PSy nhln, o gil für dn ichn Rglfkor: RF V PR PSy 49 Dr Rglr mu lo mi dm Einllprmr PR o uglg wrdn, d bi bilr Funkionwi in möglich klinr Rglfkor nh In nchfolgndn piln wird gzig, d in Rglr mi ingrirndr Wirkung kin blibnd Rgldiffrnz hinrlä und dmi inn ichn Rglfkor von R F biz 6 Linriirung mi nlyichn Vrfhrn D nichlinr nnlininfld inr Rglrck knn durch di ngn im Arbipunk X, Y, Z linriir wrdn Dbi wird di Funkion X f Y, Z durch d Diffrnil X X dx dy dz Y Z 5 bchribn Dr Ind h für di Arbipunkwr X, Y und Z Di prilln Abliungn im Arbipunk bzichn mn durch di offizinn PSy und PSz

35 6 Bhndlung d ichn Vrhln 49 X PSy Y X PSz Z 5 Bzichn mn dx, dy und dz in Gl 5 unr Bchung dr Gl 4 durch klin Abwichungn, y und z vom Arbipunk, o rgib ich u Gln 5 und 5 di linriir Bchribung d ichn Vrhln PSz PSy y z D Prinzip dr Linriirung i in Bild vrdulich Di Vribln X, Y, und Z Großchribung bchribn di urprünglich nichlinr Rglrck Di linriir Rglrck wird durch di Abwichungn, y, und z linchribung vom Arbipunk A dfinir und bh u zwi grnnn ilrckn für Sll- und Sörignl, drn Augäng ddir wrdn z Y Z Rglrck X y PSy PSz X f Y, Z PSy y PSz z X Z X A X A y Y Y Bild Ein nichlinr Rglrck vor link und nch rch dr Linriirung Y Bipil 9 Ein Rglrck, di durch di Diffrnilglichung X& X& X Y 5 Z 5 bchribn wird, oll im Arbipunk Y und Z 4 linriir bzw in dr Form PSy y PSz z drgll wrdn Für d ich Vrhln ind X & und X & Au dr Gl 5 rgib ich X Y 5 Z Di guchn Proporionlbiwr ind prill Abliungn im Arbipunk:

36 5 Mhmich Bhndlung inzlnr Rglkriglidr X PSy Y Y Y X PSz 5 5,5 Z Z Z 64 Linriirung mi grfichn Vrfhrn Wnn d nichlinr Vrhln dr Rglrck nur im Form in nnlininfld ggbn i, ln ich di Proporionlbiwr PSy und PSz grfich l di Sigung dr ngn zu nnlinin X f Y und X f Z bimmn Bild Bipil D nnlininfld inr Rglrck i in Bild ggbn Di Rglrck oll im Arbipunk Y 4 und Z 4 linriir wrdn X, Z 4 B N,5 4, A M ,5 5,5 Y Bild nnlininfld inr Rglrck Di Sigung dr ngn zur nnlini X f Y rgib ich mi Hilf von zwi blibig gwähln Punkn M und N: X X M X N,6 4 PSy,5 Y YM YN 6,9 Um di nnlini X f Z für di Ermilung dr Sigung dr ngn PSz nich gondr zu kizzirn, wähln wir di Punk B und, di vom Arbipunk Z 4 glichrmßn um ± Z,5 nfrn ind Dmi wird di Sigung dr Skn brchn, di ich von dr ngn für klin Abwichungn Z nur gring unrchid: X X B X 4,8 PSz, Z ZB Z,5 4,5 D guch ich Vrhln dr linriirn Rglrck im Arbipunk i:,5 y, z