Formelsammlung Regelungstechnik September 2007

Transkript

1 Fchhochschul Srlsund Fchbrich Elkrochnik und Inormik Pro. r. B. Snhgn Formlsmmlung Rglungschnik Smbr 7 Inhlsvrzichnis. Sysmbschribungn.... irnilglichung.... Übrrgungsunkion....3 Blockschlbild Physiklisch szmäßigkin Llc-rnsormion Frqunzgngunkion....7 Sbiliä von Sysmn... rundlgnd Eignschn usgwählr Sysm... 3 r inschliig Rglkris Srukur und Übrrgungsvrhln Sbiliä von gschlossnn Rglkrisn Bzihungn zwischn onr und gschlossnm ris iniion und Bduung wichigr ümß im Zibrich Rglrnwur Rglsrckn lssiizirung Modllbildung Linrisirung nichlinrr Modllglichungn...46

2 . Sysmbschribungn. irnilglichung in llgminr Form ür chnisch Sysm is n m b b b... b b... m m m m n n n n in normirr Form b b b... b b... m m m m n n n n. Übrrgungsunkion Llc-rnsormirs Ausgngssignl dividir durch ds Llc-rnsormir Eingngssignl b b b b n n m m

3 .3 Blockschlbild Elmn von Blockschlbildrn Übrrgungsglid llgmin nichlinrs Übrrgungsglid Signlvrzwigung u u u 3 Summionssll u 3 u ±u Mulilikionssll u 3 u u ivisionssll u 3 u /u olungsrn Rihnschlung ± Prlllschlung mi grnnn Eingängn Rückührschlung gnrlllschlung 3

4 rsllungsrn ür Blöck. lichungn wi L, Übrrgungsunkion odr Block mi irnilglichung Block mi Übrrgungsunkion. zichnrisch rsllungn Block mi Übrgngsunkion Block mi nnlini im Bhrrungszusnd nichlinrs Ü 4

5 .4 Physiklisch szmäßigkin rundglichungn dr Mchnik c und c R Fdrkonsnn, d - ämungskonsn rundglichungn dr Elkrochnik nonunksz: In jdm nonunk ins Sromkriss is di Summ dr zulißndn Sröm glich dr Summ dr blißndn Sröm. Mschnsz: Bim Umlun inr Msch is di Summ llr Snnungn glich ull. 5

6 Anlog rößn [Mrz] 6

7 Anlogin von vrschidnn hysiklischn Sysmn [Mrz] 7

8 .5 Llc-rnsormion Eignschn und Rchnrgln Sz Originlbrich Bildbrich Linriässäz rsärkungsrinzi F Übrlgrungsrinzi F F rschibungssäz Zibrich, rchs < F Frqunzbrich ämungssz < F Ähnlichkissäz < F < F Flung rnzwrsäz Anngswrsz lim Endwrsz lim d F F lim F lim F irniionssäz Zibrich d ' d F d '' ' F d n n d n n n ni i F s d i Bildbrich df d Inrgrionssäz Zibrich Bildbrich d F d n d F n n d d F F ρ dρ 8

9 orrsondnzn dr Llc-rnsormion Originlunkion Bildunkion δ n! n n n n n! / / n / n n! / δ b δ b / n n! / n, b b b, n r / n r r! / b b b / b / b b sin cos b b sin cos d b d sin d n b b b b d < d < 9

10 d d d d rccos, sin φ φ < < d d P-Pln und nsrchnd Imulsnworn.6 Frqunzgngunkion iniion ds Frqunzgngs Amliudn- und Phsngng komlr Sysm... j j j k

11 .7 Sbiliä von Sysmn Prüung n Hnd dr Sysmol und dr Eignbwgung Sysm is symoisch sbil, wnn wichsunkion symoisch u ull bkling, d.h. wnn gil lim g. insbil, wnn wichsunkion brgsmäßig mi wchsndm ggn unndlich gh grnzsbil, wnn wichsunkion mi wchsndm inn ndlichn Wr nich übrschri odr inm ndlichn rnzwr zusrb Sbiliäskririum nch Hurwiz umrischs Sbiliäskririum Prü n Hnd dr oizinn i dr chrkrisischn lichung ds Sysms nnrolynom n... n ins Sysms sin bsolu Sbiliä. Hurwiz-rmin H n : Für inch Fäll is Sbiliä ggbn, wnn:

12 rundlgnd Eignschn usgwählr Sysm P-Elmn irnilglichung P P...rsärkung Srungnwor Übrrgungsunkion P Pol/ullslln-rilung kin Pol kin ullsll j Orskurv σ j j Bod-igrmm:

13 I-Elmn irnilglichung Übrrgungsunkion I...Ingrionszikonsn I I Srungnwor Pol/ullslln-rilung j σ Orskurv j j j I Bod-igrmm 3

14 4 -Elmn irnilglichung...irniionszikonsn Srungnwor h δ Übrrgungsunkion Pol/ullslln-rilung Orskurv Bod-igrmm -Elmn σ j

15 P--Elmn irnilglichung Übrrgungsunkion P...rsärkung,...Zikonsn P Srungnwor h P Pol/ullslln-rilung Orskurv j / σ Bod-igrmm 5

16 6 P--Elmn irnilglichung d d d d P...rsärkung...ämungsgrd < ür P-S-Elmn, ür P--Elmn./..is di nürlich risrqunz Srungnworn [Luz] Übrrgungsunkion llgmin P P...schwingungsähig P--Elmn <...nich-schwingungsähig P--Elmn nich-schwingungsähigs P--Elmn: P

17 mi Pol/ullslln-rilung [Luz] 7

18 Orskurv Bod-igrmm P--Elmn < Bod-igrmm P--Elmn > 8

19 9 --Elmn irnilglichung...zikonsn dr Eonnilunkion...irniionszikonsn Übrgngsunkion normir Srungnwor h Übrrgungsunkion Pol/ullslln-rilung I Orskurv Bod-igrmm j σ -Ebn P -/ { } { } R Im j j

20 I--Elmn irnilglichung Übrrgungsunkion d d d I I I...Zikonsn dr Eonnilunkion I...Ingrionszikonsn Übrgngsunkion, normir Srungnwor Pol/ullslln-rilung Orskurv j j j j I I I Bod-igrmm - / j σ -Ebn P P

21 PI-Elmn irnilglichung I...rsärkung I...chsllzi d mi I Übrgngsunkion, normir Srungnwor Übrrgungsunkion mi I und I Pol/ullslln-rilung j -Ebn Orskurv -/ P σ Bod-igrmm

22 P- orhl- und P--Elmn irnilglichung...rsärkung...rzögrungszikonsn, Zikonsn dr Eonnilunkion orhlzikonsn Übrrgungsunkion P rhln P rhln Srungnwor P-Elmn P--Elmn > < Pol/ullslln-rilung P--Elmn j P-Elmn j -/ P -/ σ -/ σ

23 Orskurv Bod-igrmm bi > Bod-igrmm bi < 3

24 4 PI-Elmn irnilglichung R...rsärkung,...chsllzi,...orhlzi Übrrgungsunkion I R I R mi ; ; Signllussln Übrgngsunkion h R δ Pol/ullslln-rilung Orskurv Bod-igrmm -Ebn j σ - / P -/

25 5 PI--Elmn irnilglichung d d d d d R R...rsärkung,...chsllzi,...orhlzi,...rzögrungszikonsn Übrrgungsunkion 4 4 ; v u v v u u v v und mi R R Signllussln Übrgngsunkion R h Pol/ullslln-rilung: Orskurv j σ -Ebn -/ P -/ -/

26 6 Bod-igrmm ] [ rcn φ Allss-Elmn irnilglichung Übrrgungsunkion...Zikonsn Übrgngsunkion Pol/ullslln-rilung Orskurv Boddigrmm σ -Ebn / P -/

27 ozi-elmn irnilglichung...ozi Übrrgungsunkion Srungnwor Pol-ullsllnvrilung kin ndlichn Singulriän Orskurv Bod-igrmm 7

28 3 r inschliig Rglkris 3. Srukur und Übrrgungsvrhln rundsrukur vollsändig Sndrdrglkris mi Einhisrückührung Annhm: y y m ; w w~ 8

29 9 Übrrgungsunkionn Ausgngssörung ür ÜF Sör Z Y Z W Z Eingngssörung ür ÜF Sör Z Y Z W Z W Y Z Z W onn dr Übrrgungsunkion W Y Z Z W Y Z S Z W S R S R S R S S R S R 3. Sbiliä von gschlossnn Rglkrisn Inrnn Sbiliä Ein Rglkris wird ls sbil bzichn, wnn in bschränks Signl, ds n inr blibign Sll im Rglkris u disn inwirk, n jdr ndrn Sll diss Sysms usschlißlich bschränk Signl zur Folg h. r Rglkris is gnu inrn sbil, wnn ll Übrrgungsunkionn dr Rglkrisübrrgungsmri nur Pol in dr linkn -Hlbbn bsizn.

30 rinchung: All Übrrgungsunkionn, di in inm Sndrdrglkris gbild wrdn, bsizn di sl orwärsübrrgungsunkion ; R S Chrkrisisch lichung ds Rglkriss: O Pol ds Rglkriss: ullslln von O nn und nur dnn, wnn di Schlinübrrgungsunkionn O R S ins Sndrdrglkriss kin Pol/ullslln-omnsion in dr rchn -Hlbbn uwiß, rich di Lg dr Pol ds Rglkriss ullslln dr chrkrisischn lichung in dr linkn -Hlbbn ür di inrn Sbiliä ds Rglkriss us. Sbiliäskririum nch Hurwiz Prü n Hnd dr oizinn i dr chrkrisischn lichung n... n ins Rglkriss sin bsolu Sbiliä. Hurwiz-rmin H n : Für inch Fäll is Sbiliä ggbn, wnn: 3

31 oizinn yischr Rglkris oizinn dr chrkrisischn lichung: Sbiliäskririum nch yquis Sbiliäsgrnz kriischr Punk: R{ jkri }, und Im{ jkri } odr o j und ϕ o j-8 r gschlossn Rglkris is gnu dnn sbil, wnn di Orskurv o j ds onn Rglkriss mi nwchsndr Frqunz dn kriischn Punk P kri links lign läss Link- Hnd-Rgl, d. h. ihn wdr umschliß noch schnid. 3

32 3 Amliudnrnd : { } π rg A A R j j A Phsnrnd : { } lg rg R j bi j j ϕ π π ϕ urchrisrqunz 3.3 Bzihungn zwischn onr und gschlossnm ris Führungsrqunzgng ds gschlossnn riss:,,..,.., W h d ür h d ür W Y Z Z W >> << << >> mi I urch Erszschwingungsglid mi dr ÜF nnährn: j j W

33 nngröß Bzihung üligkisbrich Zi bis zum. Mimum m π/ Für übrschwingnd orgäng dr Übrgngsunkion urchrisrqunz Mimlwr dr Übrgngsunkion h m,85 W m h m W m Für,3< W m <,5 Für W m <,3 nickunkbsnd 3 Mß ür Übrschwingn und ämung ämungsgrd ds Erszschwingungsglids 6 ϕ R m ϕ R Phsnrnd m igung ds logrihmischn Frqunzgngs bi dr urchrisrqunz π Übrschwingwi h ürlich Frqunz ds Eignrqunz ds ungdämn Sysms Erszschwingungsglids Oszillionsrqunz m.75 Für ris mi 5... % Übrschwingwi Bruhigungszi u 5% 3 5% u % % iniion und Bduung wichigr ümß im Zibrich m % U rzugszi Zi zwischn Bginn ds Ansigs dr Srungnwor und dm Schniunk dr Wndngn n di Srungnwor mi dr Zichs. A Ansigszi Anluzi Zidirnz zwischn Schniunkn dr Wndngn n di Srungnwor mi dr Zichs und mi dr Asymo dr Srungnwor ür -> sionärr Endwr. 33

34 n Anrglzi Zi bis zum Schniunk dr Srungnwor mi inr zur Zichs rllln und im Absnd dr Führungsgröß Eins vrlundn rdn. Si gib jnn Ziunk n, zu dm di Srungnwor rsmls dn sionärn Endwr rrich. m Mimumzi Übrschwingzi Ziunk, zu dm di miml Rglbwichung bsolu Übrschwingwi uri. ε Bruhigungszi Einschwingzi, Ausrglzi Zisnn, nch dr di Srungnwor inn bsimmn Brich um dn sionärn Endwr nich mhr vrläss, wobi ür ε di Wr % odr 5% üblich sind. h bs bsolu Übrschwingwi ib dn Brg ds Mimlwrs dr Rglbwichung n. h normir Übrschwingwi Ergib sich us dr ivision dr bsolun Übrschwingwi durch dn sionärn Endwr dr Srungnwor und wird o in Prozn nggbn. 3.5 Rglrnwur Auswhl dr Rglrsrukur 34

35 rhrn zur Bsimmung dr Rglrrmr rhrn nch Ziglr-ichols Rglsrck durch olgnds Modll roimir: S S Äquivln is ährung durch ozi-ingrionsglid mi Übrrgungsunkion: E S wobi in dn blln durch I rsz wrdn muss. I S rhrn nch Chin, Hrons und Rwick orusszung: / E >3 Rglr P PI PI % Übrschwingn % Übrschwingn Führung Sörung Führung Sörung R,3,3,7,7 S E S E S E S E R,35,6,6,7 S E S E S E S E, 4 E,3 E R,6,95,95, S E S E S E S E,4 E,35 E,5E,4 E,47 E,4 E 35

36 36 rhrn nch Rinisch irkr Zusmmnhng zwischn und h vrglichn Schwingungsglid mi W und 4 ln ln 4 : h h h Schwingungsglid in ür Übrschwingwi π π π rus wird IR ds Rglrs dirk bsimm: h S I S IR nn Ermilung dr Übrschwingzi m und dr Bruhigungszi % : % m π π

37 37

38 38 Ingrlkririn ür Sndrdrglkris II. Ordnung [Luz] rhrn nch Asröm, Übrgngsmhod Srcknmodll Sbil Prozss mi Ausglich Ingrirnd Prozss ährung durch Modll.Ordnung mi ozi Bsimmung von und wi olg: P Σ und P bsimm us Soßnwor L P P ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Σ Σ Σ Prozss mi Ausglich ~ ~

39 39 Rglkrissrukur: Rglr mi Frihisgrdn d d d u d R y bw y cw d mi c y w PI-Rglr ür sbiln Prozss / / b

40 4 PI-Rglr ür sbiln Prozss PI-Rglr ür ingrirndn Prozss PI-Rglr ür ingrirndn Prozss / / / / b ~ ~ ~ ~ / ~ b L ~ ~ ~ ~ / ~ / ~ b L L

41 4 rhrn nch Asröm, Frqunznwormhod Bsimmung von kri, Pkri und κ Pkri S kri j κ PI-Rglr ür sbiln Prozss PI-Rglr ür sbiln Prozss κ κ κ / / κ κ κ b kr kr κ κ κ / / / κ κ κ κ b kr kr kr

42 4 Rglsrckn 4. lssiizirung 4. Modllbildung Modll ür Srckn mi Ausglich M E u E P ozi rzugszi Erszozi Anluzi Übrrgungskor rsärkung sionärr Endwr ds Ausgngssignls Srunghöh ds Eingngssignls 4

43 Modll ür Srckn ohn Ausglich n α I nα ingrlr Übrrgungskor nnwrrmilung us dr Übrgngsunkion Idniikion von P- -lidr normir Übrgngsunkion: [Rinisch] orusszung: u u / <,4 43

44 rößn dr Wndngn: Bsimmungsbll: rhrn nch Srjc o Bi P- n - -lidrn is ozi vorhr bzusln. o Modll mi n glichn Zikonsnn, Bsimmung dr Modllrmr mi Wndngnkonsrukion 44

45 rhrn nch Schwrz o Bi P- n - -lidrn is ozi vorhr bzusln. o Modll mi n glichn Zikonsnn, Bsimmung dr Modllrmr mi Wndngnkonsrukion rhrn nch Rdk: o Lign gmssn u -Wr zwischn dnn in dr bll ds rhrns nch Srjc und/odr is di Übrinsimmung dr gmssnn Übrgngsunkion und dr ds Modlls nich so gu särkr Slung dr Zikonsnn. o Ansz mi gsln Zikonsnn: h M M n Π i S S i n h M hm S n Srgi:. Mssung von 63 und Ermilung von h 63 /h us dr Übrgngsunkion.. Bsimmung dr Ordnung n us h 3. Bsimmung ds Fkors n us n 4. Brchnung von n* 63 45

46 4.3 Linrisirung nichlinrr Modllglichungn Linrisirn inr sischn nnlini [öhn] Linrisirn ins sischn nnlds [öhn] Linrisirn inr nichlinrn irnzilglichung [öhn] 46

47 Linrisirn ins nichlinrn Zusndsrummodlls Zusndsrumbschribung ins nichlinrn Sysms y g, u Linrisirung dr Zusndsglichung im Arbisunk durch ylorrihnnwicklung mi is lichung bschrib di Bwgung ds Sysms in dr Umgbung ds Arbisunks, u sionärr Bribszusnd ür klin Auslnkungn und u u u nährungswis. Linrisir Ausgbglichung: mi y C u 47