Steuerungs- und Regelungstechnik I

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1 Skrip SuRI Surungs- und Rglungschnik I SRIT und RATIUMSANLEITUNG rof. Dr. Alfrd rbch Fchhochschul Gissn-Fridbrg Fchgbi EMSR Auomion Sudingng: Enrgisysmchnik Sudingng: Tchnisch Gbäudusrüsung Grundlgn dr Rglungschnik

2 Skrip SuRI Vorwor: Di Surungs- und Rglungschnik bild zusmmn mi dr Msschnik di Grundlg für di Bribsführung von Anlgn im nrgichnischn Brich. Di Abkürzung E M S R sh für Elkrochnik-Msschnik-Surungschnik- Rglungschnik. Insgsm sprich mn von Einrichungn zur Auomion odr von Auomisirungschnik. Di Grundlg dfür bildn di Vrfhrn dr Rglung und Surung. Di Anwndung disr Vrfhrn im Rhmn von größrn Auomisirungssysmn is Thm für di Vorlsung Surungs- und Rglungschnik II. In dr Vrnslung Surungs- und Rglungschnik I wrdn di Grundlgn vrmil. In dr Rglungschnik h mn zibhängig und rückgkoppl Vorgäng zu brchn. Ds Glich gil für ll komplrn roblm im Umwlbrich, bispilswis di Aufhizung dr Erd durch signd CO -onznrionn (Tribhusffk). Auch dor gib s Rglungsffk, bispilswis vrmhrs flnznwchsum odr in zunhmnd Aufnhm von ohlndioyd ins Mr. Di Brchungn dr Rglungschnik führn lso zum Sysmdnkn und zum vrnzn Dnkn und sind von dhr bi viln roblmn shr nüzlich. Di Thmik dr Rglungschnik fäll ypischrwis bim Einsig nich gnz lich, d mn sich n inn nu Dnkwis gwöhnn muss. Um dn Einsig zu rlichrn, sind im Anhng di wichigsn Bgriff ufgführ und s wurd dr Vrsuch gmch, dis so wi wi möglich nschulich ohn Mhmik zu rklärn. Es wird mpfohln, bim Einsig in di Vorlsung und uch im Vrluf sich dis Bgrifflichkin immr widr vor Augn zu führn. Ds rlichr ds Vrsändnis. Vorusszung für dis Lhrvrnslung sind di Thmn dr Mhmik, dr Srömungslhr, dr Thrmodynmik und dr Enrgiwndlung I und dr Msschnik. Bglind zur Vorlsung und im rkikum wrdn Simulionn von Rglsysmn durchgführ und Aufgbnsllungn mi Anlgndn brbi. Dis din dzu, dn gsmn Soff nschulich zu mchn und ihn sich durch igns Errbin inzuvrlibn. Mi Hilf dr zu Vrfügung gslln rogrmm lssn sich ll Aufgbnsllungn us dr Vorlsung und uch di lusurufgbn bi dr Vorbriung rchnn. Ds gnz Fch is nürlich in odrns Gschich, di immns vil Mhmik rfordr ( ) und von dn misn Ingniurn zuifs gfürch wird. Wnn Si br dn folgndn Wiz vrshn, dnn bruchn Si kin Angs zu hbn und müssn sich nur b und zu bglind zur Vorlsung in pil us dr Mhmik noch ml kurz rinzihn, nsonsn solln Si noch ml ifr rinschun. Also dr Ts: Ein männlich slbsbwuss Funkion ri in in Br ( zum Hilbrrum ) und will glich n di Thk nbn in dor shnd schön Sinusfunkion rn, um dis in in kurvnrichs Gspräch zu vrwickln und Si dnn villich zu (?) zichnn odr sogr sich mi ihr zu ingrirn. Allrdings sind di läz nbn dr Schönn ll bsz (von ndrn Funkionn). D sprich r di Funkion links nbn dr Schönn n und sg: Gh wg odr ich diffrnzir dich. Di drh sich um, musr ihn mi inm höhnischn Blick und sg: Hh, ich bin di -Funkion. Di Sinusfunkion wirf bidn inn vrächlichn Blick zu und wnd sich dm rchn Nchbrn zu. Wnn Si längr ls dri Skundn gbruch hbn, lig s nwdr n dn Mhmikknnnissn odr drn, dss Si ds gnz Gbi übrhup nich mi Lusig in Vrbindung bringn. Mn knn br übr (fs) lls lchn. Vil Spß

3 Skrip SuRI 3 Sysmingrionsfhlr

4 Skrip SuRI 4 INHALTSVERZEICHNIS. Aufgbnsllung...7. Rglung dr Rummprur...7. Zivrhln / Dynmischs Vrhln Surung / Rglung Unrschid zwischn Surung und Rglung...9. Zil bi dr Anwndung von Rglungn...0. Ändrung dr Sörgröß: Sörvrhln...0. Ändrung ds Sollwrs: Führungsvrhln (Folgrglung) Zil Sbiliä: Bgriffsfslgung für Rglkris Aufbu von Rglrn...3 Rglsinn Ausführung von Rglrn DIN Normn Drsllungsformn in dr Rglungschnik Brchnung ds Rglkrisvrhlns Bhrrungsvrhln von Rglkrisglidrn Zivrhln von Rglkrisglidrn Bispil: Durchlufrhizr Sndrdisirung dr DGL. Ordnung T Glid Glid roporionlglid I-Glid Ingrirnds Rglkrisglid DT Glid Diffrnzirnds Glid mi Vrzögrung. Ordnung T -Glid Toziglid Elmnr Rglkrisglidr Zusmmnfssung Vrschlung lmnrr Rglkrisglidr Enrgibilnz für in Tmprurmsssysm: Bispil für Rglsrckn höhrr Ordnung: Bispil : Dmpfrzugr /rfwrk Bispil : Insionär Wärmliung in inm Sb Bispil 3: Rumhizung Erszschlung für Srckn höhrr Ordnung Auswrung Erszschlung Schwirigkisgrd Rglrypn Sig Rglr / Übrsich Andr Rglypn (blibr us ID Rglr) Funkion ds Ingrlnils bi dr Rglung Unsig Rglr Bispil: Zwipunkrglr ohn Schldiffrnz Zwipunkrglr Zivrluf dr Rglgröß Zwipunkrglr mi Schldiffrnz Zivrluf dr Rglgröß: Vrhln ds Rglkriss idlisir / rl Bispil: Brchnung dr Schlzyklusdur für dn symmrischn Fll:...54

5 Skrip SuRI Brchnungsformln ds Zwipunkrglrs mi Schldiffrnz Frqunzvrhln von Rglkrisn Einführungsbispil us dr Vrfhrnschnik: Wirblschich Aufilung Sionärr Brib und Schwnkungn Lösung dr Diffrnzilglichung Erinnrung n di kompln Zhln Grphisch Drsllung dr kompln Zhl olrkoordinndrsllung Bispil T Inrprion für ds T-Vrhln Grphisch Drsllung (Orskurv und Boddigrmm) Orskurv Bod Digrmm (ds Frqunzgngs) - Frqunzknnlinin Frqunzgng Ingrir Glid / Frqunzgng Bispil : Trommlwssrsnd / Nurumlufdmpfrzugr Bod Digrmm: Ampliudngng, Auswirkung dr Sörung Diffrnzirglid/ Frqunzgng Toziglid...76 Orskurv und Boddigrmm: Toziglid Zusmmnfssung...78 Frqunzgng lmnrr Rglkrisglidr / Zusmmnsllung Vrschlung von Rglkrisglidrn rlllschlung Orskurvn dr gbräuchlichsn Rglr Rihnschlung...8. Vrhln ds gschlossnn Rglkriss Sbiliä Sbiliäskririum nch Nyquis Sbiliäsbrchung mi Nyquiskririum (Bispil) Grphisch Drsllung Vrllgminrs Sbiliäskririum Rliv Sbiliä Sbiliäsrsrv Sbiliäsunrsuchung mi Vrwndung ds Bod-Digrmms Bispil Vorlufmprur Rglung mi -Rglr onsrukion ds Boddigrmms Biräg von Rglrn im Boddigrmm I Rglr Bispil Vorlufmprur Rglung mi I-Rglr Bispil Vorlufmprur Rglung mi I-Rglr. Fll...96 Lirur...97 Anhng...98 Anhng : Formlzichn...98 Anhng : Wichigs Bgriff und nschulich Einführung...0 Sysm...0 Sionärs Vrhln...0 Dynmischs Vrhln...0 Rglsrck...03 Surung...03 Rglung...03

6 Skrip SuRI 6 Sbiliä...04 Rglr...04 Unsig Rglr:...04 Sig Rglung:...04 Rglkris...04 Sörung...05 Rglbwichung...05 Führungsvrhln:...05 Sörvrhln:...05 Modll...06 rmr...06 Erszmodll, Erszschlung...06 Rglkrisglid...06 Simulion...06 Signlflusspln...07 ufgschninr Rglkris...07 Sprungfunkion...07 Übrgngsfunkion...08 riodisch Signl...08 Ampliudndämpfung...08 Sbiliä...08 Sbiliäsrsrv...08 Lplc-Trnsformion...09 Frqunzgng...09 ompl Zigrdrsllung...09 Orskurv...09 Boddigrmm...0 Bribspunkbhängigki dr Sbiliä...0 Schlusswor:... Anhng 3: urzzusmmnfssung ls Übrsich und Einführung... Anhng 4: Boddigrmm...3 Anhng 5: rkikum Til I/ Anliung zu dn Aufgbn mi Simulion/ Modllbildung...4 Zil und Mhodik ds rkikums:...4 Vrsuch...6 Rglsrckn: Bsimmung dr rmr von Rglsrcknmodlln durch Vrglich mi us Tss gwonnnn Dn (Fchusdruck Rglsrcknidnifikion)...6 Vrsuch : Aufgbn:...7 Vrsuch...0 Zwipunkrglung:...0 Vrsuch : Aufgbn... Vrsuch Rglrinsllung (Tn-Srck/ ID-Rglr):...4 Vrsuch 3 Aufgbn:...6 Anhng 6: lusurn...9

7 Skrip SuRI 7. Aufgbnsllung Auslgung (Volllsfll) Brchnung (Wärmchnik) Anlg Bribsführung (von Hnd, uomisch) Elkrochnik Msschnik Sllorgn Surungs u. Rglungschnik EMSR -Tchnik. Rglung dr Rummprur Sionärr Zusnd / Bhrrungszusnd, d.h. ll Größn sind konsn. Di Hizlisung wird sufnwis rhöh. Q & s T sionärs Vrhln SONNE Q & Q & : Sllgröß T u Hizkörpr T T : Rglgröß Allgminr Fll: Di Bzichnung lig dnn fs! Q & Vnil Di Rummprur is di Rglgröß Di Hizlisung is di Sllgröß Di Einsrhlung sll ls zusäzlich Hizlisung in Sörung dr, bnso innr Wärmqulln und di Außnmprur. Bzichnung: Rglgröß Bzichnung: y Sllgröß Bzichnung: z Sörgröß Di Rglung wird kiv, wnn Sörgrößn vorhndn sind. Also, wnn di Sonn zusäzlich Wärm rzug, sig di Rummprur ws n, di Rglung wird kiv und schliß ds Vnil und im Idlfll blib di Rummprur nährungswis bi dm Ausgngswr. Dn gwünschn Rummprurwr bzichn mn ls Sollwr Bzichnung: w Wnn mn ds sionär Vrhln bsimm, rbi mn of ohn di Rglung. Ds nnn mn dnn Hndbrib. Mn sll in bsimm Vnilsllung in. Dnn rgib sich nch inr gwissn Wrzi in konsn Tmprur. Wnn mn ds widrhol, rgib sich in Bzihung zwischn Rglgröß und Sllgröß.

8 Skrip SuRI 8. Zivrhln / Dynmischs Vrhln Sllgröß y Sionärr Zusnd Sllgröß y Rglgröß Sprung Rglgröß Sionärr Zusnd Zi Als Ts n inr bshndn Anlg is folgnd rozdur üblich: Mn fähr zunächs im Hndbrib. Einn Übrgng zwischn zwi sionärn Zusändn knn mn durch in sognnn Sprungfunkion dr Sllgröß rzugn. Dbi wird ds Vnil von inm Anfngswr, dr übr längr Zi nsnd, so dss lls konsn is, uf inn nun Wr bwg. Als Rkion druf wird sich di Rglgröß vrändrn..3 Surung / Rglung y Rglsrck Rglsrck Surung: Rglung: Sörgröß z Sörgröß z y Srck Sollwr w Surung rogrmm y Srck Rglr Rückkopplung Sollwr Dr Sollwr w is dr Wr, uf dn di Rglgröß ingsll wrdn soll. Dr Sollwr w knn vrändr wrdn, dnn sprich mn von Führungsvrhln.

9 Skrip SuRI 9.4 Unrschid zwischn Surung und Rglung zwischn Surung Rglung - rbi ohn di Mssung - rbi mi dr Mssung dr Rglgröß dr Rglgröß nch dm rinzip dr Rückkopplung - ds physiklisch Vrhln - ds physiklisch Vrhln dr Rglsrck dr Rglsrck muss bknn muss nich gnu bknn sin sin - kin Ausglich von Sörungn - ilwisr Ausglich von Sörungn (ds Surprogrmm h (Sörungn wirkn sich übr di Srck kin Informion drübr) uf di Rglgröß us) Rglr wirk kompnsirnd!

10 Skrip SuRI 0. Zil bi dr Anwndung von Rglungn Sörgröß z y Srck Rglr Sollwr w. Ändrung dr Sörgröß: Sörvrhln Dr Sollwr blib in dism Fll konsn! Di Rglgröß soll uf dm Wr ds Sollwrs blibn. Sörgröß z Rglgröß Sollwr w Blibnd Rglbwichung Zi. Ändrung ds Sollwrs: Führungsvrhln (Folgrglung) Sollwr w Übrschwingn Sollwrsprung Rglgröß Blibnd Rglbwichung Zi

11 Skrip SuRI.3 Zil Sbiliä: ) Sbiliä: Nch dm Rglvorgng muss in nur Glichgwichszusnd rrich wrdn. INSTABILITÄT ) Minimirung dr blibndn Rglbwichung Sionär hiß: Nchdm usgrgl wordn is. Di Rgldiffrnz w ( Sollwr Rglgröß ) soll lso möglichs klin sin. Mn sprich von dr blibndn Rglbwichung 3) Dr Einschwingvorgng soll nch Vorgb vrlufn. Übrgngsvrhln nch vorggbnn ririn. SCHNELL, br lichs Übrschwingn LANGSAM Vorusschu: Di Einsllung ins Rglrs rfolg spär durch Absimmung dr Einsllprmr ds Rglrs uf ds Srcknvrhln ( Srcknprmr). Dbi wird in ompromiss gsuch zwischn Schnlligki und Sbiliä. Drh mn dn Rglr zu wi uf, rgbn sich Schwingungn, di dn Brib sörn. Allrdings wird dr Rglkris bi ufgdrhm Rglr immr schnllr, so dss di Rglgröß schnllr dm Sollwr folgn knn. Bi rfwrkn, di di Bilnz zwischn Erzugrn und Abnhmrn usrgln, is dis Rglfähigki in nschidnd Eignschf und wird in inm rojk vrrglich fsglg und grnir. Di Rglung wird dnn dynmisch opimir (möglichs wi ufgdrh ). Bi ndrn Anlgn, z. B. im Hizungsbrich muss nich ds Lz us dr Rglung hrusghol wrdn. Mn sll dnn vorsichigr in.

12 Skrip SuRI Insgsm h mn bi dr Einsllung in gnz Bndbri zur Vrfügung und muss nsprchnd unrschidlichn Anfordrungn inn ompromiss findn. Ds Wrkzug dfür is di Compursimulion. Mn bild ds dynmisch Vrhln ds gsmn Rglkriss übr in Diffrnilglichungssysm b und simulir ds Vrhln uf inm Rchnr.

13 Skrip SuRI 3 3. Bgriffsfslgung für Rglkris Brich für Rglkrisprmr: Bi inr ggbnn Aufgbnsllung muss mn sich zurs übrlgn, wi srk di inzlnn Größn im Brib vriirn. Di Brich für di inzlnn Größn wrdn mi Großbuchsbn gknnzichn. Bispil: Di Vnilsllung (Sllgröß) vriir zwischn 0 und 00 % Di Rummprur (Rglgröß) soll in inm Brich zwischn 4 und 4 C gfhrn wrdn Di Außnmprur (Sörgröß) vriir zwischn 0 C und 5 C Y h Z h W hr Sllgrößnbrich Sörgrößnbrich Sollwrbrich Y h y Z h Z Srck X hs X X hr Rglgrößnbrich m Rglr X hs Rglgrößnbrich, rgib sich Wnn y Y h durchläuf. Rglr X hr 3. Aufbu von Rglrn w W hr Mssumformr Vrsärkr Vrglichr y Rglbwichung w Sollwrsllr Vrglichr: Diffrnz zwischn Rglgröß und Sollwr Rglbwichung Vrsärkr: Vrsärk Rglbwichung und rzug di Sllgröß Sollwr und Rglgröß wrdn vrglichn, us dr Rgldiffrnz muliplizir mi inm Fkor rgib sich nch Vrsärkung und Sllgröß Vorschu: In dn llrmisn Fälln sind Rglr ls Mikroprozssorsysm ufgbu. Di Rglfunkion slbs wird dnn ls Rgllgorihmus (rogrmmbusin) rlisir. Mn sprich dnn von inr digiln Rglung.

14 Skrip SuRI 4 Rglsinn Brnnsoffmng y rfwrk Dmpflisung - + Vorggbn Dmpflisung w Bi dm nggbnn Bispil ds Dmpfrzugrs sprich mn von posiivm Rglsinn. Rglbwichung w < 0 zu wnig Dmpf mhr Brnnsoff w > 0 zu vil Dmpf wnigr Brnnsoff Brchn Si jz in limnlg im Sommrbrib. Wnn mn ds Vnil ds ühlrs ufdrh,, gh di Tmprur zurück. Also rgib sich ds umgkhr Vrhln im Vrglich zum Dmpfrzugr. Mn muss in Umschlung m Rglr zur Ändrung ds Rglsinns vornhmn. Ddurch ändr sich ds Vorzichn dr Rgldiffrnz. Di Rkion ds Rglrs is dnn: w < 0 zu hoh Tmprur ühlvnil uf w > 0 zu gring Tmprur ühlvnil zu Di glich Übrlgung gil für Ruchgsnschwflungsnlgn REA. Durch Zugb ins Sorbns (z. B. lkmilch) wird di SO -Rkion im Ruchgs vrmindr. lk rgir mi SO zu Gips CSO 4. Gib mn mhr lk zu, vrmindr sich di SO -onznrion. Ds nsprich uch inm ngivn Rglsinn. Wichig: Mn muss insgsm in ngiv Rückkopplung hbn. Im Rglkris muss lso inml in Minuszichn wirksm sin. Bim ngivn Rglsinn is diss bris in dr Rglsrck vorhndn. Bi inr Aufgbnsllung is di Übrlgung zum Rglsinn immr dr rs Schri.

15 Skrip SuRI 5 3. Ausführung von Rglrn hysiklischs Sysm (mchnisch, pnumisch, hydrulisch) Elkronisch Sofwr / Digils Sysm Bispil: Flihkrfrglr von J. W für di Rglung dr Turbinndrhzhl. (mchnischs Sysm) Gsäng Dmpf Gnror Turbin Grib zur Drhzhlbnhm 3.3 DIN Normn DIN 96 Fslgung dr Bgriff DIN 98 Fslgung von Bildzichn VDI 384 Gbäuduomion und vil wir Srck Sllglid Fühlr Anrib Mssumformr Rglr Sollwrsllr In dr ris wrdn lich unrschidlich Drsllungn vrwnd, n di mn sich br lich gwöhn, d si uf dm gzign rinzip bsirn.

16 Skrip SuRI Drsllungsformn in dr Rglungschnik Vrzwigung Addiion Diffrnz Vorzichnumkhr Mn sprich bi disr Drsllung vom Signlflusspln. Dis Drsllung soll dzu dinn, dss mn sich gnz nschulich vorslln knn, wi Signl durch in solch Srukur flißn und dnn dbi vrändr wrdn. Di Blöck formn di Signl um, so dss Zivrzögrungn ufrn und di Signl durch Rchnoprionn vrändr wrdn. Di ombinion von Signln rfolg durch Vrzwigung, Addiion und Diffrnzbildung. Drsllung von inschlifign Rglkrisn in dr Lirur: y Srck Rglr + w - w - Rglr y Srck + Di bidn Drsllungn sind äquivln. Bid Drsllungn wrdn in dr Lirur vrwnd. Di Blöck wrdn uf Grund ihrr mhmischn Eignschfn ( Modll ) chrkrisir. Es gib dnn komplizirr Anwndungn: Rglkris mi Aufschlungn, Mhrgrößnrglungn, kompl Modll von Anlgn c..

17 Skrip SuRI Brchnung ds Rglkrisvrhlns rinzip Sllvorgng rozss Mssung Rglr Rglgröß Sollwr Di Grundid bi dr Brchnung ds Zivrhlns und bi dr Bschribung im Frqunzbrich is, dss di Rglsrck in inzln Blöck ufgil wird, di folgnd Effk bschribn: Sllvorgng: Bi dr Bäigung von Vniln wird Zi bnöig. Ein lkrischr Sllmoor muss bispilswis uf odr zu fhrn. Diss Zivrhln binfluss di gsm Dynmik. rozss: Dmi is ds Vrhln dr Anlg gmin. Mn sprich von rozssmodllirung, wil mn bispilswis Aufhiz- odr Abkühlvorgäng nlysir und dis bschrib. Wichig is lso, ws di Anlg mch und wnigr di konsrukivn Dils. Dis wrdn br bnöig, um gnur Modll ds Anlgnvrhlns zu rslln. Dbi wird dr Block rozss wir unril und sh für in Unrsrukur von vrschln Rglkrisglidrn, di in ombinion ds Vrhln ds rozsss widrgbn. Bi dr Rummprur is ds bispilswis: Aufhizn ds Hizkörprs Aufhizn dr Rumluf und Vrändrn dr Rumlufsrömung durch di höhrn Tmprurn m Hizkörpr Aufhizn dr Gbäudhüll durch di höhrn Rumlufmprurn Mssung: Bi dr Mssung bispilswis inr Tmprur gib s uch Zivrzögrungn, wil dr Fühlr bi Tmprurändrungn j uch ufghiz odr bgkühl wrdn muss. Ds bnöig Zi. Rglr: Es gib shr unrschidlich Rglr. Im wsnlichn unrschid mn zwischn sign und unsign Rglrn. Bi unsign Rglrn knn mn ds Sllglid nur in Sufn umschln (EIN, AUS bim Hizkssl odr inr Solrkrispump). Dr infchs sig Rglr is dr roporionlrglr (Tmprur wird zu hoch, Vnil mch um inn nsprchndn (proporionln) Brg zu und umgkhr). Ds is ds Vrhln, ds mn nschulich unr Rglung vrsh. Dnbn gib s ndr Anil im Rglr, di uch übr Rglkrisglidr bschribn wrdn.

18 Skrip SuRI 8 Dr Sndrdrglr is dr ID-Rglr: I D roporionlnil Ingrlnil Diffrnilnil Wichig: Es gib in gnz Rih von Rglkrisglidrn mi unrschidlichm Zivrhln/ Eignschfn. In dr Rglungschnik gib s inn log von Rglkrisglidrn, us dnn mn lls mi inr gwissn Gnuigki ufbun knn. Wnn di Gnuigki llrdings shr groß sin soll odr wnn mn in Anlg modllir, di noch nich gbu wordn is (nur rooyp), dnn is dr Aufwnd wsnlich größr. In viln Fälln knn mn uf bshnd Modll zurückgrifn, di bschribn sind. Es gib rogrmmpk, in di mn dnn solch Signlflussplän ingbn knn. Dnn knn mn ds Zivrhln simulirn und Bribssiuionn durchspiln. Ddurch lrn mn shr vil in shr kurzr Zi, wil di Simulion wsnlich schnllr bläuf ls Vrsuch n dr Anlg. Simulionsrchnungn sind uch völlig ungfährlich (slbs für dn Compur?). An inr Anlg dggn knn mn problmisch Siuionn hrvorrufn, wnn mn nich gnz gnu wiß, ws mn u. Di Simulion zig br immr Abwichungn von dr Rliä, wil mn sich bi dr Modllirung uf inn rgbrn Aufwnd bschränk. Vorghnswis zusmmngfss: ) Chrkrisirung dr Rglkrisglidr durch mhmisch Modll ) ombinionsrgln für Schlungn 3) Auswhl Rglr 4) Modll ds Gsmvrhlns (Zivrhln) Binflussung ds Gsmvrhlns durch unrschidlich Rglrypn unrschidlich Rglrinsllungn

19 Skrip SuRI 9 4. Bhrrungsvrhln von Rglkrisglidrn Einführungsbispil: Elkrischr Durchlufrhizr Disr (is us dr Allgsrfhrung bknn) din ls rooyp für in Vrhln, ds shr häufig gbruch wird. Mn sprich von inm Rührksslmodll. Dmi is in Bhälr gmin, dssn Inhl so vrrühr wird, ds sich homogn, lso glichmäßig Vrhälniss für di Tmprur und für ndr Größn inslln. Bim Durchlufrhizr bsorg diss Rührn bim Aufhizn di hrmisch onvkion. m& T lkr. Hizung T Q & m& T m& T T Q & Mssnsrom Wssr Einrismprur Ausrismprur, Rglgröß Hizlisung, Wärmsrom Sllgröß Annhm: Durch gus Mischungsvrhln im Durchlufrhizr rgib sich in glichmäßig Tmprur im Erhizr (T ) Sionär Enrgibilnz Durchlufrhizr Enrgi in Enrgi us m& c ( T T ) T + m& c T Sigung m& c Ausrismprur T Arbispunk rlisischr Fll (Vrlus) T Einrismprur

20 Skrip SuRI 0 llgmin: Eingngsgröß Rglkrisglid Ausgngsgröß f ( ) Abhängigki dr Ausgngs- von dr Eingngsgröß X Linrr Spzilfll Drsllung Arbispunk mi Umgbung llgmin nich linr X ds sisch Vrhln von Rglkrisglidrn is of nich linr Rglungschnisch Auslgungsvrfhrn rbin mi linrn Modlln dmi wird in Linrisirung nowndig Arbispunk Arbispunk X Tylrrih, Vrhln in dr Umgbung ds Arbispunks (A) Arbispunk f ( ) df ( ) f ( (A))+ ( ( A) ) d n dr Sll (A) (A) - (A) p p ( - (A)) p : roporionlbiwr Di Sigung is vom Arbispunk bhängig und vrändr sich. Di Sigung wird ls nnwr in dr Rglungschnik vrwnd und hiß roporionlbiwr. D di Rglrinsllung n ngpss wird, führ di Vrändrung von in dr ris zu bsimmn Schwirigkin. Bispil für di Brchnung: Durchlufrhizr (linrr Vrluf) T dt + T g m & 0, m & c d m & c sc T f ( ) p, kw C g m& c 0, sc G J C

21 Skrip SuRI 5. Zivrhln von Rglkrisglidrn Zur Chrkrisirung ds Zivrhlns wrdn Sndrdsignl vrwnd: Es gib zwi unrschidlich Bschribungsrn: Anrgungn durch Signl im Zibrich: Bispilswis durch Aufdrhn ins Vnils ( ) m Hizkörpr/ zughörig Rkion dr Rummprur ( ) Anrgungn durch priodisch Signl, ds nnn mn dnn di Bschribung im Frqunzbrich: Ein Bispil wär in Gbäud im Sommrbrib, wobi di Außnmprur di Eingngsgröß und di Rummprur di Ausgngsgröß drsll.. Sprungfunkion Drsllung im Zibrich 0 vrzögrr zilichr Ansig X p 0 X. Sinussign. Ändrung dr Ampliud hsnvrschibung Dr gsm Rglkris nsh durch ombinion lmnrr Rglkrisglidr. In dr ris h mn bid Fäll, di Sprungfunkion ls Anrgung und priodisch Funkionn, di häufig vrinfch ls Sinussignl drgsll wrdn.

22 Skrip SuRI, () Ändrung dr Ampliud () Zivrschibung rgib hsnvrschibung 5. Bispil: Durchlufrhizr m& T lkr. Hizlmn T Q & m& T Durch gus Mischvrhln Tmprur im Erhizr T M w Mssninhl Wssr im Erhizr Enrgibilnz Gspichr Enrgi Enrgi in - Enrgi us M dt c m& c ( T T ) d w Auf dr rchn Si dr Glichung sh dr bknn sionär Til. Auf dr linkn Si sh di Wärmlisung, di bim Aufhizn odr Abkühln wirksm wird. Dis Lisung is bi inm Aufhizvorgng m Anfng groß, und nimm dnn immr mhr b, bis si vrschwind, wnn dr sionär Zusnd rrich wird. Dis nsprich dr bknnn Siuion, dss, nchdm sich dr Durchlufrhizr bi inr Zpfung inschl, di Tmprur rs schnll und dnn immr lngsmr nsig.

23 Skrip SuRI 3 Bispil: Aufhizgschwindigki bim Einschln T T bim Einschln, M 5g, 0 kw m& c ( T T ) 0 simm mi Erfhrung übrin dt 0 0 ³ C 0,5 sc d Mw c Enrgibilnz rgib DGL. Ordnung in dr Zi M m& M m w w c c d ( T d dt dt T ) m& c ( T m& c ( T T ) T ) d T kons. Es rgib sich in DGL (Diffrnilglichung). Ordnung. Dis is ypisch für dn gwähln Modllirungsnsz. Wnn in Bilnz ufgsll wird, dnn h mn inn Spichrrm zu brücksichign. Disr Spichrrm is bi inm hrmischn Sysm durch ds Ein- odr Ausspichrn von Wärmnrgi bding, bi inm ondnsor wird lkrisch Ldung in- odr usgspichr. Wnn mn di onznrion von Inhlssoffn in dr Rumluf modllir (bispilswis ohlndioid CO ), dnn h mn in Zunhm odr Abnhm in dr Rumluf, di bnflls ls Spichrwirkung zu inrprirn is. Disr Spichrrm wird immr durch in Ändrung dr Rglgröß im spichrndn Mdium bschribn. Dis Ändrungsgschwindigki wird durch in Abliung rsr Ordnung usgdrück. In dr Rglungschnik wrdn di Bschribungn so gwähl, dss mn ds Vrhln ds Sysms in dr Näh ins Arbispunks bschrib. Ds bdu für dn Durchlufrhizr, dss ls Arbispunk di Srmprur gwähl wird. Dis nsprich dr ls konsn gdchn Einrismprur. Mn rbi dnn mi dr Diffrnz T T. Dr Aufhizvorgng bginn dnn bi T T 0. Zusäzlich wird di Bschribung so ufgbu, dss mn in linrisir DGL vrwnd. Dis Vorusszung is br nich zwingnd. Eingngs- und Ausgngsgröß sind fri wählbr. Im bhndln Bispil wurd für in spär Rglung di Sllgröß und di Rglgröß T T vrwnd. Mn könn br gnuso gu di Sörgröß dn gzpfn Mssnsrom ls Eingngsgröß vrwndn. Dnn bkomm mn in nichlinr DGL, wil dr Mssnsrom uf dr rchn Si dr Glichung im Nnnr sh. Solch DGL knn mn dnn mi Hilf dr Compursimulion wirvrrbin und numrisch lösn.

24 Skrip SuRI 4 5. Sndrdisirung dr DGL. Ordnung Di wir Vorghnswis is so, dss mn jwils uf di glich Form dr DGL zu kommn vrsuch. Dnn knn mn Sndrdlösungn vrwndn, di in Tblln nidrglg sind. Dzu brch mn ds Sysm ls Blck Bo, lg di Eingngs- und di Ausgngsgröß fs und form di Glichung so um, dss uf dr rchn Si di Größ ohn Vorfkor sh. Dn sich dnn rgbndn Fkor uf dr linkn Si bi dr Abliung nnn mn di Zikonsn ds Sysms, dn Fkor, dr sich bi dr Sllgröß rgib, nnn mn dn roporionlbiwr. Für di Zikonsn vrwndn wir dn grichischn Buchsbn. Dis nsprich dr inrnionln onvnion. In dn duschn Normn wird für di Zikonsnn dr Buchsb T vrwnd. Dmi kollidir mn dnn häufig mi dn Tmprurn so dss hir durchghnd di inrnionl onvnion vrwnd wird. T - T m & c p M W m& Zikonsn Bispil : M W 5 g 50 sc m & 0, g / sc d d p (Sndrdform) Vrzögrungsglid. Ordnung T Glid Lösung DGL.Ordnung d d Anrgung Einhissprung ( S ) p (DGL) Rkion X p ( ) p 0,63 p 0 0

25 Skrip SuRI 5 Übrprüfung dr Anfngsbdingungn: 0 ( 0 0) ( ) 0 p Vrifizirn dr Lösung durch Bildn dr Abliung und Einszn in di Diffrnzilglichung: d d p drus folg link Si: p p rch Si: p ( ) > p 5.3 T Glid Bzichnung DGL Lösung T ( ) p p Schubild Blocksymbol p Bispil: Durchlufrhizr p p T - T T T p ( ) Di Anrgung bi dr Sllgröß wird mi,sp bzichn (gsprochn - Sprung ). Wird uch wi folg drgsll:,s

26 Skrip SuRI 6 p Tmp. Diffrnz m End 0 0³ W m& c 0, 400 g J 3,8 C sc g C Anwndungsbispil: Wnn wrdn 90% dr Endmprur rrich? 0,9 > 0, > ln( 0,) > ln( 0,) 5 sc,3

27 Skrip SuRI Glid roporionlglid Ds rin roporionlglid is in Spzilfll ds T -Vrhlns. Wnn mn bim T - Vrhln di Zikosn ggn Null ghn läss, nsh in Elmn, ds ohn Zivrzögrung rgir. Ds is nürlich in Absrkion. All Rglkrisglidr in inr Srukur, di im Vrhälnis zu ndrn shr klin Zikosnn hbn, wrdn so bhndl. Ds rhöh di Übrsichlichki, rduzir di ompliä ds Modlls und führ dhr zu inm gringrn Rchnufwnd. DGL & + T -Glid p > 0 p DGL -Glid Bispil: Thrmolmn (Tmprurmssung) Rglsrck: Durchlufrhizr Thrmolmn << Blockdrsllung -Glid:

28 Skrip SuRI I-Glid Ingrirnds Rglkrisglid Bispil : Durchlufrhizr ohn Abluf m& 0 M W dt & c d m c ( T T 0 ) dt d M W c odr T T + M W c 0 d Tmprur zur Zi 0 Lösung Allgmin Blocksymbol T T T + M c W DGL & I T glichbdund & I 0 d I M W c Anwndungsbispil : Durchlufrhizr T T + M c W M c W 0000 W C 0, J g sc g C T T 80 C Für T 0 C 66 sc 3 min 0, 48 C M c sc W In dr ris gib s Ingrionsvrhln nur in inr bgrnzn Umgbung ds Arbispunks. Dmi is gmin, dss di Aufhizung nur bis zu inm bsimmn unk rfolg (00 C) für ds bhndl Bispil ds Durchlufrhizrs. Bi inr Füllsndsrglung sind di Grnzn ddurch ggbn, dss dr Bhälr voll odr lr läuf.

29 Skrip SuRI 9 Bispil : Rglung ds Füllsnds bi inm Bhälr Wssr V & H H 0 + V V A ( & & ) 0 d H V & Grundfläch A Wnn H > Hm Übrluf! Volumnsromdiffrnz H In dism Bispil is di Eingngsgröß (V V ), di Ausgngsgröß dr Füllsnd H. Dr Ingrorbiwr is dnn I /A. Disn Ingrorbiwr muss mn von dn Einhin hr uf ds Vrhälnis dr diffrnzirn Ausgngsgröß (d/d H ) zur Eingngsgröß bzihn: Bispil: A m² I /A m - m/h / ( m 3 /h) Ds bdu, wnn dr Zuluf m 3 /h mhr h ls dr Abluf, sig dr Füllsnd in inr Sund um inn Mr n. Enhäl in Rglsrck in Rglkrisglid mi I-Vrhln, so sprich mn von inr Rglsrck ohn Ausglich. Dmi is nschulich gmin, dss bi dr Tmprurrglung mi Ausglich (Durchlufrhizr mi T -Vrhln) nch Aufbringn inr Sprungfunkion in nur sionärr Zusnd rrich wird (di Tmprur könn sich im Brich von 40 C inpgln). Bi inr Füllsndsrglung muss dss nich so sin. H dr Zuluf mhr Volumnsrom ls dr Abluf, läuf dr Bhälr übr.

30 Skrip SuRI DT Glid Diffrnzirnds Glid mi Vrzögrung. Ordnung Elkrisch Schlung (mi nchgschlm Vrsärkr komm dis in Rglrn vor). ondnsor C Spnnungn ddirn sich zu 0 U R U q U + U C I R Ohmschs Gsz U U& U& q + U& C U + U& R C q & i R C U + U R C U llgmin X& + X X DGL ds DT -Glids D Lösung für di Sprungfunkion DT ( ) D für 0 & + D & 0 für < 0 Einszn für 0 in di DGL & + & D d/d 0 für 0 D D ² + D 0 Blockschlbild

31 Skrip SuRI D-Glid Diffrnzirnds Glid ohn Vrzögrung, s rgib sich us dm DT -Glid für 0 Blockdrsllung DGL & + D & DT D grächnisch 0 nich rlisirbr, br shr klin 0 Formlmäßig Lösung nich möglich D > Grnzübrgng: 0 Di Inrprion mi Rmpnfunkion is infchr & D D D Mhmisch gshn is s so, dss bi Anrgung mi inr Sprungfunkion dr Grnzübrgng dr Zikonsn 0 dzu führ, dss in unndlich hohr, br uch unndlich schmlr Impuls nsh. So ws is kin sig Funkion mhr, sondr in sognnn Disribuion. Dbi knn mn nchwisn, dss di Fläch unr dm Impuls glich blib. Di Fläch nsprich dr Sllnrgi, di mn inbring. Anschulichs Bispil: Slln Si sich vor, dss si im Hndbrib inn Rum, dr kl is, möglichs schnll uf in bsimm Tmprur bringn müssn. Dnn würd mn di Hizlisung voll ufdrhn und nch inr gwissn Zi di Lisung uf dn durhf gbruchn Wr zurücknhmn. Ds kurzziig voll Aufdrhn nsprich dm durch inn D-Anil ufgbrchn vorübrghndn Impuls. Disr h Anschibfunkion. Dr D-Anil wird im ID-Rglr vrwnd und führ dzu, dss bi sprungförmign Vrändrungn ds Sollwrs, dnn di Rglgröß möglichs schnll folgn soll (Bisipil Dmpfrzugr), di Gschwindigki dr Rkion rhöh wird. Dr D-Anil is in solchn Siuionn nur vorübrghnd im Eingriff ( Anschibimpuls ).

32 Skrip SuRI T -Glid Toziglid Driwgvnil T Gschwindigki v Vorluf T hiß Enfrnung l T Mssung T kl Rückluf T E für 0 T mss T A T T A für > 0 T E T Mssung T E für 0 T A für Vnilvrsllung Tozi Enfrnung Trnsporzi Gschwindigki v Blocksymbol nnwr: 6. Elmnr Rglkrisglidr Zusmmnfssung DGL Sprungnwor Blocksymbol X X X X T X & + X X X X ( ) I D DT T X & X X X X X & I X& Impulsfunkion D + X D X& X X 0 für < X () X (-) X X für I

33 Skrip SuRI Vrschlung lmnrr Rglkrisglidr Durchlufrhizr α T Tmprurmss. M, T s M.... wirksm Mss ds Mßsysms c.. Wärmkpziä α... Wärmübrgngskoffizin A.. inguch Fläch 7. Enrgibilnz für in Tmprurmsssysm: M c dt d s α A T ( s ) Enrgi für ds Aufhizn ds Snsors M c α F dt d s T T s T & T T Sndrdform dr DGL für Vrhln. Ordnung S S rmr könnn durch Vrglich mi dr Sndrdform bglsn wrdn: M c α F Ds obn drgsll Sysm komm in dr prkischn Anwndung häufig vor: Durchlufrhizr mi Tmprurfühlr Wrmwssrspichr mi Tmprurfühlr Brnnrum mi Tmprurfühlr Rummprurrglung D dr Fühlr bi Tmprurändrungn ufghiz odr bgkühl wrdn muss, rgib sich jwils in Hinrhrhinkn hinr dr ignlichn rozssmprur: Sig di rozssmprur n wird ndnzill zu wnig ngzig Fäll di rozssmprur wird ndnzill in zu hoh Tmprur ngzig Dr Effk is umso usgprägr, j größr di Zikonsn ds Fühlrs im Vrhälnis zu dr ds rozsss is.

34 Skrip SuRI 34 Allgmin gh s um di srill Vrschlung zwir T -Glidr. Di Vorghnswisn, di sich drus gnz llgmin rgbn, lssn sich dnn uf Vrschlungn mhrrr T-Elmn lich übrrgn. Dmi bkomm mn in Insrumn, um ypisch Rglsrckn us dr ris zu modllirn. Di bidn T-Elmn wrdn jz vrkoppl, indm ds Ausgngssignl ds rsn zum Eingngssignl ds zwin gmch wird. Dm nsprich ds Ininndrinszn dr zughörign Glichungn. D s sich um Diffrnilglichungn hndl, müssn nbn dr Zwischngröß uch drn Abliungn liminir wrdn. Dr Unrschid zu inr lgbrischn Glichung is dnn, dss zwiml hinrinndr ingsz wrdn muss: Vrschlung + & Diffrnzirn und mi muliplizirn lifr (ds mch mn, um di Abliung us dr rsn Glichung bqum inszn zu könnn): + & + & & & & ) ) ( Dmi rgib sich di Diffrnilglichung. Ordnung: + & & & & wird: ) ( & & & T T T S Durchlufrhizr Mßsysm Allgmin inszn. Einszvorgng. Einszvorgng

35 Skrip SuRI 35 Dis Glichung bzichn mn ls linr Diffrnilglichung. Ordnung. Di Lösung knn durch Lplc-Trnsformion rmil wrdn. Es rgib sich in Lösung folgndr Form: Fkor ( - -/ + -/ ) Drn sih mn, dss wi im Fll ds T -Vrhlns ~ ( - -/ ) sich di -Funkions-Fkorn -/ rgbn, nur dss s disml zwi sind. Di Srinschlungn mi mhr ls zwi T -lmnn nnn mn dnn T n -Elmn und di Anzhl dr -Funkions-Fkorn bräg dnn n. X ( ) Sp( + ) X Sp T T T Sp X Sp Vrzug Di roporionlbiwr muliplizirn sich. Wnn mn in Srck modllir, vrwnd mn uch di Bzichnung S ( S sh für di gsm Srck) für ds roduk llr -Wr.

36 Skrip SuRI 36 Als wsnlich nur Effk rgib sich dr sognnn Vrzug. Nch dm Aufbringn dr Sprungfunkion rgir di Rglgröß nich sofor mi inm Ansig, sondrn rs nch inm zilichn Vrzug. Mhmisch gshn bginn di urv dr Übrgngsfunkion dr Rglsrck mi dr Sigung 0. Disr Effk präg sich immr dulichr us, wnn di Anzhl dr T -Elmn größr wird. 7. Bispil für Rglsrckn höhrr Ordnung: Bi viln chnischn Anwndungn knn mn zuminds vrinfch in Srinschlung von T -Elmnn und Tozin nszn. Di Tozin wrdn infch summir und rgbn in Gsmozi. Di T -Elmn wrdn uf di bschribn Ar in inr Srinschlung kombinir. Mhmisch gshn spil di Rihnfolg dr Elmn kin Roll. Aus dr chnischn Sich llrdings sll mn sich dn Signlfluss immr in dr logischn Rihnfolg vor. Di Toziffk wrdn llrdings ll zusmmngfss. 7.. Bispil : Dmpfrzugr /rfwrk Brnnsoffrnspor Enrgifriszung Rkionskin. Aufhizung ds Dmpfrzugrs Ansign ds Dmpfdrucks Dmpfdruck Mhrr T -Glidr / Toziglidr in Rihnschlung All Effk, di ls Trnsporvorgäng zu brchn sind, wi di Tozi bim Trnspor, br uch Durch Wärmliung in dn Wärmuschrflächn rzug Effk wrdn in inr Tozi zusmmngfss, di br in dr Rgl nch dm Hupffk bnnn wird.

37 Skrip SuRI Bispil : Insionär Wärmliung in inm Sb Aufhizn Vrhln wi inzlnr Sbskmn nchinndr. Mn knn dn Vorgng gnz prinzipill von dr Fourir-schn Wärmliungsglichung usghnd bschribn. Anschulichr wird s, wnn mn dn Sb in inzln Sgmn zril und für jds disr Sgmn in Enrgibilnz ufsll. Dn wird jds Sblmn durch T-Vrhln bschribn. Bim rsn und bim lzn Sgmn rgbn sich räumlich Rndbdingungn, d. h. mn muss fslgn, uf wlch Wis Wärm ingbrch odr bgnommn wird. Mn bkomm dnn in Tn-Modll. Di Anzhl dr Sgmn is wählbr. Wnn mn mhr Sgmn vrwnd, wird di Gnuigki und dr Rchnufwnd immr größr. Es wird dnn in ompromiss gnommn.

38 Skrip SuRI Bispil 3: Rumhizung Thrmosvnil Hizkörpr Rum Hizung Vnil öffnn Aufhizn Inhl Hizkörpr Aufhizn Rum Bi dr Rumhizung h mn inn Vorgng, bi dm mn gu shn knn, wi mn di Modllirung gröbr odr finr ufbun knn. Wnn mn sich di Vrhälniss brch, dnn sih mn, dss mn grob dri Aufhizvorgäng h:. Ds Thrmosvnil wird bgkühl, z. B. durch fllnd Rummprur und öffn dnn. Disr Vorgng knn durch in Enrgibilnz grob bschribn wrdn (T-Vrhln).. Dnn wird dr Hizkörpr ufghiz. Ds is in komplr Vorgng, dr widr grob durch in Enrgibilnz, br uch vrfinr durch in Rglsrck höhrr Ordnung (di mn us Modllbibliohkn bkomm) bschribn wrdn knn. 3. Dnn hiz sich durch Zunhm dr onvkion di Luf im Rum uf und nschlißnd rgirn noch di Hüllflächn ds Rums. Dis is schon in zimlich komplr Vorgng, für dn shr fin usgrbi Modll zugrund glg wrdn könnn. D mn br shr unrschidlich Hüllflächn in Räumn hbn knn, knn mn uch zunächs mi inm shr vrinfchn Modll srn. Flls nur T Elmn vorkommn bzihungswis vrwnd wrdn, dfinir drn Anzhl di Ordnung in dr Srck. Dr nggbn Ansz is lso zimlich vrinfch. Mn knn nun bispilswis in wirs Glid hinzufügn, dss ls Toziglid di rslichn Vrzögrungn und Effk bschribn soll. Dnn sprich mn von inm hlbmpirischn Modll, ds us infchn physiklisch moivirn Ansäzn bsh und durch mpirisch Modllnil rgänz wird. In dr chnischn Anwndung gh mn lso shr prisorinir vor und vrsuch ds roblm ddurch mi inm vrrbrn Aufwnd zu bschribn. Dmi nich jdr widr von vorn mi disr Arbi bginnn muss, gib s Modllbibliohkn, us dnn mn Tilmodll nnhmn knn.

39 Skrip SuRI Erszschlung für Srckn höhrr Ordnung Ein wirs Vrfhrn, um für Rglsrckn höhrr Ordnung, wi si in dr ris ufrn, in Modll zu rslln, is ds Vrfhrn dr Erszschlung. Dbi bnuz mn in mpirischs Modll. Dmi is gmin, dss mn kin Wissn übr di innrn rozss dr Rglsrck vorussz. Brch mn in inschlifig Rglsrck mi Ausglich, di durch in Srinschlung drsllbr is, dnn is klr, dss di Srck us inr Srinschlung von T - Elmnn und Tozin bshn wird. Dis kombinirn dnn zu inm Vrhln, wi s indm nchshndn Bild gzig is. Mn sprich von inr Rglsrck höhrr Ordnung mi Vrzug. Di Id is nun, dss mn sich ds infchs mpirisch Modll such, ds dnkbr is. Diss bsh us inr Srinschlung, wobi in Tozi-Elmn und in T-Elmn kombinir wrdn. Um di rmr dis mpirischn Modlls bsimmn zu könnn, müssn Anlgnvrsuch durchgführ wrdn odr Erfhrungn us frührn Anlgnvrsuchn vorlign. Typisch Dn, di mn us Anlgnvrsuchn rhäl, sind in dm nchshnd Bild ingzichn. Si wrdn gwonnn, indm di Sllgröß mi inr Sprungfunkion bufschlg wird; mi dr Vrändrung,S in dr Eingngsgröß. Di Rglgröß (llgmin Ausgngsgröß) rgir mi ihrr Übrgngsfunkion (nchshnds Bild). In dr Rgl sind dis Mssdn uch von (klinn) Sörungn übrlgr. Für di Auswrung gib s di Mhod von Hnd und di Mhodn m Rchnr: Di Mhod von Hnd : Ermilung dr Srckn-rmr S, für ds T-Vrhln und für di Tozi von Hnd durch di Wndpunkskonsrukion. Dzu wird dr Wndpunk dr S-förmign urv bsimm und dor di Wndpunksngn ingzichn. Dis schnid dn wgrch vrlängrn Anfngswr und dn wgrch vrlängrn Endwr dr Übrgngsfunkion. Vom Schnipunk mi dm Endwr us wird ds Lo gfäll uf di wgrch Grd ds Anfngswrs. Es nshn zwi Srcknbschni; di Vrzugszi u und di Ausglichszi g. Dnbn wird dr Srcknproporionlbiwr S bsimm us S,S /,S. Dis Wr wrdn dnn in ds mpirisch Modll ingbrch. Vorschu: Mi dism Modll und inm dzu pssndn Rglr wird spär ds Rglkrisvrhln simulir. Ddurch läss sich dr Rglkris bris vor dr Inbribnhm in sinm Vrhln bis zu inm gwissn unk opimirn. Vrluf ds Ausgngssignls: Endwr,S Wndpunk Tngn in Wndpunk 0 Anfngswr u g Mssdn

40 Skrip SuRI Auswrung Srck höhrr Ordnung u g u, g Vrzugszi Ausglichszi nnwr für Srckn höhrr Ordnung Ds mpirisch Modll, ds ds Srcknvrhln drsll, is im nchshndn Bild drgsll. Di Vrzugszi u wird dm Tozivrhln zugordn und di Ausglichszi g dm T - Vrhln Erszschlung X X Tozi T u p g p pgs S, S, S Schwirigkisgrd S u g S n 0 is in Mß für di Rglbrki und Ordnung n. Dr Schwirigkisgrd ls Vrhälnis dr Zikosnn is in Mß dfür, wlch Ergbniss mn mi inr Rglung übrhup rziln knn. Ds größ roblm für dn Rglr is dr Vrzug, wil dnn (nch inm Eingriff) noch kin Rkion dr Srck sichbr is. J größr di Vrzugszi im Vrhälnis zur Ausglichszi, um so schlchr sind di Rglrgbniss. Mn knn uch di Ordnung dr Srck bschäzn. Dmi is gmin, dss mn nhnd ds Schwirigkisgrds grob sgn knn, wi vil T-Elmn in dr Srck vorhndn sind. Wichig: Di gwähl Typ ds Srcknmodlls is nich dr inzig. Es gib noch wir gnur Approimionn. Dis wrdn mi dm Rchnr bsimm (rkikum).

41 Skrip SuRI 4 8. Rglrypn Rglgröß sig Rglr unsig Rglr in y Sllingriff y us in Dr Sllvorgng is diskoninuirlich Grächnisch Rlisirung Unrschidung uf Mikroprozssorbsis mi Hilfsnrgi lkronisch, lkrisch ohn Hilfsnrgi pnumisch, hydrulisch mchnisch Hu sind fs ll Rglr uf dr Bsis von Mikroprozssorsysmn mi zughörign Bribssysmn und rogrmmbusinn rlisir (z. B. ompkrglr wi di ypisch Hizungsrglung und spichrprogrmmirbr Surungn SS). Ein Bispil für inn mchnischn Rglr is ds Thrmosvnil. Ein Subsnz übr dm Vnilschf, di sich bi Tmprurrhöhung usdhn, drück disn in Schlißrichung. Dmi wird dr Volumnsrom durch ds Vnil und dmi di Hizlisung vrmindr. Diss Vrhln nnn mn roporionlvrhln. Dis nsprich dm, ws mn im lndläufign Sinn unr Rglung vrsh: Di Tmprur sig n und glichziig wir di Hizlisung proporionl vrmindr (und umgkhr). Di Vrhälniss sind in Wirklichki komplizirr. Um zu rgirn, muss sich ds Thrmosvnil ufhizn. Ds rfordr Zi (T-Vrhln/ Rglsrck höhrr Ordnung). Ein Nchil dr roporionlrglung is, dss si nich gnu rgl. Dhr wrdn durch wir Anil (Ingrlnil I und Diffrnilnil D) bi Rglungn in dr Anlgnchnik di Eignschfn dr Rglung vrbssr. Unsig Rglr sind bi Ölhizkssln di Sysm, bi dnn dr Brnnr nur in- und usschln knn, br kin Zwischnwr möglich sind. Ds Glich gil für klinr hrmisch Solrnlgn zur Wrmwssrbriung in Ein- und Mhrfmilinhäusrn. Rglr ohn Hilfsnrgi nnhmn ihr Anribsnrgi us dr Umgbung. Bim Thrmosvnil wird für di hrmisch Ausdhnung di Wärmnrgi ds Rums gnuz.

42 Skrip SuRI 4 8. Sig Rglr / Übrsich Zunächs soll in Form inr Übrsich ds Vrhln ds ID-Rglrs rklär wrdn, wobi ds Ingrlvrhln und di ombinion I wsnlich für ds Vrsändnis sind. Bi lln nlgnchnischn Aufgbnsllungn, bi dnn s uf in gnu Rglung nkomm, wird mindsn dr I-Rglr ingsz. ID Rglr: y Srck Rglr Rglr - + W DGL: d p ( + d + v ) d w n Di Einsllprmr ds Rglrs sind: I D roporionlbiwr; wird uch ls R odr R bzichn. I D Ingrlbiwr I / N Bi dn duschn Sysmn wird zur gminsmn Rglrvrsärkung gmch und dr I-Anil übr di Einsllung dr Nchsllzi N bsimm. In nglomriknischn Sysmn wird I sdssn vrwnd. Dr D-Anil D D * V. Bi dn duschn Sysmn wird widr zur gminsmn Rglrvrsärkung gmch und dr D-Anil übr di Einsllung dr Vorhlzi V bsimm. In nglomriknischn Sysmn wird D sdssn vrwnd. Di Bduung llr rmr wird in spärn Tiln dr Vorlsung rläur. Zur Nchsllzi si hir schon gsg, dss si bschrib, nch wlchr Zi im Anschluss n in Sollwrändrung dr nu Wr in w rrich wird. Dis Rglrprmr wrdn uf di Srck bgsimm. Für jd nu Srck mi ndrm Zivrhln rgbn sich ndr rmr. D-Anil I-Anil I D + + y + -Anil Einzlrglung Gsmrkion

43 Skrip SuRI 43 Dr Rglr funkionir so, dss r us unbhängign Tilrglrn nsh, di ll ihr ignn Sllgrößn rzugn lso y, y I und y D. Dis Sllgrößn wrdn dnn zur Bildung dr ndgülign Sllgröß ddir: y y + y I + y D Mi dism Vrfhrn sind nürlich in gnz Rih ndrr Rglrypn blibr, di Unrgruppn us dn dri Aniln drslln: 8.. Andr Rglypn (blibr us ID Rglr) I I D 8.. Funkion ds Ingrlnils bi dr Rglung Zunächs soll zur Übrsich di Funkion ds Ingrlnils rklär wrdn, wil mn dmi ds grundsäzlich Vrsändnis für di onzp dr sign Rglung gwinn. Als nschulichs Bispil si in Einzlrumrglr (im infchsn Fll in lkronischs Thrmosvnil) mi I-Chrkrisik brch: y R (w-) + y I + Hizkörpr y I R / N (w-)d I-Anil -Anil Gsmrkion

44 Skrip SuRI 44 Di Rglgröß is di Rummprur. Brch wird in Sollwrvrändrung, di sprungförmig ufgbrch wird, lso zum Bispil nch inr Nchbsnkungsphs: Nchbrib: h - 6 h w 6 C Tgbrib: 6 h - h w C Um 6 h wird umgschl von 6 C uf C. Dis Siuion soll brch wrdn, um di Wirkung ds I-Anils dulich zu mchn. Brch wird zunächs di rin I-Rglung: C w (w-) Mil 6 C y I R / N (w-)d R / N.(w-) Mil. + y I,l y I -End y I y I -Anfng Wi mn sih, knn mn di Wirkung ds Ingrlnils nährungswis in dn gsrichln Abschnin durch jwils in linr Funkion in dr Zi bschribn. Es rgbn sich dnn di gzign Vrläuf. An dr Glichung wird dulich, dss di Ingrion solng wir Biräg rbring, bis di Rglbwichung (w ) zu Null gwordn is. Ds is di Eignschf, di mn sich wünsch. Mn bzichn (w ) sionär ls di blibnd Rglbwichung. Wnn dis vrschwind, sprich mn von inr sionär gnun Rglung. Es gil dnn: w 0 Brch mn zum Vrglich di rin -Rglung, dnn zig di Glichung, dss dis nich rrich wrdn knn:

45 Skrip SuRI 45 y.(w ) Für (w ) sionär 0 müss nämlich gln y 0 Dis knn br us nrgischn Gründn nich sin, sons würd dr Hizkörpr kin Lisung inbringn und mn hä kinn Hizbrib. Dhr gil für dn rinn -Rglr (Thrmosvnil): w 0 Ds roblm knn mn zwr bim Thrmosvnil bsiign, wnn mn dn Sollwr nsprchnd hoch drh, lso übr di C hinus. Dshlb nhln di mchnischn Thrmosvnil nur in rliv Einsllskl für dn Sollwr. Ds glich roblm nsh br uch bi Sörgrößn und dor läss s sich nur mi dr I- Funkion bhrrschn. Wnn mn lso Übrhizungn in Räumn, di zilich vriirnd innr Wärmqulln hbn (z. B. unrschidlich rsonnblgung) vrmidn will, dnn is s sinnvoll Rummprurrglung mi I-Vrhln inzuszn. Im zilichn Durchschni wird dnn dr durch dn Sollwr vorggbn Wr inghln. Ds folgnd Bild zig dn Einschwingvorgng, wnn in I-Rglr vrwnd wird und di bidn Anil ddiiv zusmmnwirkn: C w (w-) 6 C y gsm R.(w-) + R / N (w-)d y I -End y I y y gh uf 0 zurück y I -Anfng Disr Wr is dr Anfngswr 0 und lg übr di sionär Bilnz dn Bribspunk fs

46 Skrip SuRI 46 Wnn mn ds lz Bild brch, dnn sih mn, dss m Anfng dr roporionlnil dr Sllgröß y p inn Sprung usführ; disr nsprich dr sprungförmign Sollwrvrändrung. Dr -Anil gh nschlißnd widr uf 0 zurück nsprchnd dr Glichung y.(w ), nämlich dnn, wnn durch dn I-Anil dr Ausglich (w ) 0 nhzu rrich wordn is. Folgrung für dn I-Rglr: -Anil I-Anil Dr -Anil hilf nur vorübrghnd mi und mch dn Vorgng schnllr. Dr I-Anil mch di ignlich Arbi. Dmi is gmin: Er sorg dfür, dss di Enrgibilnz rfüll wird. Wnn lso für C Rummprur.5 kw Wärmlisung bnöig wrdn und disr Wr bi 75 % Vnilsllung rrich wrdn, dnn fähr dr I-Anil (bi richigr Absimmung) so lng, bis disr Wr vorlig. Wnn dnn bi inr Sörung (z. B. rsonn brn dn Rum) zusäzlich Wärmlisung ingbrch wird, dnn rbin bid Anil widr zusmmn und dr I-Anil sorg dfür, dss di Tmprur m End diss nun Rglvorgngs widr bi C lig. Ds bdu, wnn di innr Wärmqull kw (0 rsonn) bräg, dnn wird di Wärmlisung uf 0.5 kw zurückgfhrn. Dmi wird di ingbrch Wärm voll für di Bhizung gnuz und s ri kin Übrhizung uf. (w-) C w y I -Anfng Disr Wr is dr Anfngswr 0 und lg übr di sionär Bilnz dn Bribspunk fs y gh uf 0 zurück y y I y I -End y gsm R.(w-) + R / N (w-)d

47 Skrip SuRI Unsig Rglr 8.. Bispil: Zwipunkrglr ohn Schldiffrnz Als inführnds Bispil soll in Hizkssl brch wrdn. Dr Brnnr knn nur in- odr usgschl wrdn. Dmi nsh ds Zwipunkvrhln; dr Sollwr is bispilswis 60 C. Wnn di Tmprur übr 60 C lig, schl dr Brnnr in,, fäll si drunr, schl r us. Durch Vrbruchr ssl Furung di Träghi, gmin is dr Vrzugsffk, rgir di Tmprur bim Ausschln nich sofor, sondrn läuf in Sück noch hoch, bvor si widr umkhr. Anschulich is ds druf zurückzuführn, dss in dn Wärmuschrn durch di vorhrghnd Bfurung noch Wärm gspichr is, di uf dr Wssrsi zunächs noch wirksm wird. Es rgib sich lso in Vorgng, dr us rglmäßigm Ein- und Ausschln bsh. Dbi soll di Bschribung widr so ufgbu wrdn, dss mn für dn ssl in Rglsrck höhrr Ordnung vorussz, wobi di modllmäßig Approimion durch di srill ombinion us Tozi- und T-Vrhln drgsll wird. Für di Anschulichki knn mn sich vorslln, dss di Tozi durch di Wärmlivorgäng bding is und di Zikonsn für ds T-Vrhln us dr hrmischn pziä ds Wssrinhls und dr Eisnmssn ds Wärmuschrs nsh. Dr gsm Rglkris wird dnn durch nchfolgndn Signlflusspln bschribn: y Tmprur Furung in / us Sörgrößn z z... z. B. Wärmbnhm Srck Sllgröß y y in - us w- + w Rglbwichung

48 Skrip SuRI Zwipunkrglr Zivrluf dr Rglgröß Aufhizkurv dfinir M. Tmprur und X hs WB m W σ Z in in in Dr Brnnr sr. Mn bwg sich uf dr Aufhizkurv nch obn. Wnn dr Sollwr rrich is, schl dr Brnnr us. Di Tmprur sig ufgrund ds Vrzugs, dr durch ds Toziglid bschribn wird, wir n. Nch Abluf dr Tozi khr sich di Richung dr Tmprurbwgung um und mn bwg sich uf dr Abkühlkurv ds ssls zu nidrigrn Tmprurn hin. Wird dr Sollwr rrich, schl dr Brnnr widr in, doch di Tmprur fäll für di Dur dr Tozi wir b. Dnn widrhol sich dr gnz Vorgng. 0 X hs w m Grundwr, von dm dr Aufhizvorgng us sr. Bi inm Hizkssl uf inm rüfsnd knn mn Umgbungsmprur nnhmn. Rglbrich: Wnn dr ssl ls Wärmbnhm nschulich in bsimm Wärmuschrfläch h (rüfsnd, Hizkris mi Hizkörprn), dnn wird mi zunhmndr Tmprur di Lisung nsign, bis bi durchlufndm ssl in Mimlmprur rrich wird. Drn Diffrnz zum Wr 0 is dr Rglbrich. Sollwr Achung: Hir vrwnd mn nich dn Absoluwr, sondrn di Diffrnz zum Wr 0. Also wnn mn bi 50 C fähr, h mn inn Wr von 30 C (für 0 0 C) zu nhmn. zilich gmilr Wr dr Rglgröß

49 Skrip SuRI 49 WB Z m W ; blibnd Rglbwichung Wnn sich bim Aufhizn und bim Abkühln unrschidlich Sigungn rgbn, flln Sollwr und zilichr Milwr nich zusmmn. Dmi rgib sich (im zilichn Mil) in blibnd Rglbwichung. Zyklusdur: riodndur ds Vorgngs. Dis knn zwischn zwi Einschlflnkn gmssn wrdn odr zwischn dn Minim und Mim. Mn knn noch di rliv Einschldur dfinirn (Tsvrhälnis in dr Elkrochnik): f f in/ Z 0 f Mi disr Größ bsimm mn di rliv ssllisung (unr Vrnchlässigung ds Wirkungsgrds). Bispil: f 0.5 rliv ssllisung bräg 50 % Wsnlich für ds Vrsändnis is folgnds: Wnn mn dn Sollwr übr dn gnzn Rglbrich vrschib, dnn ändr sich di rliv Einschldur f zwischn 0 und und di zilich gmil ssllisung zwischn 0 und 00 %. Dswgn bnuz mn di Größ f uch zur Chrkrisirung ds Arbispunks. Bispil: Hizkssl Grundwr 0 0 C; miml rrichbr Tmprur 80 C Dr Rglbrich is dmi 60 C. In dr folgndn Tbll sind möglich Bribspunk ufglis: Sollwr bsolu Sollwr rliv rliv rliv zu 0 w Einschldur f ssllisung 0 C 0 C 0 0 % 40 C 0 C % 60 C 40 C % 80 C 60 C 00 %

50 Skrip SuRI Zwipunkrglr mi Schldiffrnz y in T Ds Vrhln is ähnlich dm Zwipunkrglr ohn Schldiffrnz. Dr Sollwr lig in dr Mi dr bidn Schlpunk. us X SD X d _ d + w Rglr Schldiffrnz X SD Di Eignschfn ds Zwipunkrglrs lssn sich mi dn nnwrn dr Rglsrck und dr Schldiffrnz brchnn Zivrluf dr Rglgröß: SD w Obrr Schlpunk (OS) Unrr Schlpunk (US) y SD Schldiffrnz Ein Ein w Sollwr Tozi Aus

51 Skrip SuRI 5 Dr Einschlpunk hiß uch unrr Schlpunk, dhr di Bzichnung US! Dr Ausschlpunk hiß uch obrr Schlpunk, dhr di Bzichnung OS! Dr Sollwr lig immr in dr Mi dr bidn Schlpunk. Dr Absnd dr Schlpunk hiß SD und wird ls Schldiffrnz (uch Hysrs) dfinir. Di Umrchnung uf di Schlpunk rfolg dnn mi dr nchshndn Bzihung: US w - SD / und OS w + SD / und umgkhr: w (US + OS)/ und SD OS US Durch Ausinndrzihn dr Schlpunk (Vrgrößrn) dr Schldiffrnz knn mn di Schlzyklusdur vrgrößrn. Ds is in Zil bi Hizkssln wgn dr Abnuzung ds Brnnrs und dr Vrmindrung von Brnnrsrs (rhöh Emissionn). Dnn vrgrößr sich llrdings uch di Schwnkungsbri σ. Es wird lso dnn bi Hizkssln in ompromiss gsuch Vrhln ds Rglkriss idlisir / rl Di modllmäßig Bschribung ds Hizkssls is idlisir. D in Rglsrck höhrr Ordnung vorlig, bkomm mn bi inr Mssung in dn Umkhrpunkn dr Tmprur kinn Spiz, sondrn in rundn Vrluf (Bild): Vrhln dr Rglsrck Vrhln ds Rglkriss rl w idlisir Mn knn zur Modllirung ds Vrhlns dnn finr Modll vrwndn, di di Schwingungskurv dr Rglgröß noch gnur widrgbn. Für di grob Rchnung gnüg llrdings di Bschribung mir dm Tozi-T-Modll.

52 Skrip SuRI 5 Blibnd Rglbwichung und Schlzyklusdur bi unrschidlichn Bribspunkn: Durch Vrändrung dr urvnform rgib sich im Rglbrich bi unrschidlichn Arbispunkn in Vrhln, dss mn ddurch chrkrisirn knn, dss di Sigungn für ds Aufhizn und Abkühln im llgminn nich glich sind. Bfind mn sich im Brich hohr Wärmlisungn, is di Sigung (bsolu)bim Aufhizn klinr ls bim Abkühln (Bild; urv obn). Fähr mn mi 50 % Lisung, sind di Sigungn glich und di urv is symmrisch (Bild; urv Mi). Disr Fll wird uch zur Brchnung dr Eignschfn ds Rglkriss vrwnd und dn misn Übrlgungn zugrund glg. Rgldiffrnz: X WB X m - w < 0 für w > 0 für w > 0 für w < X hs X hs X hs Aufhizn w > X hs SD w w X hs w X hs w < X hs w Abkühln Mn knn dulich shn, dss nur in dr Mi bi f 0.5 dr zilich Milwr dr Rglgröß mi dm sollwr zusmmnfäll. Ansonsn rgib sich in blibnd Rglbwichung, Wil di urv im unrn Brich f < 0.5 übr dm Sollwr häng und im obrn Brich f > 0.5 drunr.

53 Skrip SuRI 53 Di Auswirkung dr nnwr dr Rglsrck Rglbrich X hs, Ausglichszi und Tozi ( Vrzugszi) uf dn Tmprurvrluf soll bsimm wrdn. Dzu folgnd Grundid: Mn gh us von dr Aufhizkurv und dr Abkühlkurv und bsimm drus di Sigungn, indm mn bnuz, dss mn bi inm Rglvorgng n inm bsimmn Arbispunk immr uf dr Aufhizkurv hoch und uf dr Abkühlkurv zurück fähr. Aus disn Sigungn brchn mn di Größn, di mn hbn will und brücksichig zusäzlich ds Übrschwingn, ds durch di Tozi vrursch wird. Aufhiz und Abkühlkurvn ohn Tozi: ( ) X hs ( p( / )) + 0 X hs m Arbispunk Aufhizkurv Abkühlkurv 0 ( ) X hs p( / )) + 0 Ausglichszi 0 Tmprur ohn Hizung (30 C) Bzugswr m Milwr dr Tmprur Gmäß dr Skizz bfind sich dr Rglkris in inm durch dn zilich gmiln Tmprurwr m dfinirn Arbispunk. Disr Arbispunk is ingzichn in di Aufhizund Abkühlkurvn dr Tmprur bim Brib ohn Rglung, wobi di Vrzugszi us Übrsichsgründn nich mi drgsll wurd. Dr Arbispunk wird chrkrisir durch di bris ingführ Größ f (0 < f < ), wobi nsprchnd dr Zichnung und mi dr Dfiniion ds Arbispunks gil: m 0 X hs * f Di Größ f bschrib lso dn Arbispunk ls Bruchil ds gsmn Rglbrichs X hs. Dm Arbispunk lssn sich nun uf dr Aufhiz- und Abkühlkurv di bidn Zipunk und zuordnn. Dis rgib sich us dr Bdingung: () 0 m 0 f * X hs - * ln (-f) - * ln (f) zu: und

54 Skrip SuRI 54 (Einszn dr Bdingung in di Glichung für di Aufhiz- und Abkühlkurv, sih Bild) Di Sigungn dr Aufhiz- und Abkühlkurv zu disn Zipunkn rgbn sich durch Abliung dr Glichungn zu: Aufhizn: Abkühln: d/d ( ) X hs / * p(- / ) (X hs / ) * (-f) d/d ( ) -X hs / * p(- / ) -(X hs / ) * f 8..6 Bispil: Brchnung dr Schlzyklusdur für dn symmrischn Fll: Zyklus W X hs f 0,5 X hs Sigung: * * X hs Aufhizn: & ( ) ( f ) Abkühln: X & ( ) hs f X hs & ( ) 0,5 SD X hs SD 0,5 X hs Schlzyklusdur: Z 4 + Zikonsn T SD Z 4 ( + ) X hs

55 Skrip SuRI Brchnungsformln ds Zwipunkrglrs mi Schldiffrnz Ausgngsgrößn Srck X hs s * Y h Tozi Ausglichszi Rglr SD w 0 Schldiffrnz Sollwr Grundwr Brchnung Rglbwichung: WB X hs w Brchnung: Schwnkungsbri: σ SD + X hs Schlzyklusdur: Z SD 4 + X hs SD Dis Formln gln für dn sym. Fll (f 0.5): w X hs / Di Zyklusdur läss sich uch im llgminn Fll brchnn. Dnn gil di folgnd Forml: z w X hs SD + ( ) X hs SD SD SD X hs X hs w X hs Gil für llgminn Fll: w X hs

56 Skrip SuRI 56 Bispil zur Brchnung ds Zwipunkrglrs: ESSELTEMERATUR Ein Brnnwrkssl soll in Fußbodnhizung vrsorgn. Ensprchnd nidrig wird di Wssrmprur gfhrn. Di folgndn Wr sind ggbn: SD 5 X hs w X 5 hs min 0min 0 0 C Sollwr 3.5 C (bsolu), lso w.5 X hs Blibnd Rglbwichung: WB w 0 ufgrund ds gwähln Sollwrs Schwnkungsbri: σ SD + X hs 4,5k +,5 7 SD Schlzyklusdur: ( +,5) 4min Z X hs SD Aufgb: ) Wlch miniml Schwnkungsbri is rrichbr? ) Wlch Zyklusdur rgib sich dnn? 3) Zichn Si dn Rglvorgng und di Sllgröß in in Digrmm in! 4) Erslln Si in Digrmm, in dm di Schwnkungsbri übr dr Zyklusdur ufgrgn wird!