Statistik Klausur Wintersemester 2013/2014 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!

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1 Statistik 1 A 2. Klausur Wintersemester 2013/2014 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Art der Anmeldung: STiNE Zulassung unter Vorbehalt Sonstiges Mit Ihrer nachfolgenden Unterschrift bestätigen Sie die Klausur auf Vollständigkeit überprüft zu haben. Diese Klausur besteht aus 7 Aufgaben und aus 11 Seiten. Unterschrift der/des Studierenden: Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 100

2 Lösungstabelle für Aufgabe 1 Hinweise für die Aufgaben 1.1 bis 1.8: Es ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Zur Punktevergabe: (a) Wird ausschließlich die korrekte Antwort angekreuzt, so erhält man die volle Punktezahl. (b) In allen anderen Fällen außer der in (a) beschriebenen Situation erhält man 0 Punkte. Allgemeiner Hinweis: Falls Sie Ihre bereits gewählte Antwort revidieren möchten, so kreuzen Sie alle Felder der entsprechenden Zeile an und schreiben die korrekte Antwort neben die entsprechende Tabellenzeile. Aufgabe (a) (b) (c) (d)

3 Aufgabe 1 (24 Punkte) Hinweise: In den Aufgaben 1.1 bis 1.8 ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Markieren Sie die korrekte Antwort durch ein Kreuz in der Lösungstabelle für Aufgabe 1 auf Seite 2. Aufgabe 1.1 (3 Punkte) Gegeben seien zwei metrisch skalierte Merkmale X und Y mit dazugehörigen Merkmalsausprägungen x i und y i (i = 1,..., n). Welche der nachfolgenden Aussagen die Kovarianz bzw. die einzelnen Varianzen betreffend ist korrekt? (a) Es gilt immer: s x,y > s 2 x und s x,y > s 2 y (b) Es gilt immer: s x,y < s x und s x,y < s y (c) Es gilt immer: s x,y s x s y (d) Keine der obigen Aussagen ist korrekt. Aufgabe 1.2 (3 Punkte) Welchen Grad k N muss ein angepasstes Polynom besitzen, damit bei jeder möglichen Zeitreihe der Größe n = 123 das Bestimmtheitsmaß R 2 = 1 resultiert? (a) Grad k = 122. (b) Grad k = 123. (c) Grad k = 124. Aufgabe 1.3 (3 Punkte) Gegeben sei die Funktion g mit: g : R [0, 1], x für x [0, 1] x 1 für x (1, 1.5] 0 sonst Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. (b) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Dichtefunktion. (c) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. Dateipfad: mc/aufgabe1.tex -3-

4 Aufgabe 1.4 (3 Punkte) Welche der nachfolgenden Aussagen, ein Quantil z p einer beliebigen Normalverteilung betreffend, ist korrekt? (a) z p kann nur Werte zwischen Null und Eins annehmen, d.h. 0 z p 1. (b) z p kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen, d.h. z p R. (c) Für eine beliebige Normalverteilung existieren nicht alle p-quantile (mit 0 < p < 1). Aufgabe 1.5 (3 Punkte) Welche der nachfolgenden Aussagen, gleitende Durchschnitte betreffend, ist korrekt? (a) Je größer der Ordnungsparameter gewählt wird, desto stärker ist die glättende Wirkung. (b) Je größer der Ordnungsparameter gewählt wird, desto geringer ist die glättende Wirkung. (c) Je größer der Ordnungsparameter gewählt wird, desto mehr geglättete Werte können berechnet werden. (d) Gleitende Durchschnitte besitzen keinen Ordnungsparameter. Aufgabe 1.6 (3 Punkte) Gegeben sei die Funktion g mit: g : R R, x 1 e x Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. (b) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Dichtefunktion. (c) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. Dateipfad: mc/aufgabe1.tex -4-

5 Aufgabe 1.7 (3 Punkte) Betrachtet werden Preis- und Mengenindizes von Laspeyres und Paasche. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Es gilt P Pa 0,t = P Las t,0. (b) Es gilt P Pa 0,t = 1 Pt,0 Las (c) Es gilt Q Pa 0,t = P Las t,0.. Aufgabe 1.8 (3 Punkte) Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Gilt E(X) = V ar(x), so kann X binomial-verteilt sein. (b) Gilt E(X) = 0.5, so kann X geometrisch-verteilt sein. (c) Gilt E(X) = V ar(x), so kann X poisson-verteilt sein. Dateipfad: mc/aufgabe1.tex -5-

6 Aufgabe 2 (9 Punkte) Gegeben sei nachfolgender Datensatz: i x i (a) Geben sie die Werte der empirischen Verteilungsfunktion ˆF an den Stellen x i (i = 1,..., 8) an. (b) Geben Sie das 25%-Quantil, sowie das 60%-Quantil des Datensatzes an. (c) Ist die empirische Verteilungsfunktion ˆF an der Stelle x = 5.5 stetig? Begründen Sie Ihre Antwort kurz (max. drei Sätze). Lösung von Aufgabe 2 (a) ˆF (1) = 1 8, ˆF (3) = 1 4, ˆF (5) = 1 2, ˆF (6) = 5 8, ˆF (7) = 3 4, ˆF (8) = 7 8, ˆF (9) = 1. (b) z 0.25 = 3, z 0.6 = 6. (c) ja. Dateipfad: rechenaufg/aufgabe1.tex -6-

7 Aufgabe 3 (15 Punkte) Gegeben sei nachfolgender, in Klassen eingeteilter, Datensatz (x k bezeichnet die Klassenobergrenze der k-ten Klasse): k x k n k x k s 2 k Weiterhin sei bekannt, dass gilt: x = 31.6 und s 2 = (a) Berechnen Sie den fehlenden Wert x 5. (b) Berechnen Sie den fehlenden Wert s 2 4. Lösung von Aufgabe 3 (a) Es ist: Daraus folgt: x = 1 K n k x k n n x = K n x = n k x k 4 n k x k + n 5 x 5 n x 4 n k x k x 5 = = n = 62 (b) Es ist: Daraus folgt: s 2 = 1 K n k s 2 k + 1 n n K n k ( x k x) 2 ( n s 2 1 ) 5 5 n k ( x k x) 2 = n k s 2 k n ( ) n s n s 2 n k ( x k x) 2 n k s 2 k k {1,2,3,5} 4 = n 4 = 50 ( ) = Dateipfad: rechenaufg/aufgabe2.tex -7-

8 Aufgabe 4 (12 Punkte) Für einen Datensatz mit n = 100 Werten sei folgendes bekannt: 100 i=1 100 i=1 x i = 40 x i y i = 540 s 2 x = i=1 100 i=1 y i = 90 y 2 i = 750 (a) Berechnen Sie den Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient r x,y. (b) Berechnen Sie die lineare Regressionsgerade, bei der x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable ist. (c) Berechnen Sie die lineare Regressionsgerade, bei der y die unabhängige Variable und x die abhängige Variable ist. Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 4 Man berechnet: (a) r x,y = sx,y s x s y = (b) ŷ = x (c) ˆx = y x = 0.4 ȳ = 0.9 s 2 y = 6.69 s x,y = 5.04 Dateipfad: rechenaufg/aufgabe3.tex -8-

9 Aufgabe 5 (15 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Wahrscheinlichkeitsfunktion f X einer diskreten Zufallsvariablen X: 0.5 x+4 für x { 3, 2, 1, 0} f X : R [0, 1], x f X (x) := für x = 1 0 sonst (a) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion (inkl. Achsenbeschriftungen). (b) Geben Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X an. (c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X. (d) Berechnen Sie die Varianz V ar(x) der Zufallsvariablen X. (e) Berechnen Sie P ( 4 X 2). Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 5 (b) 0 für x < für 3 x < für 2 x < 1 F X (x) = für 1 x < für 0 x < 1 1 für x 1 (c) E(X) = = (d) V ar(x) = ( 3) ( 2) ( 1) ( ) 2 = (e) P ( 4 X 2) = F X ( 2) = 0.75 Dateipfad: rechenaufg/aufgabe4.tex -9-

10 Aufgabe 6 (12 Punkte) Gegeben sei eine hypergeometrisch-verteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n = 6, M = 4 und N = 15. (a) Geben Sie die Werte x R an, welche mit echt positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden können. (b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(x) der Zufallsvariablen X. (c) Berechnen Sie P (X > 4), P (1.5 < X < 5.1) und F X (0.9). Hinweis: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 6 (a) {x min,..., x max } mit x min = max{0, n (N M)} = max{0, 6 (15 4)} = max{0, 5} = 0 und x max = min{n, M} = min{6, 4} = 4. Somit können Werte aus der Menge {0, 1, 2, 3, 4} mit echt positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden. (b) E(X) = n M = 6 4 = 1.6, V ar(x) = n M N 15 N (c) ( 1 M N ) N n N 1 = ( ) = P (X > 4) = 0 P (1.5 < X < 5.1) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) ) ) ) = ( )( ( )( ( )( ( ) 15 + ( ) 15 + ( ) = ( )( ) F X (0.9) = P (X = 0) = ) = ( 15 6 Dateipfad: rechenaufg/aufgabe5.tex -10-

11 Aufgabe 7 (13 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Dichtefunktion f X der Zufallsvariablen X: 2e 2(x+2) für x 2 f X (x) = 0 sonst Geben Sie die momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen X an. Lösung von Aufgabe 7 Für t < 2 erhält man: M X (t) = = 2 2 [ 2e tx e 2(x+2) dx = 2 1 t 2 ex(t 2) 4 ] 2 = 2 2 e x(t 2) 4 dx ( 0 1 ) t 2 e 2t = 2 t 2 e 2t Dateipfad: rechenaufg/aufgabe6.tex -11-