Statistik I. 2. Klausur Wintersemester 2011/2012 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!

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1 Statistik I A 2. Klausur Wintersemester 2011/2012 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Art der Anmeldung: STiNE Zulassung unter Vorbehalt Sonstiges Unterschrift der/des Studierenden: Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 100

2 Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 Hinweise für die Aufgaben 1.1 bis 1.10: Es ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Zur Punktevergabe: (a) Wird ausschließlich die korrekte Antwort angekreuzt, so erhält man die volle Punktezahl. (b) In allen Fällen außer der in (a) beschriebenen Situation erhält man 0 Punkte. Hinweise für die Aufgaben 2.1 bis 2.5: Es ist mindestens eine Antwortmöglichkeit korrekt. Zur Punktevergabe: Werden ausschließlich alle korrekten Antwortmöglichkeiten angekreuzt so erhält man die volle Punktezahl. Werden unter anderem korrekte Antwortmöglichkeiten angekreuzt, jedoch nicht ausschließlich alle korrekten Antwortmöglichkeiten, so erhält man 1 Punkt. Allgemeiner Hinweis: Falls Sie Ihre bereits gewählte Antwort revidieren möchten, so kreuzen Sie alle Felder der entsprechenden Zeile an und schreiben die korrekte(n) Antwort(en) neben die entsprechende Tabellenzeile. Aufgabe (a) (b) (c) (d)

3 Aufgabe 1 (30 Punkte) Hinweise: In den Aufgaben 1.1 bis 1.10 ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Markieren Sie die korrekte Antwort durch ein Kreuz in der Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 auf Seite 2. Aufgabe 1.1 (3 Punkte) Gegeben sei folgende Funktion: g : R R e 5 5 x für x = 0, 1, 2, 3,... x! x 0 sonst (a) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. (b) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Dichtefunktion. (c) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. (d) Die Funktion g erfüllt keine der bisher genannten Eigenschaften. Aufgabe 1.2 (3 Punkte) Betrachtet wird der χ 2 -Koeffizient zur Beschreibung bivariater Datensätze. Welche der nachfolgenden Aussagen ist zutreffend. (a) Der χ 2 -Koeffizient nimmt nur Werte im Intervall [0, 1] an. (b) Der χ 2 -Koeffizient kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen. (c) Der χ 2 -Koeffizient ist nicht negativ. (d) Der χ 2 -Koeffizient nimmt nur Werte im Intervall [ 1, 1] an. Aufgabe 1.3 (3 Punkte) Für eine Zufallsvariable X gilt E(X) V ar(x). Welche der nachfolgenden Aussagen ist zutreffend? (a) Die Zufallsvariable X kann nicht Poisson-verteilt sein. (b) Die Zufallsvariable X kann nicht normalverteilt sein. (c) Die Zufallsvariable X kann nicht binomialverteilt sein. (d) Die Zufallsvariable X kann nicht χ 2 -verteilt sein. -3-

4 Aufgabe 1.4 (3 Punkte) Es sei ein Histogramm gegeben, bei dem lediglich die Klassengrenzen auf der Abszisse (x-achse) abgelesen werden können. Mit welcher der nachfolgend genannten zusätzlichen Informationen kann das arithmetische Mittel des zugehörigen Datensatzes exakt bestimmt werden. (a) Arithmetisches Mittel und relative Häufigkeit jeder Klasse. (b) Klassenmitte und absolute Häufigkeit jeder Klasse. (c) Arithmetisches Mittel und Varianz jeder Klasse. (d) Arithmetisches Mittel und Klassenbreite jeder Klasse. Aufgabe 1.5 (3 Punkte) Gegeben sei folgende Funktion: g : R R 1 für x = 22 x 0 sonst (a) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. (b) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Dichtefunktion. (c) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. (d) Die Funktion g erfüllt keine der bisher genannten Eigenschaften. Aufgabe 1.6 (3 Punkte) Gegeben sei folgende Funktion: g : R R e x für x 0 x 0 sonst (a) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. (b) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Dichtefunktion. (c) Die Funktion g erfüllt die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. (d) Die Funktion g erfüllt keine der bisher genannten Eigenschaften. -4-

5 Aufgabe 1.7 (3 Punkte) Die Zufallsvariable X sei stetig. Welche der nachfolgenden Aussagen ist zutreffend? (a) Die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X ist stetig. (b) Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X ist stetig. (c) Die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X ist monoton steigend. (d) Für die Dichtefunktion f X der Zufallsvariablen X gilt: f X (x) 1 für alle x R. Aufgabe 1.8 (3 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Zeitreihe. t y t Welche Größe lässt sich damit nicht berechnen? (a) Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson zwischen t und y t. (b) Die Kovarianz zwischen t und y t. (c) Der Modus der Werte y t (t = 1,..., 5). (d) Der Kontingenzkoeffizient K. Aufgabe 1.9 (3 Punkte) Betrachtet wird ein nominalskaliertes Merkmal. Welche der nachfolgenden Aussagen ist zutreffend. (a) Die Differenz zweier Merkmalsausprägungen kann sinnvoll interpretiert werden. (b) Der Quotient zweier Merkmalsausprägungen kann sinnvoll interpretiert werden. (c) Bei zwei Merkmalsausprägungen kann lediglich Gleichheit bzw. Ungleichheit festgestellt werden. (d) Bei zwei Merkmalsausprägungen kann keine Aussage über diese getroffen werden. -5-

6 Aufgabe 1.10 (3 Punkte) Für einen unbekannten Datensatz sei die empirische Verteilungsfunktion gegeben. Welche der nachfolgenden Aussagen ist zutreffend? (a) Aus der Verteilungsfunktion lässt sich die Gesamtanzahl der Merkmalsausprägungen ermitteln. (b) Aus der Verteilungsfunktion kann man die relativen Häufigkeiten ermitteln. (c) Aus der Verteilungsfunktion kann man die absoluten Häufigkeiten ermitteln. (d) Keine der bisher genannten Aussagen ist zutreffend. -6-

7 Aufgabe 2 (20 Punkte) Hinweise: In den Aufgaben 2.1 bis 2.5 ist mindestens eine Antwortmöglichkeit korrekt. Markieren Sie die korrekte(n) Antwort(en) durch ein Kreuz bzw. mehrere Kreuze in der Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 auf Seite 2. Aufgabe 2.1 (4 Punkte) Es wird eine beliebig normalverteilte Zufallsvariable X betrachtet, also X N (µ, σ 2 ). Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen X sind größer als 0. (b) Für die Verteilungsfunktion F X gilt: F X (µ) = 0.5. (c) Das 50%-Quantil und der Erwartungswert sind identisch. (d) Dichte- und Verteilungsfunktion sind monoton steigend. Aufgabe 2.2 (4 Punkte) Für welchen der nachfolgenden Datensätze ist das arithmetische Mittel echt größer als der Median. (a) i x i (b) (c) (d) i x i i x i i x i Aufgabe 2.3 (4 Punkte) Unter welchen der nachfolgenden Voraussetzungen lässt sich der Variationskoeffizient nicht berechnen? (a) Die Varianz der Merkmalsausprägungen ist 0. (b) Das arithmetische Mittel der Merkmalsausprägungen ist 0. (c) Der Datensatz ist linkssteil. (d) Der Datensatz hat folgende Gestalt: i x i

8 Aufgabe 2.4 (4 Punkte) Sei Ω := {0, 2, 4, 5}. Welche der nachfolgenden Mengen erfüllen alle Eigenschaften einer σ-algebra? (a) A := {{0, 2}, {4, 5}} (b) A := {, Ω, {0}, {2}, {4}, {5}} (c) A := {, Ω, {0}, {2, 4, 5}} (d) A := {, Ω, {0, 4}, {2, 5}} Aufgabe 2.5 (4 Punkte) Betrachtet werden nicht-zentrierte ( m k ) und zentrierte ( M k ) empirische Momente mit beliebigem Parameter k N. Welche der nachfolgenden Aussagen ist zutreffend? (a) M 2 und M 4 haben immer dasselbe Vorzeichen. (b) m 1 und M 2 haben immer dasselbe Vorzeichen. (c) m 1 M 2. (d) Für einen gegebenen Datensatz können entweder alle nicht-zentrierten oder alle zentrierten empirischen Momente berechnet werden. -8-

9 Aufgabe 3 (3 Punkte) Für k {1, 2, 4} berechne man für nachfolgend gegebenen Datensatz jeweils das Hölder- Mittel (Ergebnisse auf vier Nachkommastellen runden). i x i Lösung von Aufgabe 3 x Höl 1 = 0, x Höl 2 = , x Höl 4 =

10 Aufgabe 4 (5 Punkte) Ein Datensatz mit n = 100 Werten wurde in fünf Klassen eingeteilt. Dabei ergab sich nachfolgende Tabelle: Klasse k h k x k s 2 k Man berechne hieraus das arithmetische Mittel und die Varianz für den gesamten Datensatz (Ergebnisse auf vier Nachkommastellen runden). Lösung von Aufgabe 4 x = 4.6, s 2 =

11 Aufgabe 5 (6 Punkte) In Entenhausen werden n = 6 Einwohner bzgl. ihrem Einkommen befragt. Dabei ergab sich folgende Tabelle: Name Vermögen (Geldeinheiten) Donald Duck 0 Gustav Gans 500 Dussel Duck 50 Tick 100 Trick 150 Track 200 (a) Man berechne die Konzentrationsrate für k = 1,..., 6. (b) Man berechne den Wert des Herfindahl-Indexes. Lösung von Aufgabe 5 (a) (b) H = j CR j

12 Aufgabe 6 (9 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Kontingenztabelle mit absoluten Häufigkeiten. n i,j y 1 y 2 y 3 x x (a) Man gebe für diesen Datensatz den Wertebereich des χ 2 -Koeffizienten an. (b) Man berechne den χ 2 -Koeffizienten (Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen runden). (c) Man berechne den sowohl Kontingenzkoeffizienten als auch den korrigierten Kontingenzkoeffizienten (Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen runden). Lösung von Aufgabe 6 (a) 0 χ 2 30 (b) χ 2 = 5.32 (c) K = 0.39, K =

13 Aufgabe 7 (9 Punkte) Geht eine Person mit einem Messer durch einen Metalldetektor am Flughafen, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser einen Warnton ausgibt Die Wahrscheinlichkeit, dass fälschlicherweise ein Warnton ausgegeben wird beträgt Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem Messer durch einen Flughafenmetalldetektor geht (absichtlich oder unabsichtlich) beträgt Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person ein Messer trägt, wenn der Metalldetektor einen Warnton ausgibt? Definieren Sie hierzu geeignete Ereignisse und geben Sie damit die gegebenen Wahrscheinlichkeiten wieder. Lösung von Aufgabe

14 Aufgabe 8 (12 Punkte) Eine diskrete Zufallsvariable habe die Wahrscheinlichkeitsfunktion x für x {2, 4, 6, 8} f X (x) :=. 0 sonst (a) Man ermittle die Verteilungsfunktion. (b) Man bestimme den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen. (c) Man ermittle das 40%-Quantil sowie das 80%-Quantil. Lösung von Aufgabe 8 (a) 0 für x < für 2 x < 4 F X (x) = 0.7 für 4 x < für 6 x < 8 1 für x 8 (b) E(X) = 4, V ar(x) = 4 (c) z 0.4 = 2, z 0.8 = 6-14-

15 Aufgabe 9 (6 Punkte) Die Zufallsvariable X ist χ 2 -verteilt mit 13 Freiheitsgraden, die Zufallsvariable Y ist t-verteilt mit 10 Freiheitsgraden und die Zufallsvariable Z ist F -verteilt mit m = 9 Zählerund n = 20 Nennerfreiheitsgraden. Man bestimme nachfolgende Wahrscheinlichkeiten mittels Tabellensammlung (ggf. näherungsweise). (a) P (X < 7.042) (b) P (Y > 1.812) (c) P (Z < ) Lösung von Aufgabe 9 (a) P (X < 7.042) = 0.1 (b) P (Y > 1.812) = 0.05 (c) P (Z < ) =