Quantitative Methoden (CC 303)

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1 CHAIR OF SERVICE OPERATIONS MANAGEMENT Dr. Esther Mohr Bachelor Quantitative Methoden (CC 303) Bachelor-Prüfung HWS 2014/ Dezember 2014 Persönliche Daten: Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Punkte: A1:... / 8 Bonuspunkte: A2:... / 8... / 2 A3:... / 19 A4:... / 10 :... / 45 Note:... Hinweis zur Bearbeitungszeit der Klausur: Die Bearbeitungsdauer der Klausur beträgt 45 Minuten. Insgesamt sind maximal 45 Punkte zu erreichen. Die erreichbare Punktzahl ist in jeder Aufgabe angegeben und soll als Anhaltspunkt für die Bearbeitungszeit dienen. Die Klausur umfasst 4 Aufgaben, welche alle zu bearbeiten sind. Das vorliegende Klausurexemplar besteht aus 9 nummerierten Seiten (inkl. Deckblatt) und ist vollständig (und zusammengeheftet) abzugeben. Beantworten Sie die Fragen in den dafür vorgesehenen Feldern. Lösungen auf Konzeptpapier (Rückseiten) werden nicht gewertet. Beantworten Sie die Fragen knapp und deutlich. Begründen Sie Ihre Antworten. Bei Rechenaufgaben muss das Endergebnis klar ersichtlich sein. Für Rechenaufgaben ohne Angabe des Lösungsweges wird nicht die volle Punktzahl vergeben. Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel sind nur Schreibutensilien und ein nicht programmierbarer Taschenrechner zugelassen. Die Nutzung weiterer Hilfsmittel (z.b. Vorlesungs- und Übungsmaterialien, Bücher, PC oder andere elektronische Hilfsmittel) ist nicht gestattet. Verwenden Sie keine Bleistifte. Wertung der Klausur: Antworten oder Teile einer Antwort, die nicht korrigiert werden sollen, sind deutlich durchzustreichen. Diese werden mit 0 Punkten bewertet. Unterschrift des Kandidaten:... 1

2 Aufgabe 1 Grundlagen Matrixrechnung (8 Punkte) Gegeben ist die folgende Matrix: (a) Bestimmen Sie A 2 und A A = (5 Punkte) (b) Bestimmen Sie die Inverse von A. (3 Punkte) 2

3 Aufgabe 2 Weiterführende Matrixrechnung (8 Punkte) (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: Bestimmen sie a und b so, dass das LGS (a.1) keine Lösung besitzt. (a.2) genau eine Lösung besitzt. 2x 1 + ax 3 = 8 x 1 + x 2 + 2x 3 = 7 4x 2 + 2x 3 = b (a.3) unendlich viele Lösungen besitzt. Hinweis: Es müssen keine expliziten Lösungen für x 1, x 2 und x 3 angegeben werden. 3

4 (b) Gegeben ist die folgende Matrix: A = 0 c Bestimmen Sie c so, dass det(a) = 30 gilt. Bonusfrage Gastvortrag Ein Unternehmen kann durch die Anwendung von Optimierungsmethoden einen geschäftlichen Mehrwert erzielen. Nennen Sie zwei Beispiele. 4

5 Aufgabe 3 Lineare Optimierung (19 Punkte) Das Unternehmen Blumenproduktion pflanzt Rosen, Nelken und Sonnenblumen an, welche möglichst gewinnbringend verkauft werden sollen. Pro verkaufter Rose erhält das Unternehmen einen Gewinn von 2 GE, pro verkaufter Nelke 1.50 GE und pro Sonnenblume 1 GE. Die Kosten für den Anbau der Blumen belaufen sich auf 4 GE pro Rose, 2 GE pro Nelke und 1 GE pro Sonnenblume. Das Gesamtbudget des Unternehmens zum Anbau der Blumen beträgt 50 GE. Der Wasserbedarf der Rosen beträgt 9 Liter, die Nelken benötigen 3 Liter und den Sonnenblumen reicht 1 Liter aus. Der Wassertank hat eine Kapazität von 100 Litern. Hinweis: GE sind Geldeinheiten. (a) Formulieren Sie den obigen Sachverhalt als Lineares Optimierungsproblem und geben Sie die Entscheidungsvariablen an. (5 Punkte) 5

6 (b) Geben sei das folgende Lineare Optimierungsproblem: max 30x x 2 s.t. 3x 1 + 2x 2 18 x 1 4 2x 2 12 x 1, x 2 0 (b.1) Lösen Sie das Problem graphisch und geben Sie die Lösung an. (b.2) Geben Sie den zugehörigen optimalen Zielfunktionswert an. (5 Punkte) (1 Punkt) X X 1 6

7 (c) Geben Sie zum Linearen Optimierungsproblem aus Aufgabenteil (b) das Anfangstableau für den Simplex-Algorithmus an. (d) Erstellen Sie mithilfe des Simplex-Algorithmus ein nachfolgendes Tableau zum Anfangstableau aus Aufgabenteil (c). (4 Punkte) (e) Gehen Sie von Ihrer Lösung zu Aufgabenteil (d) aus. In welcher Ecke des Simplex befinden Sie sich? Begründen Sie ihre Antwort kurz. 7

8 Aufgabe 4 Lineare Algebra (10 Punkte) (a) Gegeben ist die folgende Matrix: A = Bestimmen Sie den (a.1) Rang von A. (3 Punkte) (a.2) zweiten sukzessiven Hauptminor von A. (1 Punkte) 8

9 (b) Welche Anforderung muss eine Matrix erfüllen, damit ihre Determinante bestimmt werden kann? (1 Punkt) (c) Welche Anforderung muss die Determinante einer Matrix erfüllen, damit die Matrix invertierbar ist? (1 Punkt) (d) Woran erkennt man, dass der duale Simplex-Algorithmus angewandt werden muss? (e) Wofür kann die Sensitivitätsanalyse genutzt werden? 9