Klausur zu ausgew. Themen der Mathematik MasterStudiengang

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1 Klausur zu ausgew. Themen der Mathematik MasterStudiengang WS 2016/17, Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 19 Aufgaben. Es sind maximal 173 Punkte zu erreichen. Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt. Aufgabe Punkte

2 1. Teil: Komplexe Zahlen und Geometrie Aufgabe 1: ( Punkte) (zum warm werden) Berechnen Sie: a) (x2 +1) (x i) b) 5 c) d) 2 i ( 2 ( 2 2 (1 + i) ) (1 + i) ) n Aufgabe 2: (4 Punkte) Gegeben seien komplexe Zahlen x 1 + iy 1 und x 2 + iy 2 und es gelte (für ein α R) x 1 + iy 1 = i α (x 2 + iy 2 ). Rechnen Sie nach, dass diese komplexen Zahlen, aufgefasst als Vektoren des R 2 also (x 1, y 1 ) = x 1 + iy 1 und (x 2, y 2 ) = x 2 + iy 2, senkrecht aufeinander stehen. Aufgabe 3: (6 Punkte) Sei α : [0, 1] R 2 mit t (cos(2πt), sin(2πt)) ein Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1. Zeigen Sie, dass der resultierende Geschwindigkeitsvektor α (t) jeweils senkrecht auf dem Ortsvektor α(t) steht und der Beschleunigungsvektor α (x) jeweils senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor α (x). Hinweis: Sie können die Aufgabe elementar lösen, oder aber elegant mit Hilfe der Aufgabe 2. Aufgabe 4: (6 Punkte) Berechnen Sie alle Nullstellen des folgenden (komplexen) Polynoms ( z C): y = z 3 z 2 2iz + 2i. Hinweis: Suchen Sie eine (leicht zu ndende) reelle Nullstelle x 0 R dividieren sie durch den sich daraus ergebenden Linearfaktor (x x 0 ) und nden Sie für das verbleibende komplexe Polynom zweiten Grades dann die restlichen Nullstellen. 2

3 2. Teil Reelle und komplexe Dierenzierbarkeit, Integrale Aufgabe 5: (6 Punkte) Ist die komplexe Funktion z zz 2 komplex dierenzierbar? Wie sieht die Matrix der partiellen Ableitungen aus? Aufgabe 6: (12 Punkte) i) Die komplexe Exponentialfunktion ist deniert durch exp z = exp(x + iy) = e x (cos(y) + i sin(y)) Zeigen Sie, dass die komplexe Exponentialfunktion dierenzierbar ist und dass gilt: exp (z) = exp(z). ii) Die reelle Exponentialfunktion ist bekannterweise injektiv, so dass es eine eindeutige Umkehrfunktion gibt, nämlich den Logarithmus mit exp(log(x) = x(x > 0 und log(exp(x) = x(x R). Ist die komplexe Exponentialfunktion ebenfalls injektiv? iii) Können Sie Bereiche in der komplexen Zahlenebene angeben, in denen die komplexe Exponentialfunktion injektiv ist? iv) In den Bereichen, wo die komplexe Exponentialfunktion injektiv ist, hat sie natürlich eine Umkehrfunktion, der in Analogie zur reellen Exponentialfunktion ebenfalls Logarithmus, log(z) genannt wird und die ebenfalls komplex dierenzierbar ist. Zeigen Sie, dass log (z) = 1 z. (Hinweis: Benutzen Sie die Gleichung exp(log(z)) = z und die Kettenregel (die im Komplexen ebenso gilt wie im Reellen.) Aufgabe 7: (4 Punkte) Berechnen Sie das folgende Integral (d.h. nden sie eine Stammfunktion) e x cos(x)dx. Hinweis: Sie können das Integral auf zwei verschiedene Weisen berechen: Per partieller Integration oder indem Sie eine Abkürzung durch das Komplexe machen. Im letzteren Fall berechnen Sie zunächst die komplexe Stammfunktion e x e ix (warum wohl?). 3

4 3. Teil: Lineare Algebra, Funktionenräume und Hilberträume Aufgabe 8: (6 Punkte) Wir betrachten den Vektorraum der stetigen Funktionen p : [0, 1] R auf dem Intervall [0, 1]. i) Welche Länge haben die folgenden Polynome: a) y = x b) y = x 2. ii) Normieren Sie den Vektor y = x und projizieren Sie den Vektor y = x 2 auf ihn, um danach einen Vektor zu erhalten, der orthogonal auf y = x steht. Aufgabe 9: (12 Punkte) Finden Sie Eigenwerte und Eigenvektoren in C 2 für folgende Matrizen ( ) 1 i a) i 1 ( ) i 1 b) 1 i Zusatzfrage: Welche der Matrizen ist hermitesch? Was bedeutet dies für die Eigenvektoren? (Testen Sie dies.) Aufgabe 10: (10 Punkte) Wir betrachten den Vektorraum C 2 mit den Basisvektoren e 1 >= (i, 0) und e 2 >= (0, 1) i) Berechnen Sie die Koezienten des Vektors (1 + i, 2) bzgl. dieser Basis. ii) Berechnen Sie die Koezienten des Vektors (1 + i, 2) bzgl. der Basis f 1 >= (1/ 2, 1/ 2) und f 2 >= ( i/ 2, i/ 2). iii) Berechnen Sie die allgemeine Transformationsmatrix, die die Komponenten eines Vektors ψ > bzgl. der ersten Basis in Komponenten bzgl. der zweiten Basis umrechnet. Überprüfen Sie hiermit ihr Ergebnis aus i) und ii). Aufgabe 11: (8 Punkte) Berechnen Sie die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion { 1 x 1; r(x) = 0, sonst. und skizzieren Sie diese (Sie spielt eine wichtige Rolle in der Mess- und Sensortechnik). 4

5 3. Teil: Potenzialfunktionen, Gradienten und Kurvenintegrale Aufgabe 12: (10 Punkte) Zeigen sie, dass das folgende Vektorfeld ein Potenzial besitzt und berechnen Sie dieses: F (x, y, z) = (ye xy + z, xe xy, x + 2z) Aufgabe 13: (10 Punkte) Besitzt die folgende Funktion lokale Extremwerte, wenn ja wo und welche? Aufgabe 14: (10 Punkte) f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy. Entwickeln Sie folgende Funktion in eine Taylorreihe um den Punkt ( 1, 1) in e ein Taylorpolynom bis zur zweiten Näherung: Aufgabe 15: (8 Punkte) f(x, y) = y ln(x) + xe y+2 Gegeben sei das folgende Vektorfeld im R 2 : F (x, y) = ( 2x 1 x 2 + x 2 2, 2x 1 x 2 + x 2 1). Berechnen Sie das Kurvenintegral auf dem Weg von ( 1, 1) bis (1, 1) und von da bis (1, 2). Aufgabe 16: (10 Punkte) Ist die folgende Funktion f : R 2 R dierenzierbar? x 6 + y 5 f(x, y) = x 4, (x, y) (0, 0) + y4 0 (x, y) = (0, 0) Aufgabe 17: (10 Punkte) Gegeben seien die beiden Funktionen f(x, y) = (x + y, xy) und g(x, y) = (ye x, xe y ) jeweils von R 2 nach R 2. Berechnen die das Dierenzial der Funktion f(g(x)) einmal direkt und einmal per Kettenregel. Aufgabe 18: (12 Punkte) i) Berechnen sie das komplexe Kurvenintegral ze z dz entlang eines Krei- (z i) 2 ses mit Radius 2 um den Nullpunkt. ii) Berechnen Sie das komplexe Kurvenintegral mit Radius 1 um den Nullpunkt. z z dz entlang eines Kreises 5

6 4. Teil: Bonusaufgabe Dierenzialgleichungen Aufgabe 19 : (18 Punkte) Vorbemerkung: Eine Dierenzialgleichung ist eine Gleichung, in der nicht nur eine Beziehung zwischen y und x hergestellt wird, um daraus einen funktionalen Zusammenhang y = f(x) zu gewinnen. Eine Dierenzialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Beziehung zwischen y, y und x hergestellt wird und die Lösung in einer Funktion y = f(x) besteht, so dass mit y = f (x) und y = f(x) die Gleichung erfüllt wird. i) Zeigen Sie, dass f(x) = e x x 2 2x 2 eine Lösung der folgenden Dierenzialgleichung ist: y = y + x 2. ii) Dierenzialgleichungen können auch höhere Ableitungen beinhalten. Wichtige Beispiele sind die linearen Dierenzialgleichungen, die bei der Beschreibung von Schwingungen eine groÿe Rolle spielen. Sie haben die Form: y (n) bedeutet die n-te Ableitung von y. a n (x)y (n) + a 1 (x)y (1) + a 0 (x)y = f(x). Ist f(x) konstant 0, spricht man von einer homogenen linearen Dierenzialgleichung. Zeigen Sie, dass der Raum aller Lösungsfunktionen einer solchen homogenen Dierenzialgleichung einen Vektorraum bildet. iii) Eine wichtige Rolle spielen lineare Dierenzialgleichungen mit konstanten Koef- zienten. Bei ihnen sind die Funktionen a n (x) bis a 0 (x) Konstante. Testen Sie wie ein Lösungsansatz der Form y = e λx zu einer Lösung mit bestimmtem λ führen könnte. Untersuchen Sie also, wie dieser Ansatz zu einer Gleichung zur Bestimmung der λ und damit zu Lösungen führt. Benutzen Sie diesen Ansatz um Lösungen für folgende homogene lineare Dierenzialgleichung mit konstanten Koezienten zu nden: y y 6y = 0. 6