Abschlussprûfung Berufskolleg. Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg. Matrizenrechnung. Jahrgänge 2002 bis Text Nr Stand 12.

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1 Abschlussprûfung Berufskolleg (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg Matrizenrechnung Jahrgänge 00 bis 06 Text Nr. 733 Stand. Juli 06 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 733 Berufskolleg: Matrizen Vorwort Dieser Text gehört zu einer Sammlung von Aufgaben, die in Baden-Württemberg für die Abschlussprüfung des Berufskollegs gestellt worden sind. Sie umfasst die Jahre 00 bis 06. Diese Prüfung führt zur Fachhochschulreife. Die Formulierung der Aufgaben wurde teilweise etwas verändert. Die Lösungen stammen nur von mir. Folgende Texte gibt es bzw. sind in Planung 730 Analysis ganzrationale Funktionen noch ohne Lösungen 730 Analysis ganzrationale Funktionen ab 009 Ab 009 wurden die Aufgaben mit ganzrationalen Funktionen mit Exponentialfunktionen gekoppelt Analysis 3 Exponentialfunktionen noch ohne Lösungen Diese Aufgaben wurden mit ganzrationalen Funktionen gekoppelt Analysis Exponentialfunktionen ab 00 noch ohne Lösungen Diese Aufgaben wurden mit trigonometrischen Funktionen gekoppelt. 73 Analysis 5 Trigonometrische Funktionen ab Vektorgeometrie noch ohne Lösungen 733 Matrizenrechnung: wirtschaftliche Anwendungen (Dieser Text) 73 Stochastik 75 Wirtschaftsrechnen: Kosten- und Gewinnfunktionen

3 733 Berufskolleg: Matrizen 3 Inhalt Hauptprüfung 00 Aufgabe 5 Hauptprüfung 003 Aufgabe 5 8 Hauptprüfung 00 Aufgabe 5 Hauptprüfung 005 Aufgabe 5 Hauptprüfung 006 Aufgabe 5 7 Hauptprüfung 007 Aufgabe 5 3 Hauptprüfung 008 Aufgabe 5 38 Hauptprüfung 009 Aufgabe 5 Hauptprüfung 00 Aufgabe 5 9 Hauptprüfung 0 Aufgabe 5 56 Hauptprüfung 0 Aufgabe 5 60 Hauptprüfung 03 Aufgabe 5 66 Hauptprüfung 0 Aufgabe 5 7 Hauptprüfung 05 Aufgabe 5 80 Hauptprüfung 06 Aufgabe 5 80

4 733 Berufskolleg: Matrizen. Teilaufgabe: Gleichungstheorie 00 Aufgabe 5 Gegeben sind die Matrix M und die Vektoren b und b durch 3 M und b 0 b.. Bestimmen Sie den allgemeinen Lösungsvektor des linearen Gleichungssystems Mx b. Wie lautet der Lösungsvektor wenn x = ist?. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem M x b. Teilaufgabe: Matrizengleichung Gegeben ist die Matrix N durch 0 N., Lösen Sie die folgende Matrizengleichung nach X auf und berechnen Sie die Matrix: X NX N 3. Teilaufgabe Betriebliche Verflechtungen (Leontief-Modell) Drei nach dem Leontief-Modell verflochtene Zweigwerke W, W und W 3 beliefern sich gegenseitig und den Markt. W produziert Einheiten, W 0 Einheiten und W 3 6 Einheiten. Die Technologiematrix ist gegeben durch A Wie viele Produktionseinheiten liefert jedes der Werke an sich selbst, an die beiden anderen und an den Markt? Stellen Sie dazu die Verflechtungstabelle auf. 3. In Zukunft rechnet man mit dem Produktionsvektor. 8 x Bestimmen Sie den dazu gehörigen Marktvektor y.

5 733 Berufskolleg: Matrizen 5. Teilaufgabe. Das zu lösende Gleichungssystem lautet Lösung mit dem Gauß-Verfahren: Lösung 00 Aufgabe Z Z ~ 0 0 ~ Z3 3 Z Z3 Z Da die letzte Zeile aus Nullen besteht, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Man schreibt dazu die letzte Matrix um in ein Gleichungssystem: x x 3x3 () 0x 0x3 () 0 0 (3) Da nur Gleichungen für 3 Unbekannte vorliegen, kann man eine Variable frei wählen. Weil man () günstig nach x umstellen kann: x 5x3 6 bzw. x 5x3 6, sollte man x3 tr wählen. Dann folgt: x 5t 6. Aus () erhält man: x x 3x3 bzw. nach Ersetzen von x und x 3 : Allgemeiner Lösungsvektor: oder zerlegt: x 5t6 3t, also x 7t 0 x 7t0 x x 5t6 x 3 t 0 7 x 6 t5. 0 Wenn x = ist, dann folgt aus x 7t0 der Wert t und damit. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem M x b, d. h. x. 3 3 x Z Z ~ 0 0 ~ Z3 3 Z Z3 Z Die letzte Zeile stellt den Widerspruch 0 = - dar. Lösungsmenge 3 3 x L.

6 733 Berufskolleg: Matrizen 6. Teilaufgabe Lösung: Lösen der Matrizengleichung: X NX N bzw. E XNX N X Links X ausklammern: E N X N Von links E N E N ENX E N N 0 Berechnung von X aus N.. Schritt: E X EN N 0 0 EN 0 5. Schritt: Inverse Matrix dazu: 3. Schritt: Aus 5 Bilden einer inversen (,)-Matrix a b A c d folgt d b A det(a) c a also ist EN NN X EN N Schritt:

7 733 Berufskolleg: Matrizen 7 3. Teilaufgabe Drei nach dem Leontief-Modell verflochtene Zweigwerke W, W und W 3 beliefern sich gegenseitig und den Markt. W produziert Einheiten, W 0 Einheiten und W 3 6 Einheiten. A ist die Technologiematrix. A Lösung: 3. Wie viele Produktionseinheiten liefert jedes der Werke an sich selbst, an die beiden anderen und an den Markt? Stellen Sie dazu die Verflechtungstabelle auf. y E A x Für den Konsumvektor gilt bei einem Leontief-Modell: Also folgt: EA y Ergebnis: Der Konsum- oder Marktabgabevektor ist y 0. 8 Die Verflechtungstabelle (Input-Output-Tabelle) sieht allgemein so aus: W W W Markt Produktion W x x y W x x y x W x x y x 3 x x x x Setzt man den Produktionsvektor und den Marktvektor ein, erhält man: bzw. W W W Markt Produktion W 6 W W W W W3 Markt Produktion W W 0 0 W In Zukunft rechnet man mit dem Produktionsvektor 3 8 x y E A x Nach Leontief gilt für den Marktabgabevektor: y