Abiturprüfung Mathematik 13 Nichttechnik B I - Lösung

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Steffen Arnold
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1 GS.6. - m_nt-b_lsg_gs.pdf Abiturprüfung - Mathematik Nichttechnik B I - Lösung Teilaufgabe. Die drei Sektoren U, V und W eines Unternehmens sind nach dem Leontief-Modell gemäß nachstehender Tabelle miteinander und mit dem Markt verflochten. Die Zahlenangaben erfolgen in Mengeneinheiten (ME). U V W Markt Produktion U V W 9 c b 8 a 8 6 Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie die Werte a, b und c und geben Sie deren Bedeutung an. a 9 a = auflösen a 8 a 8 Marktabgabe des Sektors U. b b 8 = auflösen b 6 b 6 Eigenverbrauch des Sektors V. c c 8 6 = auflösen c c Lieferung des Sektors W an den Sektor U. Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie mithilfe der Inputmatrix A die Marktabgaben der einzelnen Sektoren bei einer Produktion von ME im Sektor U, ME im Sektor V und 8 ME im Sektor W. A E E A Grundgleichung für Verflechtungen: y = ( E A) x x y ( E A) x y 8 Sektor U gibt 7 ME, Sektor V gibt ME und Sektor W gibt ME an den Markt ab. 7 Abi, Mathematik Nichttechnik. Klasse, B I - Lösung Seite von 6

2 Teilaufgabe. ( BE) Aufgrund von veränderten wirtschaftlichen Rahmenbedingungen entsteht die folgende Situation: - Die Marktabgabe von Sektor V sinkt auf ME, - die gesamte Produktion von Sektor U verbleibt im Unternehmen, - die Sektoren V und W produzieren gleich viel. Ermitteln Sie den neuen Konsumvektor und den neuen Produktionsvektor. x neu x x = y neu = y neu = ( E A) x neu y Zu lösendes Gleichungssystem: x = y.x.x.. =..x y x y x = auflösen x y (... ) y x y x neu = y neu = Teilaufgabe. (7 BE) Aufgrund neuer technischer Entwicklungen entsteht für die Produktion eine neue Technologie. Dies führt zu einer gänzlich neuen Inputmatrix, bei der zwei Einträge aufgrund nicht abgeschlossener Umstrukturierungen noch variabel sind:.. t A neu =.. mit t IR und t ; es wird die Produktion x = angestrebt.. t.. Ermitteln Sie hierfür das größtmögliche Intervall der t-werte. A neu () t.. t.. x neu E A neu () t. t t t.7 Abi, Mathematik Nichttechnik. Klasse, B I - Lösung Seite von 6

3 E A neu () t x neu Bedingungen: 6. t t t. 6 t 6 t auflösen t. t.6 Teilaufgabe. In einem Koordinatensystem des IR sind die Punkte A( / / ), B( / / ) und C( / / ) sowie die Ebenenschar F a : x ax x 8 = mit a IR gegeben. Teilaufgabe. ( BE) Die Drei Punkte A, B und C spannen die Ebene E auf. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und Koordinatenform. [ Mögliches Teilergebnis: E: x x x 6 = ] Ortsvektoren: OA OB Verbindungsvektoren: OC AB OB OA AC OC OA Parameterdarstellung: x E = λ μ Umwandlen in Koordinatenform: x x x ( II) () I ( III) x x > > ( III) ( II) x ( II) Nebenrechnung: x x x x 8 x x x x x 8 Koordinatenform: x x 8 = Abi, Mathematik Nichttechnik. Klasse, B I - Lösung Seite von 6

4 Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E und F a in Abhängigkeit von a. E F a : a 8 8 ( II) () I > a 8 6 Falls a = auflösen a sind die Ebenen echt parallel. Falls a schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie den Wert a so, dass die zugehörige Ebene F a den Punkt Z( / / ) enthält. Z F a : ( ) a ( ) 8 = auflösen a also a = Teilaufgabe.. Im Folgenden gilt: a =. die zugehörige Ebene F lautet somit: F : x x x 8 =. Teilaufgabe.. ( BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen E und F. [ Mögliches Ergebnis: s: x = t, t IR ] aus Zeile: x = 6 = Wähle x = τ. Zeile: x ( ) τ = 8 x = ( 8 τ) = Schnittgerade s: τ τ x s = x s = τ τ. Abi, Mathematik Nichttechnik. Klasse, B I - Lösung Seite von 6

5 Teilaufgabe.. ( BE) Der Punkt A' entsteht durch Spiegelung des Punktes A am Punkt Z aus.. Berechnen Sie die Koordinaten von A'. OZ AZ OZ OA OA OA' = OA AZ OA' = = A' ( / / 6 ) 6 Teilaufgabe.. ( BE) Die Ebene J wird durch die Gerade s und den Punkt A'( / / 6) festgelegt. Geben Sie eine Gleichung von J an. Die nebenstehende Skizze zeigt die Ebenen E und J. Übertragen Sie die Zeichnung auf Ihr Blatt und ergänzen Sie die Zeichnung durch die Ebene F sowie die Punkte A, A' und Z. OA' 6 Ebene J: x J = x s σ OA' x J = τ. σ 6 x J = τ. σ 6 6 Abi, Mathematik Nichttechnik. Klasse, B I - Lösung Seite von 6

6 Abi, Mathematik Nichttechnik. Klasse, B I - Lösung Seite 6 von 6 Ebene E: grün Ebene F: rot Ebene J: blau Punkt A: grün Punkt Z: rot Punkt A': blau Schnittgerade s: rot Verbindungsgerade AA': schwarz

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