33) (bzw. 6) ) p = 7(%), K 0 = 0, 100(Euro) werden am Ersten des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung.

Transkript

1 1 Lösungsvorschläge zu der Zinsaufgaben (bzw. 6 10): 33) (bzw. 6) ) p = 7(%), K 0 = 0, 100(Euro) werden am Ersten des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. I) monatliche Zinsgutschrift: m = 12, q m = q 12 = , R = 100 ( ) a) Wie groß muss n sein, damit K n > =: G ist? Nach Formel (6.19) mit > statt gilt: n > ln(g + R q m 100 m/p) ln(k 0 + R q m 100 m/p) ln q m ln( /7) ln( /7) = = ln Monate = 9 Jahre und 1 Monat Alternativ zu der Benutzung der Formel (6.19) kann man die Grenze für n auch direkt über die Grundformel (6.16) bestimmen, wobei ln > 0 und ln x streng benutzt wird: q K n = Rq m 1 n m = 100 1! q n m 1 > n >! = n >! ln ln = b) 7 Jahre = 84 Monate, d.h. n = 84. Nach Formel (6.17) gilt: R = (K n K 0 q n m) q m 1 q m (q n m 1) = ( ) ( ) Alternativ zu der Benutzung der Formel (6.17) kann R auch direkt über die Grundformel (6.16) bestimmen: K 84 = R ! = = = (Euro)

2 2 II) jährliche Zinsgutschrift: R = 10000/ = (Euro) a) n Jahre, r = 100 monatliche Einzahlung, m = 1, l = 12, q m = q 1 = 1.07 Nach Formel (6.20) gilt: K n = K 0 q n m + r = ( 12 + ( l + ) (l + 1) p 200 m ) (12 + 1) qn m 1 q m n ( = ) 1.07n 1 = (1.07 n 1) >! n >! = n ln1.07 > ln n > Dabei wurde benutzt, dass ln streng monoton wachsend ist und dass ln 1.07 > 0 ist. Es dauert also 10 Jahre, wenn man nach dem Ende des 9. Jahres, bei dem das Guthaben von Euro noch nicht überschritten ist, ein volles Jahr weiter einzahlt. Genauere Rechnung: K 9 = 100 ( ) = Euro Dies ist das Guthaben am Ende des 9. Jahres, d.h. am Mit der Einzahlung am wird der Betrag von Euro überschritten, also praktisch nach 9 Jahren. b) 7 Jahre K 7 = r ( ) r = 10000/ = Euro! = ) (bzw. 7) ) Bei dieser Aufgabe erfolgen alle Einzahlungen (Auszahlungen = negative Einzahlungen) vorschüssig am Anfang jeder Zinsgutschriftsperiode, und zwar jährlich, d.h. m = 1.

3 3 a)k 0 = 0, R = 3000, p = 5, q = Die Anwendung der Formel (6.9), also ergibt: K n = K 0 q n + R q qn 1 q 1 K 30 = = b) Nach dem Ende des 30. Jahres beginnt die Rentenzahlung mit der Auszahlungsrate von Euro, die jeweils am Jahresanfang gezahlt wird, über 20 Jahre. Wir rechnen also mir der Rate R = Nach 20 Jahren soll das angesparte Vermögen aufgebraucht sein. Der Barwert der Rente ist genau gleich dem angesparten Vermögen, also K 0 = K 30. c) p und damit q sind zunächst unbekannt und müssten aus den bisherigen Daten bestimmt werden. Nach Formel (6.18) für den Barwert gilt: K 30 = = K 0 = q m n+1 ( R) qn 1 q 1 = q q20 1 q 1 Um q zu bestimmen müssten wir ein Polynom 20-ten Grades auflösen, was in der Regel nicht explizit möglich ist. Es ist aber gar nicht verlangt, q zu bestimmen, sondern es nur gefragt, ob p über 5% liegt, d.h. ob q über dem Wert 1.05 liegt. Wenn nun q = 1.05 wäre, würden wir den Barwert K 0 = = erhalten. Für die Rentenzahlung ist aber nach Teil b) ein höherer Barwert erforderlich. Also ist der tatsächlich gewährte Zinssatz für den Anleger ungünstiger, also kleiner als 5%. Diese (für die Lösung des Aufgabenteils ausreichende) verballogische Argumentation lässt sich zusätzlich mathematisch absichern: Wir untersuchen K 0 in Abhängigkeit von q, oder besser von := q 1, und benutzen dazu die

4 4 Formel über die endliche geometrische Reihe auf S.41 : K 0 = ( R) q n+1 qn 1 q 1 n 1 n+1 = ( R) q q k = ( R) n 1 q k n+1 = ( R) n 1 n k 1 Da ( R) hier > 0, der letzte Summand konstant, n k 1 n (n 2) 1 = 1 > 0 und n k 2 n (n 2) 2 = 0 ist, gilt d d K 0 ( ) = ( R) n 2 (n k 1) n k 2 > 0, d.h. K0 ( ) ist streng monoton wachsend auf (0, ). Wird der Zinssatz größer und damit ρ kleiner, so wird der Barwert kleiner. p = 5% ergibt K 0 = = < K 30 Der wahre Zinssatz, bei dem K 0 = K 30 ist, ist also kleiner als 5%. 35) (bzw. 8) ) i) Bei monatlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Monaten (wobei die Monate von 2009 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: ( ) 6 Zinsfaktor: q 12 := 1 + = 1.005, Zahl der Monate: = Es wird am Anfang des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: R q 12 q120 1 q 12 1 = = ii) Es werden auch die Zinsen für die Teilabschnitte berechnet, aber nicht am Ende des Monats, sondern erst am Ende des Jahres gutgeschrieben.

5 5 Da es sich um vorschüssige Zahlungen handelt, ist wie in Aufgabe 36 II) die Formel (6.13) anzuwenden, und daher erhalten wir als Endkapital mit dem (Jahres )Zinsfaktor q := 1 + 6/100: r ( p) q10 1 q 1 = 150 ( ) = ) (bzw. 9) ) S = 5000, 5%, q = 1.05 a) Feste Tilgungsrate: Restschuld Tilgung Zinsen Zahlung = = = = = b) Feste Zahlungsrate A=1250: Zahlung Zinsen Tilgung Restschuld = = = = = = = = = = =92.38 = = =

6 6 37) (bzw. 10) ) S = , m = 4, p = 10, vierteljährlicher Zinsfaktor: q 4 = = 1.025, Laufzeit: N = 4 30 = 120 (Quartale) A = S q N 4 q 4 1 q N 4 1 = = (Euro) Tilgung am Ende des ersten Jahres, d.h. des vierten Quartals? Schuld am Ende des 3. Quartals: Zinsen: S = S 3 = S q 3 4 A q3 4 1 q 4 1 = Tilgung am Ende des ersten Jahres: = Tilgung am Ende des letzten Jahres? Zinsen: S = S 119 = S q4 119 A q q 4 1 = Tilgung am Ende des letzten Jahres: =