Exponentialfunktion. e x+y = e x e y. Insbesondere ist e x = 1/e x. Exponentialfunktion 1-1

Transkript

1 Exponentialfunktion Die Potenzfunktion y = e x = exp(x) mit der Eulerschen Zahl e = wird als Exponentialfunktion bezeichnet. Sie ist für alle x R positiv und erfüllt die Funktionalgleichung Insbesondere ist e x = 1/e x. e x+y = e x e y. Exponentialfunktion 1-1

2 Exponentialfunktion Die Potenzfunktion y = e x = exp(x) mit der Eulerschen Zahl e = wird als Exponentialfunktion bezeichnet. Sie ist für alle x R positiv und erfüllt die Funktionalgleichung Insbesondere ist e x = 1/e x. e x+y = e x e y y = exp(x) Exponentialfunktion 1-2

3 Verzinsung Ein Startkapital x ergibt bei einem Zinsfaktor (1 + p) und nach n-facher Aus- bzw. Einzahlung einer Rate r (r < 0 bzw. r > 0) jeweils am Ende einer Zinsperiode das Endkapital y = (1 + p) n x + (1 + p)n 1 r. p Dabei entspricht p = 1 einem Zinssatz von 100%. Exponentialfunktion 2-1

4 Verzinsung Ein Startkapital x ergibt bei einem Zinsfaktor (1 + p) und nach n-facher Aus- bzw. Einzahlung einer Rate r (r < 0 bzw. r > 0) jeweils am Ende einer Zinsperiode das Endkapital y = (1 + p) n x + (1 + p)n 1 r. p Dabei entspricht p = 1 einem Zinssatz von 100%. Der effektive Jahreszins p j berechnet sich bei monatlicher Verzinsung mit einem Zinsatz p m zu p j = (1 + p m ) p m. Damit kann in der Formel für das Endkapital y mit p = p m und n der Anzahl der Monatsraten die Potenz (1 + p m ) n durch (1 + p j ) n/12 (n/12: Anzahl der Jahre) ersetzt werden. Exponentialfunktion 2-2

5 Beweis: Grundkapital: verzinst bereits im ersten Zeitraum Ein- bzw. Auszahlungen: verzinst erst ab dem zweiten Zeitraum Exponentialfunktion 3-1

6 Beweis: Grundkapital: verzinst bereits im ersten Zeitraum Ein- bzw. Auszahlungen: verzinst erst ab dem zweiten Zeitraum Kaptial nach Zeitraum n = 1, 2,...: n = 1 : y = x(1 + p) + r, n = 2 : y = ( x(1 + p) + r ) (1 + p) + r... Exponentialfunktion 3-2

7 Beweis: Grundkapital: verzinst bereits im ersten Zeitraum Ein- bzw. Auszahlungen: verzinst erst ab dem zweiten Zeitraum Kaptial nach Zeitraum n = 1, 2,...: allgemein n = 1 : y = x(1 + p) + r, n = 2 : y = ( x(1 + p) + r ) (1 + p) + r... y = ( (x(1 + p) + r ) (1 + p) + r ) [ = x(1 + p) n (1 + p) + (1 + p) (1 + p) n 1] r Exponentialfunktion 3-3

8 Beweis: Grundkapital: verzinst bereits im ersten Zeitraum Ein- bzw. Auszahlungen: verzinst erst ab dem zweiten Zeitraum Kaptial nach Zeitraum n = 1, 2,...: allgemein n = 1 : y = x(1 + p) + r, n = 2 : y = ( x(1 + p) + r ) (1 + p) + r... y = ( (x(1 + p) + r ) (1 + p) + r ) [ = x(1 + p) n (1 + p) + (1 + p) (1 + p) n 1] r geometrische Summenformel [...] = (1 + p)n 1 (1 + p) 1 Exponentialfunktion 3-4

9 Beispiel: Darlehen: Betrag x = Euro, Laufzeit n = 30 Jahre, Festzins p j = 5/100 Exponentialfunktion 4-1

10 Beispiel: Darlehen: Betrag x = Euro, Laufzeit n = 30 Jahre, Festzins p j = 5/100 monatlicher Zinssatz: p m = (1 + p j ) 1/12 1 = % Exponentialfunktion 4-2

11 Beispiel: Darlehen: Betrag x = Euro, Laufzeit n = 30 Jahre, Festzins p j = 5/100 monatlicher Zinssatz: p m = (1 + p j ) 1/12 1 = % monatliche Rate: r = p m(1 + p j ) n (1 + p j ) n x = EUR 1 Exponentialfunktion 4-3

12 Beispiel: Darlehen: Betrag x = Euro, Laufzeit n = 30 Jahre, Festzins p j = 5/100 monatlicher Zinssatz: p m = (1 + p j ) 1/12 1 = % monatliche Rate: r = p m(1 + p j ) n (1 + p j ) n x = EUR 1 Berechnung durch Nullsetzen des Darlehnsrestbetrages y in der Verzinsungsformel ((1 + p m ) 12 = 1 + p j ) y = (1 + p m ) 12n x + (1 + p m) 12n 1 p m ( r) Exponentialfunktion 4-4

13 Beispiel: Darlehen: Betrag x = Euro, Laufzeit n = 30 Jahre, Festzins p j = 5/100 monatlicher Zinssatz: p m = (1 + p j ) 1/12 1 = % monatliche Rate: r = p m(1 + p j ) n (1 + p j ) n x = EUR 1 Berechnung durch Nullsetzen des Darlehnsrestbetrages y in der Verzinsungsformel y = (1 + p m ) 12n x + (1 + p m) 12n 1 p m ( r) ((1 + p m ) 12 = 1 + p j ) Die Gesamtzahlung 30 12r = EUR ist um 90.8% höher als die Darlehenssumme. Exponentialfunktion 4-5

14 monatliche Rate für ein Darlehen von EUR als Funktion des Zinssatzes für verschiedene Laufzeiten Jahre 10 Jahre 15 Jahre 20 Jahre 30 Jahre 40 Jahre monatliche Rate Zinssatz Exponentialfunktion 4-6

15 Beispiel: (i) Ratensparen: Exponentialfunktion 5-1

16 Beispiel: (i) Ratensparen: jährliche Zahlung r = Euro (gebucht am Jahresende), Zinssatz von 7%, Zeitraum n = 12 Jahre x = (1 + p j) n 1 r = EUR = EUR p j 0.07 Exponentialfunktion 5-2

17 Beispiel: (i) Ratensparen: jährliche Zahlung r = Euro (gebucht am Jahresende), Zinssatz von 7%, Zeitraum n = 12 Jahre x = (1 + p j) n 1 r = EUR = EUR p j 0.07 (ii) Monatliche Rente aus angespartem Kapital: Exponentialfunktion 5-3

18 Beispiel: (i) Ratensparen: jährliche Zahlung r = Euro (gebucht am Jahresende), Zinssatz von 7%, Zeitraum n = 12 Jahre x = (1 + p j) n 1 r = EUR = EUR p j 0.07 (ii) Monatliche Rente aus angespartem Kapital: Zahlungszeitraum 10 Jahre, Auszahlungen am Monatsende Betrag r = p m (1 + p j ) (1 + p j ) 10 x = EUR = EUR 1 Exponentialfunktion 5-4

19 Beispiel: (i) Ratensparen: jährliche Zahlung r = Euro (gebucht am Jahresende), Zinssatz von 7%, Zeitraum n = 12 Jahre x = (1 + p j) n 1 r = EUR = EUR p j 0.07 (ii) Monatliche Rente aus angespartem Kapital: Zahlungszeitraum 10 Jahre, Auszahlungen am Monatsende Betrag r = p m (1 + p j ) (1 + p j ) 10 x = EUR = EUR 1 Berechnung mit Hilfe der Verzinsungsformel 0! = y = (1 + p m ) n x + (1 + p m) n 1 p m ( r), n = (effektiver Jahreszins: 1 + p j = (1 + p m ) 12 ) Exponentialfunktion 5-5

20 Kapitalentwicklung in Abhängigkeit von der Laufzeit für verschiedene Zinssätze x 106 3% 4% 5% 6% 7% 1.4 Endkapital Laufzeit Exponentialfunktion 5-6