Finanzmathematik. Klaus Schindler. e h r st a b 0 Universität des Saarlandes Fakultät HW.

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1 Finanzmathematik Klaus Schindler ML a t he m at ik e h r st a b 0 Universität des Saarlandes Fakultät HW Mathematik Grundlagen&

2 Grundbegriffe Ziel der Finanzmathematik: Funktionaler Zusammenhang zwischen Kapital K und Zeit t Schreibweisen: (t K), K t, K(t) Kapital K verfügbar (bzw. fällig) zum Zeitpunkt t Zins = Entgelt für zeitweilige Überlassung einer Wertsumme Zinsen = Endkapital Anfangskapital Fragestellungen: 1 Abzinsen (diskontieren) Gegeben: Endkapital Gesucht: Anfangskapital 2 Aufzinsen Gegeben: Anfangskapital Gesucht: Endkapital Erkenntnis: Festlegung von Z liefert K(t)!!

3 Konventionen Zinsarten Gemischte Konvention 1 Zinsperiodenkonforme Zeitskala Zinszuschlagstermine entsprechen Z t=1 entspricht 1 Zinsperiode (Skalierung)

4 Konventionen Zinsarten Gemischte Definition 6.4 (Vorschüssige, nachschüssige & einfache Zinsen) a) Sind die Zinsen proportional zur Laufzeit, spricht man von einfachen Zinsen. b) Sind die Zinsen proportional zum Anfangskapital, spricht man von nachschüssigen (dekursiven) Zinsen c) Sind die Zinsen proportional zum Endkapital, spricht man von vorschüssigen (antizipativen) Zinsen.

5 Konventionen Zinsarten Gemischte Einfache Bei einfachen nachschüssigen Zinsen und Laufzeit t gilt Z = K Anf t i nach K End = K Anf [1 + t i nach ] Bei einfachen vorschüssigen Zinsen und Laufzeit t gilt Z = K End t i vor K Anf K End = 1 t i vor Name: nachschüssiger bzw. vorschüssiger Periodenzinssatz

6 Konventionen Zinsarten Gemischte Konvention 2 Liegt im betrachteten Zeitintervall kein ZZT, berechnet man einfache, nachschüssige Zinsen.

7 Konventionen Zinsarten Gemischte 6.9 Satz (Gemischte ) Seien s und t beliebige Zeitpunkte mit s t. Dann gilt ( K t = K s 1 + ( s s ) i )( ) t s ( 1 + i 1 + ( t t ) i ) K s und K t heißen in diesem Fall zueinander äquivalent. 6.6 Satz (Zinseszinsrechnung) Nur wenn s und t Zinszuschlagstermine sind, d.h. wenn s =s und t =t gilt, ergibt sich die Zinseszinsformel K t = K s (1+i) t s = K s q t s.

8 Stetige Zinsen 6.12 Definition a) Besteht ein Jahr aus m Zinsperioden und ist i p ein gegebener Periodenzinssatz, so heißt i nom := m i p der zu i p gehörende nominelle Jahreszinssatz. b) Bei einem Geldgeschäft heißt der fiktive Jahreszinssatz mit Leistung äquivalent Gegenleistung der dem Geschäft zugrundeliegende effektive Jahreszinssatz. Beachte: i eff nachschüssig, jährlicher Zinszuschlag!! Vergleichszeitpunkt ist der Termin, zu dem das Geschäft endet.

9 Stetige Zinsen Bemerkung 6.15 (Stetige Zinsen) Stetige Verzinsung ist Grenzfall unterjähriger Zinszuschläge! Gegeben: Ein Kapital Nomineller Jahreszinssatz i m ZZTe pro Jahr Effektiver Zinssatz: i (m) eff = ( 1+ i m) m 1 Stetiger Zinssatz entsteht durch m + : ( i stetig = lim m i(m) eff = lim 1+ i m m m) 1 = e i 1 Stetiger Zinsfaktor: q stetig = 1 + i stetig = e i

10 Rentenrechnung Investitionsrechnung Rente Gesamtwert: rechnerisch Unabhängig vom speziellen Aussehen gilt für den Gesamtwert einer beliebigen Zahlungsfolge: [k R k ] = [ n Rk q n k] = [ n R k q n k] alternativ: [k R k ] = [ 0 Rk q k] = [ 0 (Rentenendwert G n ) R k q k] (Rentenbarwert G 0 )

11 Rentenrechnung Investitionsrechnung 6.24 Satz Seien (A k ) k Z eine arithmetische und (G k ) k Z eine von Null verschiedene geometrische Folge. Dann gilt: [ ] k Ak G k = [ n ( A q Gm ) ( m G n s n+1 m G + (Am+1 A m+1 m ) G q Gm ) ] n t n+1 m G m+1

12 Rentenrechnung Investitionsrechnung 6.24 Satz (Spezialfälle) a) R k = R konstant: [k R k ] = [n R s n+1 m (q)] b) (R k ) n geometrisch: [k R k ] = [ n ( R q Rm )] n s n+1 m R m+1 c) (R k ) n arithmetisch: [k R k ] = [ n R m s n+1 m (q) + (R m+1 R m ) t n+1 m (q) ]

13 Rentenrechnung Investitionsrechnung Beispiel: Investitionsrechnung Auszahlungsfolge: (α 1 A 1 ), (α 2 A 2 ),..., (α m A m ) Z R + Einzahlungsfolge: (ɛ 1 E 1 ), (ɛ 2 E 2 ),..., (ɛ n E n ) Z R + Entscheidungskriterium Kalkulationszinssatz m [ɛ l E l ] > [α k A k ] Investition erfolgt l=1 [ɛ l E l ] < l=1 [ɛ l E l ] = k=1 m [α k A k ] Keine Investition k=1 l=1 k=1 m [α k A k ] Indifferenz

14 Rentenrechnung Investitionsrechnung Definition 6.29 (Interner Zinssatz, Rendite) Gegeben Investor Auszahlungsfolge (α k A k ) m k=1 Einzahlungsfolge (ɛ l E l ) n l=1 Ein effektiver Periodenzinssatz i 0 mit [ɛ l E l ] = l=1 m [α k A k ] k=1 heißt interner Periodenzinssatz oder Rendite der Zahlungsreihe. Ist i eindeutig, spricht man von der Rendite der Investition.