Grundlagen der Finanzmathematik

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1 Kapitel 8 Grundlagen der Finanzmathematik In der Finanzmathematik spielt neben Geld (in Form von Zahlungen) der Faktor Zeit (als Zeitpunkt, zu dem die Zahlungen erfolgen, bzw. als Zeitraum zwischen Zahlungen) eine entscheidende Rolle. Weiter ist der Zinssatz, zu dem Geld überlassen wird, von wesentlicher Bedeutung. Beispiel (A. Pfeifer) Nehmen wir an, Sie wollen Euro für die Dauer von zwei Jahren anlegen. Sie bekommen Angebote von drei Banken. Das Angebot der Bank A bietet in jedem Jahr 5% Zinsen. Die Zinsen werden nach dem ersten Jahr errechnet und im zweiten Jahr mitverzinst. Dies gilt auch für das Angebot der Bank B, bei dem es im ersten Jahr 8% und im zweiten nur 2% Zinsen gibt. Beim Angebot der Bank C erhalten Sie dagegen im ersten Jahr nur 2 %, im zweiten allerdings 8 %. Welches der drei Angebote ist das beste? Zinsen für Angebot Bank A Bank B Bank C 1. Jahr 5% 8% 2% 2. Jahr 5% 2% 8% Um diese Frage zu klären, muss das sogenannte Endkapital, hier: das Kapital nach 2 Jahren, bestimmt werden. Angebot Bank A: nach einem Jahr hat man 1000 Euro plus 5 % Zinsen also plus 50 Euro. Ergibt 1050 Euro. Nach 2 Jahren sind es 1050 Euro plus 5 % Zinsen also plus 52,50 Euro Zinsen. Das Endkapital beträgt 1102,50 Euro. ( Angebot Bank B: nach einem Jahr hat man 1080 Euro 1080 = ) , nach 2 Jahren (mit 2 % Zinsen auf 1080 Euro für das 2. Jahr: 21,60 Euro) ist das Kapital 1101,60 Euro. Angebot Bank C: nach dem 1. Jahr hat man 1020 Euro, nach dem 2. Jahr mit 8 % Zins ist das Kapital auch 1101,60 Euro. Fazit: das Angebot der Bank A ist am höchsten. Die Angebote der Bank B und C ergeben dasselbe Endkapital. Mit der Ermittlung der durchschnittlichen Verzinsung kann man die Angebote leicht vergleichen, mehr dazu beim effektiven Zins. 139

2 140 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK 8.1 Zinsrechnung Definition. Der Zins ist der Preis für die Überlassung von Geld oder Kapital. Wird Kapital auf Zeit angelegt und erhalten Sie beispielsweise 5 % Zinsen, wird 5 Zinsfuß genannt und allgemein mit p bezeichnet. i = p/100, also in diesem Beispiel 0,05=5 % heißt Zinssatz. Die Angabe des Zinssatzes bzw. des Zinsfußes ist grundsätzlich auf ein Jahr bezogen: 5 % p. a. (lat. per annum; pro Jahr). Die Angabe p. a. wird jedoch oft weggelassen. Zinsen werden proportional auf den angelegten Betrag, das sogenannte Kapital, gezahlt. Das Anfangskapital wird meist mit K 0 bezeichnet. Gesucht ist das Kapital einschließlich Zinsen nach einem Jahr, nach zwei Jahren oder allgemein nach t Jahren, also K t. Um dieses Kapital zu ermitteln, gibt es verschiedene Methoden. Bei einfachen Zinsen werden die Zinsen nicht mitverzinst. Von Zinseszinsen spricht man, wenn Zinsen auf nicht ausgezahlte Zinsen berechnet werden. Zinsen werden dabei dem Kapital hinzugefügt (= kapitalisiert) und dann mit diesem verzinst. Die Zeitpunkte, an denen die Zinsen zum Kapital hinzugerechnet und mitverzinst werden, heißen Zinskapitalisierungszeitpunkte Einfache Zinsen in der Praxis vor allem, wenn der Zeitraum zwischen den Zinszahlungen kürzer als eine Zinsperiode ist - etwa ein Monat, ein paar Tage, ein halbes Jahr (wenn die Verzinsung jährlich erfolgt). Das Kapital K 0 wächst bei einem Zinssatz von i bei einfachen Zinsen in t Jahren auf K 0 Anfangskapital, auch Barwert genannt K t = K 0 (1+ti) K t Endkapital (Kapital nach t Jahren), auch Endwert genannt i Zinssatz t Laufzeit (in Jahren) (und meistens kleiner als 1) Einfaches Beispiel Für ein Anfangskapital von 1000 Euro, angelegt für 1/2 Jahr bei einem Zins von 6 % ergibt sich K t = 1000 (1+ 1 ) 2 0,06 = 1030 Euro Genauer: In der Praxis werden die Zinsen bei Laufzeiten, die kleiner als ein Jahr sind, nach Tagen berechnet. Die Laufzeit t wird folgendermaßen ermittelt: t = Zinstage Basistage Dabei hängt die Berechnung der Zinstage und der Basistage (= Jahreslänge in Tagen) von der gewählten Berechnungsmethode ab. Folgende Berechnungsmethoden (Usancen) sind gebräuchlich:

3 8.1. ZINSRECHNUNG 141 A 30E/360 B 30/360 C tatsächliche Laufzeittage/365 (auch englische Usance genannt) D tatsächliche Laufzeittage/360 (auch internationale Usance genannt) E tatsächliche Laufzeittage/tatsächliche Jahreslänge in Tagen (auch actual/actual oder kalendergenau/ kalendergenau genannt). Bei der Berechnungsmethode A (Methode 30E/360) wird unabhängig von der tatsächlichen Länge der Monat immer mit 30 Tagen und das Jahr mit 360 Tagen angesetzt. Bei Monaten mit 31 Tagen ist der 31. kein Zinstag. Viele Taschenrechner und EDV-Programme rechnen jedoch, wenn der 31. der Endtag ist, als wäre das Enddatum der 1. des Folgemonats. Dies ist die Methode 30/360. Bei der Berechnungsmethode C kommt bei der Ermittlung der Laufzeittage die exakte kalendarische Laufzeit zur Anwendung. Die Basistage betragen 365. Bei der Methode D hat eine kalendergenaue Zählung der Tage bei 360 Basistagen zu erfolgen. Bei der Berechnungsmethode E werden sowohl die Laufzeittage als auch das zugrunde gelegte Basisjahr mit kalendergenauen Werten berücksichtigt. Je nachdem, welche Berechnungsmethode angewandt wird, können die Zinsbeträge unterschiedlich sein. Beispiele für die Berechnungsmethoden 1. Bei Sparbüchern und Sparkonten wird im Verlauf eines Kalenderjahres in Deutschland die Formel für einfache Zinsen meist mit der Berechnungsmethode A verwendet. Sie legen ihr Geld vom bis zum (i.e. den ganzen Juli) an. Das sind 31 Tage. Für die Berechnung mit der Methode 30 E/360 sind es 30 Zinstage.Bei der Berechnungsmethode 30/360 ergeben sich ebenfalls 30 Zinstage. Da der Endtag der 1.8 ist und nicht der 31., ergibt sich kein Unterschied. Somit folgt ( 1+i ). Für den Februar 2011, t = Bei einem Zinssatz i erhalten Sie das Endkapital K 0 also vom bis zum , mit 28 Kalendertagen hätten Sie den gleichen Zinsbetrag erhalten. Unterschiedlich ist die Behandlung des Auszahlungs- bzw. des Einzahlungstages bei der Verzinsung. Häufig beginnt die Verzinsung mit dem Tag der Einzahlung und endet mit dem der Rückzahlung vorhergehenden Kalendertag. 2. Für eine Anleihe auf dem Euromarkt wurde der Zinssatz für die Zeit vom 27. Juli 2010 (einschließlich) bis 27. Januar 2011 (= 184 Tage) auf 5% p. a. festgesetzt. Die Zinsen wurden am 27. Januar 2011 fällig. Dies ergab für Euro einen Zinsbetrag in Höhe von 255,56 Euro, wobei die Zinsen nach der Berechnungsmethoden D ermittelt wurden: , = 255,56. Die Berechnungsmethode D wird meist bei Geldmarktgeschäften unter Banken verwendet. Wir bleiben falls nicht anderes angegeben bei der Methode 30E/360.

4 142 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK Zinseszinsen Von Zinseszinsen spricht man, wenn die Zinsen nach einem gewissen Zeitraum dem Kapital zugeschlagen (d. h. kapitalisiert) und anschließend mitverzinst werden. Hier werden die Zinsen nach Ablauf eines Jahres dem Kapital zugeschlagen und im folgenden Jahr mitverzinst. Man spricht dann von jährlicher Verzinsung. Das Kapital nach einem Jahr ist: K 1 = K 0 +K 0 i = K 0 (1+i). Nach zwei Jahren gilt: K 2 = K 1 +K 1 i = K 1 (1+i) = K 0 (1+i) 2. Nach t Jahren ergibt sich: K t = K t 1 +K t 1 i = K t 1 (1+i) = K 0 (1+i) t. Ein Kapital K 0 führt bei jährlicher Verzinsung mit dem Zinssatz i in t Jahren auf ein Endkapital von wobei zur Vereinfachung definiert wird: K t = K 0 (1+i) t = K 0 q t. (Zinseszinsformel) K 0 = K t (1+i) t = K t q t = K t v t. q = 1+i und v = 1 1+i Dabei heißt t Laufzeit in Jahren q t Aufzinsungsfaktor für t Jahre K t Endkapital K 0 Anfangskapital, Gegenwartswert oder Barwert v t Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor für t Jahre Da bei den Formeln die Laufzeit im Exponenten steht, spricht man auch von exponentieller Verzinsung. Das Auflösen nach t bzw. i ergibt: Mir exponentieller Verzinsung gilt bei gegebenem Zinssatz, Anfangskapital und Endkapital für die Laufzeit: t = lg(k t) lg(k 0 ). lg(q) Faustregel: Bei einem Zinsfuß p verdoppelt sich ein Guthaben bei Zinseszinsen in ca. 70/p Jahren! Für den Zinssatz, der notwendig ist, bei gegebener Laufzeit und gegebenem Anfangskapital ein bestimmtes Endkapital zu erhalten, gilt: i = t Kt K 0 1. Wenn - wie im Anfangsbeispiel - der Zinssatz sich mit den Jahren ändert, dann sind obige Formeln ungültig. Dann gilt:

5 8.1. ZINSRECHNUNG 143 Ist i k der Zinssatz im k-ten Jahr, so wächst ein Kapital K 0 bei jährlicher Verzinsung und Zinseszinsen in t Jahren (t N) auf den Endwert K t = K 0 (1+i 1 ) (1+i 2 )... (1+i t ). Folglich lautet der Zinssatz i, der bei konstanter Verzinsung pro Jahr gezahlt werden muss: Denn es soll gelten: i = t Kt K 0 1 = t (1+i1 ) (1+i 2 )... (1+i t ) 1. K t = K 0 (1+i) t = K 0 (1+i 1 )...(1+i t ) Der Zinssatz i wird effektiver Zinssatz oder Rendite genannt. Im Anfangsbeispiel lautet der effektive Zinssatz i = 2 (1+i 1 ) (1+i 2 ) 1 i = (1+0,08) (1+0,02) 1 = 0, für die Angebote der Banken B und C. Das ist tatsächlich weniger als die 5% des Angebots der Bank A. Bemerkung Der Wert (1+i) ist das geometrische Mittel der Aufzinsungsfaktoren (i ist nicht das arithmetische Mittel der Zinssätze) Gemischte Verzinsung In der Praxis wird eine Mischung aus einfachen und exponentiellen Zinsen verwendet, beispielsweise bei Sparbüchern. Beispiel Auf welchen Betrag wächst auf einem Sparbuch ein Kapital von Euro bei einem Zinssatz von 3% vom bis zum ? Um das Endkapital zu berechnen, muss man wissen: Bei Sparbüchern wird nur innerhalb eines Kalenderjahres mit linearen Zinsen unter Verwendung der 30 E/360- Tage-Methode gerechnet. Am Ende des Jahres werden die Zinsen dem Kapital zugeschlagen und im nächsten Jahr mitverzinst. Lösung: Bei dieser gemischten Verzinsung wird in diesem Beispiel vom bis zum Ende des Jahres 2010 mit einfacher Verzinsung, anschließend vier Jahre mit Zinseszinsen und danach am Ende nochmals mit einfacher Verzinsung gerechnet. Wird vom Einzahlungstag an bis einen Tag vor dem Auszahlungstag verzinst, sind es bis zum Jahresende Zinstage und im Jahr 2015 genau 95 Zinstage. Somit ergibt sich ein Endkapital von K t = 1.500(1+330/360 0,03)(1+0,03) 4 (1+95/360 0,03) = 1.748,42

6 144 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK Bei einem Anfangskapital von K 0, einer gesamten Laufzeit von t und einem Zinssatz i beträgt der Endwert bei der gemischten Verzinsung: K t = K 0 (1+it 1 )(1+i) N (1+it 2 ) mit t = t 1 +N +t 2, wobei t 1 Laufzeit bis zum Jahresende N Anzahl der folgenden ganzen Jahre t 2 Laufzeit vom letzten Jahresende bis zum Auszahlungstermin Unterjährige Verzinsung Bei manchen Kapitalanlagemöglichkeiten findet die Verzinsung nicht jährlich, sondern in kürzeren gleichlangen Zeitabständen (etwa: monatlich, vierteljährlich oder halbjährlich) statt. Wenn bei der Zinseszinsrechnung der Zuschlag der aufgelaufenen Zinsen auf das Kapital zu mehreren Terminen gleichen Abstands im Jahr erfolgt, heißt diese Verzinsung unterjährige Verzinsung. Beispiel Auf welche Summe wachsen Euro bei 3% Zinsen p. a. in 10 Jahren an, wenn das Kapital monatlich verzinst wird? Lösung: Die Angabe 3% bezieht sich auf ein Jahr. Wird monatlich verzinst, so beträgt der monatliche Zins 3%, geteilt durch 12, also 0,25% pro Monat. Das Kapital nach einem Monat beträgt somit Euro 1,0025=1.503,75 Euro. Wird mit monatlichen Zinseszinsen gerechnet, so ist das Kapital nach 10 Jahren oder 120 Monaten: K 120 = , = 2.024,03. Zur Berechnung dieses Endkapitals ist die Zinseszins-Formel mit i=0,0025 und t =120 zu verwenden. Wurde nicht monatlich verzinst, sondern jährlich, ergibt sich nach zehn Jahren nur ein Kapital von 2.015,87 Euro, denn K 10 = ,03 10 = 2.015,87. Ist m die Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr, so ist pro Zinszahlung bei der unterjährigen Verzinsung der Zinssatz i/m zu verwenden. Insgesamt gibt es in n Jahren dann m n Zinszahlungen. Deshalb gilt: Das Endkapital einer einmaligen Anlage beträgt bei unterjähriger Verzinsung nach n Jahren K n = K 0 ( 1+ i m) nm, wobei n die Laufzeit in Jahren und m die Anzahl der Zinstermine pro Jahr ist. Die Zinstermine müssen dabei auf das Jahr gleichmäßig verteilt sein. Der Zinssatz i ist auf ein Jahr bezogen. Der jährliche Zinssatz, bei dem sich bei einmaliger Verzinsung am Jahresende der gleiche Zinsbetrag wie bei unterjähriger Verzinsung ergibt, heißt effektiver Zinssatz. Der unterjährige Zinssatz ist ein nomineller Zinssatz. Der effektive Zinssatz wird auch der zu dem nominellen Zinssatz konforme (äquivalente)

7 8.1. ZINSRECHNUNG 145 Jahreszinssatz genannt. Ist i m der Zinssatz p.a. mit m Zinsterminen im Jahr und i eff der dazugehörige effektive Zins, so gilt i eff = ( 1+ i m m (i eff ist der konforme äquivalente effektive Zinssatz) bzw. ) m 1 ( m i m = m ) 1+i eff 1. Beispiele 1. Welcher Zinssatz ist bei jährlicher Verzinsung festzulegen, um das gleiche Kapital nach einem Jahr wie bei monatlicher Verzinsung mit 4 % zu erhalten? Lösung: Bei einem Zinssatz von i m = 4% und monatlicher Verzinsung ergibt sich für ein Jahr ein effektiver Zinssatz von i = (1+0,04/12) 12 1 = 4,074%. 2. Die Zinssätze einer Bank für Geldanlagen bis zu einem Jahr sind in der unten stehenden Tabelle aufgeführt. Sie wollen Geld für ein Jahr anlegen. Wenn Sie die Anlage für 12 Monate wählen, erhalten Sie 5,5 % Zinsen. Aus 100 Euro werden also 105,50 Euro. Wählen Sie nur eine Laufzeit von sechs Monaten, erhalten Sie das Kapital einschließlich Zinsen (= 102,75 Euro) nach sechs Monaten und müssen es wieder für sechs Monate zu dem dann gültigen Zinssatz für sechs Monate anlegen. Das ergibt bei wiederum 5,5 % Zinsen ein Endkapital von 105,58 Euro. Durch den Zinseszinseffekt ist dies mehr als bei einer direkten Anlage von einem Jahr. Allerdings, besteht ein Risiko. Sie müssen natürlich in einem halben Jahr auch wieder 5,5 % Zinsen erhalten. Die Zinssätze können sich aber geändert haben. Ob der äquivalente effektive Zinssatz in der Realität tatsächlich erreicht wird, ist nur gewährleistet, wenn sich die Zinssätze während der gesamten Laufzeit nicht ändern. Laufzeit in Monaten Zinssatz Äquivalenter eff. Zinssatz 1 3, 50% 3, 557% 2 3, 50% 3, 551% 3 3, 50% 3, 546% 4 4, 00% 4, 054% 6 5, 50% 5, 576% 12 5, 50% 5, 500% Stetige Verzinsung (Optionspreistheorie) Wenn die Anzahl m der Zinstermine pro Jahr immer größer wird, dann verkürzen sich die Zinsperioden. Für m in der Formel der unterjährigen Verzinsung erhält man die sogenannte stetige (oder kontinuierliche) Verzinsung. K t = K 0 e ist.

8 146 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK Zwischen dem Zinssatz i s bei stetiger Verzinsung und dem Zinssatz i eff bei exponentieller Verzinsung gilt, wenn beide zu gleichen Endwerten führen sollen: 1+i eff = e is oder i eff = e is 1 oder i s = ln(1+i eff ). 8.2 Barwert, Äquivalenz und Rendite Barwert und Äquivalenz Eine Zahlungsverpflichtung besteht beispielsweise darin, nach einem Jahr 100 Euro zu zahlen und nach drei Jahren 200 Euro. Eine andere Zahlungsverpflichtung besteht darin, nach zwei Jahren 150 Euro und nach vier Jahren nochmals 150 Euro zu zahlen. Wie können Zahlungsverpflichtungen miteinander verglichen werden? Eine Zahlung von 150 Euro nach zwei Jahren hat sicherlich nicht den gleichen Wert wie eine gleich hohe Zahlung nach vier Jahren. Die Zahlungen müssen auf einen Bezugszeitpunkt diskontiert werden. Das ist oft die Gegenwart. Es ist dann ein Gegenwartswert oder Barwert zu ermitteln. Manchmal wird auch der Endzeitpunkt einer Zahlungsfolge gewählt. Dann ist der zukünftige Wert oder Endwert zu berechnen. Die Zahlungen können aber auch auf jeden beliebigen Zeitpunkt bezogen werden. Eine Zahlungsverpflichtung von 100 Euro in einem Jahr und 200 Euro in drei Jahren hat bei einem Zinssatz von i = 6% heute einen Wert von BW = i (1+i) 3 = 100 1, = 94,34+167,92 = 262,26 1,063 Der zukünftige Wert zum Zeitpunkt 3 beträgt ZW = 262,26 1,06 3 = 312,36 oder ZW = 100 1, = 112, = 312,36. Zahlungsverpflichtung von 150 Euro in 2 Jahren und 150 Euro in 4 Jahren? BW = 150 (1+i) (1+i) 4 = 100 1, ,06 4 = 252,31 Definition. Barwert Ist {xk},k = 0,1,2,...,n eine Zahlungsfolge, wobei x k jeweils die Zahlung nach k Jahren darstellt, dann ist der Gegenwartswert oder Barwert die Summe der diskontierten Zahlungen: BW = n k=0 x k (1+i) k. Der Barwert hängt vom Zinssatz ab. Den verwendeten Zinssatz zur Berechnung des Barwerts nennt man auch Kalkulationszinssatz oder kalkulatorischer Zinssatz. Grundsätzlich wird sich bei Kapitalanlagen der Preis der Anlage so einstellen, dass eine marktgerechte Verzinsung erfolgt. Diesen sich am Kapitalmarkt herausbildenden Zinssatz nennt man Marktzinssatz. Als Kalkulationszinssatz wird deshalb oft ein Marktzinssatz verwendet.

9 8.2. BARWERT, ÄQUIVALENZ UND RENDITE 147 Definition. äquivalente Zahlungsfolgen Zwei Zahlungsfolgen {x k },k = 0,1,...,n und {y k },k = 0,1,...,m wobei x k und y k Zahlungen nach k Jahren sind, heißen äquivalent, wenn die beiden Gegenwartswerte gleich sind, d.h. n k=0 x m k (1+i) k = y k (1+i) k. In den obigen Definitionen sind die Zahlungsfolgen endliche Folgen. Die Definitionen können auf unendliche Zahlungsfolgen übertragen werden (sofern die Summen existieren). k=0 Beispiel 1. Besteht die eine Zahlungsfolge aus zwei Zahlungen (x 1,x 2 ) in Höhe von 16,50 Euro nach einem Jahr und 6,05 Euro nach zwei Jahren, die andere aus drei Zahlungen (y 1,y 2,y 3 ) in Höhe von 5,50 Euro nach einem Jahr, 6,05 Euro nach zwei Jahren und 13,31 Euro nach drei Jahren, so sind bei i = 10% die Zahlungsfolgen äquivalent, da x 1 (1+i) 1 +x 2 (1+i) 2 = y 1 (1+i) 1 +y 2 (1+i) 2 +y 3 (1+i) Eine Zahlungsverpflichtung besteht aus zwei Zahlungen: 150 Euro, fällig in 5 Jahren, und 100 Euro, fällig in 7 Jahren. Die Zahlungsverpflichtung soll entweder durch Lösung: a) eine sofortige Zahlung oder durch b) eine einzige Zahlung in 4 Jahren oder durch c) zwei gleich große Zahlungen in 2 und 4 Jahren abgelöst werden. Welcher Betrag ist jeweils zu zahlen, wenn mit 6% Zinseszinsen gerechnet wird (q = 1,06)? a) Wenn die Zahlungsverpflichtung durch eine einzige sofortige Zahlung zu ersetzen ist, entspricht diese Zahlung dem Barwert, also 150/q /q 7 = 178,59. b) Die Zahlung x erfolgt in vier Jahren. Also muss nach dem Äquivalenzprinzip gelten: 150/q /q 7 = x/q 4. Aufgelöst nach x ergibt sich x = 150/q +100/q 3 = 225,47. c) Wieder nach dem Äquivalenzprinzip muss gelten: 150/q /q 7 = x/q 2 +x/q 4. Aufgelöst nach x ergibt sich x = 150/q5 +100/q 7 1/q 2 +1/q 4 = 106,17

10 148 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK Kapitalwertmethode Eine Investition ist die Bindung von Kapital in Vermögensgegenständen eines Unternehmens. Zum Beispiel ist eine Investition der Kauf einer neuen Maschine, um Produkte kostengünstiger herstellen zu können. Die Kapitalwertmethode hilft zu entscheiden, ob sich dieser Kauf lohnt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Investition zu beurteilen. Bei der Kapitalwertmethode werden alle Ein- und Auszahlungen, die zu dieser Investition gehören, auf den Zeitpunkt unmittelbar vor der Investition diskontiert: Der Nettobarwert oder Kapitalwert KW einer Investition ist die Differenz aus dem Barwert sämtlicher Einzahlungen und dem Barwert sämtlicher Auszahlungen: wobei KW = n k=0 E k n (1+i) k k=0 A k n (1+i) k = k=0 U k (1+i) k, U k = E k A k Einzahlungen minus Auszahlungen = Überschuss zum Zeitpunkt k,k = 0,1,2,...,n 1,n n = Investitionsdauer=Laufzeit Ist der Kapitalwert positiv, so heißt die Investition vorteilhaft; bei negativem Kapitalwert nennt man die Investition unvorteilhaft. Bei zwei Investitionen nennt man diejenige Investition vorteilhafter nach der Kapitalwertmethode, die den höheren Kapitalwert besitzt. Der verwendete Zinssatz i heißt Kalkulationszinssatz oder Opportunitätszinssatz. Der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ergibt, heißt interner Zinssatz. Bei der Berechnung des Kapitalwertes wird zur Vereinfachung angenommen, dass die Zahlungen jeweils am Ende der Periode erfolgen. Der Kapitalwert ist also der Barwert aller zur Investition gehörigen Zahlungen. Ein Problem bei der Berechnung des Kapitalwerts liegt dabei in der Festlegung oder Berechnung des Kalkulationszinssatzes. Bei Eigenkapital nimmt man oft als Kalkulationszinssatz die Habenzinsen, bei Fremdfinanzierung die Sollzinsen. Der Kalkulationszinssatz kann sich an der Rendite eines Unternehmens orientieren. Er kann auch eine Mindestrendite darstellen, die erreicht werden soll. Beispiel 1 Die Anschaffungskosten eines Wirtschaftsgutes betragen Euro. In den nächsten sieben Jahren werden Überschüsse von jährlich Euro erzielt. Das Wirtschaftsgut hat dann noch einen Restwert von Euro. Der Kalkulationszinssatz soll 10% sein. Die Investition kann in einer Tabelle der Zahlungen folgendermaßen dargestellt werden: Zeitpunkt heute Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Zahlung Die Zahlungsfolge - mit den entsprechenden Vorzeichen (negativ bei einer Auszahlung, positiv bei einer Einzahlung) - wird oft auch als Cash Flow bezeichnet. Um zu entscheiden, ob die Investition vorteilhaft

11 8.2. BARWERT, ÄQUIVALENZ UND RENDITE 149 ist, muss der Kapitalwert KW größer als null sein. KW = k= (1+i) k (1+i) 7. Für i = 10% ergibt sich KW = 2.789,45 > 0. Die Investition ist also (nach der Kapitalwertmethode) vorteilhaft. Um den internen Zinssatz auszurechnen, muss in der obigen Formel KW gleich null gesetzt werden. Diese Gleichung kann nicht analytisch nach i aufgelöst werden; mit einem numerischen Verfahren ergibt sich ein interner Zinssatz von 11,561 %. Beispiel 2 Eine Investition von 500 Euro erbringt nach dem ersten Jahr Euro und kostet nach dem zweiten Jahr 825. Die Überschüsse sind also Zeitpunkt Zahlung KW = i (1+i) 2. Im Intervall [0,1] hat die Gleichung KW = 0 zwei Lösungen i = 0,1 und i = 0,5 Der interne Zinssatz ist hier nicht eindeutig definiert. 0,00 0,00 0,00 Kapitalwert 0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 % 0,00 0,00 0,00 Bei den meisten finanzmathematischen Fragestellungen steht jedoch oft eine negative Zahlung am Anfang, und danach erfolgen nur noch positive Zahlungen, d. h. U 0 < 0 und U k > 0 für k = 1,2,...,n. Dann ist der Nettobarwert in Abhängigkeit des Zinssatzes i eine monoton fallende Funktion, und es gibt höchstens einen internen Zinssatz. Eine Investition ist genau dann vorteilhaft, wenn dieser interne Zinssatz größer als der Kalkulationszinssatz ist. Wenn das Vorzeichen der Zahlungen jedoch mehr als einmal wechselt, kann es mehrere interne Zinssätze geben.

12 150 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK Rendite Definition. Der effektive Jahreszins oder der effektive Zins oder die Rendite oder die Effektivverzinsung einer Anlage ist derjenige gleichbleibende Zinssatz, mit dem bei jährlicher Verzinsung das eingesetzte Kapital verzinst wird, d. h., derjenige Zinssatz, bei dem der Wert der Leistungen (z. B. Einzahlungen) gleich dem Wert der Gegenleistungen (z. B. Auszahlungen) ist. Die Rendite ist das Gesamtergebnis einer Anlage über einen bestimmten, definierten Zeitraum inklusive aller Zinsen, Dividenden, Kursveränderungen usw. Wird dabei die persönliche Steuerprogression mit einbezogen, spricht man von Rendite nach Steuern, andernfalls von Rendite vor Steuern. Bei Langfristvergleichen ist es eventuell sinnvoll, auch die Inflationsrate mit einzubeziehen. Um den effektiven Zins ausrechnen zu können, müssen der Bezugszeitpunkt des Vergleichs Leistungen/Gegenleistungen und die unterjährige Zinsberechnungsmethode festgelegt werden. Bei jährlichen Zahlungen ist die Renditegleichung eindeutig definiert: Bei der Berechnung des effektiven Zinssatzes werden nach jedem Jahr die Zinsen wieder kapitalisiert und somit mitverzinst. Der effektive Zins entspricht also grundsätzlich dem internen Zinssatz bei der Kapitalwertmethode. Der Bundesschatzbrief Typ A ist ein Wertpapier mit einer Laufzeit von 6 Jahren und mit festen, jährlich steigenden Zinszahlungen. Sie zahlen einen Betrag, erhalten Zinszahlungen und nach sechs Jahren den Betrag zurück. Der Einfachheit halber sollen nur ganze Jahre betrachtet werden. Auf die Berechnung von Stückzinsen kann dann verzichtet werden. In der folgenden Tabelle sind die Zinssätze für den Bundesschatzbrief Typ A (Ausgabe 2009/12) angegeben: Laufzeitjahr Nominalzins 1. Jahr (2009/2010) 0,50 % 2. Jahr (2010/2011) 1,25 % 3. Jahr (2011/2012) 2,00 % 4. Jahr (2012/2013) 2,75 % 5. Jahr (2013/2014) 3,50 % 6. Jahr (2014/2015) 4,00 % Laut Äquivalenzprinzip wird die Rendite durch folgende Gleichung bestimmt. K 0 (1+i) 6 = K 0 i 1 (1+i) 5 +K 0 i 2 (1+i) 4 +K 0 i 3 (1+i) 3 +K 0 i 4 (1+i) 2 +K 0 i 5 (1+i) 1 +K 0 i 6 +K 0, wobei K 0 das eingesetzte Kapital und die i k (k = 1,2,3,4,5,6) die oben angegebenen Zinssätze sind. Die Gleichung wird numerisch nach i aufgelöst, i = 0,02286 also 2,286%. Der Begriff der Rendite soll noch für den Fall erklärt werden, wenn Zahlungen oder Entnahmen unterjährig stattfinden, oder wenn die Verzinsung unterjährig ist. Dafür gibt es verschiedene Methoden. Die sogenannten exponentiellen Methoden werden oft am internationalen Kapitalmarkt (etwa ISMA-Methode) oder für Kreditangaben nach der Preisangabenverordnung (PAngV) angewandt. Sie wenden auch innerhalb eines Jahres die exponentielle Verzinsung an, d.h. Zahlung werden immer mit (1+i) t auf den gewählten Zeitpunkt auf-, bzw. abgezinst. Die verschiedenen exponentiellen Methoden unterscheiden sich in der Anwendung der Zinstagemethode.

13 8.3. RENTENRECHNUNG 151 In der Europäischen Union ist bei Krediten und Darlehen der Effektivzins (genannt effektiver Jahreszins) nach der exponentiellen Methode zu berechnen. In Deutschland ist die entsprechenden EU-Richtlinie in der Preisangabenverordnung PAngV (neu) umgesetzt. Dabei besteht ein Jahr aus 365 Tagen, 52 Wochen oder 12 gleichlangen Monaten. Jeder Monat besitzt also 30, 41 6 Tage. Bis 2000 war eine andere Methode zur Berechnung der Zinstage gemäß PAngV bindend. Zu den unterschiedlichen Berechnungen der Zinstage sei auf die Fachliteratur hingewiesen. Die PAngV schreibt vor, dass der effektive Jahreszins in Prozent mit zwei Dezimalstellen anzugeben ist. Ein Darlehen von Euro zahlen Sie nach einem halben Jahr mit 400 Euro und nach zweieinhalb Jahren mit 750 Euro zurück. Wie groß ist die Effektivverzinsung nach PAngV? Lösung: Um die Gleichung für den Effektivzinssatz aufzustellen, sind 400 Euro unter Berücksichtigung von 0,5 Jahren und die 750 Euro unter Berücksichtigung von 2,5 Jahren zu diskontieren: = 400(1+i) 0,5 +750(1+i) 2,5 Die Gleichung ist nach dem Zinssatz aufzulösen. Die Gleichungen für den Effektivzinssatz sind im Allgemeinen nicht direkt auflösbar, daher werden sie numerisch gelöst. Es ergibt sich hier eine Effektivverzinsung i von 8,226 %. 8.3 Rentenrechnung Die Rentenrechnung befasst sich mit der Problematik, mehrere regelmäßig kehrende Zahlungen zu einem Wert zusammenzufassen bzw. mit dem umgekehrten Problem, einen gegebenen Wert unter Beachtung der anfallenden Zinsen (!) in eine bestimmte Anzahl von (Renten)-Zahlungen aufzuteilen (Verrentung eines Kapitals) Grundbegriffe der Rentenrechnung Eine in gleichen Zeitabständen erfolgende Zahlung bestimmter Höhe nennt man Rente. Nach dem Zeitpunkt, an dem die Rentenzahlungen erfolgen, unterscheidet man zwischen Renten, die vorschüssig (praenumerando; jeweils zu Periodenbeginn); nachschüssig (postnumerando; jeweils zu Periodenende) gezahlt werden. Vorschüssige Renten treten z. B. im Zusammenhang mit regelmäßigem Sparen (Sparpläne, Bausparen,...) oder Mietzahlungen auf, nachschüssige Zahlungen sind sachgemäß bei der Rückzahlung von Krediten und Darlehen.

14 152 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK Ferner unterscheidet man: Zeitrenten (von begrenzter Dauer); ewige Renten (von unbegrenzter Dauer). Es sei noch auf den Begriff der Leibrente hingewiesen, der in der Versicherungsmathematik eine wichtige Rolle spielt und von stochastischen (d. h. zufälligen) Einflüssen abhängig ist, insbesondere vom Lebensalter und damit der durchschnittlichen Lebenserwartung des Versicherungsnehmers. Nach der Rentenhöhe unterscheidet man weiterhin: starre (gleichbleibende) Rente; dynamische (veränderliche, meist wachsende) Rente, etwa: die Höhe der Zahlung wird der Inflation angepasst. (Ansparrente in der Ansparphase, Rente in der betrieblichen Altersvorsorge). In der Praxis sind für die Berechnungen folgende Punkte zu klären: Wie hoch ist die Rentenzahlung? Welche sind die Zahlungstermine? Werden stochastische Einflüsse berücksichtigt? Mit welchem Zins ist zu rechnen, und mit welcher Zinsperiode? Wichtige Größen in der Rentenrechnung sind: Gesamtwert einer Rente (zu einem bestimmten Zeitpunkt); bedeutsam sind vor allem der Barwert B und der Endwert E aller Rentenzahlungen; r Höhe der Ratenzahlung; n Dauer (Anzahl der Ratenzahlungen bzw. Perioden.) Zur Vereinfachung der weiteren Darlegungen sei zunächst vereinbart, dass die Ratenperiode gleich der Zinsperiode (gleich einem Jahr) ist, und dass die Höhe der Rentenzahlung konstant ist Vorschüssige Renten Werden die Raten jeweils zu Periodenbeginn gezahlt, so spricht man von vorschüssiger Rente. Prinzip: Nach dem Äquivalenzprinzip kann man den Rentenbarwert (=den Zeitwert für den Zeitpunkt 0) durch abzinsen- bzw. den Rentenendwert (=den Zeitwert für den Zeitpunkt n) durch aufzinsen berechnen.

15 8.3. RENTENRECHNUNG 153 Entsprechend den (unterschiedlichen) Zahlungspunkten werden die Raten der Höhe r über eine (unterschiedliche) Anzahl von Perioden ab- bzw. aufgezinst. Anschließend werden alle einzelnen Bar- bzw. Endwerte aufsummiert. EW n r,vor = rq +rq rq n mit q = 1+i (Aufzinsungsfaktor für 1 Jahr). Der Wert rq steht für die letzte Zahlung, rq n für die erste. Mit geometrischen Reihen: q +...+q n = q(1+...q n 1 ) = q qn 1 q 1 für q 1( ie. i 0) Also Entsprechend für den Barwert mit Abzinsen: mit v = 1 1+i EW n r,vor = r q qn 1 q 1 BW n r,vor = r(1+...+q (n 1) ) = r(1+...+v n 1 ) (Abzinsungsfaktor für 1 Jahr). Also BW n r,vor = r 1 vn 1 v Zwischen Barwert und Endwert gilt folgende Beziehung: EW n r,vor = q n BW n r,vor Nachschüssige Renten Werden die Raten jeweils zu Periodenende gezahlt, so spricht man von nachschüssiger Rente. EW n r,nach = r +rq +...+rqn 1 mit q = 1+i (Aufzinsungsfaktor). Der Wert r steht für die letzte Zahlung, rq n 1 für die erste. Also Entsprechend für den Barwert mit Abzinsen: mit v = 1 1+i EW n r,nach = r qn 1 q 1. BW n r,nach = r(q +...+q n ) = r(v +...+v n ) (Abzinsungsfaktor für 1 Jahr). BW n r,nach = rv 1 vn 1 v.

16 154 KAPITEL 8. GRUNDLAGEN DER FINANZMATHEMATIK Bemerkungen 1. Es gilt: BW n r,nach q = BWn r,vor EW n r,nach q = EWn r,vor 2. Die ensprechenden Werte für r = 1 heißen vorschüssige/nachschüssige Rentenbarwertfaktor/Rentenendwertfaktor. Beispiel Ein Großvater zahlt für seine Enkeltochter jeweils zu Jahresende 1200 Euro bei einer Bank ein. Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen nach 15 Jahren bei 6,5% jährlicher Verzinsung angewachsen und welchem Barwert entspricht dieses Guthaben? Man erhält den Endwert sowie den Barwert EW n r,nach = rqn 1 q 1 = , ,065 1 = ,60 B n r,nach = En r q n = ,60 : 1,06515 = ,20. Der Großvater könnte also alternativ sofort ,20 Euro anlegen, um nach 15 Jahren auf denselben Endwert zu kommen. Zum Vergleich: Die Gesamtsumme der Einzahlungen beträgt Euro. Was ändert sich, wenn er vorschüssig Euro einzahlt? EWr,vor n = qewr,nach n =... = ,81 BWr,vor n = qbwr,nach n =... = ,61 Wie lange soll der Großvater Euro am Jahresende einzahlen, wenn er einen Endwert von Euro wünscht (Zins 6,5 % pa)? nachschüssig K = auflösen nach n: K = r qn 1 q 1 ( K ) K ln r (q 1)+1 = qn n = r (q 1)+1 18, 30 Jahre, also 19 Jahre ln(q) vorschüssig Mit K = rq qn 1 q 1 n = ( K ln r ( q 1 q ln(q) ) ) +1 17, 63 Jahre, also 18 Jahre Für welchen Zins i geht es in 15 Jahren? numerische Lösung ca. 9,46%

17 8.3. RENTENRECHNUNG Ewige Rente Eine ewige Rente liegt vor, wenn die Rentenzahlungen zeitlich nicht begrenzt sind. In der Praxis wird dieses Modell für tilgungsfreie Hypothekendarlehen verwendet, oder für Stiftungen, bei denen die Zinserträge ausbezahlt werden, während das eigentliche Kapital unangetastet bleiben soll. Der Rentenendwert ist nicht definiert, lediglich der Barwert: Für die Berechnung kann man die Formeln für geometrische Reihen nutzen, oder den Limes n in BW n r ermitteln (es gilt lim n q n 1 q n = 1). Vorschüssig Nachschüssig BW r,vor = lim n r q n 1 qn 1 q 1 = r q q 1 BWr,nach = lim r 1 n q n qn 1 q 1 = r 1 q 1 Beispiel Ein Unternehmen stiftet einen (nicht öffentlich gemachten) Betrag, aus dessen Zinserträgen jährlich (vorschüssig) ein Preis für die beste Bachelorarbeit an der Hochschule verliehen werden soll. Um welchen Betrag handelt es sich, wenn der Preis 1000 Euro beträgt und eine Verzinsung von 7% unterstellt wird? Hier ist nach dem Barwert einer ewigen Rente gefragt, sodass man leicht Br,vor = rq q 1 = ,07 = ,71 0,07 berechnet. Das Unternehmen hat dankenswerterweise ,71 Euro gestiftet Weitere Fragen wenn die Rentenzahlungen monatlich stattfinden, und also die Zahlungstermine nicht mit der Verzinsungsperiode übereinstimmen, ermittelt man zunächst eine fiktive äquivalente Ersatzrente (Jahresrente genannt). wenn die Höhe der Rentenzahlungen variiert, dann werden diese einzeln ab-oder aufgezinst. die Frage, mit welchem Zins zu rechnen ist, ist wie bei Barwerten nicht pauschal zu beantworten.