3.3. Tilgungsrechnung

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1 3.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; Bezeichnung: S... Schuld, Darlehen, Kredit Es geht um die Rückzahlung von S einschließlich aller anfallenden Zinsen. Rückzahlungsmöglichkeiten: 1. am Ende der Kreditlaufzeit in voller Höhe Zinsen (gesamtfällige Schuld = Zinsrechnung) 2. in unregelmäßigen Beträgen (Formel (*), später) 3. in regelmäßigen Beträgen (Bezeichnung: Annuitäten A k ) Betrachtung des Falls von Rückzahlungen in regelmäßigen Zeitabständen (Tilgungsperioden) Für jede Tilgungsperiode ist ein Zinssatz i k festgelegt, so dass sich die k-te Annuität wie folgt zusammensetzt: A k Z k T k = Z k T k... Zinsanteil... Tilgungsanteil Zinsanteil: Zinsen für die Restschuld S k 1 zu Beginn der k-ten Tilgungsperiode: Z k = S k 1 i k Damit ergibt sich S k = S k 1 T k 1

2 Bezeichnungen: n... Laufzeit des Kredits in Tilgungsperioden i k... Zinssatz pro Tilgungsperiode Z k... Zinsen für die k-te Tilgungsperiode, k {1, 2,..., n} T k... Tilgungsbetrag für die k-te Tilgungsperiode, k {1, 2,..., n} ˆ= Betrag, um den sich die Schuld durch die Rückzahlung verringert A k... Annuität für die k-te Tilgungsperiode, A k = T k Z k, k {1, 2,..., n} S k... Restschuld/Schuldenstand am Ende der k-ten Tilgungsperiode, k {1, 2,..., n} Wir unterscheiden: Annuitätentilgung A k = konst. = A k = 1, 2,..., n Z k (da die Restschuld kleiner wird) T k (konstante Belastung) Ratentilgung T k = konst. = T k = 1, 2,..., n Z k (da die Restschuld kleiner wird) A k (stärkste Belastung am Anfang) 2

3 Bezeichnung: Tilgungsplan: = Tabelle, die für jede Tilgungsperiode der Laufzeit des Kredits in übersichtlicher Form die Restschuld, die Annuität und die Zinsen darstellt. Beispiel: S = , n = 5, i = 6% Ratentilgung: Rate T k = T = Tilgungs- Restschuld Zinsen Annuität Restschuld periode am Anfang der am Ende der Tilgungsperiode Tilgungsperiode k S k 1 Z k = S k 1 i A k = T Z k S k Beispiel: S = , n = 5, i = 6% Annuitätentilgung: Annuität A k = A = , 20 ( berechnet über nachschüssigen Rentenbetrag einer 5-jährigen Rente für den Barwert R 0 = : R = R 0 q n (q 1) q n 1 = , 065 0, 06 1, = , 20 ) Tilgungs- Restschuld Zinsen Annuität Restschuld periode am Anfang der am Ende der Tilgungsperiode Tilgungsperiode k S k 1 Z k = S k 1 i A S k , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,20 0 3

4 Annuitätentilgung mit festem Zinssatz Annuität = Zinsen Tilgung = konstant, d.h. A = Z k T k = konstant Aus den Formeln der Rentenrechnung folgt: S k = Sq k A qk 1 q 1 Schuld ohne Tilgung R k Falls A > Si = Z 1 = S k = T k mit T k = S k 1 S k. Differenz T k T k 1 ist Zinsersparnis, die durch die Tilgung T k 1 verursacht wird: T k T k 1 = T k 1 i, T k = T k 1 T k 1 i = T k 1 q, T k = T 1 q k 1, k = 1, 2, 3,... Aus A = Z 1 T 1 = Si T 1 folgt T 1 = A Si, und schließlich Satz: T k = (A Si)q k 1 = (A S(q 1))q k 1. Im Falle der Annuitätentilgung einer Schuld S durch die Annuität A (Voraussetzung A > Si) gelten allgemein folgende Gleichungen für k = 1, 2, 3,... S k = Sq k A qk 1 (3.1) q 1 T k = ( A S(q 1) ) q k 1 = T 1 q k 1 (3.2) Z k = A ( A S(q 1) ) q k 1 (3.3) 4

5 Vorgabe der Laufzeit n gegeben n: S n = 0 Die Schuld ist getilgt, wenn nach n Tilgungsperioden gilt: woraus folgt: 0 = S n = Sq n A qn 1 q 1, A = S qn (q 1) q n 1 (3.4) (Welche Rate muss man bezahlen, um...?) S = A qn 1 q n (q 1) (3.5) (Welche Schuld kann ich auf mich nehmen, wenn...?) 5

6 Berechnung der Tilgungsdauer aus einer vorgegebenen Annuität Die Schuld ist getilgt, wenn nach n Tilgungsperioden gilt: 0 = S n = Sq n A qn 1 q 1, woraus wie für die entsprechende Formel der Rentenrechnung folgt: n = ln ( ) 1 S i A (3.6) ln q Beispiel: S = , i = 6% Jahreszinssatz, A = am Jahresende ( ) , 06 ln = n = = 18, 85 ln 1, 06 Nach 18 Jahren beträgt die Restschuld S 18 = Sq 18 A q18 1 q 1 = , , = 3.641, 52 0, 06 Am Ende des 19. Jahres muss dieser Betrag einschließlich der anfallenden Zinsen gezahlt werden, also S 19 = 3.641, 52 1, 06 = 3.860, 01 = A 19 In einem solchen Fall spricht man von Annuitätentilgung mit verminderter Abschlussannuität (entsprechend: Annuitätentilgung mit erhöhter Abschlussannuität ). A 18 = A S 18 = 8.141, 52 6

7 Effektivzinsberechnung Basis: Preisangabenverordnung (PAngV) vom (im Netz) Grundlagen: durchgehend zinseszinsliche Rechnung Berechnung von Zeitdifferenzen in Jahren mit Tagen oder 12 gleichlangen Monaten ( à 30, 416 Tage) oder 52 Wochen Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik m k=1 A k (1 i) t k = m k =1 A k (1 i) t k ( ) Abgezinste Leistungen Abgezinste Leistungen des Gläubigers = des Schuldners (Kreditauszahlungen) (Tilgungszahlungen und Kosten) 7

8 Beispielrechnungen aus der PAngV Beispiel: Die Darlehenssumme S beträgt 1000 e. Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen: Nach 3 Monaten (0,25 Jahre/ 13 Wochen/ 91,25 Tage) 272 e Nach 6 Monaten (0,5 Jahre/ 26 Wochen/ 182,5 Tage) 272 e Nach 12 Monaten (1 Jahr/ 52 Wochen/ Tage) 544 e Insgesamt 1088 e Daraus ergibt sich folgende Gleichung: 1000 = 272 (1 i) 91, (1 i) 182,5 544 (1 i) Das Ergebnis lautet i = 0, ; dieses Ergebnis wird auf 13,19% gerundet. 8

9 Beispiel: Die Darlehenssumme S beträgt 4000 e, jedoch behält der Darlehensgeber 80 e für Kreditwürdigkeitsprüfungs- und Bearbeitungskosten ein, so dass sich der Auszahlungsbetrag des Darlehens auf 3920 e beläuft. Die Darlehensauszahlung erfolgt am 28. Februar Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen: Am 30. März 2000 Am 30. März 2001 Am 30. März 2002 Am 30. März ,00 e 1360,00 e 1270,00 e 1180,00 e Am 28. Februar ,50 e Insgesamt 4922,50 e Daraus ergibt sich folgende Gleichung: 3920, 00 = 30 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) , 50 (1 i) Das Ergebnis lautet i = 0, ; dieses Ergebnis wird auf 9,96% gerundet. 9

10 Beispiel: Die Darlehenssumme S beträgt e und die Darlehensauszahlung erfolgt am 15. Oktober Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen: Jeweils am 15. eines Monats (d.h. periodisch) erstmals am 15. November 1999 und letztmals am 15. März 2000 Zusätzliche Zahlungen jeweils am Ende eines bestimmten Monats in folgender Höhe: Oktober 1999 November 1999 Dezember 1999 Januar 2000 Februar 2000 Am 5. April ,00 e 25,00 e 47,50 e 42,50 e 37,50 e 32,50 e 5031,67 e Insgesamt ,67 e Daraus ergibt sich folgende Gleichung: , 00 = (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) 15 47, 50 (1 i) , 50 (1 i) , 50 (1 i) , 50 (1 i) , 67 (1 i) Das Ergebnis lautet i = 0, und wird auf 6,17% gerundet. 10

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