KOMPETENZHEFT ZU FOLGEN UND REIHEN

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1 KOMPETENZHEFT ZU FOLGEN UND REIHEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Gib ein Bildungsgesetz der arithmetischen Folge in expliziter Darstellung und in rekursiver Darstellung an. a) x n = 5, 8, 11, 14,... b) y n = 4, 5, 1, 1, c) z n = 42, 42, 42,... Aufgabe 1.2. Das 7. Glied einer arithmetischen Folge ist 5 und das 15. Glied ist 19. Gib ein Bildungsgesetz der Folge in expliziter Darstellung und in rekursiver Darstellung an. Aufgabe 1.3. Berechne das Folgenglied a 314 der arithmetischen Folge a 1 = 1294, a n+1 = a n 4, n 1. Aufgabe 1.4. Berechne die Summe der ersten 25 Folgenglieder der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10,.... Aufgabe 1.5. Gegeben ist die arithmetische Folge 8, 6, 4, 2,.... Für welche Zahl n ist die Summe der ersten n Folgenglieder 252? Aufgabe 1.6. Gesucht sind drei aufeinander folgende Glieder einer arithmetischen Folge. Ihre Summe ist 18 und ihr Produkt ist 192. Bestimme die drei Folgenglieder. Aufgabe 1.7. Stadtlauf. Sabine und Tobias absolvieren ein Trainingsprogramm für den nächsten Sabines tägliches Training ist für einen Zeitraum von 9 Wochen in der nebenstehenden Grafik dargestellt. Tobias beginnt ebenfalls mit 2 km täglich und erhöht seine Laufstrecke jede Woche um 30% in Bezug auf den jeweils vorigen Wert. Erstellen Sie mithilfe der Grafik eine Formel für Sabines Trainingsprogramm. Erstellen Sie eine Formel, mit der Sie die Laufstrecke von Tobias nach beliebig vielen Wochen berechnen können. Datum: 29. August

2 Zeichnen Sie das Trainingsprogramm von Tobias in die Grafik ein. Lesen Sie ab, in welcher Trainingswoche Sabine und Tobias ungefähr das gleiche Laufpensum absolvieren. Aufgabe 1.8. Gib ein Bildungsgesetz der geometrischen Folge in expliziter Darstellung und in rekursiver Darstellung an. a) x n = 4, 12, 36, 108,... b) y n = 16, 8, 4, 2,... c) z n = 7680, 960, 120, 15,... Aufgabe 1.9. Eine geometrische Folge enthält die beiden Folgenglieder b 3 = 40 und b 8 = a) Gib ein Bildungsgesetz der Folge in expliziter Darstellung und in rekursiver Darstellung an. b) Berechne die Summe der ersten zehn Folgenglieder. Aufgabe Armin und Bernd wollen an einem Wettbewerb teilnehmen, bei dem man 100 km mit dem Rad fahren muss. Sie überlegen sich dazu unterschiedliche Trainingspläne. Die Trainingsdauer der beiden für jede Woche kann jeweils durch eine Folge beschrieben werden. Die folgende Tabelle gibt die Trainingspläne der beiden wieder: Geben Sie an, welche Art von Folge beim Trainingsplan von Armin und welche beim Trainingsplan von Bernd verwendet wird. Stellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz auf, mit dem Armin die Trainingsdauer für die jeweils nachfolgende Woche berechnen kann. Stellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz auf, mit dem Bernd seine Trainingsdauer für die jeweils nachfolgende Woche berechnen kann. Aufgabe Erkläre, warum jede konstante Folge c, c, c,... sowohl eine arithmetische Folge als auch eine geometrische Folge ist. Aufgabe Erkläre, warum die Folge a n = 1, 2, 4, 6,... weder eine arithmetische Folge noch eine geometrische Folge sein kann. Aufgabe Der Legende nach wünschte sich der Erfinder des Schachspiels als Belohnung vom König Weizenkörner: Auf das 1. Feld am Schachbrett wünschte er sich 1 Korn, auf das 2. Feld 2 Körner, auf das 3. Feld 4 Körner, auf das 4. Feld 8 Körner... Mit jedem Feld sollte sich die Anzahl der Körner verdoppeln, bis alle 64 Schachfelder belegt sind. Angenommen die gesamte Menge an Weizenkörnern am Schachbrett wird fair unter 7,5 Milliarden Menschen aufgeteilt. Welche Gesamtmasse an Weizenkörnern würde jeder Mensch erhalten? 1000 Weizenkörner haben eine Masse von rund 50 g. 2

3 Aufgabe Du eröffnest ein Sparbuch mit 400 e Kapital, das effektiv mit 1,85% p.a. verzinst wird. Mit b n wird das Kapital nach n Jahren bezeichnet. a) Erkläre, warum b n eine geometrische Folge ist. b) Gib ein explizites und ein rekursives Bildungsgesetz der Folge an. Aufgabe Du eröffnest zu Jahresbeginn ein Sparbuch mit effektivem Zinssatz 2,125% p.a. und einem jährlich gleichen Einzahlungsbetrag. Du berechnest den Endwert des Sparbuchs folgendermaßen: E = 800 q q q q a) Gib den Wert des Aufzinsungsfaktors q an. b) Welchen Betrag zahlst du jährlich ein? Woran erkennst du, ob der Betrag zu Jahresanfang oder zum Jahresende eingezahlt wird? c) Wie viele Jahre Laufzeit hat das Sparbuch? d) Begründe, warum E = 800 q q6 1 gilt und berechne den Endwert des Sparbuchs. q 1 Aufgabe Für eine private Pensionsvorsorge zahlst du über 40 Jahre am Monatsende 50 e auf ein Pensionskonto. Berechne den Endwert, wenn die jährliche Verzinsung effektiv 3,25% beträgt. Aufgabe Ein Kredit von e wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz von 4% verzinst. Du möchtest jedes Monatsende einen fixen Betrag von R e bezahlen, sodass der Kredit nach 20 Jahren abbezahlt ist. Wie hoch muss die monatliche Rate R sein? Wie viel Geld zahlst du insgesamt an die Bank zurück? 3

4 1.1 a) Explizite Darstellung: x n = 5 + (n 1) 3, Rekursive Darstellung: x1 = 5, xn+1 = xn + 3, n 1 b) Explizite Darstellung: y n = 4 (n 1) 1,5, Rekursive Darstellung: y1 = 4, yn+1 = yn 1,5, n 1 c) Explizite Darstellung: z n = 42, Rekursive Darstellung: z1 = 42, zn+1 = zn, n Explizite Darstellung: a n = 23 + (n 1) 3, Rekursive Darstellung: a1 = 23, an+1 = an + 3, n a 314 = s 25 = n = {4, 6, 8} 1.7 s Sabine (t) = 1,5 t + 2 s T obias (t) = 2 1,3 t t... Anzahl der Trainingswochen In der 7.Trainingswoche laufen sie in etwa gleich weit. 1.8 a) Explizite Darstellung: x n = 4 3 n 1, Rekursive Darstellung: x 1 = 4, xn+1 = xn 3, n 1 b) Explizite Darstellung: y n = 16 ( 0,5) n 1, Rekursive Darstellung: y 1 = 16, yn+1 = yn ( 0,5), n 1 c) Explizite Darstellung: z n = ,125 n 1, Rekursive Darstellung: z 1 = 7680, zn+1 = zn 0,125, n a) Explizite Darstellung: b n = 10 ( 2) n 1, Rekursive Darstellung: b 1 = 10, bn+1 = bn ( 2), n 1 b) s 10 = Armin: Arithmetische Folge, Rekursives Bildungsgesetz: a 1 = 1,5, an+1 = an + 0,5, n 1 Bernd: Geometrische Folge, Rekursives Bildungsgesetz: b 1 = 1,5, bn+1 = bn 1,2, n Es ist eine arithmetische Folge, weil die Differenz aufeinander folgender Glieder immer gleich groß ist. (d = 0) Es ist eine geometrische Folge, weil der Quotient aufeinander folgender Glieder immer gleich groß ist. (q = 1) 1.12 Es kann keine arithmetische Folge sein, weil a 2 a1 = 2 1 = 1, aber a3 a2 = 4 2 = 2. Es kann keine geometrische Folge sein, weil a 2 = 2 = 2, aber a 4 = 6 = 1,5. a1 1 a Jeder Mensch würde rund 123 t Weizenkörner erhalten a) Pro Jahr steigt das Kapital um 1,85% vom Kapital des vorherigen Jahrs. Es gilt also b n+1 = bn q mit dem Aufzinsungsfaktor q = 1,0185. Es handelt sich daher um eine geometrische Folge. b) Rekursive Darstellung: b n+1 = bn 1,0185, b1 = 407,4 e (oder: b0 = 400 e ) Explizite Darstellung: b n = 400 1,0185 n 1.15 a) q = 1, (oder: b n = 407,4 1,0185 n 1 ) b) R = 800 e, Einzahlung zu Jahresanfang ( vorschüssig ), weil die letzte Einzahlung auch verzinst wurde (800 q). c) 6 Jahre d) E = 800 q (q 5 + q 4 + q 3 + q 2 + q + 1) = 800 q q6 1 q ,92 e E ,24 e 1.17 Die monatliche Rate beträgt R = 150,55... e. Insgesamt werden 240 R e an die Bank zurückgezahlt. 4

5 2. Zahlenfolgen Du kennst vielleicht Rätsel, bei denen eine Zahlenfolge fortgesetzt werden soll: 1, 4, 7, 10, 13,... 3, 6, 12, 24, 48,... 1, 4, 9, 16, 25,... 3, 6, 12, 24, 48,... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Kannst du jeweils ein Muster erkennen? Hier wirst du mit einer effizienten Formel berühmt. Folge Bei einer Zahlenfolge (kurz: Folge) befinden sich also Zahlen in einer festen Reihenfolge: a 1, a 2, a 3,... Die erste Zahl der Folge ist a 1, die zweite Zahl ist a 2,... Die einzelnen Zahlen einer Folge nennen wir auch Folgenglieder. Die kleine tiefgestellte Zahl 1 bei a 1 heißt auch Index. Der Index hilft uns beim Nummerieren der Folgenglieder. Statt a 1, a 2, a 3,... schreiben wir auch kürzer a n n 1 oder noch kürzer a n. Sprechweise: a 42 ist das 42. Glied der Folge a n. Folgen können endlich sein, zum Beispiel ein vierstelliger Zahlencode am Fahrradschloss. Folgen können aber auch unendlich sein, zum Beispiel die Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25,.... Die spitzen Klammern verwenden wir zur Unterscheidung von Folgen und Mengen. Bei Mengen kommt es nämlich nicht auf die Reihenfolge der Zahlen an: Die Mengen {1, 2, 3, 4} und {2, 1, 4, 3} sind gleich. Bei Folgen ist die Reihenfolge aber wichtig: Die Folgen 1, 2, 3, 4 und 2, 1, 4, 3 sind voneinander verschieden. Jetzt musst du nur noch mein Fahrrad finden... Wie geht die Folge 3, 5, 7,... weiter? Mehrdeutigkeit Lukas setzt fort: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... Annika setzt fort: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Wer hat Recht? Solche Aufgabenstellungen sind nicht eindeutig lösbar. Es gibt vielleicht Fortsetzungen, die naheliegender sind als andere. Von richtig oder falsch können wir aber jedenfalls nicht sprechen. Um 5

6 wirklich alle Glieder einer Folge eindeutig festlegen zu können, sehen wir uns jetzt zwei verschiedene Möglichkeiten an: Beispiel 2.1. Die Folge a n = 2 n + 1 ist in expliziter Darstellung gegeben. Wir berechnen berechnen die ersten Folgenglieder: n = 1 = a 1 = = 3. n = 2 = a 2 = = 5. n = 3 = a 3 = = 7. n = 42 = a 42 = = 85. Kurz geschrieben: a n = 3, 5, 7,.... Mit der expliziten Darstellung wissen wir wie es weiter geht. Mit der expliziten Darstellung können wir jedes beliebige Folgenglied sofort ausrechnen, indem wir die gewünschte Zahl für n einsetzen. Folge als Funktion Erinnere dich, dass eine Funktion jedem Element der Definitionsmenge genau einen Wert in der Wertemenge zuordnet. Erkläre: Eine Folge a 1, a 2, a 3,... ist eine Funktion a mit Definitionsmenge {1, 2, 3,...} und Funktionswerten a(n) = a n. Welche Art von Funktion steckt hinter a n = 2 n + 1? Zeichne die ersten fünf Folgenglieder rechts ein. Beispiel 2.2. Eine andere Möglichkeit zur eindeutigen Festlegung der Folge < 3, 5, 7, 9, 11,... > ist die rekursive Darstellung. Die rekursive Darstellung besteht aus zwei Teilen: 1) a 1 = 3 Anfangsbedingung 2) a n+1 = a n + 2, n 1 Rekursionsvorschrift 6

7 Die Anfangsbedingung legt fest, bei welchem Wert die Folge startet. Die Rekursionsvorschrift enthält das Muster, wie wir von einem zum nächsten Folgenglied kommen ( immer +2 rechnen ). n = 1 = a 2 = a = = 5. n = 2 = a 3 = a = = 7. n = 3 = a 4 = a = = 9.. Um in der rekursiven Darstellung das 42. Folgenglied zu berechnen, müssen wir alle vorhergehenden Folgenglieder bestimmen: a 42 = a = a = a = = a = 85. Namensgebung Die Bezeichnungen explizit und rekursiv kommen ursprünglich aus dem Lateinischen: recurrere bedeutet zurücklaufen: Um ein Folgenglied zu berechnen, musst du bei der rekursiven Darstellung ja bis zur Anfangsbedingung zurücklaufen. Im Gegensatz dazu ist bei einer expliziten Darstellung das Folgenglied a n direkt ( explizit ) ausgedrückt. Wir müssen zur Berechnung nicht auf die vorherigen Glieder zurückgreifen. Aufgabe 2.3. Übersetze die folgenden Beschreibungen jeweils in eine rekursive Folgendarstellung. Kannst du auch eine explizite Darstellung finden? a) Das erste Folgenglied ist 16. Von einem Glied zum nächsten wird immer 3 abgezogen. b) Alle Folgenglieder sind 23. c) Jedes Folgenglied ist doppelt so groß wie das vorherige. Das erste Glied ist 5. Anfangsbedingungen Es gibt auch Folgen, bei denen die Rekursionsvorschrift nicht nur auf das vorherige Folgenglied zurückgreift. Zum Beispiel: a n+2 = a n+1 + a n, n 1. Erkläre, warum du zur eindeutigen Festlegung der Folge mehr als nur a 1 kennen musst. Beispiel 2.4. Die Folge f n mit der rekursiven Darstellung f 1 = 1, f 2 = 1, f n+2 = f n+1 + f n, n 1, 7

8 heißt Fibonacci-Folge 1 Jedes Folgenglied ist also die Summe der beiden vorherigen Folgenglieder: n = 1 = f 3 = f 2 + f 1 = = 2. n = 2 = f 4 = f 3 + f 2 = = 3. n = 3 = f 5 = f 4 + f 3 = = 5. n = 4 = f 6 = f 5 + f 4 = = 8.. Es gibt (mathematisch fortgeschrittene) Methoden, um aus der rekursiven Darstellung einer Folge eine explizite Darstellung zu berechnen. Bei der Fibonacci-Folge kann man damit folgende explizite Darstellung berechnen: f n = ϕn ψ n 5 mit ϕ = Die Zahl ϕ ist der sogenannte Goldene Schnitt. = 1, und ψ = Probiere die Formel mit dem Taschenrechner aus. Explizite Darstellung der Fibonacci-Zahlen Rechne für f n = ϕn ψ n 5 nach, dass tatsächlich f 1 = 1, f 2 = 1 und f n+2 = f n+1 + f n gilt. Hinweis: Überlege dir zuerst, dass ϕ 2 = ϕ + 1 und ψ 2 = ψ + 1. Babylonisches Wurzelziehen Schon vor über 3000 Jahren kannte die Menschheit eine Methode nur mit den Grundrechnungsarten die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl A beliebig genau zu berechnen, nämlich: 1) Starte mit einer beliebigen positiven Zahl a 1. 2) Berechne rekursiv a n+1 = 1 (a ) 2 n + A a n, n 1. Also den arithmetischen Mittelwert von an und A. a n Probiere das Verfahren aus, um die Wurzel aus A = 2 zu berechnen. Das wievielte Folgenglied ist schon auf 9 Nachkommastellen genau 2 = 1, ? Kannst du einen Zusammenhang zwischen dem folgenden Bild und dem Verfahren erkennen? A A a n A A a n+1 A A a n a n+1 A Erkläre, warum a n+1 und A a n+1 immer zwischen a n und A a n liegen. Die Rechtecke mit Flächeninhalt A nähern sich also dem Quadrat mit Flächeninhalt A an. 1 Diese wurde benannt nach Leonardo da Pisa (Sohn des Bonaccio ; lateinisch filius Bonacii ; Fibonacci ), der im 12. und 13. Jhdt.n.Chr in Italien lebte. 8

9 Aufgabe 2.5. Wir bauen aus Ziegelsteinen einen Turm auf. Die Anzahl der Ziegelsteine in der n. Reihe (von oben gezählt) ist a n : a 1 = 1 a 2 = 2 a 3 = 3 a 4 = 4 a 5 = 5 Gib ein Bildungsgesetz der Folge in expliziter und in rekursiver Darstellung an. Wie viele Ziegelsteine sind notwendig, um einen Turm mit 100 Stockwerken zu bauen? Bei solchen Fragestellungen geht es um die Berechnung einer sogenannten Teilsumme. Für die obersten 5 Stockwerke sind zum Beispiel a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 15 Ziegelsteine notwendig. Die Summe der ersten n Glieder einer Folge a n heißt auch n.te Teilsumme der Folge. Wir kürzen sie mit s n ab: Teilsumme und Reihe Es wird also nur ein Teil der Folge aufsummiert. s n = a 1 + a 2 + a a n Die Folge der Teilsummen s n nennen wir dann eine Reihe. Beispiel 2.6. Für die Folge der Ziegelsteine a n = 1, 2, 3, 4,... gilt s 1 = a 1 = 1 s 2 = a 1 + a 2 = 3 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 = 6 s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 10. Die zugehörige Reihe s n beginnt also mit s n = 1, 3, 6, 10, 15, 21,... Es gilt übrigens s 100 = = Hast du eine Idee warum? Mehr dazu erfährst du bald... 9

10 3. Arithmetische Arithmetische Folge Bei einer arithmetischen Folge a n ist die Differenz d zweier aufeinander folgender Glieder immer gleich groß: a 2 a 1 = d, a 3 a 2 = d, a 4 a 3 = d,... a n+1 a n = d, n 1. Beispiel 3.1. Bei der Folge a n mit expliziter Darstellung a n = 3 n 1, n 1, kommen wir von einem zum nächsten Folgenglied, indem wir 3 addieren: < 2, 5, 8, 11, 14,... > Die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder ist also immer d = 3. Das können wir auch mit der expliziten Darstellung allgemein nachrechnen: a n+1 a n = [3 (n + 1) 1] [3 n 1] = [3 n + 2] 3 n + 1 = 3. Es handelt sich also um eine arithmetische Folge. Eine rekursive Darstellung der Folge ist a 1 = 2, a n+1 = a n + 3, n 1. Erkläre warum jede arithmetische Folge mit Differenz d die folgende Rekursionsvorschrift erfüllt: a n+1 = a n + d, n 1. Arithmetische Folge Rekursive Darstellung Beispiel 3.2. Die Folge < 5, 3, 1, 1, 3,... > ist auch eine arithmetische Folge. Die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder ist konstant: d = a n+1 a n = 2. Erkläre, wie du mit a 1 und d direkt das 58. Folgenglied berechnen kannst. Schritte zählen 10

11 Arithmetische Folge Explizite Darstellung Erkläre die folgende explizite Darstellung der arithmetischen Folge mit Differenz d und erstem Folgenglied a 1 : +d +d +d +d a n = a 1 + (n 1) d < a 1, a 2, a 3,..., a n,... > Beispiel 3.3. Eine arithmetische Folge enthält die beiden Folgenglieder a 11 = 2 und a 27 = 10. a) Gib ein Bildungsgesetz der Folge in expliziter Darstellung und in rekursiver Darstellung an. b) Berechne das 86. Folgenglied. c) Welches Folgenglied hat den Wert 23? Lösung. a) Vom 11. Folgenglied bis zum 27. Folgenglied sind es insgesamt = 16 Schritte. Da es sich um eine arithmetische Folge handelt, gilt a 27 = a d d = a 27 a Mit der Differenz d können wir das erste Folgenglied berechnen: = 0,5. a 11 = a d a 1 = a d = 3. Explizite Darstellung: a n = 3 + (n 1) 0,5 Rekursive Darstellung: a 1 = 3, a n+1 = a n + 0,5, n 1. b) a 86 = a d = ,5 = 39,5. c) Wir lösen die Gleichung a n = 23 nach n auf: 3 + (n 1) 0,5 = 23 (n 1) 0,5 = 26 n = 53. Es gilt also a 53 = 23, d.h. das 53. Folgenglied hat den Wert

12 Arithmetische Folgen und lineare Funktionen Kommt dir der Ausdruck d = a 27 a bekannt vor? Erkläre, was damit im nebenstehenden Bild berechnet wird. Die explizite Darstellung einer arithmetischen Folge ist a n = a 1 + (n 1) d = n d + a 1 d. Wie groß ist die Steigung der linearen Funktion a(n) = n d + a 1 d, und wo schneidet ihr Graph die vertikale Achse? Erkläre, warum jedes Folgenglied einer arithmetischen Folge der arithmetische Mittelwert der beiden Nachbarglieder ist. Kurz: a n 1 + a n+1 2 = a n Warum arithmetische Folge? Beispiel 3.4. a) Erkläre, warum a n = n eine arithmetische Folge ist. b) Berechne die Summe der ersten 100 Folgenglieder. Lösung. a) Die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder ist immer gleich groß: a n+1 a n = (n + 1) n = 1. Es handelt sich also um eine arithmetische Folge mit Differenz d = 1. 12

13 b) Wir schreiben die Summe einmal in normaler Reihenfolge und einmal in verkehrter Reihenfolge. Danach addieren wir die beiden Gleichungen: s 100 = s 100 = s 100 = = s 100 = = Gaußsche Summenformel Versuche die gleiche Rechnung mit s n = n durchzuführen. Tatsächlich beträgt die Summe der ersten n positiven, natürlichen Zahlen n (n + 1) s n =. 2 Die Formel ist rechts veranschaulicht. Versuche die Skizze in eigenen Worten zu erklären. n }{{} } {{ } n + 1 Der gleiche Trick funktioniert immer dann, wenn die Differenz aufeinander folgender Glieder konstant ist, also bei arithmetischen Folgen: Beispiel 3.5. Berechne Lösung. Jeder Summand ist immer um 3 größer als sein Vorgänger. Es handelt sich also um eine Teilsumme einer arithmetischen Folge. Wie viele Summanden sind es insgesamt? Ein möglicher Ansatz: x = 176 = x = 58 Schritte vom ersten bis zum letzten Summanden. Es sind also insgesamt 59 Summanden. s = s = s = s = = 5251.

14 Arithmetische Reihe Kannst du die folgenden Rechenschritte nachvollziehen? s n = a 1 + a a n s n = a n + a n a 1 2 s n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + + (a 1 + a n ) Die Summe der ersten n Folgenglieder einer arithmetischen Folge mit Differenz d beträgt s n = (a 1 + a n ) n 2. Erstes und letztes Folgenglied der arithmetischen Folge addieren und mit der halben Anzahl multiplizieren. Beispiel 3.6. Eine arithmetische Folge ist in rekursiver Darstellung gegeben: Berechne a 17 + a 18 + a a 38. a 1 = 49, a n+1 = a n 4, n 1. Lösung. Aus der Rekursionsvorschrift können wir ablesen, dass die Differenz aufeinander folgender Glieder d = 4 ist. Also ist a 17 = a d = ( 4) = 15 und Wie viele Summanden sind es insgesamt? a 38 = a d = ( 4) = 99. Es sind nicht = 21 Summanden, sondern einer mehr: Von den ersten 38 Folgenglieder sind die ersten 16 Folgenglieder nicht in der Summe dabei. Die Summe besteht also aus insgesamt = 22 Summanden. Da es sich um eine arithmetische Folge handelt, beträgt die Summe a 17 + a 18 + a a 38 = (a 17 + a 38 ) 22 2 = Beispiel 3.7. Berechne die Summe aller fünfstelligen Zahlen, die durch 4 teilbar sind. 14

15 Lösung. Kleinste fünfstellige Zahl, die durch 4 teilbar ist: : 4 = : 4 = : 4 = 2502 Größte fünfstellige Zahl, die durch 4 teilbar ist: : 4 = Insgesamt gibt es also = fünfstellige Zahlen, die durch 4 teilbar sind. Sie bilden eine arithmetische Folge mit Differenz d = 4. Ihre Summe beträgt = ( ) = Geometrische Beispiel 4.1. Bei der Folge b n mit expliziter Darstellung b n = 3 2 n, n 1 kommen wir von einem zum nächsten Folgenglied, indem wir mit 2 multiplizieren: < 6, 12, 24, 48, 96,... > Der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder ist bei dieser Folge also immer q = 2. Das können wir auch mit der expliziten Darstellung allgemein nachrechnen: Eine rekursive Darstellung der Folge ist also b n+1 b n = 3 2n n = 2 2n 2 n = 2. b 1 = 3, b n+1 = b n 2, n 1. Geometrische Folge Bei einer geometrischen Folge b n kommt man von einem zum nächsten Folgenglied, indem man immer mit dem gleichen Faktor q multipliziert. Kurz: b n+1 = b n q, n 1. 15

16 Erkläre: Sind bei einer geometrischen Folge b n alle Glieder von Null verschieden, dann ist der Quotient q aufeinander folgender Glieder immer gleich groß: Geometrische Folge Quotient b 2 b 1 = q, b 3 b 2 = q, b 4 b 3 = q,... b n+1 b n = q, n 1. Was passiert, wenn bei einer geometrischen Folge ein Glied gleich Null ist? Beispiel 4.2. Die Folge 0,5 0,5 0,5 0,5 < 96, 48, 24, 12, 6,... > ist auch eine geometrische Folge. Der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder ist konstant: q = b n+1 b n = 0,5. Erkläre, wie du mit b 1 und q direkt das 18. Folgenglied berechnen kannst. Schritte zählen Erkläre die folgende explizite Darstellung einer geometrischen Folge mit Quotient q und erstem Folgenglied b 1 : Geometrische Folge Explizite Darstellung q q q q < > b n = b 1 q n 1 b 1, b 2, b 3,..., b n,... Beispiel 4.3. Eine geometrische Folge enthält die beiden Folgenglieder b 3 = 72 und b 6 = 243. a) Gib ein Bildungsgesetz der Folge in expliziter Darstellung und in rekursiver Darstellung an. b) Berechne das 9. Folgenglied. c) Ab welchem Folgenglied sind alle weiteren Folgenglieder größer als ? Lösung. a) Vom 3. Folgenglied bis zum 6. Folgenglied sind es insgesamt 6 3 = 3 Schritte. Da es sich um eine geometrische Folge handelt, gilt b 6 = b 3 q 3 q = 3 b6 b 3 = 1,5. 16

17 Mit dem Quotienten q können wir das 1. Folgenglied berechnen: Explizite Darstellung: b n = 32 1,5 n 1 b 3 = b 1 q 2 b 1 = b 3 q 2 = 32. Rekursive Darstellung: b 1 = 32, b n+1 = b n 1,5, n 1. b) b 9 = b 1 q 8 = 32 1,5 8 = 820,125. c) Wir lösen die Ungleichung b n > nach n auf: 32 1,5 n 1 > ,5 n > 32 ( ) (n 1) lg(1,5) > lg 32 n > lg ( ) = 20,84... lg(1,5) lg(1,5) > 0, also dreht sich > nicht um. Da der Quotient q = 1,5 größer als 1 ist, werden die Folgenglieder immer größer. Es sind also ab dem 21. Folgenglied alle weiteren Folgenglieder größer als Geometrische Folgen und Exponentialfunktionen Kommt dir diese Art von Wachstum bekannt vor? Die explizite Darstellung einer geometrischen Folge ist b n = b 1 q n 1 = b 1 q 1 q n. Wo schneidet der Graph der Exponentialfunktion die vertikale Achse? b(n) = b 1 q 1 q n = b 1 q qn 17

18 Welchen Wert hat der Quotient q der folgenden geometrischen Folge? < 1,?, 4,?, 16,... > Die Aufgabenstellung ist nicht eindeutig lösbar. Es gibt zwei richtige Lösungen: < 1, 2, 4, 8, 16,... > (-2) (-2) (-2) (-2) und < 1, 2, 4, 8, 16,... >. Die Gleichung q 2 = 4 hat ja auch zwei reelle Lösungen: q 1 = 2 und q 2 = 2. Eine Folge, bei der benachbarte Folgenglieder immer ein unterschiedliches Vorzeichen haben, nennen wir auch alternierende Folge. Das Vorzeichen alterniert (wechselt) immer zwischen + und. Geometrische Reihe Rechne nach, dass ( 1 + q + q 2 ) (q 1) = q 3 1 und ( 1 + q + q 2 + q 3) (q 1) = q 4 1. Erkennst du das Muster? Erkläre damit für beliebige natürliche Zahlen n 1, dass ( 1 + q + q q n 1) (q 1) = q n 1. Damit können wir die Summe von n aufeinander folgenden Gliedern einer geometrischen Folge b n berechnen: b 1 + b 2 + b b n = b 1 + b 1 q + b 1 q b 1 q n 1 = = b 1 (1 + q + q q n 1) = = b 1 qn 1 q 1 Hier setzen wir q 1 voraus. Warum? Die Summe der ersten n Folgenglieder einer geometrischen Folge mit Quotient q beträgt s n = b 1 qn 1 q 1, q 1. Wie groß ist die Summe, wenn q = 1 ist? Beispiel 4.4. Berechne die Summe der ersten 20 Folgenglieder der geometrischen Folge b n = 3, 6, 12, 24,.... Berechne auch b 7 + b b 29. Lösung. Der Quotient der geometrischen Folge ist q = b 2 b1 = 2. Die Summe der ersten 20 Folgenglieder ist also s 20 = b 1 q20 1 q 1 = =

19 Um b 7 + b b 29 mit der Formel zu berechnen, müssen wir nur die Anzahl der Summanden (n = 23), den Quotienten (q = 2) und den ersten Summanden kennen: b 7 = b 1 q 6 = = 192. Die Summe der 23 aufeinander folgenden Glieder der geometrischen Folge ist dann b 7 + b b 29 = b 7 q23 1 q 1 = = Prozentrechnung Erinnere dich, dass wir jede Multiplikation mit einer positiven Zahl auch als Prozentrechnung interpretieren können: G 0,72 G 72% 72% von G G um 28% verkleinert. G 1,25 G 125% 125% von G G um 25% vergrößert. G 1,00 G 100% 100% von G G bleibt gleich. Beispiel 4.5. Ein Kapital von 150 e wächst jährlich um 2%. a) Wie groß ist das Kapital nach 8 Jahren? b) Nach wie viel Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? c) Mit b n wird das Kapital nach n Jahren abgekürzt. Erkläre, warum b n eine geometrische Folge ist. Lösung. a) Jedes Jahr wird das Kapital um 2% vergrößert (Multiplikation mit 102% = 1,02). Nach 8 Jahren beträgt das Kapital also 150 1,02 1, ,02 = 150 1, ,75 e. }{{} 8 Faktoren b) Das Kapital nach n Jahren beträgt 150 1,02 n. Wir lösen also folgende Gleichung nach n auf: 150 1,02 n = 300 1,02 n = 2 n = lg(2) lg(1,02) Das Kapital verdoppelt sich also innerhalb von etwas mehr als 35 Jahren. = 35, Jahre c) Nach jedem Jahr ist das Kapital um 2% größer als das Kapital im Vorjahr. Es gilt also b n+1 = b n 1,02. Die Folge b n ist somit eine geometrische Folge mit Quotient q = 1,02. 19

20 Finanzmathematik Wir werden folgende Begriffe und Abkürzungen aus der Finanzmathematik verwenden: Die Abkürzung p.a. ( per annum ) bedeutet übersetzt pro Jahr. Ist ein Sparbuch mit 2% p.a. verzinst, zahlt die Bank also pro Jahr 2% Zinsen. Die Kapitalertragssteuer (kurz: KESt) beträgt in Österreich 25%. Von den Zinsen zahlt die Bank also 25% als Steuer an den Staat. Die anderen 75% der Zinsen bleiben der sparenden Person tatsächlich übrig. Bewirbt eine Bank ein Sparbuch mit dem Zinssatz 2% p.a., wächst das Kapital wegen der KESt nicht um 2% pro Jahr, sondern um 2% 0,75 = 1,5%. Dieser tatsächliche Zinssatz (nach Abzug der KESt) wird auch effektiver Zinssatz genannt. Der ursprüngliche Zinssatz (vor Abzug der KESt) heißt nominaler Zinssatz. Beispiel 4.6. Innerhalb von 8 Jahren wächst ein Kapital auf einem Sparbuch mit fixem Zinssatz von 3000 e um 334 e. Berechne den jährlichen, nominalen Zinssatz. Lösung. Das Kapital ist innerhalb von 8 Jahren von 3000 e auf 3334 e gewachsen. Der jährliche Aufzinsungsfaktor q erfüllt also q 8 = 3334 q = 8 = 1, = 101, % 3000 Der effektive Zinssatz pro Jahr beträgt somit 1,328...%. Der nominale Zinssatz p erfüllt dann p 0,75 = 1,328...% p = 1,328...% 0,75 = 1,771...%. Beispiel 4.7. Du eröffnest ein Sparbuch mit dem effektiven Zinssatz 1,725% p.a., auf das du zu Jahresbeginn immer den gleichen Betrag R einzahlst. Eine solche regelmäßige Zahlung zu Jahresbeginn heißt auch vorschüssige Rente. a) Wie viel Geld befindet sich am Ende des fünften Jahres auf dem Sparbuch, wenn du zu Jahresbeginn immer R = 400 e einzahlst? b) Wie groß muss die Rate R sein, damit du nach 5 Jahren 3000 e angespart hast? Lösung. Der jährliche Aufzinsungsfaktor q beträgt q = 101,725% = 1,

21 a) Die erste Einzahlung von 400 e wird 5 Mal verzinst, die zweite Einzahlung 4 Mal,..., die fünfte Einzahlung wird einmal verzinst. Das Endkapital beträgt also E = 400 q q q q q 5. Gesucht ist also die Summe von n = 5 Gliedern einer geometrischen Folge mit Quotient q und erstem Folgenglied 400 q: E = 400 q q5 1 q ,91 e. b) Die gesuchte Rate R ist die Lösung der folgenden Gleichung R q q5 1 q 1 = 3000 R = 3000 (q 1) q (q 5 1) 569,82 e. Beispiel 4.8. Du benötigst einen Kredit und erhältst zwei Angebote: Bank A bietet dir den Kredit mit einem effektiven Zinssatz von 24% pro Jahr an. Bank B bietet dir den Kredit mit einem effektiven Zinssatz von 2% pro Monat an. a) Bei welcher Bank zahlst du pro Jahr weniger Zinsen? b) Wie hoch müssten die monatlichen Zinsen von Bank B sein, damit pro Jahr gleich viel Zinsen anfallen? Lösung. a) Bank B verzinst pro Jahr 12 Mal mit dem Aufzinsungsfaktor q = 1,02, also insgesamt mit q 12 = 1,02 12 = 1, = 126,824...% Bei Bank B fallen insgesamt pro Jahr rund 26,82% Zinsen an, also mehr als die 24% von Bank A. Bei diesem Effekt sprechen wir von Zinseszinsen. b) Der gesuchte Aufzinsungsfaktor ist die positive Lösung der folgenden Gleichung: q 12 = 1,24 = q = 12 1,24 = 1, = 101,808...% Bei rund 1,81% Zinsen pro Monat fallen pro Jahr 24% Zinsen an. Beispiel 4.9. Du eröffnest zu Beginn des Jahres 2018 ein Sparkonto, das mit einem nominalen Zinssatz von 1,4% p.a. beworben wird. Jeden Monatsende zahlst du 30 e auf das Konto ein. Wie lange dauert es, bis du 3000 e angespart hast? Überlege zuerst, wie lange es höchstens dauern kann. Eine solche regelmäßige Zahlung am Periodenende heißt auch nachschüssige Rente. 21

22 Lösung. Der effektive Zinssatz pro Jahr beträgt 1,4% 0,75 = 1,05%. Der jährliche Aufzinsungsfaktor ist also 101,05% = 1,0105. Der monatliche Aufzinsungsfaktor ist dann q = 12 1,0105 = 1, Wie viel Geld haben wir unmittelbar nach der n. Einzahlung angespart? Wir suchen n. Die letzte Einzahlung von 30 e wurde noch nicht verzinst. Die Einzahlung aus dem Vormonat wurde einmal mit q = 12 1,0105 verzinst. Die Einzahlung aus dem vorletzen Monat wurde zweimal mit q verzinst.. Die Einzahlung aus dem ersten Monat wurde n 1 Mal mit q verzinst. Unmittelbar nach der n. Einzahlung sind am Sparkonto also K n = q + 30 q q n 1 = 30 qn 1 q 1. Wir lösen die Gleichung K n = 3000 nach n auf: 30 qn 1 q 1 = 3000 qn 1 = 3000 (q 1) 30 Nach rund 8 Jahren befinden sich 3000 e am Sparkonto. n = lg (100 (q 1) + 1) lg(q) = 95,92... Beispiel Ein Kredit von e wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz von 3% verzinst. Du möchtest jedes Jahresende einen fixen Betrag von R e bezahlen, sodass der Kredit nach 8 Jahren abbezahlt ist. Wie hoch muss die Rate R sein? Wie viel Geld zahlst du insgesamt an die Bank zurück? Lösung. Der jährliche Aufzinsungsfaktor beträgt q = 1,03. Mit a n bezeichnen wir die Schulden nach Bezahlung der n. Rate. Dann gilt: a 1 = q R a 2 = a 1 q R = q 2 R q R a 3 = a 2 q R = q 3 R q 2 R q R. a 8 = q 8 R q 7 R q 6 R q R Wir lösen die Gleichung a 8 = 0 nach R auf: R + R q + + R q 7 = q 8 R = q8 (q 1) q ,56 e. Insgesamt zahlst du also 8 R e zurück an die Bank. 22

23 5. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe 5.1. Die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks bilden eine geometrische Folge. Erkläre, warum das Verhältnis der Hypotenuse c zur kürzeren Kathete a der goldene Schnitt ist: c a = Aufgabe 5.2. Michael weiß ohne nachzurechnen sofort, dass = 25 ist. Dazu zeichnet er einfach das folgende Bild. Kannst du seine Idee erklären? Was kommt bei heraus? Aufgabe 5.3. [1, 10, 2] Die konstante Differenz d, das letzte Glied z und die Summe s einer arithmetischen Progression ist gegeben. Es soll das Anfangsglied und die Anzahl der Glieder gefunden werden. d = 5, z = 212, s = 4599 Aufgabe 5.4. Bei einem Bausparvertrag werden jährlich am Jahresanfang 1200 e eingezahlt. Die Laufzeit beträgt 6 Jahre. Jeweils am Jahresende erhält der Kunde eine steuerfreie Prämie von 36 e. Die Kapitalertragsteuer (KESt) beträgt jährlich 25%. Die Raiffeisen-Bausparkasse gibt dem Kunden für das 1. Jahr einen Einstiegszinssatz vor KESt von i = 3,125% p.a. In den restlichen 5 Jahren wird ein Zinssatz vor KESt von 1,64% p.a. bezahlt. Berechnen Sie unter Berücksichtigung der KESt und der vom Staat erstatteten Prämie von jährlich 36 e den Kontostand am Ende der Laufzeit. Beachten Sie, dass die Prämien jeweils am Ende jedes Jahres KESt-frei zum Gesamtkapital addiert, die Zinsen der Prämienbeträge aber mit 25% KESt versteuert werden. 5.1 b = a q, c = a q 2 Pythagoras: a 2 + a 2 q 2 = a 2 q 4 ; q 4 q 2 1 = 0 ; q 2 = c = a q2 = q 2 = 1+ 5 a a Er zählt die 25 Kästchen auf zwei verschiedene Arten: = 5 5 = 25 Es werden die 50 ungeraden Zahlen von 1 bis 100 addiert. Nach dem gleichen Prinzip ist also = 50 2 = Folgenglieder, a 1 = ,35 e Literatur [1] Wallentin: Maturitätsfragen aus der Mathematik. 14. Auflage. Druck und Verlag von Carl Gerold s Sohn, 1937 Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.