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1 9. Januar 2007 Arbeitsblatt 9 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/ Präsenzaufgaben: 1. Zu Beginn eines jeden Jahres werde ein Betrag B eingezahlt und zu p% Zinsen verzinst. Sei a n das angesparte Kapital nach n Jahren. Geben Sie eine rekursive Beziehung zwischen a n+1 und a n an. Lösung: a n+1 = a n (1 + p/100) + B 2. Sei A(n) : (2 n > n + ). Überprüfen Sie den Wahrheitsgehalt der Aussage A(). Welches ist das kleinste n, für das A(n) gilt? Lösung: A() : 2 > + 16 > 8, d.h. A() ist wahr. n = 3 ist das kleinste n, für das A(n) gilt. 3. Was hat die geometrische Summenformel mit = zu tun? Lösung: = = ) Zeigen Sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion, dass für alle n IN n j 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 Hinweis: Setze für n IN A(n) : n j 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 und wähle die Bezeichnung s n := n j2. Berechnen Sie s 3 und stellen Sie fest, ob A(3) wahr ist. 5) Welche der folgenden Aussagen ist wahr? 1

2 Abbildung 1: V-Muster n j=0 j2 = n j2 n (2j + 1) = n2 n j=0 (2j + 1) = (n + 1)2 Wenn A(n) : 3n < n + 7, so sind die Aussagen A(k) für alle k mit 0 k wahr. Das Bildungsgesetz einer Folge Jedes Folgenglied ist die Summe ihres Vorgängers und Vorvorvorgängers erlaubt die Berechnung des 10. Folgenglieds, wenn man das erste und das dritte Folgenglied kennt. Es gibt eine Folge (a n ) mit 5 j=2 1 = a n = a n 1 + a n 2, n = 2, 3,,..., a 0 = 5, a 1 = 0 Übungsaufgaben: (Abgabe in den Übungen) Aufgabe 31: Im holländischen Wis-Web kann man ein Applet namens Spotting Numbers Problems starten (müssen Sie nicht, könnte aber hilfreich und unterhaltsam sein). Geben Sie die Anzahl der Punkte des jeweils nachfolgenden Musters an, zeichnen Sie das nächste Muster und geben Sie sodann (mit Begründung!) geschlossene allgemeine Formeln für die Anzahl der Punkte der folgenden Muster in Abhängigkeit von n an (Z.B. gilt für die Anzahl der Punkte V n des ersten (Level 1) V-Musters in Abb. 1: V n = 2n + 1) (3) F-numbers level 2 (s. Abb. 2) Lösung: F besteht aus 6 Quadraten mit Kantenlänge n. F n = 6n 2 (3) Pentagonal numbers level 3 (s. Abb. 3) Lösung: P n ist die Summe der n-ten Quadratzahl (Basis) und der (n 1)ten Dreieckszahl (Hut): P n = n 2 + n(n 1)/2 2

3 Abbildung 2: F-Muster: F 1 = 6, F 2 = 2, F 3 = 5, F n =? Abbildung 3: Pentagonalmuster: P 1 = 1, P 2 = 5, P 3 = 12, P n =? Abbildung : Spiralmuster: S 1 = 2, S 2 =, S 3 = 7, S = 11, S n =? 3

4 () Spiral numbers level 3 (s. Abb. ). Lösung: Man erkennt die Rekursion S n = S n 1 + n, S 1 = 2, so dass S n = n(n + 1)/2 + 1 Aufgabe 32: Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion : (a) () n j3 = n2 (n+1) 2 für alle n IN. Lösung: Nenne die linke Summe s n und die Aussage A(n) : s n = n2 (n + 1) 2. Dann muss gezeigt werden, dass A(n) für alle n IN wahr ist. Induktionsanfang: A(1) ist offensichtlich richtig. Für den Induktionsschluss A(n) = A(n + 1) nutze man s n+1 = s n + (n + 1) 3 aus. Setzt man hier s n = n2 (n+1) 2 gemäß Induktionsvoraussetzung A(n) ein, so erhält man s n+1 = n2 (n+1) 2 + (n + 1) 3. Zu zeigen ist s n+1 = (n+1)2 (n+2) 2. Jetzt helfen einfache Termumformungen, die n2 (n+1) 2 + (n + 1) 3 = (n+1)2 (n+2) 2 und damit A(n + 1) zeigen. (b) (3) Es gilt die erstaunliche (?) Aussage 1, dass für alle n IN gilt n ( j) 2 = n j 3, also ausgeschrieben ( n) 2 = n 3. Lösung: Definiere A(n) : ( n) 2 = n 3. Der Induktionsanfang kann bei n = 1 vollzogen werden (es ist A(1) 1 2 = 1 3 offensichtlich wahr). Der Induktionsschritt geht so: Es ist ( n + (n + 1)) 2 = ( n) 2 + (n + 1) 2 + 2(n + 1)( n) 1 Die Summe der ersten n Kuben ist eine Quadratzahl.

5 (c) (3) dies folgt aus der binomischen Formel. Nutzt man noch aus, dass n(n+1)/2 die Summe der ersten n Zahlen ist, so folgt ( n+(n+1)) 2 = L := ( n+(n+1)) 2 = ( n) 2 +(n+1) 2 +(n+1) 2 n. (A(n+1) ist also wahr, wenn L = n 3 +(n+1) 3. Wegen der Induktionsannahme gilt A(n + 1) (n + 1) 2 + (n + 1) 2 n = (n + 1) 3. Das ist aber offensichtlich wahr! 3 teilt 2 2n für alle n IN. Lösung: Definiere wieder Damit gilt (Induktionsanfang!) was offensichtlich wahr ist. Es ist Nun ist A(n) : 3 teilt 2 2n A(1) : 3 teilt , A(n + 1) : 3 teilt 2 2n n = n = (2 2n+1 + 1) 3. Nach Induktionsannahme teilt 3 den zweiten Faktor s := 2 2n+1 +1 des ersten Summanden und damit offensichtlich auch s 3 = 2 2n Aufgabe 33: (nur 8 Punkte) Die Folge (f n ) der Fibonacci-Zahlen genügt der Rekursion f n+1 = f n + f n 1, n = 1, 2,... Für welche beiden q IR genügt die geometrische Folge a n := q n mit q 0 der Rekursion a n+1 = a n + a n 1, n = 1, 2,...? Lösung: Es muss offensichtlich q n+1 = q n + q n 1 für alle n IN gelten. Wenn q 0, kann man diese Gleichung durch q n 1 teilen, und man erhält q 2 = q + 1 mit den beiden Lösungen q 1,2 = 1 2 (± 5 + 1). 5

6 Abbildung 5: Turm von Hanoi mit n = 3 Scheiben Aufgabe 3: (Turm von Hanoi, s. auch im Skript, Ende von Kap. 6, insgesamt 12 Punkte) Auf einem Spielbrett befinden sich drei vertikale Pfosten auf den Plätzen A, B und C (in Abb. 5 heißen diese Pfosten 1, 2 und 3), auf die Scheiben mit Löchern verschiedener Größe aufgespießt werden können. Zu Beginn des Spiels befinden sich n Scheiben der Größe nach zu einem Turm geordnet auf Position A - die unterste Scheibe hat den größten Durchmesser (dies sieht aus wie eine Pagode, ein vielstöckiger Tempelbau im fernen Osten, daher der Name Turm von Hanoi ). Aufgabe ist es, durch mehrere Bewegungen jeweils einer Scheibe den Turm von A nach B zu bewegen, wobei niemals eine größere Scheibe auf einer kleineren zu liegen kommen darf. Für n = 1 ist die Aufgabe ganz simpel (Induktionsanfang). Nun soll man sich überlegen, wie man das Problem mit n + 1 Steinen lösen kann, wenn man weiß, wie man es mit n Steinen löst. Dabei verwende man die folgenden Notationen: Z := X Y steht für den Zug ( move ) : (oberste) Scheibe von X nach Y. Für X und Y können A, B oder C eingesetzt werden. Eine (endliche) Zugfolge F der Länge m ist ein m-tupel von Zügen Z j, F := (Z 1, Z 2,..., Z m ), wobei die Züge von links nach rechts abgearbeitet werden. Zwei Zugfolgen F 1 und F 2 können jetzt hintereinander ausgeführt werden, die neue Zugfolge werde mit (F 1, F 2 ) notiert, wobei zuerst die Zugfolge F 1, dann die Zugfolge F 2 ausgeführt wird. (a) (2) Man gebe die Zugfolgen zur Lösung des Hanoi-Problems für n = 2 und für n = 3 Türme explizit an. Wieviele Züge benötigt man jeweils? Lösung: n = 2 : (A C, A B, C B), 3 Züge. n = 3 : (A B, A C, B C, A B, C A, C B, A B), 7 Züge. Sie können das Spiel online spielen: Turm von Hanoi online (Sachsen-Freizeit) oder auch Turm von Hanoi online (Online Spiele bei der blinden Kuh) (b) (2) Vielleicht haben Sie gemerkt, dass sich die n = 3-Lösung aus zwei n = 2-Lösungen und einem zusätzlichen Zug zusammensetzt. Um dieses sprachlich korrekt wiederzugeben, hilft die mathematische Sprache. Wir suchen nämlich eine Zugfolge F (n, X, Y, Z), die die der Größe nach geordneten n Steine (einen n-turm) unter Erhalt der Größenanordnung von Platz X nach Y unter Zuhilfenahme des dritten Platzes Z transportiert, wobei X, Y und Z für einen der drei Plätze A, B oder C stehen. Damit F (n, X, Y, Z) wirklich Sinn macht, müssen auf Platz X mindestens n Scheiben liegen - es dürfen aber auch mehr sein!! Z.B. ist F (1, X, Y, Z) = X Y und F (2, X, Y, Z) = (X Z, X Y, Z Y ). Wenn Sie wollen, können Sie F 6

7 als Funktion der Variablen n, X, Y und Z auffassen. Ihren Definitionsbereich zu definieren, wollen wir uns schenken (es muss n IN und {X, Y, Z} = {A, B, C} sein). Um diese Sprache sinnvoll anzuwenden, sollen Sie F (2, A, B, C), F (2, A, C, B) und F (3, X, Y, Z) angeben. Lösung: F (2, A, B, C) = (A C, A B, C B), F (2, A, C, B) = (A B, A C, B C) und F (3, X, Y, Z) = (X Y, X Z, Y Z, X Y, Z X, Z Y, X Y ) (c) (2) Nun versuche man, F (3, A, B, C) mit Hilfe von (mehren) Zugfolgen des Typs F (2, X, Y, Z) auszudrücken (das ist schon eine erste Rekursion!). Lösung: F (3, A, B, C) = (F (2, A, C, B), A B, F (2, C, B, A)) (d) (2) Ab jetzt wird es schwierig: Zeigen Sie, dass man das (n+1)-turmproblem lösen kann, wenn man das n-turm-problem gelöst hat, indem Sie eine Zugfolge F (n+1, A, B, C), die das gewünschte leistet, mit Hilfe von mehreren Zugfolgen, insbesondere durch F (n, X, Y, Z) ausdrücken. Lösung: F (n + 1, A, B, C) = (F (n, A, C, B), A B, F (n, C, B, A)) (e) (2) Wenn man mit A(n) die Anzahl der Züge der Zugfolge F (n, A, B, C) bezeichnet, so stelle man eine Beziehung zwischen A(n + 1) und A(n) her. Finden Sie eine explizite Formel für A(n)! Mit wieviel Zügen kann das 10er-Turm-Problem gelöst werden? Lösung: Hat man n + 1 Steine, so wird man als erstes mit A(n) Zügen die obersten n Steine von A nach C verschieben (F (n, A, C, B)). Dann wird der größte Stein von A nach B verschoben. Sodann in weiteren A(n) Zügen der Turm von C nach B transportiert (F (n, C, B, A)). Es ergibt sich A(n + 1) = 2A(n) + 1 und wegen A(1) = 1 ergibt sich A(n) = 2 n 1 (nach Präsenzaufgabe!) A(2) = 3, A(3) = 7, A() = 15, A(5) = 31, A(6) = 63, A(7) = 127, A(8) = 255, A(9) = 511, A(10) = (f) (2) Wie lange braucht ein Spieler, das Turm von Hanoi-Problem mit n = 32 zu lösen, wenn er für jeden Zug nur 1 Sekunde braucht? (Hierzu brauchen Sie die explizite Formel für A(n)). Lösung: = Sekunden, Stunden, 9710 Tage und ca. 136 Jahre. 7

8 Abbildung 6: Ein Frohes Weihnachtsfest! Abbildung 7: Einen guten Rutsch! 8