Konzepte und Methoden der Programmierung Lösungen P. Fierz / FS 2012

Transkript

1 Kapitel 1 Rekursion Alle Programme finden Sie im mitgelieferten zip-file. Aufgabe 1.1 [Fakultät] Für diese Übung brauchen Sie die Klassen Factorial Skelett und MyTimer. n! ist rekursiv folgendermassen definiert: 0! = 1 n! = n n 1! für n > 0 1. Implementieren Sie die Methode facrecursiv, die n! rekursiv berechnet.. Implementieren Sie die Methode faciterativ, die n! iterativ berechnet. 3. Berechnen Sie mit beiden Methoden n! für n = beachten Sie die Overflows nicht und messen Sie die Zeit mit MyTimer. 4. Kommentieren Sie die Resultate. Die Messung ergibt, dass die iterative Lösung etwas effizienter ist. Der Unterschied ist aber gering. Man kann daraus den Schluss ziehen, dass rekursive Implementationen durchaus berechtigt sind. 5. Implementieren Sie die beiden Methoden facrecursivbig und faciterativbig, die n! berechnen aber mit dem Java-Type BigInteger. 6. Wiederhohlen Sie die Zeitmessung für die beiden neuen Methoden. Auch in diesem Fall ist die iterative Lösung etwas schneller aber nur gering. Factorial.java Aufgabe 1. [Potenzen] Für diese Übung brauchen Sie die Klassen Power Skelett und MyTimer. Die Potenzfunktion ist rekursiv folgendermassen definiert: x 0 = 1 x n = x x n 1 1-1

2 1. Implementieren Sie die Potenzfunktion power rekursiv.. Implementieren Sie die Potenzfunktion fastpower rekursiv. Benutzen Sie die Tatsache, dass x n = x n gilt, um die Implementation zu verschnellern. 3. Berechnen Sie mit beiden Methoden 5 n für n = und messen Sie die Zeit mit MyTimer. Die Messung ergibt, dass fastpower viel schneller ist als power. 4. Wie viele rekursive Aufrufe benötigen power und fastpower um x n zu berechnen? power: Die Funktion wird n mal rekursiv aufgerufen. Dabei werden also n Multiplikationen durchgeführt. fastpower: Da bei mindestens jedem zweiten Aufruf n durch dividiert wird ist die Anzahl rekursiver Aufrufe und Multiplikationen maximal log n. Power.java Aufgabe 1.3 [Minimum und Maximum] Für diese Übung brauchen Sie die Klasse Min- Max Skelett. 1. Implementieren Sie eine rekursive Methode minmaxrec um in einem Array von n ganzen Zahlen das Minimum und das Maximum zu finden. Ihre Methode soll ein Paar min, max zurückgeben. Führen Sie einen Zähler ein, der die Anzahl Vergleiche von Arrayelementen zählt. Tip: Bestimmen Sie das Minimum und das Maximum in der linken und rechten Hälfte des Arrays und betimmen Sie aus diesen Teilresultaten das Resultat.. Berechnen Sie für n wie viele Vergleiche von Arrayelementen Ihre Methode benutzt und vergleichen Sie das Resultat mit dem Zähler aus Ihrem Programm. Nehmen Sie an, dass n eine Zweierpotenz ist n = r. Dazu nehmen wir an, dass n die Form n = k hat. Wir können nun die Anzahl Vergleiche V k zählen. Bei jedem Durchgang rufen wir die Prozedur minmaxrek zwei mal auf, aber mit einem halbierten Array. Anschliessend werden noch zwei Vergleiche angestellt. Falls k = 1 ist, so brauchen wir nur einen Vergleich. Dies führt zu der folgenden Rekursionsformel. V 1 = 1 V k = V k 1 + Die Lösung dieser Rekursionsformel ist relativ einfach: V k = V k 1 + = V k = V k = k 1 + k 1 i=1 i = n + k 1 = 3n 1 1-

3 3. Bestimmen Sie die maximale und minimale Anzahl Vergleiche von Arrayelementen in der iterativen Lösung minmax. Anzahl Vergleiche im Durchschnitt: Der Array wird einmal durchlaufen. Der erste Vergleich wird immer ausgeführt. Der zweite Vergleich nur dann, wenn der erste fehlschlägt also im Durchschnitt nur in der Hälfte der Fälle. Es sind also n 1 + n 1 = 3n 3 Vergleiche nötig. Im besten Fall sind n 1 Vergleiche nötig. Dies ist der Fall, wenn im Loop immer nur der erste Vergleich durchgeführt wird. Dies ist nur dann der Fall, wenn die Elemente alle verschieden und im Array sortiert abgelegt sind. Im schlechtesten Fall sind n 1 Vergleiche notwendig. Dies ist der Fall, wenn der zweite Vergleich immer ausgeführt wird und dies wiederum ist der Fall, wenn das Maximum im Element 0 des Arrays gespeichert ist. MinMax.java Aufgabe 1.4 [Fibonacci-Zahlen] Für diese Übung brauchen Sie die Klasse Fibonacci Skelett und MyTimer. Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv folgendermassen definiert: F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n + F n 1 für n 1. Implementieren Sie die Methode fibonaccirec um die Fibonacci-Zahlen rekursiv zu berechnen.. Geben Sie die Fibonacci-Zahlen von aus mit Zeitmessung. Was ist Ihre Beobachtung? Am Anfang werden die Zahlen schnell berechnet aber mit wachsendem n wird die Berechnung immer langsamer. Es gilt in etwa die Formel ZeitfibonacciRecn 3 ZeitfibonacciRecn 1 3. Schätzen Sie grob ab, wie viele rekursive Aufrufe die Methode braucht. Wir können den Zeitaufwand T n folgendermassen berechnen: T n = { 1 für n < T n 1 + T n + 1 für n Diese Funktion sieht ja aus wie die Fibonacci Funktion. Es gilt: Beweis: n 0 : T n > F n

4 Inductionsanfang: T 0 = 1, F 1 = 1 T 0 F 1 und T 1 = 1, F = 1 T 1 F Inductionsannahme: T n F n + 1 für n = 0, 1,... k Induktionsschluss: T k + 1 = T k + T k F k F k + 1 nach Induktionsannahme = F k nach Definition von F F k + Wir müssen also bestimmen, wie gross F n ist. Die Fibonacci Zahlen können ohne Beweis nach der folgenden Formel berechnet werden: F n = 1 n n Der zweite Term ist ca. 0.6 und geht für grosse n gegen 0. Der erste Term ist ca Das heisst, F wächst exponentiel man schreibt: 3 n F n = O Damit ist also gezeigt, dass der Zeitaufwand zur rekursiven Berechnung von Fibonacci exponentiell wächst. 4. Implementieren Sie die Methode fibonaccimem um die Fibonacci-Zahlen rekursiv zu berechnen. Benutzen Sie dabei einen Array F[] in dem die schon berechneten Werte zwischengespeichert werden. 5. Die Fibonacci-Zahlen können auch mit Hilfe der folgenden Matrix berechnet werden: Es gilt die Formel: M n = M = Fn+1 F n F n F n 1 Die Multiplikation von x Matritzen ist folgendermassen definiert: a11 a 1 b11 b 1 a11 b 11 + a 1 b 1 a 11 b 1 + a 1 b a 1 a b 1 b = a 1 b 11 + a b 1 a 1 b 1 + a b 1.3 Die Multiplikation ist zwar nicht kommutativ aber sie ist assoziativ. Implementieren Sie die Methode fibonaccimat mit Hilfe der Formeln 1.1, 1. und Vergleichen Sie das Laufzeitverhalten der drei Methoden fibonacciiter, fibonaccimem und fibonaccimat. Am schnellsten ist fibonaccimat. fibonaccimem und fibonacciiter sind in etwa gleich schnell. 1-4

5 Fibonacci.java Aufgabe 1.5 [Substrings] 1. Implementieren Sie mit Hilfe von Rekursion die Klasse SubstringGenerator, die alle Substrings eines Strings generiert.. Implementieren Sie mit Hilfe von Rekursion die Klasse SubsetGenerator, die alle Teilmengen einer gegebenen Menge generiert. 3. Überlegen Sie, wie alle Permutationen eines Strings iterativ gefunden werden können. SubstringGenerator, SubsetGenerator Aufgabe 1.6 [Türme von Hanoi] Für diese Übung brauchen Sie die Klasse TowerOfHanoi. Das Spiel Türme von Hanoi besteht aus drei Stäben A, B und C, auf die mehrere gelochte Scheiben gelegt werden, alle verschieden groß. Zu Beginn liegen alle Scheiben auf Stab A, der Größe nach geordnet, mit der größten Scheibe unten und der kleinsten oben. Ziel des Spiels ist es, den kompletten Scheiben-Stapel von A nach C zu versetzen. Bei jedem Zug darf die oberste Scheibe eines beliebigen Stabes auf einen der beiden anderen Stäbe gelegt werden, vorausgesetzt, dort liegt nicht schon eine kleinere Scheibe. Folglich sind zu jedem Zeitpunkt des Spieles die Scheiben auf jedem Feld der Größe nach geordnet. 1. Implementieren Sie das Spiel Türme von Hanoi rekursiv.. Wie viele Züge sind notwendig um ein Turm der Höhe n von Stab A nach Stab B zu bringen. Um einen Turm der Höhe n von Stab A nach Stab C zu verschieben wird zuerst der Turm der Höhe n 1 nach B verschoben anschliessend wird die grösste Scheibe von A nach C gebracht und zuletzt der Turm der Höhe n 1 von B nach C verschoben. Dies ergibt die folgende rekursive Gleichung für M Anzahl Moves: Mn = Wir lösen nun diese Rekursive Gleichung auf: { 0 für n = 0 Mn für n > 0 Mn = Mn = Mn = 4 Mn = 4 Mn = 8 Mn = n M0 + n 1 i=0 i = n 1 3. Begründen Sie wieso Ihre Lösung funktioniert. Wir können dies mit vollständiger Induktion über die Höhe h des Turms beweisen. 1-5

6 Induktionsanfang: Für h = 1 hat es nur eine Scheibe. Diese kann von jedem Stab nach den beiden anderen Stäben bewegt werden. Induktionsannahme: Ein Turm der Höhe h kann von einem Stab nach den anderen beiden bewegt werden. Induktionsschluss: Aus der Annahme, dass ein Turm der Höhe h bewegt werden kann, muss man beweisen, dass ein Turm der höhe h + 1 bewegt werden kann. Nach Induktionsannahme können die Scheiben 1... h von Stab A nach Stab B bewegt werden. Dabei spielt die Scheibe h + 1 keine Rolle siehe Abbildung. A B C h h+1 Anshliessend kann die Scheibe h + 1 nach C bewegt werden. Nun können nach Induktionsvoraussetzung die Scheiben 1... h von B nach C bewegt werden. TowerOfHanoi, HanoiComponent, HanoiFrame, HanoiModel Aufgabe 1.7 [Binäre Sequenz] Die Folge W n von Bit-Strings ist folgendermassen definiert: W 0 = ɛ W 1 = 0 W n wird erzeugt indem in W n 1 jede 0 durch 001 und jede 1 durch 0 ersetzt wird. einige Glieder der Sequenz: W = 001 W 3 = W 4 = Problem: Gesucht ist der Wert des N-ten bits im kleinsten Bit-String der Folge W n, dessen Länge grösser oder gleich N ist. 1. Überlegen Sie ob das Problem besser rekursiv oder iterativ gelöst werden kann.. Schreiben Sie ein Programm, das das Problem auch für sehr grosse N löst. Für sehr grosse N z.bsp N = kann der String nicht aufgebaut werden. Wir müssen zuerst suchen, ob der String W n rekursiv aus den vorhergehenden Strings der Folge kreiert werden kann. Behauptung: W n = W n 1W n 1W n für n 3 Beweis: Induktionsanfang: W 3 = W W W 1 = stimmt. Induktionsannahme: W n = W n 1W n 1W n für n = 0, 1,... k Induktionsschluss: 1-6

7 Wir konstruieren nun W k + 1 mit Hilfe der Konstruktionsvorschrift 0 durch 001 und 1 durch 0 in W k ersetzen. Nach Induktionsvoraussetzung ist aber nach dem Ersetzen erhalten wir also W k = W k 1W k 1W k W k + 1 = W kw kw k 1 Aus der gefundenen Formel kann man leicht die Längen Ln der Strings W n bestimmen und in einem Array ablegen. Nun benutzen wir den folgenden Rekursiven Ansatz um das N te Bit des Strings W n zu bestimmen. Falls N <= 3 gib das entsprechende Bit des String 001 zurück. falls N > Ln 1 bestimme das Bit N Ln 1 im String W n. falls Ln 1 < N Ln 1 bestimme das Bit N Ln 1 im String W n 1. falls N Ln 1 bestimme das Bit N im String W n 1. BinSequence.java Aufgabe 1.8 [Syntax Bäume] Für diese Übung brauchen Sie die Klassen BinTree und ArithTokenizer. Beixxspiele für die Verwendung sind in der Klasse TreeExample und ArithTokenizer vorhanden. 1. Schreiben Sie ein Programm, das aus einem Arithmetischen Ausdruck den entsprechenden Syntaxbaum konstruiert. Die Ausdrücke enthalten Integerkonstanten, Javaidentifier, die Operatoren +,-,*,/ mit der üblichen Priorität und die Klammern,. Traversieren Sie anschliessend den Baum in Pre-, In- und Postorder und geben Sie den Inhalt der Knoten aus siehe TreeExample. 3. Evaluieren Sie den Ausdruck mit Hilfe des konstruierten Baumes Identifier haben dabei den Wert 0. ArithTree.java, ArithTokenizer.java, BinNode.java, BinTree.java 1-7