Vollständige Induktion

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Vollständige Induktion"

Dennis Fürst
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Seite 1 Klaus Messner, klaus_messner@web.de

2 Seite 2 Problem: Problem Man hat eine Aussage (z.b. eine Formel) und soll zeigen, dass diese Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Beispiel: Es soll gezeigt werden, dass die Formel n= n n 1 2 für alle n N gilt. Es ist unmöglich alle Werte von n auszuprobieren! Wir brauchen ist ein Verfahren, mit dem wir allgemeine Fragestellungen dieser Art entscheiden können.

3 Seite 3 Dominosteine Ein solches Verfahren gibt es und es heißt Vollständige Induktion. Das Verfahren wird in der Regel anhand des Bildes von fallenden Dominosteinen erklärt. Frage: Wenn man eine Reihe von Dominosteinen hat, wann fallen alle(!) Dominosteine? Die Antwort liegt auf der Hand: Wir müssen auf jeden Fall den ersten Dominostein anstoßen. Wenn wir jetzt feststellen, dass in der gesamten Kette immer ein Dominostein den nächsten anstößt, dann wissen wir sicher, dass alle fallen.

4 Das Verfahren Seite 4 Das Verfahren gliedert sich demnach in mehrere Schritte. Schritt 1: Wir zeigen, dass der erste Dominostein, fällt, d.h. dass die zu prüfende Formel für den Startwert n=1 gilt. Diesen Schritt nennt man den Induktionsbeginn oder Induktionsanfang. Schritt 2: Unter der Annahme, dass der k-te Dominostein fällt müssen wir nun zeigen, dass dieser seinen Nachfolger, den k+1-ten Dominostein, umstößt, d.h. wir nehmen an, dass die Formel für einen beliebigen Wert k gilt und zeigen, dass sie dann auch für den Wert k+1 gilt.

5 Seite 5 Begriffe Die Annahme, dass der k-te Dominostein fällt nennt man Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung. Der Schritt in dem geprüft wird, ob der k-te Dominostein den k+1-ten umstößt nennt man Induktionsschritt oder Induktionsschluss. Die Behauptung, dass der k+1-te Dominostein fällt (das ist das, was gezeigt werden soll) nennt man einfach Induktionsbehauptung oder einfach nur Behauptung.

6 Seite 6 Das Schema Wir haben jetzt folgendes Schema: Induktionsbeginn: Zeige, dass die Formel für n=1 gilt. Induktionsannahme: Nimm an, dass die Formel für einen beliebigen Wert n=k gilt. Induktionsbehauptung: Die Formel gilt auch für den Nachfolgerwert n=k+1. Induktionsschritt: Unter Verwendung der Induktionsannahme zeige, dass die Induktionsbehauptung gilt.

7 Seite 7 Ein Missverständnis Gerade Schritt 2 in dem Verfahren gibt häufig An-lass zu Missverständnissen und wird deshalb als schwierig empfunden. Sie müssen NICHT zeigen, DASS der k-te Domino-stein fällt. Sie müssen dies lediglich annehmen! Sie müssen zeigen, dass unter dieser Annahme auch der k+1-te Dominostein (der Nachfolger) fällt. Warum reicht das? Wenn nachgewiesen ist, dass der erste Dominostein fällt, haben Sie gezeigt, dass die Kettenreaktion in Gang kommt! Mit dem Induktionsschritt zeigen Sie, dass die Kettenreaktion niemals abbricht!

8 Seite 8 Rechenbeispiel Rechenbeispiel: Zeige, dass die Formel n= n n 1 2 Lösung: Induktionsbeginn k=1: für alle n N 1= gilt. stimmt! Induktionsannahme: Für ein beliebiges die Formel k= k k 1 2 k N gelte Induktionsbehauptung: Die Formel gilt auch für k k 1= k 1 k 2 2 Erster Dominostein fällt! Wir nehmen an, dass der k-te Dominostein fällt! Wir behaupten, dass auch der k+1-te Dominostein fällt!

9 Seite 9 Rechenbeispiel Induktionsschluss k k 1: Schreibe die linke Seite der Formel für k+1 Etwas ausführlicher k 1 = k k 1 Verwende jetzt die Induktionsannahme Jetzt testen wir, ob wir durch Umformungen zur Induktionsbehauptung kommen = k k 1 k 1 2 = k k 1 2 k = k 1 k 2 2 Hauptnenner bilden k 1 ausklammern Dies ist die Induktionsbehauptung. Wir sind am Ziel! Die Formel gilt wie behauptet für alle n N

10 Seite 10 Rechenbeispiel Noch einmal in Worten: Mit dem Induktionsbeginn haben wir gezeigt, dass der erste Dominostein fällt. Die Kettenreation kommt also in Gang! Wie haben angenommen, dass der k-te Dominostein fällt (d.h. dass die Formel für irgendein k gilt) und behauptet, dass dann auch der k+1-te Dominostein umgestoßen wird (dass die Formel dann also auch für k+1 gilt). Im Induktionsschluss haben wir diese Behauptung nachgewiesen und somit gezeigt, dass die Kettenreaktion für alle Zeiten in Gang bleibt. Also gilt die Formel, wie behauptet, für alle n N.

11 Seite 11 Übungen 1.Für und alle gilt die Formel: Zeige die Richtigkeit dieser Formel mit vollständiger Induktion. 2.Es sei gilt: x 1 n N 1 x x 2... x n 1 = xn 1 x 1 f x =x e 1 x f n x = 1 n 1 n x e 1 x Ableitung gilt: Das Symbol. Beweise, dass für die n-te Ableitung 3.Es sei mit x 1. Beweise, dass für die n-te f x = 1 x 1 n! = n f n x = 1 n n! x 1 n 1 n!, gelesen n Fakultät bedeutet

12 Seite 12 Lösung Übung 1: Lösung der Übungen Induktionsbeginn k=1: stimmt! Induktionsannahme: Für ein beliebiges die Formel 1= x1 1 x 1 1 x x 2... x k 1 = xk 1 x 1 k N gelte Induktionsbehauptung: Die Formel gilt auch für k+1 1 x x 2... x k = xk 1 1 x 1 Induktionsschluss k k 1: 1 x x 2... x k =1 x x 2... x k 1 x k = xk 1 x 1 xk Verwende hier die Induktionsannahme

13 Seite 13 Lösung der Übungen Jetzt testen wir, ob wir durch Umformungen zur Induktionsbehauptung kommen = xk 1 x 1 xk = xk 1 x 1 xk x 1 x 1 = xk 1 1 x 1 = xk 1 x k 1 x k x 1 Dies ist die Induktionsbehauptung. Wir sind am Ziel! Die Formel gilt wie behauptet für alle n N.

14 Seite 14 Lösung der Übungen Lösung Übung 2: Induktionsbeginn k=1: f 1 x = f ' x =e 1 x xe 1 x = 1 x e 1 x = x e 1 x OK! Induktionsannahme: Für ein beliebiges die Formel f k x = 1 k 1 k x e 1 x k N gelte Induktionsbehauptung: Die Formel gilt auch für k+1 f k 1 x = 1 k 2 k 1 x e 1 x

15 Seite 15 Lösung der Übungen Induktionsschluss k k 1: f k 1 x = f k x ' Verwende hier die Induktionsannahme = 1 k 1 k x e 1 x ' Ableitung bilden = 1 k 1 1 e 1 x 1 k 1 k x e 1 x 1 = 1 k 2 e 1 x 1 k 2 k x e 1 x = 1 k 2 e 1 x 1 k x = 1 k 2 k 1 x e 1 x Ausklammern Dies ist die Induktionsbehauptung. Wir sind am Ziel! Die Formel gilt wie behauptet für alle n N.

16 Seite 16 Lösung der Übungen Lösung Übung 3: Induktionsbeginn k=1: f 1 x = f ' x = 1 x 1 = 1 1 1! 2 x f x = 1 x 1 OK! Induktionsannahme: Für ein beliebiges die Formel f k x = 1 k k! x 1 k 1 k N gelte Induktionsbehauptung: Die Formel gilt auch für k+1 f k 1 x = 1 k 1 k 1! x 1 k 2

17 Seite 17 Lösung der Übungen Induktionsschluss k k 1: f k 1 x = f k x ' Verwende hier die Induktionsannahme = 1 k k k 1! x 1 ' k! k 1 x 1 k = 1 k Kürzen x 1 2k 2 = 1 k k! k 1 x 1 k 2 = 1 k 1 k 1! x 1 k 2 Verwende 1 k = 1 k 1 k! k 1 = k 1! und Dies ist die Induktionsbehauptung. Wir sind am Ziel! Die Formel gilt wie behauptet für alle n N.

Ähnliche Dokumente

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel