Arithmetischer Mittelwert

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1 Lies dir folgende Informationen zu einer statistischen Kenngröße gut durch. Rechne auch die angegebenen Beispiele noch einmal durch. Du bist der Experte für diese Kenngröße in deiner Gruppe! Überlege dir also zum Schluss, wie du den Begriff deinen MitschülerInnen erklären kannst. Finde auch eigene Beispiele zu deinem Begriff. Arithmetischer Mittelwert Der arithmetische Mittelwert ist eine der am häufigsten vorkommenden statistischen Kenngrößen. Wenn du in der Zeitung vom Mittelwert oder Durchschnitt liest, ist meistens diese Kenngröße gemeint. Betrachten wir zum Beispiel einen Datensatz, der das Taschengeld aller Kinder einer Klasse im Monat angibt: Peter 10 Susi 15 Rebecca 13 Jana 22 Kevin 15 Boris 17 Tanja 12 Maria 25 Miriam 30 Ali 15 Thomas 10 Mohammed 20 Isabella 10 Wollen wir nun das durchschnittliche Taschengeld in der Klasse berechnen, so könnten wir folgendermaßen vorgehen: 1) Wir berechnen die Summe aller Taschengelder in der Klasse. 2) Anschließend dividieren wir diese Summe, durch die Anzahl der SchülerInnen in der Klasse. Die Zahl, die wir dadurch erhalten, nennen wir den arithmetischen Mittelwert. Wir berechnen das arithmetische Mittel des Taschengeldes in unserer Klasse: 1. Summe aller Taschengelder : = Division durch die Anzahl der SchülerInnen: 214 :13 =

2 Wollen wir das arithmetische Mittel nun für eine beliebige Datenliste mit n-elementen berechnen, so können wir folgende Formel aufstellen: Seien x 1,...,x n alle Datenpunkte einer Datenliste. Das arithmetische Mittel berechnet sichals : x := ( x 1 +x x n ) n Merke: Um das arithmetische Mittel zu berechnen, musst du alle einzelnen Einträge einer Datenliste addieren und daraufhin durch die Anzahl der Einträge dividieren. Welche Bedeutung hat nun das arithmetische Mittel? Betrachten wir wieder unser Taschengeld-Beispiel: Stell dir vor, durch das Zusammenzählen der einzelnen Werte, wird das gesamte Taschengeld der Klasse in einen Topf geworfen. Die einzelnen SchülerInnen werfen dabei mehr oder weniger in den Topf: Durch das Dividieren durch die Anzahl der SchülerInnen wird das eingezahlte Taschengeld wieder an die Kinder ausbezahlt. Nur jetzt bekommen alle SchülerInnen das GLEICHE aus dem Topf heraus. Das arithmetische Mittel verteilt also das Taschengeld gleich auf alle Kinder.

3 Lies dir folgende Informationen zu einer statistischen Kenngröße gut durch. Rechne auch die angegebenen Beispiele noch einmal durch. Du bist der Experte für diese Kenngröße in deiner Gruppe! Überlege dir also zum Schluss, wie du den Begriff deinen MitschülerInnen erklären kannst. Finde auch eigene Beispiele zu deinem Begriff. Median Der Median ist eine statische Kenngröße die bei der Ordnung von Datenlisten zum Einsatz kommt. Der Median teilt dabei eine Datenliste, die der Größe nach geordnet ist, in zwei gleich große Hälften. Betrachten wir folgendes Beispiel: Folgende Datenliste stellt die Körpergröße aller Kinder einer Klasse in cm dar: 162; 144; 150; 142; 155; 156; 166; 147; 160; 154; 149; 165; 172 Will man den Median dieser Körpergrößen bestimmen, so muss man folgendermaßen vorgehen: 1) Ordne die Liste der Größe der einzelnen Datenpunkte nach. Beginne beim kleinsten und ende beim größten Wert. 2) Der Datenpunkt, der in der Mitte steht ist dann unser Median. Also für unser Beispiel: 1) Ordnung die Datenpunkte der Größe nach: 142; 144; 147; 149; 150; 154; 155; 156; 160; 162; 165; 166; 172 2) Wir haben 13 Datenpunkte, daher ist der 7. Datenpunkt unser Datenpunkt in der Mitte, der unsere Datenliste in zwei gleich große Bereiche teilt (6 Datenpunkte sind links von ihm und 6 sind rechts von ihm): 142; 144; 147; 149; 150; 154; 155; 156; 160; 162; 165; 166; 172 Der Median für unser Beispiel ist also 155cm.

4 Bei dieser Definition des Medians gibt es aber noch ein großes Problem! Was ist zu tun, wenn in der Datenliste nicht eine ungerade Anzahl von Werten vorkommt? Nehmen wir an, in unsere Klasse kommt noch ein Schüler, wie berechnen wir dann den Median? Unsere alte Datenliste war: 142; 144; 147; 149; 150; 154; 155; 156; 160; 162; 165; 166; 172 Nun kommt ein Austauschschüler für den Rest des Jahres in die Klasse. Er ist 157cm groß, unsere neue Datenliste hat demnach eine gerade Anzahl von Datenpunkten: 142; 144; 147; 149; 150; 154; 155; 156; 157; 160; 162; 165; 166; 172 Wollen wir nun den Median berechnen, müssen wir wieder den mittleren Wert der Datenliste finden, der unsere Liste in zwei gleich große Bereiche links und rechts davon teilt. Für unsere neue Datenliste kommen dafür aber zwei Werte gleichzeitig in Frage: 142; 144; 147; 149; 150; 154; 155; 156; 157; 160; 162; 165; 166; 172 Unsere Datenliste hat 14 Einträge. Würden wir wieder den 7. Datenpunkt (155) nehmen, würden 6 Datenpunkte links, aber 7 rechts von ihm liegen. Würden wir den 8. Datenpunkt (156) nehmen, so würden diesmal 7 Datenpunkte links von ihm, aber nur 6 rechts von ihm liegen. Der Median muss also nun in der Mitte dieser beiden mittleren Datenwerte liegen. Hierfür gilt folgende Berechnungsvorschrift: Median = (1.mittlerer Wert + 2.mittlerer Wert) 2 Also für unser Beispiel: Median = ( ) 2 = 155,5 Du wirst später von deinem Expertenkollegen erfahren, dass man so einen Wert auch den arithmetischen Mittelwert der beiden mittleren Datenpunkte nennen kann. Überlege selbst Beispiele von Datenlisten, von denen man den Median berechnen kann und stellt diese Listen in der Expertenrunde vor.

5 Lies dir folgende Informationen zu einer statistischen Kenngröße gut durch. Rechne auch die angegebenen Beispiele noch einmal durch. Du bist der Experte für diese Kenngröße in deiner Gruppe! Überlege dir also zum Schluss, wie du den Begriff deinen MitschülerInnen erklären kannst. Finde auch eigene Beispiele zu deinem Begriff. Quartile Die Quartile sind statistische Kenngrößen, die helfen, eine Datenliste zu ordnen. Die drei Quartile unterteilen dabei eine, der Größe nach geordnete, Datenliste in 4 Bereiche mit gleich vielen Elementen. Betrachten wir folgendes Beispiel: Folgende Datenliste stellt die Länge des Schulwegs von verschiedenen SchülerInnen in km dar: 1; 5; 3; 6; 2; 8; 10; 15; 2; 7; 11; 9 Wollen wir die Quartile dieser Liste bestimme, gehen wir folgendermaßen vor: 1) Ordne die Liste der Größe der einzelnen Datenpunkte nach. Beginne beim kleinsten und ende beim größten Wert. 2) Finde den Datenpunkt, der die Liste zwei gleich große Bereiche links und rechts davon unterteilt. Diese Datenpunkt nennt man 2. Quartil. 3) Finde den Datenpunkt, der die linke Hälfte der Datenliste in zwei gleich große Bereiche links und rechts davon unterteilt. Diese Datenpunkt nennt man 1. Quartil. 4) Finde den Datenpunkt, der die rechte Hälfte der Datenliste in zwei gleich große Bereiche links und rechts davon unterteilt. Diese Datenpunkt nennt man 3. Quartil. Also für unser Beispiel: 1) Ordne die Datenpunkte der Größe nach: 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 15 2) Finde den Datenpunkt, der die Liste in zwei gleich große Hälften links und rechts davon unterteilt. Wir haben 11 Datenpunkte, also teilt der 6. Datenpunkt ( 7 ) die Liste in eine Hälfte mit 5 Datenpunkten links und rechts davon: Unser 2. Quartil ist also 7. 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 15

6 3) Um das 1. Quartil zu bestimmen, betrachten wir nur die linke Hälfte der Datenliste: 1; 2; 3; 5; 6 Hier haben wir 5 Datenpunkte. Der Datenpunkt, der die Liste in zwei gleich große Bereiche links und rechts davon teilt, ist also der 3. Datenpunkt ( 3 ). Unser 1. Quartil ist also 3. 4) Um das 3. Quartil zu bestimmen, betrachten wir nur die rechte Hälfte der Datenliste: 8; 9; 10; 11; 15 Auch hier haben wir 5 Datenpunkte, weswegen der 3. Datenpunkt die Liste in zwei gleich große Bereiche links und rechts davon teilt. Unser 3. Quartil ist also 10. Bei dieser Definition der Quartile gibt es aber noch ein großes Problem! Was ist zu tun, wenn in der Datenliste (oder den Hälften der Datenlisten) eine gerade Anzahl von Werten vorkommt? Hat eine Datenliste (oder eine Hälfte davon) eine gerade Anzahl von Datenpunkten, so gibt es zwei Werte gleichzeitig, die die Liste in zwei gleich große Bereiche links und rechts davon unterteilen. Nehmen wir zum Beispiel die rechte Hälfte unserer Datenliste und fügen noch einen Wert hinzu: 8; 9; 10; 11; 15; 20 Wir haben nun insgesamt 6 Datenpunkte. Der dritte und vierte Datenpunkt teilen nun gleichzeitig die Liste in zwei gleich große Hälften (2 links, 2 rechts davon): 8; 9; 10; 11; 15; 20 Der zweite Datenpunkt ( 10 ) hätte zwei Datenpunkte links, aber drei rechts von sich, der dritte Datenpunkt ( 11 ) hätte drei Datenpunkte links, aber lediglich zwei rechts von sich. Das 3. Quartil muss also in der Mitte dieser beiden Datenpunkte liegen. Es gilt folgende Formel bei einer geraden Anzahl von Datenpunkten: Quartil = (1.mittlerer Wert + 2.mittlerer Wert ) 2 Also in unserem Beispiel: 3.Quartil = ( ) 2 = 11,5 Du wirst später von deinem Expertenkollegen erfahren, dass man so einen Wert auch den arithmetischen Mittelwert der beiden mittleren Datenpunkte nennen kann.

7 Lies dir folgende Informationen zu einer statistischen Kenngröße gut durch. Rechne auch die angegebenen Beispiele noch einmal durch. Du bist der Experte für diese Kenngröße in deiner Gruppe! Überlege dir also zum Schluss, wie du den Begriff deinen MitschülerInnen erklären kannst. Finde auch eigene Beispiele zu deinem Begriff. Geometrischer Mittelwert Der geometrische Mittelwert ist eine statistische Kenngröße, die einen durchschnittlichen Wert einer Datenliste beschreiben kann. Vor allem in er Finanzmathematik (in der Zinsenrechnung) kann diese Kenngröße sinnvoll eingesetzt werden. Betrachten wir folgendes Beispiel: Ein Kapital von 1000 wird für zwei Jahre bei jährlicher Verzinsung auf ein Sparbuch gelegt. Im ersten Jahr fallen hierfür 3% und im zweiten Jahr 5% Zinsen an. Welcher, über beide Jahre konstante, Zinssatz hätte zu einer gleichen Sparleistung geführt? Das Kapital nach den zwei Jahren berechnet sich folgendermaßen (WH: 3. Klasse Zinseszinsrechnung!): K 2 = 1000 (1 + 0,03) (1 + 0,05) = 1081,5 Wollen wir einen konstanten Zinssatz für beide Jahre finden, der dieselbe Sparleistung liefert, müssen wir folgende Gleichung lösen: K 2 = 1081,5 = 1000 x x = 1000 x 2 x = 1081, = 1,03995 Da ja x = (1 + p) gilt, folgt für unser Beispiel, dass ein konstanter Zinssatz von 3,995% dieselbe Sparleistung erbracht hätte.

8 Was haben wir also getan? Wir wollten einen durchschnittlichen Zinssatz berechnen, der den selben Kapitalzuwachs liefert, wie zwei voneinander verschiedene Zinssätze. Dazu sind wir folgendermaßen vorgegangen: Wir haben die beiden unterschiedlichen Zinssätze miteinander multipliziert. Anschließend haben wir die Quadratwurzel aus dem Ergebnis gezogen. Als Formel also: p Durchschnitt = p 1 p 2 Diesen durchschnittlichen Zinssatz nennen wir auch geometrischen Mittelwert der beiden einzelnen Zinssätze. Für mehrere Datensätze lässt sich diese Formel erweitern. Angenommen, wir haben eine Datenliste mit n-datenpunkten (x 1,, x n ), dann berechnet sich das geometrische Mittel auf folgende Weise: Bilde das Produkt aller einzelnen Datenpunkten. Ziehe anschließend die n-te Wurzel aus dem Produkt Oder als Formel: x geom = n x 1 x 2... x n Das geometrische Mittel kann man sich auch geometrisch veranschaulichen: Bilden zwei Datenpunkte (a,b) die Seiten eines Rechteckes, so gibt das geometrische Mittel die Seitenlänge eines Quadrates an, das denselben Flächeninhalt, wie das Rechteck besitzt: