1. Tutorial. Online-Tutorium-Statistik von T.B.

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Vincent Kalb
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1 Online-Tutorium-Statistik von T.B. 1

2 Grundbegriffe I Gegenstand einer statistischen Untersuchung sind bestimmte Objekte (z.b. Personen, Unternehmen) bei denen man sich für gewisse Eigenschaften (z.b. Geschlecht, Alter, Umsatz) interessiert. Diese Eigenschaften nennt man: statistische Merkmale! Die Objekte heißen: statistische Merkmalsträger! 2

3 Grundbegriffe I Bei einer statistischen Erhebung werden bei den Merkmalsträgern bestimmte Merkmale untersucht. Alle tatsächlich festgestellte Merkmale nennt man Beobachtungswerte b j (j = 1,, n) Dagegen heißen die für ein Merkmal theoretisch mögliche Werte Merkmalsausprägungen x i (i = 1,, k)!!!beachte!!! Es gibt n Beobachtungswerte (zu den n Merkmalsträgern), während die Zahl der Merkmalsausprägungen k vom jeweiligen statistischen Merkmal abhängt und mitunter sogar unendlich groß sein kann!!! 3

4 Merkmalsarten und Skalen I Nominalskala: X i ist nicht besser, größer, etc. als X j Beispiele - Farben, Religion, Studienplatz 4

5 Merkmalsarten und Skalen II Ordinalskala: X i ist besser, größer als X j Beispiele - Noten - Beliebtheit von Politikern - Konfektionsgrößen 5

6 Merkmalsarten und Skalen III Intervallskala (metrisch): X i ist besser, größer als X j und es können Abstände zwischen den Messwerten angegeben werden Wichtig: Der Nullpunkt ist willkürlich!!! Beispiele - Temperatur Celsius/Fahrenheit - IQ - Skala 6

7 Merkmalsarten und Skalen IV Verhältnisskala (metrisch): X i ist besser, größer als X j und es können Abstände zwischen den Messwerten (sinnvoll) angegeben werden Wichtig: Es existiert ein absoluter Nullpunkt!!! Beispiele - Alter, Einkommen, Gehalt, Arbeitszeit, Umsatz 7

8 Merkmalsarten und Skalen V Diskrete Merkmalsausprägung (metrisch) Ein Merkmal kann nur bestimmte Ausprägungen annehmen Merkhilfe: Das Merkmal ist diskret, es hält sich zurück und nimmt nicht jeden Wert (an)! 8

9 Merkmalsarten und Skalen VI Stetige Merkmalsausprägung (metrisch) Ein Merkmal kann auf einer Skala jeden beliebigen Wert annehmen Merkhilfe: Das Merkmal nimmt STETS jeden beliebigen Wert an! 9

10 Aufgabenempfehlung - Aufgabe 1 - Aufgabe 2 - Aufgabe 3 10

11 Eindimensionale Häufigkeiten Wichtig: Tabelle immer nach einem bestimmten Schema aufstellen: (Beispiel: Noten in Klausur XY) z.b. oder xi hi Hi fi Fi ,07 0, ,17 0, ,5 0, ,2 0, ,07 1 Summe 30 1 xi hi fi Hi Fi 1 2 0,07 2 0, ,17 7 0, ,5 22 0, ,2 28 0, , Summe 30 1 Summen bei den absoluten und relativen Häufigkeiten!!! Die Summen bei den kumulierten Häufigkeiten 11

12 Lageparameter Kennzahlen: Modus: der am häufigsten beobachtete Wert Median: Der Wert, der in der geordneten Reihe der Beobachtungswert in der Mitte liegt (die ersten 50%) Arithmetisches Mittel: Durchschnittswert Minimum: kleinster Wert Maximum: höchster Wert Spannweite: Maximum Minimum Quartilsabstand: Der Abstand zwischen dem 1., 2., 3. und 4 Quartil 12

13 Median I Bildet die Trennungslinie zwischen den 50% kleinen und den 50% großen Beobachtungswerten Immer der Wert, in dem 50% drin sind! Für ungerade n: Für gerade n: 13

14 Median II Mathenote Anzahl Studierende Hi Fi , , , , ,00 Summe Median = / 2 = 57. Beobachtungswert => Liegt bei Note 4 => Median = 4

15 Median III Fehlstunden Anzahl der Abiturienten Hi Fi , , , , ,00 Summe Median = 0,5*((110/2)+(110+2/2)) = Beobachtungswert => Liegen bei Std.

16 Median IV Wo macht der Median Sinn? - Nominalskaliert? Nein! Beispiel: Merkmal Spielzeug -> 50% der Kinder finden Puppen und Autos toll! Na, gut dann finden die anderen 50% der Kinder Teddys und Game Boys gut! Und jetzt?? - Ordinalskaliert? Ja! - Metrische Skalen? Ja! 16

17 Aufgabenempfehlung Aufgabe 4 b 17

18 Arithmetisches Mittel I Formel: 1. Möglichkeit x A b.. b n 1 n 1 n n j 1 b j Bei dieser Formel addiert man alle Beobachtungswerte und teilt sie anschließend durch die Anzahl aller beobachteten Werte! 18

19 Arithmetisches Mittel II Formel: 2. Möglichkeit k x * h i i k i 1 x A xi * n n i 1 1 h i Bei diesem Weg multipliziert man die Merkmalsausprägungen mit der jeweiligen absoluten Häufigkeit und teilt die Summe anschließend durch n! 19

20 Arithmetisches Mittel III Formel: 3. Möglichkeit x A k i 1 x i * f i Das Teilen durch n (2. Möglichkeit) entfällt, wenn man die Merkmalsausprägungen mit der relativen Häufigkeit f multipliziert! 20

21 Arithmetisches Mittel IV Beispiel: Taschengeld Anzahl der Kinder Hi fi Fi ,38 0, ,15 0, ,23 0, ,15 0, ,08 1 Summe Möglichkeit: Möglichkeit: = 11,92 13 = 11,92 3. Möglichkeit: 5*0,39+10*0,15+15*0,23+20*0,15+25*0,08 = 11,9 Mögliche, kleinere Unterschiede zwischen beiden Lösungswegen sind Rundungsdifferenzen geschuldet!!! 21

22 Zur Veranschaulichung 22

23 Aufgabenempfehlung Aufgabe 4 (a und c) 23

24 Harmonisches Mittel I Beispiel 1: Mesut Ö. fährt die Strecke von Villareal nach Madrid (100 km) in genau 1 Stunde (Geschwindigkeit v1= 100 km/h) Genervt nach der Niederlage gegen Werder Bremen fährt er auf der Rückfahrt nur noch v2= 50 km/h und braucht entsprechend für die 100 km Strecke 2 Stunden! Er hat also für 200km Strecke, 3 Stunden gebraucht! Durchschnittliche Geschwindigkeit = 200/3 = 66,67 km/h = Harmonisches Mittel!!! 24

25 Harmonisches Mittel II Beispiel 1: Formel: x H * * ,67 [km/h] oder auch: x H ,67 [km/h] 25

26 Harmonisches Mittel III Beispiel 1: Das arithmetische Mittel hätte hier zu einem falschen Ergebnis geführt: (v1+v2)/2 = (100+50)/2 = 75 km/h => FALSCH!!! 26

27 Harmonisches Mittel IV Das harmonische Mittel kann immer dann als Durchschnittswert verwendet werden, wenn bei einem verhältnisskalierten Merkmal (im Ausgangsbeispiel die km/h) die Zählergröße (das was OBEN auf dem Bruch steht, hier die km) konstant und die Nennergröße (das was UNTER dem Bruch steht, hier bei der Geschwindigkeit die Zeit in h) variabel ist! Formel allgemein: x H k i 1 1 fi x i 27

28 Harmonisches Mittel V Beispiel 2: Sokratis P. betankt seinen 20 Jahre alten Golf immer für genau 20 Euro. Bei seinen 3 letzten Besuchen an der Tanke bezahlte er 2 /Liter, 3 /Liter und 2 /Liter. Er will nun wissen, wie viel er im Durchschnitt für einen Liter Benzin bezahlt. 1. Tankfüllung: 2 /Liter = 10 Liter 2. Tankfüllung: 3 /Liter = 6,67 Liter 3. Tankfüllung: 2 /Liter = 10 Liter 60 bezahlt und 26, 67 Liter getankt => 60/26,67 = 2,25 /Liter Harmonisches Mittel!!! 28

29 Harmonisches Mittel VI Beispiel 2: Formel: x H 1 20 * * * 2 1 2,25 [ /Liter] oder auch: x H ,25 [ /Liter] 29

30 Harmonisches Mittel VII Beispiel 2: Das arithmetische Mittel hätte auch hier zu einem falschen Ergebnis geführt: (Tanken1+T.2+T.3)/3 = (2+3+2)/3 = 2,33 => FALSCH!!! 30

31 Harmonisches Mittel VIII Kann vorkommen bei Verhältniszahlen, wie - Weg/Zeit (=Geschwindigkeit) - Ausgaben/Preis (=Menge) - Kapital/Arbeit (=Kapitalintensität) - Produktion/Arbeitseinsatz (=Arbeitsproduktivität) - Umsatz/Zeit - Stückzahl/Zeit 31

32 Abgrenzung: harmonisches und arithmetisches Mittel Ein Hausbesitzer kauft 4 Jahre lang Öl zu den Preisen von 16, 18, 21 und 25 Cent pro Liter. Wie hoch waren die Durchschnittskosten wenn er a) jedes Jahr die gleiche Menge, und zwar 1000 Liter gekauft hat? b) Jedes Jahr für genau 200 Öl gekauft hat? 32

33 Abgrenzung: harmonisches und arithmetisches Mittel a) 1000*0, *0, *0, *0,25 = 800 Ausgaben => 800 / 4000 Liter = 0,20 /Liter => Arithmetisches Mittel b) 200/0,16+200/0,18+200/0,21+200/0,25 = 4113,5 Liter = Ausgaben (4*200 ) = 800 / 4113,5 Liter = 0,19 /Liter => Harmonisches Mittel 33

34 Abgrenzung: harmonisches und arithmetisches Mittel Das aufgezeigte Phänomen, dass man bei einer regelmäßigen Ausgabe (hier die 200 ) mehr Mengen oder Anteile von etwas erhält, nennt man auch Durchschnittskosten- oder Cost-Average-Effect In der Praxis ist dieser etwa beim Fondssparen anzutreffen, wo Wertschwankungen dazu führen, dass man bei günstigen Anteilspreisen mehr Anteile kaufen kann. Bei hohen Anteilspreisen werden dann entsprechend weniger Anteile gekauft. 34

35 Geometrisches Mittel Berechnung des Wachstumsfaktors: Gibt das Verhältnis zwischen dem Beobachtungswert der Periode t und dem entsprechenden Wert der Vorperiode t-1 an. -> Ein Wachstumsfaktor von 1,05 besagt, dass die betreffenden Größe 1,05 mal so groß wie in der Vorperiode ist. Dies entspricht einer Wachstumsrate von 5%! p i (t=1,,n) (Wachstumsrate) -> 1 + p i 100 -> x t(t=1,,n) (Wachstumsfaktor) -> X G (Geometrisches Mittel) -> 100* (X G 1) -> r (mittlere Wachstumsrate) 35

36 Aufgabenempfehlung - Aufgabe 6 - Aufgabe 7 - Aufgabe 8 36

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