Didaktik der Stochastik

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1 Jürgen Roth Didaktik der Stochastik Modul 12a/b: Fachdidaktische Bereiche 2.1

2 Inhalt Didaktik der Stochastik 1 Ziele und Inhalte 2 Beschreibende Statistik 3 Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 Beurteilende Statistik 2.2

3 Didaktik der Stochastik Kapitel 2: Beschreibende Statistik 2.3

4 Inhalt Kapitel 2: Beschreibende Statistik 2.1 Grundbegriffe der beschreibenden Statistik 2.2 Erhebung Daten sammeln 2.3 Graphische Darstellungsformen 2.4 Kennwerte von Datenreihen (Mittelwerte und Streuungsmaße) 2.4

5 Kapitel 2: Beschreibende Statistik 2.1 Grundbegriffe der beschreibenden Statistik 2.5

6 Beschreibende Statistik?! Kütting, H.: (1994). Beschreibende Statistik im Schulunterricht. Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag, S. 21 In der beschreibenden Statistik geht es um eine Datenerfassung in Sachsituationen, um die Datenaufbereitung und um eine erste vorsichtige Dateninterpretation. 2.6

7 Statistische Untersuchung: Phasen Ziel der Untersuchung festlegen Zu untersuchende Gegenstände bzw. Personen auswählen Daten erheben Daten aufbereiten & darstellen Daten auswerten & interpretieren 2.7

8 Grundbegriffe Statistische Einheit Statistische Erhebung Merkmalsträger, Informationsträger (Personen, ) Totalerhebung der Grundgesamtheit (alle weiblichen Personen unter 18 in RLP im Jahr 2016, Volkszählung) Identifikationsmerkmale Sachlich (weiblich unter 18) Räumlich (in RLP) Zeitlich (im Jahr 2016) Teilerhebung, Stichprobe (Mikrozensus) 2.8

9 Grundbegriffe Merkmal interessierende Eigenschaft der statistischen Einheit Erschöpfend?! (Ausprägung / Modalität sonstige ) Merkmalsausprägung (Modalität) qualitativ / nominalskaliert komparativ / ordinalskaliert (Rangmerkmal) quantitativ / metrisch skaliert 2.9

10 Grundbegriffe: Skalenniveaus Merkmal qualitativ komparativ quantitativ / metrisch Skala Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala Eigenschaften Skalenwerte dienen zur Beispiele Sinnvolle Mittelwerte xx = yy oder xx yy feststellbar Kennzeichnung Geschlecht Staatsangehörigkeit Beruf Autofarbe Modalwert Zusätzlich: xx > yy oder xx < yy feststellbar Zusätzlich: Darstellung der Ordnung gar nicht, selten, oft, sehr oft Windstärke nach Beaufort Schulleistung Zusätzlich: Median Zusätzlich: xx yy und xx + yy sinnvoll / erlaubt Zusätzlich: Berechnung v. Unterschieden Uhrzeitpunkt Temperatur nach Celsius topografische Höhenlage Zusätzlich: Arithm. Mittel Zusätzlich: absoluter Nullpunkt existiert xx yy und xx yy sinnvoll / erlaubt Zusätzlich: Berechnung von Verhältnissen Alter, Größe Temperatur nach Kelvin Gewicht, Volumen Schuhgröße Zusätzlich: Geom./harm. Mittel Absolutskala, d.h. Einheit der Skala zwangsläufig (Anzahl) 2.10

11 Kapitel 2: Beschreibende Statistik 2.2 Erhebung Daten sammeln 2.11

12 Ziel der Erhebung klassische beschreibende Statistik zielgerichtet Ziel: Beispiel: (Ergebnis wird antizipiert; Verteilung der Daten voraussehbar) Hypothesen prüfen Erhebung zur Beziehung von Schülergröße & -gewicht explorative Datenanalyse erforschend Ziel: Beispiel: (keine Vorüberlegungen zu möglichen Ergebnissen) Hypothesen generieren, neue Einsichten in einen Sachkontext gewinnen Erhebung zum Freizeitverhalten von Schülern 2.12

13 Eigene Erhebung Vorteile Nachteile 2.13

14 Wichtig für die Güte der Erhebung Identifikationsmerkmale festlegen sächlich (Was? / Wer?) räumlich (Wo?) zeitlich (Wann?) Skala bestimmen Nominalskala Ordinalskala metrische Skala Probleme antizipieren Geeignete Fragestellung? Alle wesentlichen Merkmale & Ausprägungen erhoben? Stichprobe repräsentativ? Merkmalsausprägungen messbar? 2.14

15 Mögliche Zugänge zu Fragen & Problemen bei Erhebungen Eigene Erhebung Planen Durchführen Fremderhebung analysieren Erhebungsdefinitionen zugänglich z. B. Diskussion extremer Stichproben bei ungenau definierten Merkmalen Rekonstruktion einer Statistik Erhebungsdefinitionen nicht zugänglich Rekonstruktion: Von gegebenen Daten auf die Originaldaten rückschließen. 2.15

16 Erhebung im Modellierungskreislauf reales Modell Mathematisieren mathem. Modell Erhebung Idealisieren Strukturieren Vereinfachen Präzisieren Realität Mathematik mathematische Überlegungen reale Situation Interpretieren Validieren Anwenden mathem. Resultate Vollrath & Roth (2012) 2.16

17 Erhebung Aus: Stochastik. In: (Grundgesamtheit) 2.17

18 Schulbücher Leppig (Hrsg.) (2007). Lernstufen Mathematik M9, Bayern. Berlin: Cornelsen, S

20 Kapitel 2: Beschreibende Statistik 2.3 Graphische Darstellungsformen 2.20

21 Urliste Beispiel: Klassensprecherwahl 2.21

22 Tabelle Kandidat Strichliste (absolute) Häufigkeit

23 Tabelle Religionszugehörigkeit Bevölkerung im früheren Bundesgebiet am nach Religionszugehörigkeit Nach dem Ergebnis der Volkszählung 1987 (nur Deutsche und ohne die Fälle Ohne Angabe ) absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Anteil in % römisch-katholische Kirche , ,60 evangelische Kirche , ,20 evangelische Freikirche ,0067 0,67 jüdische Religionsgemeinschaft ,0004 0,04 islamische Religionsgemeinschaft ,0009 0,09 andere Religionsgemeinschaft ,0118 1,18 Keine Religionsgemeinschaft ,0822 8,22 Summe , ,

24 Stängel-Blatt-Diagramm Urliste 32, 21, 28, 10, 26, 36, 21, 29, 24, 38, 10, 37, 13, Klasseneinteilung! 2.24

25 Stängel-Blatt-Diagramm Urliste 32, 21, 28, 10, 26, 36, 21, 29, 24, 38, 10, 37, 13,

26 Balkendiagramm Wasserverbrauch in Liter pro Einwohner und Tag in Deutschland Fehlen hier Angaben? 2.26

27 Säulendiagramm 2.27

28 Balken-/Säulendiagramm Erarbeitung 2.28

31 Balken-/Säulendiagramm Erarbeitung

32 Balken-/Säulendiagramm Erarbeitung

33 Balken-/Säulendiagramm Erarbeitung Säulendiagramm 2.33

39 Balken-/Säulendiagramm Erarbeitung Balkendiagramm 2.39

40 Balken-/Säulendiagramm Erarbeitung Balkendiagramm entstehen lassen mit: Jedem ein Post-It. 2.40

41 Kreisdiagramm sonstiges 6% Schulweg N = 33 zu Fuß 27% mit öffentlichen Verkehrsmitteln 43% mit dem Fahrrad 18% mit dem Auto 6% 2.41

42 Kreisdiagramm sonstiges; 2 zu Fuß; 9 mit öffentlichen Verkehrsmitteln; 14 mit dem Fahrrad; 6 mit dem Auto;

43 Kreisdiagramm sonstiges 6% Schulweg N = 33 zu Fuß 27% mit öffentlichen Verkehrsmitteln 43% mit dem Fahrrad 18% mit dem Auto 6% 2.43

44 Bildprobleme oder Fast richtig

45 Bildprobleme oder Fast richtig Wer soll bei der WM in den Kasten?

46 Säulendiagramm 16 Anzahl der Schüler Schulweg zu Fuß mit dem Fahrrad 2 mit dem Auto mit öffentlichen Verkehrsmitteln 2 sonstiges 2.46

47 Säulendiagramm 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Anteil der Schüler 27% zu Fuß 18% mit dem Fahrrad Schulweg 6% mit dem Auto (N = 33) 42% mit öffentlichen Verkehrsmitteln 6% sonstiges 2.47

48 Block- bzw. Streifendiagramm Schulweg N = % mit öffentlichen Verkehrsmitteln 27 % 6 % 6 % 18 % 27 % 43 % zu Fuß 18 % 6 % 6 % mit dem Fahrrad mit dem Auto sonstiges 2.48

49 Blockdiagramm Statistik Abfallstatistik Von den Stadtreinigern gesammelte Abfälle in t pro Jahr Jahr 2.49

50 Box-Plot Whisker (Antenne) 50% der Fälle haben Werte innerhalb des Kastens (Box) Kasten (Box) Whisker (Antenne) 2.50

51 Kennwerte im Box-Plot Kennwert Beschreibung Lage im Boxplot Minimum Kleinster Datenwert des Datensatzes Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer Unteres Quartil Zentralwert oder Median Die kleinsten 25% der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert Die kleinsten 50% der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert Beginn der Box Strich innerhalb der Box Oberes Quartil Maximum Spannweite Quartilabstand Die kleinsten 75% der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert Größter Datenwert des Datensatzes Gesamter Wertebereich des Datensatzes Wertebereich in dem sich die mittleren 50% der Daten befinden Ende der Box Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer Länge des gesamten Boxplots (inklusive Ausreißer) Ausdehnung der Box 2.51

52 Boxplot Mathematik Neue Wege 6, RLP, Schroedel, 2007, S. 226 (1) Zentralwert bestimmen. (2) Maximum und Minimum bestimmen. (3) Daten in obere und untere Hälfte teilen. (4) Zentralwert der oberen und unteren Hälfte bestimmen. 2.52

53 Box-Plot

54 Streudiagramm (Punktwolke, Scatterplot) Beziehungsdiagramm Chlorid (Cl) Natrium (Na) zweidimensionale Verteilung gemeinsame Verteilung zweier Merkmale Natrium (Na) in mg/l Ziel: Suche nach funktionalem Zusammenhang Chlorid (Cl) in mg/l 2.54

55 Liniendiagramm, (Zacken-)Kurven

56 Daten unterschiedlich darstellen Halbach (2001). Eine Statistik Viele Interpretationen. Mathematik lehren 109, S

57 Daten unterschiedlich darstellen Halbach (2001). Eine Statistik Viele Interpretationen. Mathematik lehren 109, S

58 Misstrauensregeln für Diagramme Halbach (2001). Eine Statistik Viele Interpretationen. Mathematik lehren 109, S Verstöße gegen Proportionalität? Verstöße gegen perspektivische Verzerrungen? Stauchungen oder Streckungen von Achsen? Klare Achseneinteilung? Achsen vollständig dargestellt? Informationsbeitrag von Farben? Passen die Daten zur Interpretation? Welche Daten hätte ich gerne zum Thema erfahren? Passen die Daten zu meiner Einschätzung? Wie und wann wurden die Daten gewonnen? Interesse des Autors? Inhaltlicher Beitrag der Zahlen und Graphiken zur Botschaft?

59 Quelle: Autokosten_Index_Herbst_2007.asp?ComponentID=189519&SourcePageID=14990#0 (Abgerufen am ) 2.59

60 Schulbücher Leppig (Hrsg.) (2006). Lernstufen Mathematik 8, Bayern. Berlin: Cornelsen, S

61 Schulbücher Leppig (Hrsg.) (2006). Lernstufen Mathematik 8, Bayern. Berlin: Cornelsen, S

64 Schulbücher Leppig (Hrsg.) (2007). Lernstufen Mathematik M9, Bayern. Berlin: Cornelsen, S. 194 Nein, nicht zwingend. Nein, die Anteile des Ganzen bzw. die relative Häufigkeit! 2.64

65 Schulbücher Leppig (Hrsg.) (2007). Lernstufen Mathematik M9, Bayern. Berlin: Cornelsen, S. 194 Nein, die Anteile des Ganzen bzw. die relativen Häufigkeiten! 2.65

66 Schulbücher Leppig (Hrsg.) (2007). Lernstufen Mathematik M9, Bayern. Berlin: Cornelsen, S. 194? Die Bedeutung des richtigen Reifendrucks wird oft unterschätzt. Schon bei einem Minderdruck von 0,2 bar erhöht sich der Rollwiderstand und sorgt für einen Mehrverbrauch von etwa einem Prozent. Ist der Druck noch geringer, steigt der Spritkonsum weiter. ADAC motorwelt 8/2006, S

67 Probleme mit Piktogrammen Hudec & Neumann (2000). Bilder erzählen Zahlen. Tipps und Tricks rund um statistische Grafiken. Institut für Statistik der Universität Wien, 2000, USA Deutschland Österreich 1 Glas = Mio. hl 2.67

71 Kapitel 2: Beschreibende Statistik 2.4 Kennwerte von Datenreihen (Mittelwerte & Streuungsmaße) 2.71

72 Mittelwerte Median (Zentralwert) 2.72

73 Mittelwerte Median (Zentralwert)? 2.73

74 Mittelwerte Modus (Modalwert) 2.74

75 Mittelwerte Modus (Modalwert) Modus (Modalwert) 2.75

76 Mittelwerte 2.76

77 Mittelwerte 2.77

78 Mittelwerte 2.78

79 Mittelwerte arithmetisches Mittel 2.79

80 Mittelwerte Krämer ( ).Statistik verstehen Eine Gebrauchsanleitung. Campus Verlag Der Median ist die Größe der Person die in der Mitte steht, wenn man die Personen der Größe nach sortiert hat. Median (Zentralwert) 2.80

81 Mittelwerte Krämer ( ).Statistik verstehen Eine Gebrauchsanleitung. Campus Verlag Das arithmetische Mittel von 5, 5 und 20 ist 10: die Stelle, die den Balken balanciert. 2.81

83 Mittelwerte Lagemaße Modalwert (Modus) Wert(e) der (die) am häufigsten auftritt (-treten). Median (Zentralwert) xx 1 xx 2 xx nn Median: Robust gegen Ausreißer xx = xx kk+1 für nn = 2kk xx kk + xx kk+1 bzw. für nn = 2kk xx kk oder xx kk+1 Median: Kleinste Summe absoluter Abweichungen von gegebenen Daten. Arithmetisches Mittel xx = xx 1 + xx xx nn nn nn = 1 nn kk=1 xx kk Arithmetisches Mittel: Kleinste Summe quadrierter Abweichungen von den gegebenen Daten. 2.83

84 Weitere Mittelwerte geometrisches Mittel xx gg = nn xx 1 xx 2 xx nn = nn nn kk=1 xx kk Wichtigste Anwendung des geometrischen Mittels sind durchschnittliche Wachstumsfaktoren. harmonisches Mittel nn xx h = = xx 1 xx 2 xx nn quadratisches Mittel nn nn 1 kk=1 xx kk Wichtige Anwendung des harmonischen Mittels: Mittlere Geschwindigkeit xx qq = xx xx xx nn 2 nn nn = 1 nn kk=1 xx kk

85 Arithmetisches geom. Mittel xxxx xx + yy

86 Mittelwerte Winter, H. (1995). Mittelwerte eine grundlegende mathematische Idee. Mathematik lehren 8, S Häufig auftretende Typen eingipfliger Verteilungen eines Merkmals in einer Stichprobe: m ~ x _ x m ~ x _ x m ~ x _ x 2.86

87 Weitere Lagemaße: Quantile pp-quantil xx pp (oder Perzentil, mit 0 pp 1) Der Wert xx pp teilt die geordneten Stichprobe (xx 1, xx 2,, xx nn ) so in zwei Teile, dass pp 100% aller Werte kleiner als xx pp und 1 pp 100% aller Werte größer als xx pp sind. 0,3-Quantil = 30. Perzentil Bestimmung des pp-quantils xx pp eines geordneten Wertebereichs (xx 1, xx 2,, xx nn ): xx nn pp +1 falls nn pp nicht ganzzahlig xx pp = 1 2 xx nn pp + xx nn pp+1 falls nn pp ganzzahlig Der Ausdruck yy : = max{kk ZZ kk yy} bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich der reellen Zahl yy ist. 5,3 = 5 2 = 2 3,6 =

88 Weitere Lagemaße: Quantile Bemerkung: Neben dem Median xx 0,5 als 0,5-Quantil besitzen weitere häufig verwendete Quantile eigene Namen. So heißen xx 0,25 unteres und xx 0,75 oberes Quartil. Beispiel: Geordnete Stichprobe: (Anzahl der Werte: nn = 18) xx 1 = 40, xx 2 = 42, xx 3 = 53, xx 4 = 62, xx 5 = 63, xx 6 = 64, xx 7 = 65, xx 8 = 67, xx 9 = 70, xx 10 = 72, xx 11 = 72, xx 12 = 74, xx 13 = 75, xx 14 = 78, xx 15 = 78, xx 16 = 79, xx 17 = 80, xx 18 = 83 Median (0,5-Quantil): 0,5 nn = 0,5 18 = 9 ist ganzzahlig. xx 0,5 = 1 xx xx = 71 = 1 2 Unteres Quartil (0,25-Quantil): 0,25 nn = 0,25 18 = 4,5 ist nicht ganzzahlig. xx 0,25 = xx 4,5 +1 = xx 4+1 = xx 5 = 63 Oberes Quartil (0,75-Quantil): 0,75 nn = 0,75 18 = 13,5 ist nicht ganzzahlig. xx 0,25 = xx 13,5 +1 = xx 13+1 = xx 14 =

89 Weitere Lagemaße: Quantile PISA-Darstellung : Perzentilbänder 2.89

90 Streuungsmaße Durchschnitte allein machen nicht glücklich! Sollen wir das arithmetische Mittel als durchschnittliche Körpergröße nehmen und den Gegner erschrecken, oder wollen wir ihn einlullen und nehmen den Median? Krämer ( ). So lügt man mit Statistik. Piper 2.90

91 Streuungsmaße Krämer (2002). Statistik für die Westentasche. Piper 2.91

92 Streuungsmaße Flussquerschnitte gleicher mittlerer Tiefe Aus: madin.net Krämer ( ). So lügt man mit Statistik. Piper 2.92

93 Streuungsmaße Spannweite Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert dd = xx mmmmmm xx mmmmmm Quartilsabstand (Interquartilsabstand) Differenz zwischen 3. und 1. Quartil (mittlerer Bereich mit 50% der Daten) Interquartilsabstand Robust gegen Ausreißer mittlere absolute Abweichung Maß für die (lineare, absolute) Abweichung der Daten von einem Mittelwert w = xx 1 xx + + xx nn xx nn 2.93

94 Streuungsmaße am Boxplot Maximum Whisker (Antenne) 3. Quartil (oberes Quartil) Spannweite Interquartilsabstand Box (Kasten) Median Whisker (Antenne) 1. Quartil (unteres Quartil) Minimum Ausreißer

95 Streuungsmaße am Boxplot

96 Streuungsmaße Varianz Arithmetisches Mittel der quadratischen Abweichung der Daten vom arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung ss 2 = xx 1 xx xx nn xx 2 nn Standardabweichung Maß für die Abweichung der Daten vom arithmetischen Mittel Einheit entspricht der Einheit der Merkmalsausprägungen ss = xx 1 xx xx nn xx 2 nn 2.96

97 Standardabweichung Die Standardabweichung ss = xx 1 xx xx nn xx 2 ist die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der Daten von ihrem arithmetischen Mittel, bleibt bei der Addition einer Konstanten zu den Ausgangsdaten unverändert, ändert sich bei Multiplikation aller Ausgangsdaten mit einem positiven Faktor aa um den gleichen Faktor aa. Bei großen, annähernd normalverteilten Datenmengen liegen rund 2 aller Werte 3 weniger als eine Standardabweichung vom arithmetischen Mittel entfernt. nn Normalverteilung xx 2.97

98 Standardabweichung Krämer ( ). Statistik verstehen Eine Gebrauchsanleitung. Campus Verlag + Standardabweichung Arithmetisches Mittel Standardabweichung Körpergrößen Arithmetisches Mittel: 180 cm (deutscher Männer) Standardabweichung: 4 cm 2.98