Bitte bearbeite zunächst alle Aufgaben bevor du einen Blick in die Lösungen wirfst.

Transkript

1 Übungsblatt 1 - Häufigkeiten, Mittelwert, Erwartungswert Das erste Übungsblatt ist als Einstieg ins Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung gedacht und umfasst die Themen relative/absolute Häufigkeiten, Mittelwert und Erwartungswert. Hinter den Aufgaben steht in Klammern die durchschnittliche Bearbeitungszeit; die Lösungen findest du auf den Seiten 4 bis 6. Bitte bearbeite zunächst alle Aufgaben bevor du einen Blick in die Lösungen wirfst. Aufgabe 1: (6 Minuten) Geben Sie die relativen Häufigkeiten als Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent an. a) 38 von 100 b) 12 von 50 c) 32 von 67 d) 45 von 30 Aufgabe 2: (12 Minuten) Die Stichprobenumfänge zweier Untersuchungen sind 80 bzw Wie groß ist jeweils die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung, wenn für ihre gerundete relative Häufigkeit angegeben wird: a) 50 % b) 82 % c) 0,16 d) 0,01 e) ein Siebtel f) zwei von drei zur Erinnerung: ä relative Häufigkeit = Aufgabe 3: (2 Minuten) Nach einer Untersuchung von 2325 Rindern wird die relative Häufigkeit der an Brucellose erkrankten Tiere mit 0,04 angegeben. Wie viele der untersuchten Tiere waren von der Krankheit befallen?

2 Aufgabe 4: (30 Minuten) Eins zwei drei PKW-Mehrfachbesitz nach Haushaltseinkommen in Prozent der Führerscheinbesitzer 1 PKW 2 PKW 3 und mehr PKW bis % 6 % 0 % 1500 bis % 15 % 1 % 2000 bis % 24 % 2 % 2500 bis % 34 % 4 % 3000 bis % 42 % 8 % über % 46 % 15 % Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Umfrage unter Führerscheinbesitzern. a) Erläutern Sie an diesem Beispiel die Begriffe Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang, Merkmal, Merkmalsausprägung, Stichprobenwert. b) Die Summe der Prozentangaben in den einzelnen Zeilen ist kleiner als 100 %. Wie viel Prozent fehlen jeweils? c) Welche Bedeutung haben diese fehlenden Angaben und warum werden sie mit steigendem Einkommen kleiner? Aufgabe 5: (10 Minuten) a) Erläutere den Unterschied zwischen dem Mittelwert und dem Erwartungswert. b) Wie lauten die allgemeinen Formeln für den Mittelwert x und Erwartungswert µ? Aufgabe 6: (6 Minuten) In drei Bechern befinden sich drei verschiedene Sorten Chips. Die Becher sollen nach einer Geschmacksprobe den Sorten zugeordnet werden. Als Merkmal gilt die Anzahl der richtigen Zuordnungen (Treffer). Bei einer Stichprobe mit 40 Personen ergab sich folgende Häufigkeitsverteilung. Anzahl der Treffer absolute Häufigkeit Berechnen Sie den Mittelwert (mittlere Trefferzahl). Aufgabe 7: (4 Minuten) Rebecca erhielt im Fach Erdkunde die Einzelnoten 2; 3; 1,5; und 2. Berechnen Sie den Mittelwert. Welche Gesamtnote erhält sie vermutlich?

3 Aufgabe 8: (15 Minuten) Frau Kolmetz fährt mit ihrem PKW die ersten 100 km mit der Geschwindigkeit 80 km/h, die zweiten 100 km mit 120 km/h. Frau Kaiser fährt die erste Stunde mit genau 80 km/h, eine Stunde mit 120 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit hätten die beiden Damen fahren müssen, ohne ihre jeweiligen Gesamtfahrzeiten zu ändern?

4 Lösungen: Aufgabe 1: a) = 0,38 = 38 % = b) = 0,24 = 24 % = c) 0,477 = 47,7 % d) = 1,5 = 150 % = Aufgabe 2: ä relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit = relative Häufigkeit Versuchszahl a) 50 % = 0,5 absolute Häufigkeit = 0,5 80 = 40 (für 531) = 0,5 531 = 265,5 265 b) 82 % = 0,82 absolute Häufigkeit = 0,82 80 = 65,6 66 (für 531) = 0, = 435, c) 0,16 absolute Häufigkeit = 0,16 80 = 12,8 13 (für 531) = 0, = 84,96 85 d) 0,01 absolute Häufigkeit = 0,01 80 = (für 531) = 0, = 5,31 5 e) 0,143 absolute Häufigkeit = 0, = (für 531) = 0, = 75,93 76 f) 0,666 absolute Häufigkeit = (für 531) = = 354 Aufgabe 3: absolute Häufigkeit = relative Häufigkeit Versuchszahl absolute Häufigkeit = 0, = Tiere waren von der Krankheit befallen.

5 Aufgabe 4: a) Grundgesamtheit: Befragte Stichprobe: Die Zahl der PKWs und des Einkommens Stichprobenumfang: Gesamte Prozentzahl jeder Zeile / Anzahl der Merkmalträger Merkmal: Höhe des Einkommens, Anzahl der PKWs Merkmalsausprägung: quantitative Ausprägung der untersuchten Einheiten Stichprobenwert: die Prozentwerte pro Kategorie b) bis 1500: 19 % 1500 bis 2000: 7 % 2000 bis 2500: 4 % 2500 bis 3000: 3 % 3000 bis 3500: 2 % über 3500: 2 % c) Die fehlenden Angaben beschreiben die Prozentzahl an Führerscheinbesitzern, die kein Auto haben. Je höher das Einkommen ist, desto eher kann man sich ein oder mehrere Autos leisten. Deshalb sinkt die Zahl derjenigen Führerscheinbesitzer ohne Auto mit steigendem Einkommen. Aufgabe 5: a) Der Mittelwert ist als Quotient aus der Summe aller beobachteten Werte und der Anzahl der Werte definiert. Der Erwartungswert ist jener Wert, der sich in der Regel bei oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden Experiments als Mittelwert der Ergebnisse ergibt. b) Mittelwert: x = (x 1 + x 2 + x x n ) Sind die relativen Häufigkeiten h 1, h 2, h 3,, h r bekannt, so gilt: x = x 1 h 1 + x 2 h 2 + x 3 h x r h r Erwartungswert: Kann man auch die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2, p 3,, p r angeben, so nennt man µ = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p x r p r den Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

6 Aufgabe 6: Mittelwert der Anzahl der Treffer: x = = 1,675 (Treffer). Aufgabe 7: x = ( ,5 + 2) = 2,125 Rebecca erhält im Fach Erdkunde vermutlich die Gesamtnote 2. Aufgabe 8: Frau Kolmetz: x = = 96 Frau Kolmetz hätte konstant 96 km/h fahren müssen. Frau Kaiser: x = ( ) = 100 Frau Kaiser hätte konstant 100 km/h fahren müssen.