Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 1/9 Quadratische Gleichungen

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1 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 1/9 Vorgehen bei der Lösung 1. Gleichung durch Umformungen auf allgemeine Form a x² + b x + c = 0 bringen b. Die beiden Zahlen A = b 4 a c und berechnen (mit dem Rechner). Wenn bei B die Zahl unter der Wurzel < 0 ist, gibt es keine Lösung. a a 3. Die Lösungen sind x 1 = A + B und x = A B. Anwendungsbeispiele 1. x² + 6x + 8 = 0 Die Gleichung ist bereits in der Normalform, und es ist a = 1 b = 6 c = 8 A = 6 = = = = 1 1 Lösungen: x 1 = = - Probe: (-)² + 6 (-) + 8 = = 0 x = -3 1 = -4 (-4)² + 6 (-4) + 8 = = 0. -x² + x + 3 = 0 Die Gleichung ist bereits in der allgemeinen Form, und es ist a = -1 b = c = 3 A = 1 = 1 4 ( 1) = = = ( 1) Lösungen: x 1 = 1 = -1 Probe: -(-1)² + (-1) + 3 = = 0 x = 1 (-) = 3-3² = = 0 SEB/3.1.09

2 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite /9 3. 4x² 16x 48 = 0 Die Gleichung ist bereits in der allgemeinen Form, und es ist a = 4 b = -16 c = -48 A = ( 16) = 4 ( 16) 4 4 ( 48) = = = Lösungen: x 1 = + 4 = 6 Probe: 4 6² = = 0 x = 4 = - 4 (-)² 16 (-) 48 = = x² 3x 1.5 = 0 Die Gleichung ist bereits in der allgemeinen Form, und es ist a = 3 b = -3 c = -1.5 A = ( 3) = ( 3) 4 3 ( 15). 7 = = = = 3 3 = = Lösungen: x 1 = = x = = Probe: ² = = 0 3 (-0.366)² 3 (-0.366) 1.5 = = 0 5. x (x + 5) (3x 8) = 46 x ( x ) ( x ) = 46 x x 3 x + x x = 46 x 3 x 8 x + 15 x 40 = 46 3 x 6 x + 40 = 46 3 x 6 x 6 = 0 Die Gleichung ist jetzt in der allgemeinen Form, und es ist a = -3 b = -6 c = -6 A = ( 6) = 1 ( 3) ( 6) 4 ( 3) ( 6) = 36 ( 3) 6 Die Gleichung hat keine Lösungen. SEB/3.1.09

3 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 3/9 6. x + 3 = 1 3 x + x + 3 = 1 3 x + x ( x + ) 3 ( x + ) 1 3 x + = 3 3 x + x + 3 x + 3 x + ( x + 3) ( x + ) 3 3 ( x + ) = 3 ( x + ) 3 ( x + ) 3 ( x + ) ( x + 3) ( x + ) 6 = 3 ( x + ) x + 4 x + 3 x = 3 x + 6 x + 4 x 6 = 0 Der Nenner darf weggelassen werden, wenn er überall gleich ist (wenn x/3 = y/3, ist auch x = y). Die Gleichung ist jetzt in der allgemeinen Form, und es ist a = b = 4 c = -6 A = 4 = ( 6) 64 8 = = = 4 4 Lösungen: x 1 = -1 + = 1 Probe: 1² = = 0 x = -1 = -3 (-3)² + 4 (-3) 6 = = 0 SEB/3.1.09

4 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 4/9 7. Welche zwei aufeinanderfolgenden Zahlen haben das Produkt 13? Erste Zahl: x Zweite Zahl: x + 1 Gleichung: x (x + 1) = 13 x (x + 1) = 13 x² + x = 13 x² + x 13 = 0 Die Gleichung ist jetzt in der Normalform, und es ist a = 1 b = 1 c = -13 A = 1 = ( 13) 59 3 = = = Lösungen: x 1 = = 11 x = = -1 Die beiden Zahlen sind also 11, 1 und -1, -11. Beide Lösungen der Gleichung sind Lösungen der Aufgabe. SEB/3.1.09

5 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 5/9 8. Zwei Bauunternehmer A und B können ein Bauvorhaben gemeinsam in 6 Monaten ausführen. Wieviele Monate benötigt jeder allein, wenn A allein 5 Monate weniger braucht als B allein? Aufgaben, in denen die Zeit vorkommt, müssen häufig über die Geschwindigkeit (bzw. Leistung) angegangen werden. Geschwindigkeiten/Leistungen addieren sich bei gleichzeitiger Tätigkeit, die benötigten Zeiten nicht! Leistung = geleistete Arbeit/gebrauchte Zeit Zeit, die A allein braucht: Zeit, die B allein braucht: x Monate x + 5 Monate A allein schafft pro Monat 1 x der Arbeit (das ist seine Arbeitsleistung). 1 B allein schafft pro Monat der Arbeit. x + 5 Zusammen schaffen sie pro Monat x + x 5 = + 6 der Arbeit. ( x ) 1 6 x x 6 x x + 5 x = x x x ( x + 5) 1 6 x ( x + 5) = 6 x ( x + 5) 6 6 x ( x + 5) ( x ) x x ( x ) = x x = x + 5 x x + 7 x + 30 = 0 Lösungen: x 1 = -3 ist nicht Lösung der Aufgabe (muss positiv sein) x =10 ist Lösung der Aufgabe A benötigt allein 10 Monate B benötigt allein 15 Monate SEB/3.1.09

6 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 6/9 9. Ein Auftrag kann bei Einsatz von 3 Automaten in 5 Tagen ausgeführt werden. Wieviel Tage werden bei Einsatz von jeweils einem Automaten benötigt, wenn mit dem zweiten Automaten 5 Tage weniger und mit dem dritten doppelt so viele Tage wie mit dem ersten gebraucht werden? Zeit für 1. Automaten allein: Zeit für. Automaten allein: Zeit für 3. Automaten allein: x Tage x 5 Tage x Tage Der 1. Automat schafft pro Tag 1 x der Arbeit (das ist seine Arbeitsleistung). 1 Der. Automat schafft pro Tag der Arbeit. x 5 Der 3. Automat schafft pro Tag 1 der Arbeit. x Alle 3 Automaten zusammen schaffen pro Tag x + x 5 + x = 5 der Arbeit. ( x ) ( x ) x x 5 x 5 x x 5 5 x 5 x x x 1 5 ( x 5) x 1 ( x ) + = 5 ( x 5) x 5 ( x ) ( x ) x ( x ) ( x ) x 5 5 x 5 5 x = 5 10 x x + 5 x 5 = x 10 x x + 35 x 75 = 0 Lösungen: x 1 =.5 ist nicht Lösung der Aufgabe (x 5 würde negativ) x =15 ist Lösung der Aufgabe Der 1. Automat benötigt allein 15 Tage. Der. Automat benötigt allein 10 Tage. Der 3. Automat benötigt allein 30 Tage. SEB/3.1.09

7 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 7/9 10. Herr Huber besitzt zu Beginn des Jahres ein Sparguthaben von 6000 Fr. Am Jahresende werden die Zinsen dem Guthaben zugeschlagen. Gleichzeitig zahlt Herr Huber 700 Franken auf das Sparkonto ein. Zu Beginn des zweiten Jahres wird der Zinsfuss um 0.5% gesenkt. Wie hoch ist der neue Zinsfuss, wenn das Guthaben nach der zweiten Zinsgutschrift 7315 Franken beträgt? Zinsfuss im 1. Jahr: x (z.b für 4%) Zinsfuss im. Jahr: x 0.5% = x Kapital am Anfang: 6000 Zins im 1. Jahr: 6000 x Kapital am Ende des 1. Jahres: x Kapital nach Einzahlung: x = x Zins im. Jahr: ( x) (x 0.005) Kapital am Ende des. Jahres: x + ( x) (x 0.005) = x + ( x) (x 0.005) = x + (6700 x x² 30 x) = x² x = x² x = 0 a = 6000 b = 1670 c = A = 1670 = ( ) = = = Lösungen: x 1 = 0.05 = 5% ist Lösung der Aufgabe x = -.16 = -16.% ist nicht Lösung der Aufgabe Zinsfuss im. Jahr: x = = 4.5% SEB/3.1.09

8 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 8/9 Lösungen der Aufgaben aus Abschnitt.4.4 im Skript 1. Multipliziert man den 4. Teil einer Zahl mit dem 3. Teil derselben, so erhält man 4/3. Wie heisst die Zahl? Gleichung: x x 4 =, Lösung x = Wenn man den Radius eines Kreises um 50cm verlängert, vergrössert sich die Fläche auf das 3-fache. Wie gross war der ursprüngliche Durchmesser? Radius Fläche vorher: r r² π nachher: r + 50 (r + 50)² π Gleichung: (r + 50)² π = 3 r² π Lösungen: r 1 = und r = Lösung der Aufgabe: d = (die negative Lösung fällt weg) 3. Ein quadratisches Stahlblech, dessen Seiten 60 cm lang sind, wird an der einen Seite um soviel verlängert, wie die andere Seite verkürzt wird. Der Flächeninhalt des neuen Bleches beträgt 3575 cm. Wie gross sind die Masse des geänderten Bleches? x: Änderung der Seitenlänge Seiten Fläche vorher: 60, nachher: (60 + x), (60 x) (60 + x) (60 x) Gleichung: (60 + x) (60 x) = 3575 Lösungen: r = ±5 Lösungen der Aufgabe: 55 x 65 und 65 x Ein Mann kauft für 60 Fr. Schrauben. Ein anderes Mal erhält er für die gleiche Summe 100 Schrauben mehr, wobei jede Schraube um 10 Rp. billiger ist als beim ersten Mal. Wie viele Schrauben kaufte er das erste Mal? x: Anzahl Schrauben beim ersten Mal. Preis einer Schraube: vorher 60 x, nachher 60 x Gleichung 60 = 60 + x x , Lösungen x = -300 und 00 Nur x = 00 ist Lösung der Aufgabe. 5. Um einen Graben auszuheben, braucht Arbeiter A 15 Stunden mehr als Arbeiter B. Zusammen brauchen sie 18 Stunden. Wie lange haben A und B einzeln? x: Stunden von B allein, B leistet 1/x pro Stunde, A hat allein x+15 Stunden Leistung A + Leistung Leistung A+B Gleichung: + =, Lösungen -9 (keine Lösung der Aufgabe) und 30 x + 15 x 18 A braucht allein 45 Stunden, B allein 30 Stunden SEB/3.1.09

9 Vorbereitungskurs Mathematik für die FHNW-Aufnahmeprüfung Seite 9/9 6. Zwei Zuflussrohre A und B füllen einen Behälter zusammen in 1 Minuten. A hat allein 10 Minuten länger als B allein. Wie lange brauchen A und B allein? x: Minuten von B allein, B leistet 1/x pro Minute, A hat allein x+10 Minuten Leistung A + Leistung Leistung A+B Gleichung: + =, Lösungen -6 (keine Lösung der Aufgabe) und 0 x + 10 x 1 A braucht allein 30 Minuten, B allein 0 Minuten 7. Zwei Autofahrer fahren gleichzeitig von P und Q (30 km entfernt) ab und treffen sich nach 18 Minuten. Für den ganzen Weg braucht A 15 Minuten mehr als B. Wie lange braucht A? x: Anzahl Minuten von A, B braucht x 15 Minuten Gleichung: Geschwindigkeit A + Geschwindigkeit Geschwindigkeit A+B Gleichung: x + x 15 = 18, Lösungen 6 (keine Lösung der Aufgabe) und Ein Flugzeug fliegt von Leipzig nach Wien (660 km) und kommt in Wien 6 Minuten früher als geplant an, da es Rückenwind von 60 km/h hatte. Wie hoch ist die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges? Vorsicht Einheiten! Entweder alles in Minuten oder alles in Stunden einsetzen! Eigengeschwindigkeit: v Geschwindigkeit mit Rückenwind: v + 60 Zeit = Distanz/Geschwindigkeit Gleichung: 660 = v v , Lösungen -660 (keine Lösung d. Aufg.) und Ein Stein wird in ein Loch geworfen. Nach 6 Sekunden hört man den Aufprall. Wie tief ist das Loch? Schallgeschwindigkeit c = 343 m/sec, Erdbeschleunigung g = 9.81 m/sec², Weg bei beschleunigter Bewegung s = ½gt². Wir können nicht direkt die Tiefe als Unbekannte einsetzen, sondern wir müssen die Aufgabe über die Zeit lösen. t = Fallzeit, die Schallzeit ist dann 6 sec t. Der beim Fall zurückgelegte Weg ist gleich wie der vom Schall zurückgelegte Weg. Gleichung: ½gt² = 343 m/sec (6 sec t), Lösungen sec und sec Nur t = sec ist Lösung der Aufgabe, Tiefe m SEB/3.1.09