1. Wie heißen zwei natürliche Zahlen, deren Summe 25 und deren Quotient 4 ist?

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1 9 Anwenden x Gleichungen/Variablen 1 Zahlenrätsel I 1. Wie heißen zwei natürliche Zahlen, deren Summe 25 und deren Quotient 4 ist? 2. Der Altersunterschied zweier Schwestern beträgt 7 Jahre. Addiert man zum 1 1 -fachen Alter der Jüngeren 4 Jahre, so erhält man das Alter der Älteren. 4 Wie alt sind die Schwestern? 9 Lösung x Gleichungen/Variablen 1 1. a + b = 25 a b = 4 a = 20 b = 5 2. x - y = y + 4 = x x = 19 y = 12

2 9 Anwenden xx Gleichungen/Variablen 2 Zahlenrätsel II 1. Ein Drittel einer natürlichen Zahl ist um 6 größer als ein Viertel einer Zweiten. Das 5-fache der Ersten ist um 48 größer als das 4-fache der Zweiten. Welche Zahlen haben diese Eigenschaften? 2. Von zwei Brüdern ist der Eine 4 Jahre älter als der Andere. Vor vier Jahren war er gerade doppelt so alt. Wie alt ist jeder jetzt? 9 Lösung x Gleichungen/Variablen 2 1. (I) x 3 = y (II) 5 x = 4 y + 48 x = 144 y = (I) x = y + 4 (II) x - 4 = 2 (y - 4) x = 8 y = 12

3 9 Anwenden x Gleichungen/Variablen 3 Stahl & Grauguss Wie viele Tonnen Stahl mit 0,5 % Kohlenstoff und wie viele Tonnen Grauguss mit 2,5 % Kohlenstoff ergeben beim Zusammenschmelzen 12 t Stahl mit 1,45 % Kohlenstoff? 9 Lösung x Gleichungen/Variablen 3 x = Masse Stahl y = Masse Grauguss (I) (II) x + y = 12 t 0,5 x + 2,5 y = 1,45 12 t x = 6,3 t y = 5,7 t

4 9 Anwenden xx Gleichungen/Variablen 4 Wassertemperaturmischung Mischt man 3 Liter heißes Wasser mit 8 Liter kaltem Wasser, so erhält man 11 Liter mit einer Temperatur von 31 C. Hätte man 8 Liter heißes Wasser mit 3 Liter kaltem Wasser gemischt, so hätte sich die Temperatur von 56 C eingestellt. Welche Anfangstemperaturen liegen vor? 9 Lösung xx Gleichungen/Variablen 4 Q = m c ΔT Q auf = Q ab υ H = Temperatur des Heißen Wassers υ K = Temperatur des Kalten Wassers (jeweils nur der Zahlenwert) (I) 3 kg 4,19 kg kg K 3 (υ H - 31) = 8 (31 - υ K ) (II) 8 kg 4,19 kg kg K 8 (υ H - 56) = 3 (56 - υ K ) (υ H - 31) K = 8 kg 4,19 (υ H - 56) K = 3 kg 4,19 kg kg K kg kg K (31 - υ K ) K (56 - υ K ) K υ K = 16 C υ H = 71 C

5 9 Anwenden xxx Gleichungen/Variablen 5 Fluggeschwindigkeit Ein Flugzeug benötigt bei Gegenwind 1 h 40 min, um 360 km zurückzulegen, auf dem Heimflug mit Rückenwind nur 1 h 30 min. Bestimme die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges, sowie die Windgeschwindigkeit. Berechne zuvor die resultierende Geschwindigkeit auf dem Hin- bzw. Rückflug unter Annahme einer gleichförmigen Bewegung. 9 Lösung xxx Gleichungen/Variablen 5 geg: t 1 = 100 min t 2 = 90 min s = 360 km v = s t t 1 = 3 h 5 t 2 = 3 h 2 ges. v Eig (I) v Eig - v Wind = V Ges, 1 (bei Gegenwind) ges. v Wind (II) v Eig + v Wind = V Ges, 2 (bei Rückenwind) v Ges, 1 = v Ges, 2 = 360 km 5 3 h 360 km h 3 2 = 216 km h = 240 km h v Eig = 228 km h v Wind = 12 km h

6 9 Anwenden xx Gleichungen/Variablen 6 Säuren Durch das Mischen von 11 Litern einer Schwefelsäure-Lösung mit 8 Litern einer Anderen erhält man eine 22 %-ige Lösung. Mischt man 15 Liter der Ersten mit 4 Liter der Zweiten, erhält man eine 18 %-ige Lösung. Wie hoch sind die Prozentgehalte der beiden Säure-Sorten? 9 Lösung xx Gleichungen/Variablen 6 x = Prozentgehalt Säure 1 y = Prozentgehalt Säure 2 (I) 11 l x - 8 l y = 19 l 22 % (II) 15 l x - 4 l y = 19 l 18 % x = 14 % y = 33 %

7 9 Anwenden xxx Gleichungen/Variablen 7 Rechteckseiten I Verlängert man in einem Rechteck die Länge der kleineren Seite um 2 cm und verkleinert die Länge der Größeren um 1 cm, so erhält man ein Quadrat, dessen Fläche um 8 cm² größer ist als die des Rechtecks. Wie groß sind die Seiten des Rechtecks. Fertige eine Skizze an. 9 Lösung xxx Gleichungen/Variablen 7 a = Länge der großen Seite b = Länge der kleinen Seite (I) (II) (b + 2 cm) (a - 1 cm) = ab + 8 cm² a - 1cm = b + 2 cm a 1 cm a = 7 cm b = 4 cm A 1 b A 2 2 cm A 2 = A cm²

8 9 Anwenden xx Gleichungen/Variablen 8 Rechteckseiten In einem Rechteck beträgt die Länge einer Seite 2 der Länge der Anderen. 3 Vergrößert man die kleinere Seite um 3 cm und vergrößere die Größere um 3 cm, so ändert sich der Flächeninhalt nicht. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? 9 Lösung xx Gleichungen/Variablen 8 (I) (II) b = 2 3 a A = a b = (b + 3 cm) (a - 3 cm) a = 9 cm b = 6 cm

9 9 Anwenden x Gleichungen/Variablen 9 Parallelogramm Von den Winkeln eines Parallelogramms ist der Eine 80 größer als der Andere. Berechne die Größen der Winkel des Parallelogramms. 9 Lösung x Gleichungen/Variablen 9 2 (x + y) = 360 (I) x + y = 180 (II) y = x + 80 x = 50 y = 130

10 9 Anwenden xxx Gleichungen/Variablen 10 Babylonische Aufgabe Eine Aufgabe aus dem alten Babylon (18. Jh. v. Chr.) Im Jahre 1962 wurden in Tell Dhiba'i nahe der berühmten Stadt Tell Harmal über 500 gut erhaltene babylonische Tontäfelchen gefunden, unter ihnen auch einige mathematischen Inhalts. Einer dieser Texte lautet: "Die Länge der Diagonalen eines Rechtecks beträgt 1,25 (LE) und die Fläche 0,75 (FE). Berechne die Länge und Breite des Rechtecks!" mathematik lehren Heft 53 9 Lösung xxx Gleichungen/Variablen Aus a² + b² = d² = 4 = und a b = 3 4 bzw. 2 a b = 6 4 = 24 folgt a² + 2 a b + b² = (a + b)² = bzw. a² - 2 a b + b² = (a - b)² = (s. Abb ). Also a + b = 7 4 und a - b = 1 4. Daraus folgt schließlich a = 1 und b = 3 4. Das Rechteck ist 1 (LE) lang und 3 4 (LE) breit.

11 9 Anwenden xx Gleichungen/Variablen 11 Filme Für 2 Filme und 62 Abzüge waren 29,10 zu zahlen. 3 Filme mit 91 Abzügen kosteten 42,95. Wie teuer war die Filmentwicklung und ein Abzug? 9 Lösung xx Gleichungen/Variablen 11 Die Entwicklung des Films kostet x. Ein Abzug kostet y. Dann gilt für die ersten Filme: I. 2 x + 62 y = 29,10 II. 3 x + 91 y = 42,95 III. 3 I - 2 II: 4 y = 1,40 y = 0,35 y in I: 2 x ,35 = 29,10 x = 3,70 Die Entwicklung kostet 3,70 pro Film. Für jeden Abzug ist 0,35 zu zahlen.

12 9 Anwenden xx Gleichungen/Variablen 12 Asterix Die Römer bieten für die Ergreifung von Asterix und Obelix insgesamt 5000 Sesterzen an. Für Obelix soll siebenmal so viel gezahlt werden wie für Asterix. Wie viel ist den Römern Asterix "wert", wie viel Obelix? (Information: Ein Sesterz ist eine antike römische Münze.) 9 Lösung xx Gleichungen/Variablen 12 Für Asterix werden x Sesterzen gezahlt. Dann wird für Obelix 7 x geboten. x + 7 x = 5000 x = x = 4375 Für Asterix ist 625 Sesterzen, für Obelix 4375 Sesterzen ausgeschrieben.