(Grob-) Gliederung. B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite

Transkript

1 (Grob-) Gliederung A Einführung Thema: Tilgungsrechnungen B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften 1 Thema: Tilgungsrechnungen A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten 4 Aufgaben F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften

2 Thema: Tilgungsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten.1 Jährliche Ratentilgung. Unterjährige Ratentilgung 4 Aufgaben Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften 3.1 Jährliche Ratentilgung Ausgangspunkt: Bei Ratentilgung wird die chuldsumme 0 (Nennwert des Kredits [Anleihe, Hypothek, Darlehn]) in n gleichen Teilbeträgen T getilgt. Die Tilgungsrate lässt sich ermitteln als: T 0 n Dr. A. Brink 4

3 .1 Jährliche Ratentilgung Beispiel: Ein Kredit in Höhe von bei 10% jährlichen Kreditzinsen soll über 5 Jahre getilgt werden und zwar bei jährlich-nachschüssiger Ratentilgung. Wie sieht der Tilgungsplan aus? T Dr. A. Brink 5.1 Jährliche Ratentilgung Tilgungsplan: t t 1 Z t T t R t t (1) () (3)=() 10% (4) (5)=(3)+(4) (6)=() (4) Dr. A. Brink 6

4 .1 Jährliche Ratentilgung tellt man keinen Tilgungsplan auf, kann man die Werte auch berechnen: z.b.: Restschuld t am Ende des t-ten Jahres t T n t Dr. A. Brink 7.1 Jährliche Ratentilgung z.b. Zinszahlung Z t für die t-te Periode: Z t T n t 1 i z.b. Annuität R t der t-ten Periode: R t T 1 n t 1 i Dr. A. Brink 8

5 Thema: Tilgungsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten.1 Jährliche Ratentilgung. Unterjährige Ratentilgung 4 Aufgaben Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften 9. Unterjährige Ratentilgung Ausgangspunkt: Bei unterjähriger Ratentilgung erfolgen die Tilgungszahlungen halb- oder vierteljährlich oder sogar monatlich. Bei m jährlich vorzunehmenden Tilgungszahlungen sind über die Gesamtlaufzeit insgesamt m n Tilgungsvorgänge durchzuführen. Dr. A. Brink 10

6 . Unterjährige Ratentilgung Die einzelne Tilgungsrate ergibt sich zu: T m n 0 Dr. A. Brink 11. Unterjährige Ratentilgung Beispiel: Ein Kredit in Höhe von bei 10% jährlichen Kreditzinsen soll über 5 Jahre vierteljährlich getilgt werden und zwar bei unterjährig-nachschüssiger Ratentilgung. Wie sieht der Tilgungsplan aus? T Dr. A. Brink 1

7 . Unterjährige Ratentilgung Beachte: Obwohl die Zinsen erst jährlich-nachschüssig fällig werden, ist es üblich, mit jeder Tilgungsrate einen periodisch anteiligen Zins zu zahlen! ==> einfache Zinsen auf die jeweilige Restschuld i rel i m nom 10% 4 0,05 Dr. A. Brink 13. Unterjährige Ratentilgung Tilgungsplan (Teil 1): t k k-1,t Z k,t T k,t R k,t k,t (1) () (3) (4)= (3) 0,05 (5) (6)= (4)+(5) (7)= (3)-(5) Dr. A. Brink 14

8 . Unterjährige Ratentilgung Tilgungsplan (Teil ): t k k-1,t Z k,t T k,t R k,t k,t Dr. A. Brink 15. Unterjährige Ratentilgung tellt man keinen Tilgungsplan auf, kann man die Werte auch berechnen: z.b.: Restschuld v,t nach v Perioden des t-ten Jahres v, t T m n t 1 v Dr. A. Brink 16

9 . Unterjährige Ratentilgung z.b.: Zinszahlung Z v,t der v-ten Periode des t-ten Jahres Z v, t m n t 1 m v irel T 1 z.b.: Annuität der v-ten Periode des t-ten Jahres R v, t T Zv, t Dr. A. Brink 17 Thema: Tilgungsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten 4 Aufgaben F Kurs und Rendite Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften 18

10 Thema: Tilgungsrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten 3. Unterjährige Annuitätentilgung 3.3 Tilgung mit konstanten Prozentsätzen 4 Aufgaben F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften 19 Ausgangspunkt: Bei konstanten Rückzahlungsbeträgen (Tilgung + Zinsen) spricht man von Annuitätentilgung. Zunächst gilt es, die Höhe der konstanten Annuität zu bestimmen, anschließend können Zins- und Tilgungsanteil ermittelt werden. Dr. A. Brink 0

11 Vorgehensweise: Man teilt die Zahlungsfolge des Kredits, die mit einer Einzahlung in Höhe der chuldsumme beginnt und der anschließend nur Auszahlungen in Form von Tilgungs- und Zinsbeträgen folgen, in zwei Zahlungsfolgen auf. Dr. A. Brink 1 1. Zahlungsfolge: Die 1. Zahlungsfolge besteht ausschließlich aus der Einzahlung zu Beginn der Laufzeit. Ohne Tilgung wächst die chuldsumme bis zum Ende der Kreditlaufzeit auf einen bestimmten Endwert an. Dr. A. Brink

12 . Zahlungsfolge: Die. Zahlungsfolge umfasst alle Annuitäten. Wenn diese zum selben Zinssatz angesammelt werden, der für den ursprünglichen Kreditbetrag gezahlt werden muss, soll die Annuität genau den Endwert ausmachen, der sich aus der 1. Zahlungsfolge ergibt. Dann ist man (am Ende der Laufzeit) in der Lage, die ursprüngliche chuldsumme plus die aufgelaufenen Zinsen zu begleichen. Dr. A. Brink 3 1. Zahlungsfolge EW n. Zahlungsfolge t EW n t Dr. A. Brink 4

13 Formel: R 0 q n q 1 n q 1 Dr. A. Brink 5 Beispiel: Ein Kredit in Höhe von bei 10% jährlichen Kreditzinsen soll über 10 Jahre jährlich getilgt werden und zwar bei jährlichnachschüssiger Annuitätentilgung. Wie sieht der Tilgungsplan aus? 10 1,1 1 R ,1 10 1, ,54 Dr. A. Brink 6

14 Tilgungsplan: t t-1 Z t T t R t t (1) () (3)= () 10% (4)=(5) (3) (5) (6)=() (4) , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4.84, , , , , , , , ,73 1.7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,05 0,0 Dr. A. Brink 7 Die Werte lassen sich wie folgt berechnen: z.b.: Restschuld t nach t Jahren t 0 q q n n q t 1 Dr. A. Brink 8

15 z.b.: Tilgungsrate in der t-ten Periode T t 0 q i q n t1 1 z.b.: Zinszahlungen der t-ten Periode Z t 0 n t1 q q i n q 1 Dr. A. Brink 9 Thema: Tilgungsrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten 3. Unterjährige Annuitätentilgung 3.3 Tilgung mit konstanten Prozentsätzen 4 Aufgaben F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften 30

16 3. Unterjährige Annuitätentilgung Die Jahresannuität R ist der Betrag, auf den die unterjährigen Tilgungsraten anwachsen müssen, wobei zu diesen Raten am Jahresende noch die im Verlauf des Jahres angefallenen einfachen Zinsen zu berücksichtigen sind. Die im Laufe des Jahres gezahlten Annuitäten stellen in vollem Umfange Tilgungszahlungen dar und enthalten keine Zinsbestandteile. Letztere werden erst am Jahresende berechnet und dem chuldner angelastet. Dr. A. Brink Unterjährige Annuitätentilgung Bei einer Anzahl von m Tilgungsraten pro Jahr r 1,r,,r m =r ergibt sich die Jahresannuität R analog zur jahreskonformen Ersatzrentenrate r e zu: Formel: R i r m m 1 Dr. A. Brink 3

17 3. Unterjährige Annuitätentilgung Problem: r unbekannt; 0, i, n bekannt Die Jahresannuität R lässt sich bei vorgegebener chuldsumme analog zur Rentenrechnung r bestimmen: Formel: R 0 q n q 1 n q 1 Dr. A. Brink Unterjährige Annuitätentilgung Beispiel: Ein Kredit in Höhe von bei 10% jährlichen Kreditzinsen soll über Jahre getilgt werden und zwar bei monatlich-nachschüssiger Annuitätentilgung. Wie sieht der Tilgungsplan aus? 1,1 1 R , ,90 1, ,90 r 0, Dr. A. Brink 459,1 34

18 3. Unterjährige Annuitätentilgung Zinsbelastung am Jahresende: Z t i t1 r m 1 Dr. A. Brink Unterjährige Annuitätentilgung Die Restschuld t zu Beginn eines Jahres erhält man, indem man von der Restschuld zu Beginn des Vorjahres die m Tilgungsraten des Jahres t abzieht und die zu zahlenden Zinsen hinzurechnet: t t1 m r i t1 m r 1 Dr. A. Brink 36

19 Thema: Tilgungsrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten 3. Unterjährige Annuitätentilgung 3.3 Tilgung mit konstanten Prozentsätzen 4 Aufgaben F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften Tilgung mit konstanten Prozentsätzen Problem: Annuitätentilgung i.d.r. keine glatten -Beträge zur Buchungsvereinfachung: Prozentannuitäten ==> Annuität als fester Prozentsatz von der ursprünglichen chuldsumme Nach und nach nimmt der Zinsanteil ab, während der Tilgungsanteil zunimmt. Dr. A. Brink 38

20 3.3 Tilgung mit konstanten Prozentsätzen Beispiel: Ein Bauspardarlehen in Höhe von bei 5% jährlichem Darlehenszins soll jährlich nachschüssig im Umfang von 1% des Darlehnbetrages zurückgezahlt werden. Wie sieht der Tilgungsplan aus? Problem: Abschlusszahlung! Dr. A. Brink Tilgung mit konstanten Prozentsätzen Tilgungsplan: t t-1 R t T t Z t t (1) () (3) (4)=(3)-(5) (5)=0,05 () (6)=() (4) , , , , , , , , ,5.814, , , , , , , , , , , , , , ,00 4.8, , , ,03.619,33.150, , ,70 597, , , , , , , , ,5.814, ,76 55,50 Dr. A. Brink 40

21 3.3 Tilgung mit konstanten Prozentsätzen Die Laufzeit der Tilgung kann auch formelhaft bestimmt werden. Die Laufzeit endet, wenn die Restschuld t gleich Null ist: t log R logt1 logq Dr. A. Brink Tilgung mit konstanten Prozentsätzen Die verbleibende Abschlusszahlung lässt sich folgendermaßen ermitteln: g AZ g 0 q g g q 1 R q 1 Dr. A. Brink 4

22 Thema: Tilgungsrechnungen Dr. Alfred Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen 1 ystematisierung der Tilgungsarten 4 Aufgaben F Kurs und Rendite Dr. A. Brink Institut für Wirtschafts- und ozialwissenschaften 43 4 Aufgaben Aufgabe Aufgabe 4 Aufgabe 6 Aufgabe 8 Aufgaben: Aufgabe 1 Aufgabe 13 Aufgabe 15 Aufgabe 16 Aufgabe 19 Aufgabenheft Dr. 44A. Brink 44