Nach einem halben Jahr: 200 0,07 0, Nach eineinhalb Jahren: 200 0,07 1, Nach einem Jahr und 8 Monaten: 200 0, ,33

Transkript

1 Lineare Verzinsung Nach einem halben Jahr: 200, 0, ,07 0, Nach eineinhalb Jahren: 200 0,07 1, Nach einem Jahr und 8 Monaten: 200 0, ,33 12 Nach fünf Jahren: 200 0, ,0475 1, ,0475 1,0475, 1 0,5 0, ,0475 1, ,5 0, , ,5 0,0475 Mit Zinseszinsen, jährlicher Zinszuschlag: 200, 0,07 Nach einem halben Jahr: 200 0,07 0, Nach eineinhalb Jahren:

2 Teilschritt 1: nach einem Jahr (Zwischenergebnis) , Teilschritt 2: nach eineinhalb Jahren (Endergebnis), ,5 0,07 221,49 Nach 1 Jahr, 8 Monaten: Nach 5 Jahren: , ,07 223, , ,07 280,51 Monatliche Zinsrechnung: 200 0,0057 pro Monat Nach einem halben Jahr: , ,94 Nach eineinhalb Jahren: 200 1, ,55 Nach einem Jahr und acht Monaten: 200 1, ,08 Nach fünf Jahren: 200 1, ,28

3 Eulersche Zahl e: 2,71828 : exp1,5, 0,22313 Stetige Verzinsung: 0,07 pro Jahr (stetig) 200 exp Nach einem halben Jahr ( 0,5:, 200 exp0,5 0,07 207,12 Nach eineinhalb Jahren ( 1,5), 200 exp1,5 0,07 222,14 Nach einem Jahr und acht Monaten ( 1 ) Nach fünf Jahren: 200 exp 1 8 0,07 224, exp5 0,07 283,81 Aufgabe 1.1: 10%?

4 b) 1,1 1 1,1 1 1,1 1 1,1 1 0,00797 Allgemeiner: Anlage über Jahre, wobei eine natürliche Zahl sein soll: 1,1 1 Ziehe die T te Wurzel: 1,1 1 1,1 1 (dieselbe Bedingung wie in Aufgabe a)) Deshalb: Ergebnis hängt nicht von T ab c) Zins pro Jahr, stetige Verzinsung 0,07 Zins pro Jahr, normale jährliche Zinseszinsrechnung Anlage: über ein Jahr

5 1,07 1,07 Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an (Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion exp): 0,0677 ln1,07 d) 100 Kapitalbindungsdauer: 20 Jahre 12% pro Jahr i) Jährlicher Zinszuschlag ii) 100 1,12 964,63 Halbjährlicher Zinszuschlag, ,5 0,12, 1 0,5 0,12, 1 0,5 0,12, 1 0,5 0,12, 1 0,5 0,12 1 0,5 0, ,5 0, ,5 0, ,57 iii) Quartalsweiser Zinszuschlag ,25 0, ,09

6 iv) Stetige Verzinsung 100, 100 exp20 0, ,32 Woher kommen die Unterschiede? Antwort: wenn in kürzeren Zeitabständen die Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden, ergibt sich ein höherer Zinseszinseffekt (maximaler Zinseszinseffekt bei der stetigen Verzinsung) e) 2 Jahre, 3 Monate und 5 Tage Variante 1: jährlicher Zinszuschlag bei 10% pro Jahr Variante 2: täglicher Zinszuschlag bei pro Tag 2 Jahre, 3 Monate und 5 Tage entsprechen , ,1 1, , Somit: ziehe die 815 te Wurzel auf beiden Seiten, ziehe 1 ab: 1, , ,027% f) Variante 1: stetige Verzinsung pro Jahr Variante 2: stetige Verzinsung pro Tag

7 Kapitalbindungsdauer: Jahre, wobei T auch krumm sein darf (d.h. keine natürliche Zahl) exp exp 360 exp exp 360 Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an: Interpretation: man erhält den stetigen Zins pro Tag einfach, indem man den stetigen Zins pro Jahr durch 360 dividiert. Aufgabe 1.2 1,08 1 :durchschnittlicher Wertzuwachs pro Handelstag Variante: 1,08 1 0, ,0305% Durchschnittlicher Wertzuwachs pro Woche 1,08 1 1,08 1 0, ,1481%

8 Aufgabe 1.3 t=0 t=1 t=2 IO IO Konkurrierende Objekte, d.h. man kann höchstens eines der beiden Objekte durchführen (eventuell auch keines) a) IO1: 0, ,4273% Barwert von 80 in t=1 (d.h. in einem Jahr) ,01 1, Barwert von 60 in t=2 (d.h. in zwei Jahren): IO2: 1 2 b) 60 54,16 1, , , , , ,30 1, % pro Jahr, bei stetiger Verzinsung IO1:

9 Barwert von 80 in t=1? IO2: c), ,, 1 exp exp ,39,, ,58,, 0,01553% pro Tag IO1: 1 IO2: 2 d) 80 1, ,30 1, , ,19 1, ,25% 0, ,17 1,0525 1, ,30 1,0525 1,0525

10 In Aufgabe d): Wähle IO2, weil: KW(IO2)>0 KW(IO2)>KW(IO1), konkurrierende Objekte Blatt 2 Aufgabe 2.2 Werte in 1000 Geldeinheiten Beispiel: 20 entspricht Euro t= Io IO Konkurrierende Objekte, 8% IO1: , ,08 1,08 1,08 1, , ,08 1,08 1,08 Entspricht einem Kapitalwert von 1211,55 Geldeinheiten (z.b. Euro) IO2:

11 , ,08 1,08 1,08 1, , ,08 1,08 1,08 KW(IO2)=501,60 Geldeinheiten. Wähle IO1, weil KW(IO1)>0 (prinzipiell vorteilhaft) KW(IO1)>KW(IO2) (konkurrierende Objekte) b) i) Endwert IO1: ,08 5 1,08 5 1,08 4 1,08 4 1,08 3 1,08 3 1,08 2 1,082 2,24249 Endwert = 2242,49 Geldeinheiten ,08 9 1,08 1 1,08 1 1,08 4 1,08 4 1,08 4 1,08 4 1,080 0,92842 Endwert = 928,42 Geldeinheiten Wähle IO1, weil

12 EW(IO1)>0 (prinzipiell vorteilhaft) EW(IO1)>EW(IO2) (konkurrierende Objekte) ii) 1 2 Kapitalwerte wurden in a) bereits berechnet: 1 1, , ,49 2 1,08 501,60 928,42 Aufgabe 2.1 a) 10,000 Euro in t=1 bis 5 Zinskonditionen: siehe Tabelle , , ,03 1,0325 1,04 1,045,,, 44,839,71, Rentenbarwertfaktor: hier ist kompakte Formel nicht anwendbar, da keine flache Zinsstruktur vorliegt. ii) 3,45% unabhängig von der Kapitalbindungsdauer

13 , , , , ,0345 Alternativ: Berechnung über kompakte Formel b) i) ii) , ,83 ewige Rente Idee: ,,30 0,1 1, ,0345 0, ,1 1 1,1 0, ,, 0,1 Berechne den Barwert zunächst für eine endliche Laufzeit T Lasse dann T gegen unendlich gehen

14 ,, Für 0:, lim, lim 1, lim ,1 Aufgabe 2.2 (Fortsetzung) c) Aus a) bekannt: Kapitalwerte der beiden Objekte KW(IO1) = 1211,55 KW(IO2)= 501,60 0,08 Entnahme in t=1,,8 1 ä1 0,08, 8 0,08, 8 1,08 1 1,08 0,08 ä1 1211,55 5, ä2 501,60 5, , ,83 87,29

15 Ergebnis: wähle IO1, da Annuität(IO1)>0 (prinzipiell vorteilhaft) Annuität(IO1)>Annuität(IO2) (konkurrierende Objekte) Aufgabe 2.3 t=0 t=1 t=2 IO IO ,05, konkurrierende Objekte a) Vergleich anhand des internen Zinsfußes IO1: Einschub: p q Formel Gegeben: Gleichung der Form 0 Lösungen: 2 4

16 Dividiere auf beiden Seiten durch 600 ( > liefert einen Koeffizienten von 1 für x²) , Rücksubstitution: 0, , ,58% 0, , ,58% 2,

17 IO2:, Wende p q Formel an (dividiere dazu durch 200, um einen Koeffizienten von eins beim Term zu erhalten): 055, ,5 5 5,5 2 5, , , ,89% 5,5 2 5, ,89% Verwende nur positive Lösungen zum Vergleich der beiden Investitionsobjekte (negative Lösungen werden ignoriert) Beurteilung der beiden Objekte:

18 Wähle IO1, da izf(io1)=34,58%>5% (Marktzins) izf(io1)>izf(io2) (konkurrierende Objekte) A2.3, b) Vergleiche beide Investitiosnobjekte anhand der Amortisationsdauer IO1: t=0: 1000 (keine Amortisation) t=1: , (keine Amortisation) t=2: , , ,50 0 Die Amortisationsdauer von Objekt 1 beträgt zwei Perioden IO2: t=0: 1000 (keine Amortisation) t=1:1000 1, Die Amortisationsdauer von Objekt 2 beträgt eine Periode Ergebnis: Wähle IO2, da es sich schneller amortisiert als IO1. c) Vergleich anhand der Kapitalwertmethode , ,36 1,05

19 ,05 Wähle IO1, da ,02 1,05 KW(IO1)>0 KW(IO1)>KW(IO2)>0 (konkurrierende Objekte) Aufgabe 4.1 Wesentlicher Punkt der Aufgabe: welche Zinssätze sind zu verwenden? Zahlung im Zeitpunkt 1 (d.h. nach einem Jahr) 1% Zahlung im Zeitpunkt 2 (d.h. nach zwei Jahren) 1,8% , Aufgabe 4.2 Anleihe 1: Restlaufzeit 2 Jahre, 100 Euro Nennwert, 4% Kupon, Kurs=80,50, Stückzinsen: 2 Euro Zahlungsstrom? t=0 t=1 t=2 Anleihe 1 82, = (80,5+2)

20 Anleihe Wesentliche Punkte: Stückzinsen müssen zum Kurs hinzuaddiert werden. Bei Nullkuponanleihen (Anleihe 2) gibt es keine Stückzinsen Aufgabe 4.3 a) Wesentlicher Punkt: Abschreibungen sind keine Zahlungen! Bei der Zahlungsstromprognose ignorieren! t t+1 t Grün: Preis pro Stück Orange: Auszahlung pro Stück Rot: fixe Auszahlungen Blaut: Stückzahl b) wesentlicher Punkt: Kapitalwert wird zur Beurteilung verwendet

21 Maximale Anfangsaufzahlung: bestimmt sich dadurch, dass der Kapitalwert genau gleich null ist. Anders formuliert: Maximale Auszahlung = Barwert ,91 1,1562 1,1471 Antwort: man wäre bereit, maximal 2174,91 zu bezahlen. c) Variable: bezeichne die Stückzahl, die in t+2 verkauft wird. Grundidee: bestimme die Stückzahl wieder so, dass die Vorteilhaftigkeit an der entsprechenden Stelle genau umkippt. Verwende den Kapitalwert zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit , , Forme Ungleichung so um, dass auf einer Seite isoliert auftritt: , , , ,1561

22 , , , , ,14 Lösung: verkaufe mindestens 278 Stück (berücksichtige, dass nur ganze Stückzahlen verkauft werden können) Aufgabe 4.4 Siehe Skript, S. 9 f. Aufgabe 4.5 Relevanter Abschnitt im Skript: 2.1. Wesentlicher Punkt: Realinvestitionsobjekte > Zahlungsströme sind nicht vertraglich fest umrissen. Seite 21 f. Theoretische und empirische Zugänge (für vollständige Beantwortung der Aufgabe entsprechend erklären) Aufgabe 3.3 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t= ,21 226,21 226,21 226,21 226, % 1000

23 Wesentliche Punkte: Anfangseinzahlung = Nennwert Disagio Es handelt sich um einen Annuitätenkredit t: Kredit (Beginn Periode) (*) Zinszahlung Tilgungszahlung Annuität Kredit (Ende Periode) 4,25% , ,29 4,25% 816,29 34, ,77 4,25% 624,77 26,55 226,21 42,50 183,71 226,21 34,69 226, ,7 816,29 226,21 816,29 191,52 191,52 624,77 199,66 226,21 624,77 199,66 425, ,11 18,07 208,14 226,21 216, ,91 9,22 216,99 226,21 0,08 0 (**) (*): Disagio muss hier ignoriert werden. (**):Rundungsfehler, bei Rechnung mit hinreichend vielen Nachkommastellen müsste ein Wert nahe Null resultieren. Aufgabe 5.1 t=0 t=1 t=2 t=3 t= In Tausend Geldeinheiten

24 a) Leistungswirtschaftlicher Kapitalbedarf? In den Zeitpunkten t=0 und t=2 (siehe oben) b) Fülle Finanzplan für Zero Bond Finanzierung aus! Bei Rückzahlung in t=4 zu 10% pro Jahr: 100 1,1 146,41 Vorplan Finanzmarkt Kasse Verbindlichkeiten + vor nach t= t= (***) 110 t=2 5 10(*) t= ,10 133,10 t= ,41 3,59(**) 146,41 0 (*): 15 Kassenbestand minus 5 für Deckung leistungswirtschaftlicher Kapitalbedarf (**):3,59= ,41 (***):110 = 100*(1+10%) Leere Zellen: Wert von Null Strategie sichert Zahlungsbereitschaft, da Zahlungsmittelbestand in allen Zeitpunkten nichtnegativ ist. c) Alternativ: Kuponbond mit 10% pro Jahr

25 Vorplan Finanzmarkt Kasse Verbindlichkeiten + vor nach t= t= (*) t= t= t= (**) (*)5 = 15 (leistungsw. Seite) 10(Kupon) (**): +10 = 70 (leistungsw. Seite)+50 (Kasse) 110 (Zahlung Bond) Zahlungsbereitschaft ist nicht gegeben, da im Zeitpunkt t=2 ein Defizit von Geldeinheiten besteht.

26 Aufgabe 5.2 Dean Modell t=0 t=1 t=2 Rendite IO ,5 103,2 7,5% IO ,5 30,8 12% FO % FO % a) IO1: 1.) Berechne die internen Zinsfüße der IOs und Fos FO2 hat offensichtlich einen internen Zinsfuß von 10% , , ,5 103,2 Dividiere beide Seiten durch 103,2: 11, ,2 103,2 0 11, ,2 11,5 103,2 0, ,2

27 , ,5% (die zweite, negative Lösung braucht hier nicht berechnet zu werden) IO2: Interner Zinsfuß = 12% FO1: Interner Zinsfuß = 8% FO2: Interner Zinsfuß = 10% optimale Lösung: Kombiniere IO2 mit FO1 (Volumen = 50) t=0 t=1 t=2 Rendite IO ,5 30,8 12% FO % Saldo: 0 0,5 3,8 b)

28 Problem: Im Zeitpunkt t=1 ist die Zahlungsfähigkeit nicht gegeben!