Beispiel einer kompetenzorientierten Fachhochschulreifeprüfung Mathematik Anlage C2 HBF, Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung

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1 Beispiel einer kompetenzorientierten Fachhochschulreifeprüfung Mathematik Anlage C2 HBF, Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung 2.3 Bildungsgangbezug 3. Aufgabe (31 Punkte) Schulintern eingeführte Handlungssituationen können verwendet werden. Zukünftig möchte arsini-fashion europaweit expandieren und weitere exklusive Shops in Metropolen wie Mailand oder Paris aufbauen. Zu diesem Zweck plant Herr Arsini mittelfristige Investitionen von zunächst ca , die in 10 Jahren für die Einrichtung der Shops zur Verfügung stehen sollen. Bei einer Unterredung der Führungskräfte des Unternehmens zu diesem Thema wurde das beiliegende Besprechungsprotokoll (Anlage 2) angefertigt. 3.1 Situativer Kontext ist erforderlich. Alle hier verwendeten Logos, Abbildungen, Grafiken und Tabellen wurden selbst erstellt. Bei Übernahme anderer Quellen ist das Urheberrecht zu berücksichtigen. Führen Sie anhand des Besprechungsprotokolls (Anlage 2) die notwendigen Berechnungen durch. Im Sinne der Kompetenzorientierung könnten die Aufgabenstellungen auch noch offener sein. a) Bestimmen Sie den Betrag, der nach Ablauf von 10 Jahren noch fehlt, um das geplante Investitionsvolumen von zu erreichen. (3 Punkte) 3.2 Handlungsanweisungen unterschiedlichen Typs: Ermitteln, Zeigen, Berechnen etc. 2.2 Aufgabenstellung kurz und prägnant b) Nehmen Sie Bezug auf die offenen Fragen im Besprechungsprotokoll: Zeigen Sie, dass auch auf diesem Wege die nach 10 Jahren nicht erreicht werden. (3 Punkte) Berechnen Sie die Laufzeit bis zum Erreichen von (gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma). (7 Punkte) Ermitteln Sie rechnerisch die Höhe der erforderlichen Rate, wenn die bereits nach 10 Jahren erreicht werden sollen. (5 Punkte) c) Berechnen Sie die Höhe der Annuität, die für den beschriebenen Kredit erforderlich wäre. (3 Punkte) 1.5 Erreichbare Punkte je Teilaufgabe angeben d) Als Alternative zu c) erstellt das Unternehmen für einen vergleichbaren Kredit einen Tilgungsplan, aus dem der folgende Auszug gegeben ist: Jahr Schuld am Jahresanfang Zinsen Tilgung Schuld am Jahresende , , , , , , , , , Unterschiedliche mathematische Darstellungsformen berücksichtigen 2.5 Teilaufgaben müssen unabhängig voneinander lösbar sein. Weisen Sie nach, dass die Annuität in diesem Fall ,55 beträgt und der Zinssatz bei 3,3 % liegt. Berechnen Sie außerdem die ursprüngliche Schuld K 0. (10 Punkte) 1

2 Anlage 2 Besprechungsprotokoll 7. November 2017 I. Faktenlage In 10 Jahren sollen für Investitionen zur Verfügung stehen. Dieser Betrag kann ohne Kreditfinanzierung voraussichtlich nicht in voller Höhe aufgebracht werden. Details der Investition sind noch abzuklären. Bei allen Geldanlagen ist mit einem Jahreszinssatz von 1,8 % zu rechnen. II. Diskussionsergebnisse a) Es besteht die Möglichkeit, aus unseren Rücklagen fest anzulegen. Dabei müsste geklärt werden, wie groß die verbleibende Kapitallücke bei einem Zinssatz von 1,8 % in 10 Jahren sein wird. b) Eine Alternative wäre eine Kapitalaufbaumaßnahme. Dazu könnten wir sofort anlegen und nachschüssig jeweils jährlich aus unserem Jahresgewinn zusätzlich einzahlen. Hier wäre abzuklären, ob wir mit dieser Methode nach 10 Jahren unser Finanzziel erreichen. nach wie vielen Jahren bei dieser Methode das geplante Investitionsvolumen von erreicht wäre. wie hoch die Rate sein müsste, um die bereits in 10 Jahren erreichen zu können. c) Sollte es uns nicht gelingen, das Kapital für die Investitionen innerhalb von 10 Jahren aufzubringen, bliebe immer noch die Möglichkeit einer Kreditfinanzierung mit Hilfe unserer Hausbank. Wir müssten auf diesem Weg aufnehmen, die in gleichbleibenden Annuitäten innerhalb von 20 Jahren zurückgezahlt werden. Wir gehen dabei von einem Zinssatz von 3,5 % aus. 2

3 Anlage 3 Formelsammlung zur Finanzmathematik (mit q = 1 + p 100 ) Zinseszinsen: K n = K 0 q n Nachschüssiger Rentenendwert: R nn = r qn 1 Vorschüssiger Rentenendwert: R nv = q r qn 1 Nachschüssiger Rentenbarwert: R 0n = 1 q n r qn 1 Vorschüssiger Rentenbarwert: R 0v = 1 q r qn 1 q n Annuitätentilgung: A qn 1 = K 0 q n 3

4 Erwartungshorizont Die drei Werte in den letzten Spalten geben die Punktzuordnung der Anforderungsbereiche I, II und III an. Laut KMK: AF II > AF I > AF III Beschreibung der erwarteten Schülerleistungen Aufgabe Hier müssen die tatsächlich von den Schülern zu dokumentierenden Lösungsschritte stehen. Weitere Lösungsvarianten können angegeben werden. 31 Pt a 3b Die Schüler berechnen das Endkapital einer Zinseszinssituation: K 10 = , = ,81 Die Kapitallücke beträgt demnach , ,81 = ,19 Die Schüler berechnen das Endkapital eines Kapitalaufbaus: K 10n = , , Auch so würden die nicht erreicht ,61 Die Schüler berechnen die Dauer der Laufzeit bis zum Erreichen eines Endkapitals von in einer Kapitalaufbausituation: ,018 n ,018n ,018 n (1,018 n 1) = ,018 n ,018 n = ,018 n = ,018 n = 1,2671 n lg 1,018 = lg 1,2671 n = 13, Schritte mathematischer Modellierung Es würde also 13,27 Jahre dauern, bis das geforderte Endkapital erreicht bzw. überschritten wird. Die Schüler bestimmen die Höhe der erforderlichen Rate für eine erwünschte Laufzeit von 10 Jahren: , r 1, ,66 + r 1, r 1, r = ,69 = , Sachgerechter Umgang mit formalen und symbolischen Elementen Die zu zahlende Rate müsste ,69 betragen. 4

5 3c 3d Die Schüler bestimmen die Höhe der Annuität: A = , ,035 1, = ,32 Die Annuität für ein Darlehen von bei 20 Jahren Laufzeit beträgt demnach ,32. Die Schüler berechnen die Eckdaten (Darlehenshöhe, Darlehenszinssatz, Annuitätenhöhe) der beschriebenen Tilgungssituation: Höhe der Annuität: A = 7.493, ,71 = ,55 Darlehenszinssatz: p ,11 = 7.493,84 p = 3,3 100 Darlehenshöhe: K 0 1, ,55 1, = ,40 0,033 K 0 1, ,35 = ,40 K 0 1,2966 = ,75 K 0 = ,00 Es würde demnach ein Darlehen in Höhe von zu einem Darlehenszinssatz von 3,3% aufgenommen. Die daraus resultierende Höhe der Annuität beträgt ,