Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 10

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1 WS / Mathematik - Weitere Aufgaben H-Aufgaben sind weiteres, bunt gemischtes Übungsmaterial, das teilweise auch insoweit die Zeit reicht in den Tutorien besprochen wird. Hier finden Sie auch einige Aufgaben zu nicht prüfungsrelevantem Stoff (C-Themen). egk= Ergebniskontrolle H Prozentrechnen Fiktive Ergebnisse einer Wahl im Zeitablauf: Stimmanteile in % der jeweils abgegebenen gültigen Stimmen Partei A B C D S(onstige) Wahljahr Wahljahr a) Machen Sie eine Gewinn- und Verlustrechnung (Prozentpunkte). b) Bestimmen Sie für jede Partei die prozentuale Veränderung gegenüber der vorigen Wahl. c) Sie wissen, dass die absolute Anzahl der gültigen Stimmen von Wahljahr zu Wahljahr um % abgesunken ist. Rechnen Sie die Stimmanteile auf absolute Stimmenzahlen um und bearbeiten Sie (b) erneut mit diesen absoluten Werten. Welche Partei kann von Stimmengewinn reden? Hinweis: Bezeichnen Sie die gültige Stimmenzahl in Wahljahr mit G egk: b),,,, [%] c) G =.G ;.,,., +, [%] H Mengen, Segmentierung Ein Zeitungsartikel bespricht die Ergebnisse einer Umfrage zu drei Problemkreisen. A, B, C bezeichne die Menge aller Befragten, die Frage a, b, c uneingeschränkt zustimmen. Folgende Angaben sind in dem Artikel enthalten: Prozentuale Anteile an allen Befragten Menge A B C A \ B C \ A B C A B C Elementeanzahl (%) Verwerten Sie die Umfrageergebnisse mit Hilfe einer vollständigen Segmentierung (graphisch, Elementeanzahlen der Segmente bestimmen) und beantworten Sie durch direktes Ablesen aus Ihrem Diagramm: Menge A B B \ C C \ B A B A B C Elementeanzahl (%) Hinweis: Beginnen Sie mit dem feinsten Segment: #(A B C) =x, am Ende können Sie x bestimmen. Nicht übersehen: #X = %. egk: Die gefragten Anzahlen für die Tabelle:,,,,. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

2 WS / Mathematik - Weitere Aufgaben Hier ausnahmsweise eine mögliche vollständige Lösung zur Segmentierung: Teilmengen A (links), B (rechts), C (unten) der Befragtenmenge X Kennzeichnung der Segmente mit,,..., Gegeben sind die Elementeanzahlen (%): = #A = # + # + # + # = #B = # + # + # + # = #C = # + # + # + # = #(A \ B) =# + # = #(C \ A) =# + # =#(B C) =# + # = #(A B C) =# Vorgehen (z.b.) genau wie bei A, es wird nur immer die Unbekannte x, die hier im Gegensatz zu A nicht gegeben ist, mitgeschleppt: # = x, # = #(B C) # = x, # = #(C \ A) # = ( x) =+x, # = #C #(B C)) # = ( + x) = x, # = #(A \ B) # = ( x) =+x, # = #A #(A \ B) # = x = x, # = #B #(B C) # = ( x) =+x, # =, = #X = # + # + # + # + # + # + # + #, somit = x+( x)+( x)+( x)+(+x)+(+x)+(+x)+ = +x, d.h. x = (oben einsetzen). Die gefragten Anzahlen für die Tabelle: #(A B) =# + # =+= #(B \ C) =# + # = + = #(C \ B) =# + # = + = #(A B) =# + # + # + # + # + # = = #(A B C) =# = Bemerkung: Im Vergleich zu A ist nur die Information über die beiden Segmente und ausgetauscht. Natürlich gibt es oben auch Möglichkeiten, x etwas früher zu bestimmen. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

3 WS / Mathematik - Weitere Aufgaben H Umformung von Ungleichungen Geben Sie jeweils die x-lösungsmenge der folgenden Ungleichungen an. a) x > egk: x< oder x> b) x x egk: x c) Für <x<: ln( + x ) + ln( + x) + ln( x) = egk: x = e / / (.) umgeformt: linke Seite = ln( x ) d) x y y x egk: + y x y H Umformung von Gleichungen Geben Sie jeweils die x-lösungsmenge der folgenden Gleichungen an. a) (x )(x )(x +)e x / = egk: {,,, } b) (x )(x + )(x + ) ln( + x )= egk: {,,, } c) ( x ) = egk: {, } H Summenzeichen Berechnen Sie a) i= i(i+) ; i= ( i i+ i= i ; i= i egk:,,, Lernziel: i(i+) = i i+ n i= i(i+) = n+ n+ n b) n i= i ; n i= (n i) egk: n i= i = n(n+) = n i= (n i) H Umformung von Gleichungen Geben Sie jeweils die x-lösungsmenge der folgenden Gleichungen an: a) ( )x =; ( )x = egk: x = ln ln ln beide Mal b) x / =; x / = egk: L = { /, / } beide Mal H Lineare Ungleichungssysteme a) Skizzieren Sie die Lösungsmenge der folgenden LUGSe. LUGS A LUGS B LUGS C () x + y () x + y () x + y () x + y () x + y () x + y () x + y () x y () x + y () x + y () x y () x, y () x, y () x, y b) Führen Sie jeweils eine halbgraphische Maximierung mit den angegebenen Zielfunktionen durch: Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

4 WS / Mathematik - Weitere Aufgaben A z =x +y A z = x / y B z = x y B z = xy C z =x y C z = x / y Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

5 WS / Mathematik - Weitere Aufgaben A z =x +y x =,y =,z = A z = x / y x =,y =,z = B z = x y x =,y =,z = B z = xy x =,y =,z = C z =x y x =,y =,z = x = C z = x / y,y =,z =( Offensichtlich Ecklösung [(x t,y t )=(, ) L ] )/ Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

6 WS / H Grenzwerte Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folge a n,n N, für n a) a n = n + n n n c) a n = egk: b) a n = /n n n + n + n egk: d) a n = n i= i(i+) egk: / egk:, vgl. H H Geometrische Summe/Reihe Bestimmen Sie für die Folge s n,n N, mit s n = n i= ( ) i a) den endlichen Summenwert egk: s n = ( ) n+ = Zähler ( ) b) den Grenzwert für n egk: ( ) = Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folge s n,n N, für n a) s n = n k= k / k egk: / = b) s n = n k= ( )k ( )k egk: = H Arithmetische Summe Von einer arithmetischen Folge von Zahlungen sind der Startwert a = und der Zwischenwert a = bekannt. Welchen Wert hat d und wie hoch sind die letzte Zahlung a und die Summe s der Zahlungen? egk: d =,a =, s = H Optimalitätsbegriffe Mathematik - Weitere Aufgaben Bestimmen Sie jeweils Pareto-optimale Elemente und größte Elemente im Beispiel von Thema. für die beiden Entscheidungsregeln/Relationen c) A c B : (x A x B und y A y B ) d) A d B : (x A x B und y A y B ) (Machen Sie sich zunächst die Verbesserungsrichtung klar) egk: (c) Pareto-optimales und größtes Element: (x min,y min ) = (, ) (d) kein größtes Element einziger Kandidat (x max,y min ) = (, ) L; Pareto-optimal: Alle Punkte auf der unteren rechten Beschränkungsgeraden H Präferenzrelationen Machen Sie sich an einem Beispiel mit drei Alternativen klar, daß paarweise Abstimmung über Beschlussvorlagen keine transitive Entscheidungsregel liefert, also nicht als Präferenzrelation geeignet ist. egk: Abstimmungen A>Bund B>Cund C>A Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

7 WS / Mathematik - Weitere Aufgaben Für H- Taschenrechner benützen bei der Klausur erhalten Sie ggf. (wie bei H) mehrere Hilfswerte zur Auswahl. H Zinseszinsrechnung Gefragt: Berechnung von Endwerten der gegebenen Anlageformen A D. Berechnung des Barwertes (nur bei Anlageformen ohne Zinsstaffel ) und des effektiven Zinssatzes (nur bei Anlageform B). Gegeben: Laufzeit Jahre, Einzahlungen vorschüssig, jährliche Verzinsung. (A) g zu Beginn mit i = %; (B) g zu Beginn mit Zins-Staffel i = %, i = %, i = %; (C) g jährlich mit Zins-Staffel i = %, i = %, i = %; (D) g jährlich mit i = % egk: E =.,..., ( ),. ( ); K =, ( + /. + /. ); i eff = (...) / H Zinseszinsrechnung Der Kapitalendwert K n soll eine Steigerung von K > um % sein. egk: a) Gegeben: n =. Erforderliche Rendite i = p% =?. /.% ln. b) Gegeben: i = %. Erforderliche Laufzeit n =? n = ln. = [Hilfswerte:. / =.,. / =.,. / =., ln.., ln.., ln.., ln..] H Rentenbarwert/Endwert Ratenzahlung a) Bestimmen Sie den Rentenbarwert einer jährlich vorschüssigen Rente der Höhe R = g über Jahre bei einem Kalkulationszins von i =.% b) Bestimmen Sie den Endwert einer jährl. nachschüss. Ratenzahlung der Höhe A = g über Jahre bei einem Kalkulationszins von i =.% egk: B =. [ ], E. =.. [ ] H Ratenkauf, jährliche Verzinsung Ratenkauf mit konstanter jährl. Rate A : Vertragsdauer Jahre, der Vertrag beginnt mit Zahlung der ersten Rate und endet mit Zahlung der letzten Rate, Kalkulationszinssatz i = %. Bei welchem Bar-Kaufwert (in Abhängigkeit von der noch unbestimmten Ratenhöhe A) bedeutet der Ratenkauf eine Preiserhöhung von %? egk: Bar-Kaufwert= A... ( A.) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

8 WS / H Grundrechenarten bei Matrizen Führen Sie, falls möglich, die folgenden Matrixoperationen aus: () A T + C () B C () A B () (e. )T B () B e. () (e. )T B e. () (E B) T () B A () B () T B / / A =, B = /, C = / / egk: B ) ( ); ) A; A; ) A; ) ; A; ) nicht def.; A; ) ( ); Zahl-Faktoren ausklammern ist oft vorteilhaft H Grundrechenarten bei Matrizen Bei einem zweistufigen Produktionsprozess sind die beiden folgenden (einstufigen) Bedarfstabellen M RZ und M ZE gegeben Zwischenprod. Z Z Z Rohstoffe R R R R Endprodukte E E E E Zwischen- Z prod. Z Z Rohstoffpreise r =(r,r,r )=(,, ) Verkaufspreise p =(p,p,p ) = (,, ) a) Berechnen Sie M RE, die Bedarfstabelle der Gesamtverarbeitung b) Welchen Rohstoffbedarf R erzeugt das Produktionsziel E =? c) Welche Rohstoffkosten und welchen Verkaufserlös erzeugt dies? d) Welche Zwischenproduktmengen erfordert die Endproduktion E aus b)? egk: M RE A; R = M RE E r R = ; p E = «A; Z = M ZE E = H Grundrechenarten bei Matrizen Sortieren Sie die Elemente der Matrix K = ( ) absteigend mit Hilfe einer Matrixmultiplikation Mathematik - Weitere Aufgaben «; egk: A Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

9 WS / H Matrixgleichungen/Inverse Eine der folgenden drei Matrizen B,C,D ist die Inverse der Matrix A. Welche? A =, Kandidaten B,C,D für A : B =, C =, D = egk: Einmal Einschluss: A C = E, also C = A. Oder: Zweimal Ausschluss, wobei B und D entfallen: [z.b.: B und C unterscheiden sich in der. Spalte:. Zeile von A. Spalte von B = = : B ist keine Inverse von A; C und D unterscheiden sich in der. Spalte:. Zeile von A. Spalte von D == : D ist keine Inverse von A] H Lineare Gleichungssysteme Bei Aufgabe H b) sei umgekehrt ein Rohstoffvorrat R = ( ) T vorgegeben. Die Endprodukte sind nicht teilbar. Geben Sie alle Lösungen für den Output E an, die R vollständig aufbrauchen (d.h. M RE E = R erfüllen). egk: Gesucht sind alle Lösungen E =(E,E,E ) T des LGS M RE E = R, für die jedes Element aus N ist (ganzzahlige nichtnegative Lösungen). M RE A E E E R GJAlgor. E E E R / / L = {( E,E,E ) T : E = / E /, E R, E = und E,E,E N } = {(,, ) T, (,, ) T, (,, ) T, (,, ) T, (,, ) T, (,, ) T, (,, ) T } H Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie simultan die folgenden linearen Gleichungssysteme für die beiden angegebenen Zielvektoren a und b : a b x x + x = x + x + x = x + x + x = egk: x x x a b GJAlgor. x x x a b / / / / Mathematik - Weitere Aufgaben A x = b ist nicht lösbar A x = a hat die Lösung L a L a = {( x,x,x ) T : x =/ / x, x =/+/ x, x R} Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von

10 WS / H LGS/Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Sind die folgenden drei Zeilenvektoren a, b, c linear unabhängig? a = ( ) x x x b x x x b b = ( ) c = ( ) GJAlgor. egk: Ja, das testende LGS hat die eindeutige Lösung (x,x,x ) = (,, ). H LGS/Inverse Berechnen Sie die Inverse der Matrix A mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus egk: A = B A A B C A H Lineare Gleichungssysteme Bestimmen Sie die Elementeanzahlen (%) der acht Segmente bei Aufgabe H als Lösung eines linearen Gleichungssystems. egk: x i bezeichne die Elementeanzahl (%) von Segment i (i =,...,). Gegeben sind (siehe Seite ) Gleichungen, hier schon in Tabellenform: x x x x x x x x % GJAlgorithmus Mathematik - Weitere Aufgaben Eindeutige Lösung: x = x = x = x = x = x = x = x = H LGS/Inverse/Matrixgleichungen a) Bestimmen Sie aus dem folgenden Schlusstableau die Lösungsmengen L b,l c,l d der zugehörigen einzelnen LGSe Ax = b, Ax = c, Ax = d. x x x b c d x x x b c d Algorithmus / / / A... / / / b) Was folgt aus dieser Rechnung für die inverse Matrix A? egk: a) Die Lösungen sind, jeweils eindeutig bestimmt, die Vektoren b,c,d. b) A ist spaltenweise Lösung (falls eind. lösb.) / / / von: Ax = d, Ax = c, Ax = b (Reihenfolge A / / / A beachten). In entspr. Spaltenfolge d,c,b ist Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von