Nachholklausur Wirtschaftsmathematik: Lösungshinweise

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Maria Walter
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1 Nachholklausur Wirtschaftsmathematik: Lösungshinweise Prüfungsdatum: 20. September 2014 Prüfer: Etschberger Studiengang: Wirtschaftsingenieurwesen Aufgabe 1 10 Punkte Am 1. Januar des Jahres 1626 hat Peter Minuit, der damalige Gouverneur von Neu-Holland, die Insel Manhattan von indigenen Ureinwohnern gegen Glasperlen, Kleidung und Modeschmuck im Wert von 24 Dollar eingetauscht. Wie hoch wäre der Wert dieser Summe am bei einem angenommenen nominalen jährlichen Zinssatz von 5% bei a) jährlicher (zinseszinslicher), b) monatlich anteilig unterjähriger bzw. c) stetiger Verzinsung? d) Wieviel hätte der durchschnittliche jährliche Zinssatz bei jährlich exponentieller Verzinsung betragen müssen, wenn der Wert von Manhattan heute bei 13 Billionen Dollar (Schätzung von New Yorker Immobilienmaklern für den reinen unbebauten Grundstückswert in 2014) liegen würde? e) Wie lange hätten die Indianer mit dem Verkauf warten müssen, wenn sich der Wert von Manhattan von den 24 Dollar jährlich (exponentiell) um 15 % bis zu einem Wert von 1 Milliarde Dollar gesteigert hätte? a) 24 1; ; b) 24.1 C 0;05=12/ / 6; c) 24 e /0;05 6; :000:000:000:000. 1= // d) 24 1,0721 e) ln 1:000:000: ln 1;15 125,5364

2 Aufgabe 2 10 Punkte Einen Landwirt möchte zwei Sorten Gemüse mit maximalem Gewinn anbauen. Anbau von Sorte A bringt einen Gewinn von 30 pro Ar (1 Hektar = 100 Ar) ein und für Gemüse der Sorte B beträgt der Gewinn 35 pro Ar. Dem Landwirt stehen insgesamt 90 Ar Land für den Anbau der beiden Gemüsesorten A und B zur Verfügung. Das Saatgut kostet für die Sorte A pro Ar 2 und für die Sorte B 1 pro Ar. Maximal kann der Landwirt für das Saatgut 120 ausgeben. Um das Gemüse anzubauen, benötigt der Landwirt für die Sorte A durchschnittlich eine Stunde pro Ar, für die Sorte B investiert er zwei Stunden pro Ar. Die Arbeitszeit des Landwirtes ist insgesamt auf 120 Stunden für den Gemüseanbau begrenzt. Bezeichnen Sie im Folgenden die Anbaufläche (in Ar) für Gemüse der Sorte A mit x und die Anbaufläche für Gemüse der Sorte B mit y. a) Stellen Sie das lineare Optimierungsproblem mit Zielfunktion und den drei Nebenbedingungen (Fläche, Saatgutbudget, Arbeitszeit) auf. b) Zeichnen Sie die Restriktionen des Problems in das nebenstehende Koordinatensystem ein und markieren Sie den zulässigen Bereich. c) Ermitteln Sie wieviel Ar von jeder Sorte Gemüse der Landwirt anbauen sollte (Berechnung der Schnittpunkte ist erforderlich), um den Gewinn zu maximieren y x a) x C y 5 90 (Fläche) 2x C y x C 2y (Kosten) (Zeit) c) ZF.A/ D 30 0 C D 2100 ZF.B/ D C 35 0 D 1800 ZF.C / D C D 2600 Also ist B optimal. b) y R2 R 1 A 30 B C R x

3 Aufgabe 3 7 Punkte Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y.x/ der folgenden Differentialgleichung: 3y 0 y D y 2 y Aufgabe 4 10 Punkte Eine Bäckerei registriert an neun aufeinander folgenden Tagen die Anzahl der eingehenden Großbestellungen. a) Geben Sie die sortierte Urliste für den Fall an, dass folgende Informationen bekannt sind: Nx D 16 3 ; x Med D 3 ; x Mod D 2 ; h.2/ D 3 ; Spannweite D 8 und F.9/ D 8 9 Gehen Sie für die nachfolgenden Teilaufgaben von dieser, nicht notwendigerweise mit der Lösung zu Teil a) überein stimmenden, sortierten Urliste aus: 144 ı 108 ı 72 ı 36 ı 2 ;2 ;3 ;3 ;3 ;4 ;5 ;8 ;8 ;10 b) Geben Sie die Häufigkeitsverteilung der Großbestellungen an. 180 ı 0 ı c) Zeichnen Sie das Kreissektorendiagramm der Großbestellungen (Winkel müssen angegeben werden). Benutzen Sie dafür die Zeichnung rechts. 216 ı 252 ı 288 ı 324 ı d) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion der Großbestellungen. a) Median=3, darunter 4 Werte, davon 3 Stück gleich 2. Keine nichtganzzahligen Werte, 1 als Ausprägung geht nicht, sonst wäre F(9)=1 (Spannweite=8, also max=10). Also Urliste: 2;2;2;3;3;x 6 ;x 7 ; 9;10 Summe = D 48, d.h. x 6 C x 7 D 17, also x 6 D 8; x 7 D 9.

4 b) c) und d) Fn(x) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1, x

5 Aufgabe 5 5 Punkte Die Anzahl der pro Jahr erwischten und öffentlich bekannt gemachten prominenten Steuersünderfälle (mit mehreren Millionen hinterzogenen Euro) sei eine poissonverteilte Zufallsvariable X. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr kein oder ein solcher Fall bekannt wird beträgt 0,0611. a) Bestimmen Sie den Parameter der Verteilung. b) Geben Sie eine anschauliche Bedeutung für den Parameter. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden in einem Jahr genau zwei Prominente in dieser Kategorie erwischt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 5 solche Fälle pro Jahr zu haben? a) P.X 5 1/ D 0,0611, D 4,5 (siehe Tabelle). b) Erwartungswert gleich 4,5, auf lange Sicht durchschnittlich 4,5 Fälle pro Jahr. c) P.X D 2/ D 0,1125 d) P.X = 5/ D 1 P.x 5 4/ D 0,4679

6 Aufgabe 6 8 Punkte In einer Fabrik werden maschinell Eisennägel hergestellt. Die Länge der Nägel (normalverteilt) wird an der Maschine eingestellt. Erfahrungsgemäß ist die Standardabweichung der Nagellänge unabhängig von der Einstellung und beträgt 1 mm. a) Bei einer Stichprobe vom Umfang 100 ergibt sich eine mittlere Nagellänge von 30,6 mm. Bestimmen Sie das 95 %-Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Nagellänge. b) Wie groß muss der Umfang einer Stichprobe sein, damit das 95 %-Konfidenzintervall für nicht breiter als 0,5 mm ist? c) Es wird jetzt ein von 1 % gefordert. Ist der Stichprobenumfang n kleiner oder größer zu wählen, damit das Konfidenzintervall weiterhin max. 0,5 mm groß ist? (Die Punkte dieser Teilaufgabe gibt es nur auf die richtige Begründung Ihrer Entscheidung.) a) 1 D 0;95 ) x 0;975 D 1;96. mit Nx D 30;6 und c= p n D 1 1;96= p 100 D 0;196 folgt: KI Œ30;404I 30;796 b) L D 2 1;96= p n 5 0;5, n =.4 1;96/ 2 61;46, also mind. 62 Nägel sind nötig Stichprobe. c) x 0;995 2;575 > 1;96. Also muss n größer werden um im Nenner den größeren Zähler auszugleichen. (n =.4 2;575/ 2 106;1)

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