Klausur Wirtschaftsmathematik VO

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1 Klausur Wirtschaftsmathematik VO 03. Juli 2018 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausfüllen! NACHNAME: VORNAME: MATRIKELNUMMER: ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner und Handys am Arbeitsplatz! Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte Summe 60 Note:

2 1. a) (4 Punkte) Gegeben sind die folgenden Mengen: M 1 = { 3, 3} 5 3 M 2 = N fl 2 ; 7 26 M 3 = {x œ Z x 2 < 4} i. Geben Sie die Mengen M 2 und M 3 in aufzählender Schreibweise an. ii. Bestimmen Sie M 3 M 1. b) (8 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Betragsungleichung in R x 2 4x +4- > x 2 Ausführung Beispiel 1:

3 Ausführung Beispiel 1: Lösung: a) i. M 2 = {2, 3} M 3 = { 1, 0, 1} ii. M 3 M 1 = {( 1, 3), ( 1, 3), (0, 3), (0, 3), (1, 3), (1, 3)}. b) ] Œ; 3 2 [fi] 5 2 ; Œ[

4 2. Das Modell eines Marktes für drei Güter wird durch folgendes Gleichungssystem beschrieben: cp 2 + bp 3 = 4 cp 1 ap 3 = 3 bp 1 + ap 2 = 6 Dabei sind p 1,p 2,p 3 œ R + die Preise für diese Güter und a, b, c œ R Konstante, die nicht alle Null sind. a) (6 Punkte) Zeigen Sie, dass dieses System genau dann lösbar ist, wenn die Beziehung 4a +3b = 6c gilt. b) (2 Punkte) Warum gibt es für keine Wahl der Konstanten a, b, c œ R eine eindeutige Lösung (p 1,p 2,p 3 ) des Gleichungssystems? Begründen Sie! c) (4 Punkte) (Unabhängig von a) und b)) Setzen Sie für a =3,b = 6 und c = 1. Bestimmen Sie nun alle Lösungen des obigen Gleichungssystems. Ausführung Beispiel 2:

5 Ausführung Beispiel 2: Lösung: a) Das System ist lösbar, wenn Rg (A) =Rg (A, b) gilt. Stufenform mittels Gauß-Algorithmus; die letzte Zeile ist eine Nullzeile für 4a +3b = 6c. b) Das Gleichungssystem hat drei Variable. Für den Fall, bei dem das Gleichungssystem lösbar ist, ist der Rang der Koe zientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koe zientenmatrix = 2. Da der Rang kleiner ist als die Anzahl der Variablen, hat das System keine eindeutige Lösung! c) X = Q c a R d b + t Q c a R d b,tœ R

6 3. Die Teams PL und OR beabsichtigen sich mit je vier Läufern am Kleeblattlauf zu beteiligen. Im Zuge der Vorbereitungen erstellen Sie folgende Trainingspläne: PL: Jeder Läufer beginnt am ersten Tag mit einer Strecke von 1 km und steigert diese an jedem folgenden Tag um 0,5 km. OR: Jeder Läufer beginnt mit einer Strecke von 0,1 km und verdoppelt die zuletzt gelaufene Strecke jeweils am nächsten Tag. a) (6 Punkte) Berechnen Sie nun für das Team PL: i. Wie lange ist die Strecke, die ein Läufer am 21. Tag zurücklegt? ii. Wie viele km legen alle vier Läufer in den ersten 21 Tagen insgesamt zurück? iii. Um wie viele Meter müsste die Strecke jeden Tag erhöht werden, damit ein Läufer am 21. Tag 15 km zurücklegt? b) (6 Punkte) Berechnen Sie für das Team OR: i. Wie lange ist die Strecke, die ein Läufer am 7. Tag zurücklegt? ii. Nach wie vielen Tagen haben alle vier Läufer des Teams insgesamt eine Strecke von mehr als 500 km zurückgelegt? Stellen Sie eine Ungleichung zur Bestimmung der gesuchten Größe auf. Lösen Sie diese Ungleichung dann nach der gesuchten Variablen auf. Den genauen Zahlenwert müssen Sie nicht berechnen! Ausführung Beispiel 3:

7 Ausführung Beispiel 3: Lösung: a) b) i. 11 km ii. 0,7 km iii. 504 km i. 6,4 km ii. n> ln(1251) ln(2) 10, 29 Tage

8 4. Eine Firma produziert zwei Produkte A und B. a) (6 Punkte) Die Kostenfunktion von Produkt A lautet K A (x) =2 Ô x +3 i. Berechnen Sie die Grenzkosten und die Durchschnittskosten für das Produkt A, wenn aktuell 9 Stück davon produziert werden. ii. Berechnen Sie den konstanten Verkaufspreis p A von Produkt A für ein Stück, wenn der Gewinnbereich für dieses Produkt durch das Intervall [4, Œ[ gegeben ist! iii. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Durchschnittskostenfunktion für x œ R ++. b) (6 Punkte) Die Kostenfunktion für das Produkt B und deren Tangente t(x) im Punkt (2, 2) sind durch folgende Zeichnung gegeben: K B (x) 7 6 K B (x) 5 t(x) x Bestimmen Sie durch Ablesen aus der Graphik für das Produkt B: i. Die Grenzkosten von Produkt B bei einer Produktionsmenge von 2 Stück. ii. Die Grenzkosten von Produkt B bei einer Produktionsmenge von 0 Stück. iii. Jene Produktionsmenge, für die Kosten in der Höhe von 5 GE anfallen. iv. Die Durchschnittskosten bei einer Produktionsmenge von 4 Stück. v. Ist KB ÕÕ (4) positiv oder negativ? Begründen Sie Ihre Antwort! Ausführung Beispiel 4:

9 Ausführung Beispiel 4: Lösung: a) i. K Õ A (9) = 1 3, DK A (9) = 1 b) ii. p A = 7 4 iii. DK A (x) = Ô 2 x + 3 x, DK A Õ (x) = Ô 1 3 x 3 x < 0 x œ R 2 ++.D.h.DK A (x) ist streng monoton fallend für x œ R ++. i. 1 ii. 0 iii. 4 iv. 5 4 v. K ÕÕ B (4) ist positiv da K B(x) konvex (linksgekrümmt) für x =4.

10 5. Eine mehrdimensionale Funktion f(x, y) in den Variablen x und y ist gegeben durch: f(x, y) =x 3 3x 2 y +3xy 2 + y 3 3x 21y. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist in nachfolgender Abbildung grau unterlegt dargestellt: y D 2 x a) (2 Punkte) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion in beschreibender Form an! b) (5 Punkte) Bestimmen Sie alle stationären Stellen der Funktion f im gegebenen Definitionsbereich! c) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Hessematrix von f. d) (2 Punkte) Klassifizieren Sie nun jenen stationären Punkt aus dem Definitionsbereich, welcher am weitesten vom Ursprung entfernt ist! Ausführung Beispiel 5:

11 Ausführung Beispiel 5: Lösung: a) D = {(x, y) œ R 2 x Æ 0 y Æ 0 (y Ø x)} b) STP 1 =( 3, 2), STP 2 =( 1, 2) A B 6x 6y 6x +6y c) H = 6x +6y 6x +6y d) ( 3, 2) ist ein lokales Maximum