Wirtschafts- und Finanzmathematik
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- Liese Fürst
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1 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2016/17
2 Grundlagentest Ungleichungen!
3 Testfrage: Ungleichungen 1 Die Lösungsmenge der Ungleichung 2 x 1 1 x + 1 beträgt
4 Testfrage: Ungleichungen 1 Die Lösungsmenge der Ungleichung 2 x 1 1 x + 1 beträgt A ( ; 1) (1; 3] B ( 1; 1) C { 3, 1, 1} D ( ; 3] ( 1; 1) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.
![Testfrage: Ungleichungen 1 Die Lösungsmenge der Ungleichung 2 x 1 1 x + 1 beträgt A ( ; 1) (1; 3] B ( 1; 1) C { 3, 1, 1} D ( ; 3] (](/docs-images/78/77844735/images/5-0.jpg "1; 1) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.")
5 Testfrage: Ungleichungen 1 Die Lösungsmenge der Ungleichung 2 x 1 1 x + 1 beträgt A ( ; 1) (1; 3] B ( 1; 1) C { 3, 1, 1} D ( ; 3] ( 1; 1) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: D, denn 2(x + 1) 1(x 1) (x 1)(x + 1) 0 x + 3 (x 1)(x + 1) 0 L = ( ; 3] ( 1; 1)
6 Testfrage: Ungleichungen 2 Die Lösungsmenge der Ungleichung et 1 e t 2 0 beträgt
7 Testfrage: Ungleichungen 2 Die Lösungsmenge der Ungleichung et 1 e t 2 0 beträgt A ( ; ) B ( ; 0] (ln 2; ) C (0; ln 2) D ( ; ln 2) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.
![Testfrage: Ungleichungen 2 Die Lösungsmenge der Ungleichung et 1 e t 2 0 beträgt A ( ; ) B ( ; 0] (ln 2; ) C (0; ln 2) D ( ; ln 2) E Ich habe kein](/docs-images/78/77844735/images/8-0.jpg "oder ein anderes Ergebnis. Richtig: B, denn e t 1 e t 2 0 Zähler und Nenner 0 oder Z. und N. 0 t 0 und t < ln 2 oder t 0 und t > ln 2 t 0 oder t > ln 2")
8 Testfrage: Ungleichungen 2 Die Lösungsmenge der Ungleichung et 1 e t 2 0 beträgt A ( ; ) B ( ; 0] (ln 2; ) C (0; ln 2) D ( ; ln 2) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: B, denn e t 1 e t 2 0 Zähler und Nenner 0 oder Z. und N. 0 t 0 und t < ln 2 oder t 0 und t > ln 2 t 0 oder t > ln 2
9 Testfrage: Ungleichungen 3 Die Lösungsmenge der Ungleichung y 4 y ist
10 Testfrage: Ungleichungen 3 Die Lösungsmenge der Ungleichung y 4 y ist A {} (leere Menge) B ( ; ) C ( ; ) D ( ; ) ( ; ) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.
11 Testfrage: Ungleichungen 3 Die Lösungsmenge der Ungleichung y 4 y ist A {} (leere Menge) B ( ; ) C ( ; ) D ( ; ) ( ; ) E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: B (alle Summanden sind negativ)
12 Testauswertung: Übungsmaterial Ihr Ergebnis: 3 Antworten korrekt: Alles richtig ungleich! 2 Antworten richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 8.1 und 8.2 aus dem ersten Buch! Nur 1 Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem ersten Buch! Keine Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem ersten Buch sowie die Aufgabe 23 aus dem zweiten Buch! Aufgaben aus S. 61: Aufgabe 23 aus
13 Ableitungen höherer Ordnung Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R Wenn der Differentialquotient f : D R in x D differenzierbar ist, dann heißt df (x) dx = d2 f(x) (dx) 2 = f (x) zweite Ableitung oder Differentialquotient zweiter Ordnung von f in x D. Analog für n = 2,3,...: d dx ( f (n 1) (x) ) = d dx ( d (n 1) f(x) (dx) (n 1) ) = f (n) (x) f (n) (x) bezeichnet dabei die n-te Ableitung von f in x D. f heißt n-mal stetig differenzierbar in D, wenn f in D stetig und in jedem Punkt x D n-mal differenzierbar ist 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 123
14 Definition Elastizität Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Voraussetzung: D R und f : D R ist differenzierbar. Dann heißt Änderungsrate von f und ρ f (x) = f (x) f(x) 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion ϵ f (x) = f (x) f(x) x = f (x) x f(x) = ρ f (x) x 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra Elastizität von f. 10. Lineare Programme 124
15
16 Elastische versus unelastische Funktionen Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Definition Für ϵ f (x) > 1 reagiert die relative Änderung von f(x) überproportional auf relative Änderungen von x, die Funktion f heißt im Punkt x elastisch. Für ϵ f (x) < 1 bezeichnen wir die Funktion f im Punkt x als unelastisch. Beispiel f(x) = ae bx mit a, b 0 ρ f (x) = f (x) f(x) = abebx ae bx = b und ϵ f(x) = x ρ f (x) = bx Die Änderungsrate der Exponentialfunktion ist also konstant Die Elastizität wächst linear mit x. 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 125
17 Steigung und erste Ableitung Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Gegeben: f : [a, b] R ist stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gilt: f monoton wachsend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f monoton fallend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f konstant in [a, b] f (x) = 0 für alle x (a, b) f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng monoton wachsend in [a, b] f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng monoton fallend in [a, b] 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 126
18 Krümmung und zweite Ableitung Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Gegeben: f : [a, b] R ist stetig und zweimal differenzierbar auf (a, b). Dann gilt: f konvex in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f konkav in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f beschreibt eine Gerade in [a, b] f (x) = 0 für alle x (a, b) f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng konvex in [a, b] f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng konkav in [a, b] 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 127
19
20 Beispiel Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 f : R R mit f(x) = xe x f (x) = e x xe x = (1 x)e x Damit: f (x) 0 für x 1 und f (x) 0 für x 1 e 1 f(x) 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen f mon. wachsend für x 1 und f mon. fallend für x 1 2e 2 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen f global maximal bei x = 1 3e 3 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität f (x) = e x (1 x)e x = (x 2)e x f (x) 0 für x 2 und f (x) 0 für x 2 f konvex für x 2 und f konkav für x x 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 128
21 Charakteristische Punkte Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Definition Wendepunkt f(x) hat in x 0 (a, b) einen Wendepunkt wenn es ein r > 0 gibt mit f ist in [x 0 r, x 0 ] streng konvex und f ist in [x 0, x 0 + r] streng konkav und (oder umgekehrt) Definition Terrassenpunkt x 0 ist Terrassenpunkt wenn x 0 Wendepunkt ist und f (x) = 0 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 129
22 Lokales versus globales Maximum Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme Der Finanzminister endlich mal wieder oben auf (Zeichnung: Haitzinger, 2009) 130
23 Extremumsbedingung Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Voraussetzung f zweimal stetig differenzierbar in (a, b) und f (x 0 ) = 0 mit (x 0 (a, b)) 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen Dann gilt f (x 0 ) < 0 x 0 ist lokales Maximum von f f (x 0 ) > 0 x 0 ist lokales Minimum von f f (x) < 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Maximum von f f (x) > 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Minimum von f 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 6.1. Differentialquotient und Ableitung 6.2. Änderungsrate und Elastizität 6.3. Kurvendiskussion 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 131
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