ÜBUNGSAUFGABEN. Mathematik für Ökonomen II

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1 Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg ÜBUNGSAUFGABEN zur Vorlesung Mathematik für Ökonomen II Sommersemester 2006

2 1 Aufgabe 51 Man gebe die rekursiv definierten Folgen (a n ),(b n ) mit a n+1 = 2 n+1 a n (a 0 = 1 2 ), b n+1 = b n (b 1 = 2) in expliziter Form an und überprüfe die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Aufgabe 52 Für die Folgen (a n ),(b n ),(c n ) mit n N und a n = ( 1)n( n) 3 +(n+3) 2 2 n 1+n 2 + 4n 3, b n = 1 n ( 3 n 3 n 2 4 ), ( n ) 4 c n = ( 1) n n 1 ( ) 1 n+1 n 2 2 n 2 +1 berechne man alle Häufungspunkte und Grenzwerte. Aufgabe 53 Für die Folgen (a n ),(b n ),(c n ),(d n ),(e n ) mit n N und a n = n n n+n+1, b n = 3n n 1 n n(2+ n), c n = (a n ) 2, d n = a n b n, e n = b n a n überprüfe man die Konvergenz und berechne gegebenenfalls die Grenzwerte. Aufgabe 54 Oskars Freundin finanziert ihm das Studium. Sie möchte jedoch, dass Oskar zügig studiert, und setzt folgende Zahlungen an Oskar fest: Sie zahlt ihrem Freund in den ersten 4 Jahren des Studiums 1000 pro Monat. Ab Beginn des 9. Semesters erhält Oskar einen Fixbetrag von 600 pro Monat und im 1. Monat zusätzlich 300. Dieser Zusatzbetrag fällt jeden weiteren Monat um 5 % des Zusatzbetrages aus dem Vormonat. Es wird angenommen, dass ein Semester sechs volle Monate dauert. a) Stellen Sie die Folge (a n ) der gesamten monatlichen Zahlungen auf, die die Freundin ab Beginn des 9. Semesters an Oskar leistet. b) Welchen Betrag erhält Oskar im letzten Monat des 12. Semesters? c) Oskar weiß, dass er wenigstens 790 /Monat zum Leben braucht. Wie lange kann Oskar somit sein Studium insgesamt finanzieren, wenn er kein Geld anspart und ausgeschlossen wird, dass Oskar zu einer neuen, finanzstarken Freundin wechselt bzw. eine andere Geldquelle für sich auftut?

3 2 Aufgabe 55 Ein Schüler möchte 10 Jahre für ein Auto sparen. Zu Beginn des ersten Jahres bringt er 100,- zur Bank. Nachdem die Bank mit ihm unabhängig von der Höhe der Folgezahlungen einen jährlichen Zins von 5 % auf den jeweiligen Kontostand zu Jahresbeginn vereinbart, beschließt der Schüler, seine Spareinlage zu Beginn eines jeden nachfolgenden Jahres gegenüber dem Vorjahr um 5 % zu reduzieren. Welchen Betrag hat der Schüler am Ende des 10. Jahres angespart? Aufgabe 56 Eine Schätzung der gesamten Öl- und Gasreserven im norwegischen Festlandsockel zu Beginn des Jahres 2003 betrug 13 Milliarden Tonnen. Die Förderung im selben Jahr lag bei 250 Millionen Tonnen. a) Wann sind die Reserven erschöpft, wenn die Förderung auf demselben Niveau wie im Jahr 2003 fortgesetzt wird? b) Nehmen Sie an, dass die Förderung jedes Jahr um 2 % im Vergleich zum vorangegangenen Jahr reduziert wird, beginnend im Jahr Wie lange werden die Reserven in diesem Fall reichen? c) Wie ändert sich die Situation, wenn die jährliche Förderung um jeweils 10 Millionen Tonnen gegenüber dem Vorjahr steigt, beginnend im Jahr Wie lange werden die Reserven in diesem Fall reichen? Aufgabe 57 a) Für welche k N konvergieren die Folgen (a n ), (b n ), (c n ) mit a n = 3(n10 1) 2(n+1) k, b n = a 1 n, c n = a 2 n? Geben Sie gegebenenfalls die entsprechenden Grenzwerte an. b) Zeigen Sie, dass die Reihe (s n ) mit s n = n a i i=1 für k 12 konvergiert und für k = 10 divergiert.

4 3 Aufgabe 58 a) Man überprüfe die Reihen (r n ),(s n ),(t n ) mit r n = n i=1 3 i+1 5 i 1, s n = n i=0 3 2i 5 i, t n = auf ihre Konvergenz und bestimme den Grenzwert lim n r n. n i=1 2(i!) (2i)! b) Überprüfen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, für welche a R die Reihen (r n ),(s n ) mit n r n = a i n (a 1), s n = i a(i+1) i=0 i=0 konvergieren. Aufgabe 59 Gegeben sind die Funktionen f 1, f 2 von einer reellen Variablen mit: f 1 (x) = 4x+1 2x 1, f 2(x) = x4 3x 3 + 2x 2 x 1 a) Für welche x R sind die Funktionen f 1, f 2 definiert? b) Man zerlege f 1 additiv in ein Polynom und eine echt gebrochen rationale Funktion und zeige damit, dass f 1 für x > 1 2 streng monoton fällt (ohne Differentialrechnung). c) Man zeige, dass f 2 für alle x 2 streng monoton wächst (ohne Differentialrechnung). d) Man zeige, dass weder f 1 noch f 2 eine globale Extremalstelle besitzt. Aufgabe 60 Für die gebrochen rationale Funktion f mit f(x) = führe man eine Partialbruchzerlegung durch. 1 (x 1) 2 (x 2 + 1)

5 4 Aufgabe 61 Gegeben ist die Funktion f mit: f(x) = (x+1)(1 x) ( 0) a) Für welche x R ist f definiert? b) Man zeige ohne Differentialrechnung, dass f für x = 1 minimal und für x = 0 maximal wird. Aufgabe 62 Bei der Produktion eines Gutes wirken sich die mit steigenden Stückzahlen gewonnenen Produktionserfahrungen kostensenkend aus. Die für eine Mengeneinheit (ME) des Produkts anfallenden Stückkosten k (in /ME) hängen von der Gesamtproduktionsmenge x folgendermaßen ab: k(x) = a x b mit a,b R, x 1 Es wird nun folgendes beobachtet: i. Die erste produzierte Einheit verursacht Kosten in Höhe von 160. ii. Verdoppelt man die Produktionsmenge ausgehend von einer beliebigen Stückzahl, so sinken die Stückkosten um 20 % gegenüber dem Wert vor Stückzahlverdoppelung. a) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion k. b) Wie hoch muß die Gesamtproduktionsmenge sein, damit die gesamten Produktionskosten betragen? Aufgabe 63 Gegeben sei die Funktion f mit: f(x) = 2 1 x ln( x) a) Für welche x R ist f definiert? b) Man zeige, dass f streng monoton fällt für x < 1.

6 5 Aufgabe 64 Man bestimme alle Extremalstellen der Funktion f : [ 2π, 2π] R mit ( f(x) = 2sin x π ) 6 ohne Differentialrechnung. Aufgabe 65 Untersuchen Sie die Funktion f : R R mit: 2x x+3 für x < 3 3 für x = 3 f(x) = (x+2) 2 2 für 3 < x 0 ln(e x+2 ) für x > 0 auf Stetigkeit. Aufgabe 66 a) Gegeben sei die rationale Funktion f mit f(x) = x3 + x 2 x+1 x 2 1 Für welche x R ist die Funktion definiert, stetig, stetig fortsetzbar?. b) Für welche Konstanten a,b R ist die Funktion g mit x+1 a für x 1 g(x) = 2x x 2 + b für x < 1 +1 stetig? Bestimmen Sie im Intervall [ 1, 0] eine Nullstelle der Funktion g für a = 0.4 und b = 0.6 mit Hilfe des Zwischenwertsatzes bei einer maximalen Abweichung von 0.1.

7 6 Aufgabe 67 Gegeben sei eine Produktionsfunktion f : R + R + mit y = f(x) = ( x 2 ) 0.5, wobei x das Verhältnis von Kapital zu Arbeitsinput und y das Verhältnis von Bruttosozialprodukt zu Arbeitsinput ausdrückt. a) Man zeige, dass ein x [1, 1.2] existiert mit f(x) = b) Man bestimme einen x 0 Wert, der von einem x mit f(x) = 1.05 maximal um 0.05 abweicht, und interpretiere das Ergebnis. Aufgabe 68 Gegeben sind die reellen Funktionen f 1, f 2, f 3 : R R mit: f 1 (x) = x 3 x f 2 (x) = f 3 (x) = { x 2 + x+1 für x 0 x { für x < 0 x 2 2x+2 für x 1 e x 1 für x < 1 a) Für welche x R sind die Funktionen differenzierbar? b) Man berechne gegebenenfalls die Differentialquotienten. Aufgabe 69 Gegeben ist die reelle Funktion f : R R mit: sin ax f(x) = x für x > 0 b+x 1 x für x 0 und a,b 0 a) Berechnen Sie für beliebige Konstante a, b 0 die Grenzwerte lim f(x) und lim f(x), x x falls diese existieren. b) Berechnen Sie die reellen Konstanten a,b 0 so, dass die Funktion f mit f(0) = 1 für alle x R stetig bzw. stetig fortsetzbar ist. c) Zeigen Sie ohne Differentialrechnung, dass f mit a = b = 1 für x = 0 ein globales Maximum besitzt.

8 7 Aufgabe 70 Gegeben sei die rationale Funktion f : R R mit f(x) = x2 +x+1 x a) Berechnen Sie alle Maximalstellen, Minimalstellen und Wendepunkte der Funktion. b) Berechnen Sie die Werte f( 3), f( 1), f(0), f(1), f(3) und skizzieren Sie f(x). c) In welchen Bereichen ist die Funktion monoton wachsend bzw. fallend, konvex bzw. konkav? Aufgabe 71 Die kumulierte Nachfrage y nach Videorecordern in Abhängigkeit der Zeit t 1 wird durch die sogenannte Gompertz-Funktionsgleichung prognostiziert. y(t) = 10 7 e 5(0.5)t a) Man skizziere die Funktion und gebe eine Interpretation. b) Man berechne die Sättigungsgrenze lim t y(t). c) Man zeige, dass die Änderungsrate der Nachfrage für alle t 1 positiv und monoton fallend ist. d) Man zeige, dass die Nachfrage für t 3 elastisch und für t 4 unelastisch ist.

9 8 Aufgabe 72 Gegeben sei eine Preisabsatzfunktion f : R + R + mit x = f(p) = 50e 0.2 p. Dabei entspricht p dem Preis, x dem Absatz eines Produktes. a) Zeigen Sie, dass der Umsatz mit u(p) = p f(p) für p 5 monoton wächst bzw. für p 5 monoton fällt und für alle p [0,10] konkav ist. b) Berechnen Sie die Änderungsrate ρ und die Elastizität ε des Umsatzes in Abhängigkeit des Preises. c) Bestätigen Sie Ihre in b) berechneten Ergebnisse mit Hilfe von Beispiel 9.21, Satz 9.22 c und Satz 9.23 c des Lehrbuches. Aufgabe 73 Das Mobilfunkunternehmen TELLO bietet seinen Kunden eine Beteiligung an der Gestaltung des Gebührenmodells an. Sei x R + die Anzahl der telefonierten Minuten pro Monat und y R + ein Parameter, der vom Kunden zu Vertragsbeginn frei gewählt werden kann. Für die Gebühren G(x, y) gilt die Funktionsgleichung 1 G(x,y) = 3(y+1) x+3(y+1)2. a) Wie sollten Sie y R + wählen, wenn Sie bei festem x = x 0 Ihre Kosten minimieren wollen? b) Wie hoch sind nach Kostenminimierung die Grundgebühr sowie der Minutenpreis, wenn Sie x = 144,486 bzw. 900 Minuten im Monat telefonieren? Aufgabe 74 Man untersuche die Funktion f : R R mit ) f(x) = 5 (e 2 x (x 1) 1 auf Monotonie und Konvexität. Man bestimme alle Extremalstellen und Wendepunkte und skizziere den Verlauf der Funktion für x 0.

10 9 Aufgabe 75 a) Für welche x R konvergieren die Potenzreihen (p n (x)), (q n (x)) mit n [ ] p n (x) = 23 i n (x 1), qn (x) = i(x+1) i? i=0 i=0 b) Zur Funktion f mit f(x) = 2 x bestimme man die Folge der Taylor Polynome an der Stelle x 0 = 0 sowie den Konvergenzradius dieser Folge. Aufgabe 76 Gegeben ist die Funktion f : R R mit (1) f(x) = a 2 x 2 2a 2 x+1. a) Mit a R ist zunächst eine Konstante charakterisiert. Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extremalstellen von f in Abhängigkeit von a. b) Setzen Sie a = x in der Funktionsgleichung (1), und geben Sie die daraus resultierende Funktion g : R R in Abhängigkeit von x an. c) Diskutieren Sie das Monotonie- und das Konvexitätsverhalten von g. d) Berechnen Sie die Funktionswerte g( 1), g(0), g(0.5), g(1), g(1.5), g(2) und skizzieren Sie die Funktion. Aufgabe 77 Gegeben sei die CES Produktionsfunktion (Constant Elasticity of Substitution function) mit der Gleichung y = f(x 1,x 2 ) = a [ (1 b) x c 1 + b ] 1 x c c 2, der Proportionalitätskonstanten a > 0, dem Verteilungsparameter b 0, 1 und dem Substitutionsparameter c > 0. Ferner stehen x 1 > 0 für den Produktionsfaktor Arbeit, x 2 > 0 für den Produktionsfaktor Kapital und y für das Bruttosozialprodukt (vgl. auch Aufgabe 67). a) Man berechne die partiellen Grenzproduktivitäten der beiden Faktoren und zeige, dass diese positiv sind. b) Man berechne die Grenzrate der Substitution x 1 x 2. c) Man berechne die partiellen Elastizitäten der Faktoren und zeige, dass die CES Funktion homogen vom Grade 1 ist. d) Man kann zeigen, dass die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung f x1 x 1 (x 1,x 2 ) und f x2 x 2 (x 1,x 2 ) negativ sind. Geben Sie für diese Aussage eine ökonomische Interpretation.

11 10 Aufgabe 78 a) Man bestimme alle Extremalstellen der Funktion f : R 3 R mit b) Man berechne die Veränderung f(x 1,x 2,x 3 ) = x x2 2 3x2 1 x 2 + x 2 3. f(100,200,300) = f(100+ x 1,200+ x 2,300+ x 3 ) f(100,200,300) mit x 1 = x 2 = x 3 = 1 näherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials und vergleiche das Ergebnis mit dem exakten Wert. Aufgabe 79 Für ein Produkt, das ein monopolistischer Anbieter auf den Markt bringen möchte, gelte die Preis Absatz Beziehung x = 100 p+ q, wobei p den Preis, x die Absatzquantität und q die Werbekosten bezeichnen. Ferner sind die Produktionskosten durch c(x) = 40x+500 gegeben. a) Skizzieren Sie in der (x,q) Ebene die Punktmenge, die zu einem positiven Preis führt. b) Man berechne den Preis p, das Werbebudget q und die Absatzquantität x so, dass der Gewinn lokal maximal wird, und gebe den maximalen Gewinn an. Aufgabe 80 Bestimmen Sie zur Funktion f : R 2 R mit f(x,y) = x 3 x 2 ln(y 2 + 1) 3x a) den Funktionswert f( 1, 0), b) den Gradienten, c) die Hesse Matrix, d) alle Nullstellen des Gradienten, e) die Definitheitseigenschaft der Hesse Matrix in jeder Nullstelle des Gradienten, f) eine lokale Maximalstelle.

12 11 Aufgabe 81 Zwischen dem Preis x und dem Absatz y eines Gutes wird eine lineare Beziehung der Form y = a+bx vermutet. Folgende Daten wurden beobachtet: y x a) Mit Hilfe der Daten schätze man a und b nach der KQ Methode auf zwei Kommastellen. b) Mit Hilfe von a) prognostiziere man den Absatz y bei einem Preis von x = 25. Aufgabe 82 Zeigen Sie, dass die Funktion f : R 3 R mit f(x 1,x 2,x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3 unter der Nebenbedingung x x2 2 + x2 3 = r2 mit r > 0 genau ein globales Maximum und ein globales Minimum besitzt. Wie verändert sich die Lösung, wenn zusätzlich x 2 = x 3 erfüllt sein soll. Aufgabe 83 Ein Teegroßhändler will seinen Tee in quaderförmigen Blechdosen mit quadratischer Grundund Deckfläche auf den Markt bringen. Welche Abmessungen müssen die Blechdosen haben, damit bei einem Volumen von 1 Liter (= 1000 cm 3 ) ein möglichst geringer Blechverbrauch anfällt.

13 12 Aufgabe 84 Ein Student möchte mit Freunden seine bestandene Mathematikprüfung mit Bier (x 1 ) zum Preis von 2, Schnaps (x 2 ) zum Preis von 20 und Zigaretten (x 3 ) zum Preis von 4 pro Einheit feiern. Insgesamt veranschlagt er einen Betrag von 120. Ferner bewertet er den Nutzen eines Einkaufs durch die Funktion f mit und möchte diesen Nutzen maximieren. f(x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 2 x 3 a) Man zeige, dass die nach Satz berechnete Hessematrix indefinit ist. b) Man löse das gegebene Nutzenmaximierungsproblem mit Budgetrestriktion mit Hilfe variabler Lagrange Multiplikatoren (Satz 10.42). Aufgabe 85 Man bestimme die Stammfunktionen der Funktionen f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 mit: f 1 (x) = 2x+ 1 x + 2 x 2 cosx+e 2x f 2 (x) = (x 2 + x)cosx x 2 1 f 3 (x) = (x 3 3x+2) n für n = 1,2 1 f 4 (x) = x 3 x f 5 (x) = x e x2 + 1 e x2 Aufgabe 86 Für die in Aufgabe 85 angegebenen Funktionen berechne man 2 f 1 (x)dx, π 2 f 2 (x)dx, 4 f 4 (x)dx Aufgabe 87 Man berechne die bestimmten Integrale 2π 0 xsinxdx, und interpretiere die erhaltenen Ergebnisse. 2π 0 xsinx dx

14 13 Aufgabe 88 Gegeben sei eine Grenzkostenfunktion 3 für x [0,100] c (x) = 30 für x [100, 400] 600 für x [400,900] x. Die fixen Kosten betragen c(0) = Bestimmen Sie dazu eine stetige Gesamtkostenfunktion c(x) und berechnen Sie die Gesamtkosten für x = 100, x = 150 und x = 625. Aufgabe 89 Der momentane Umsatz eines Produktes zum Zeitpunkt t sei durch die Funktion u : R + R + mit u(t) = 1000(t + 1) e t 2 gegeben. a) Man skizziere die Funktion u im Planungszeitraum [0, 10] und berechne den Gesamtumsatz in [0,T]. b) Man ermittle den Gesamtumsatz für T = 10 und T. Aufgabe 90 Für ein Produkt sollen die Kosten- und Umsatzentwicklungen in Abhängigkeit der Zeit t 0 betrachtet werden. Dabei wurden für die Veränderung der Kosten k(t) bzw. des Umsatzes u(t) die Beziehungen ermittelt. k (t) = d k(t) d t = 100 t + 1 bzw. u (t) = d u(t) d t = 1000 (t + 1) 2 für alle t 0 a) Zeigen Sie, dass die Kosten k(t) und der Umsatz u(t) für t 0 monoton wachsen, während der Gewinn g(t) = u(t) k(t) für t 9 monoton wächst und für t 9 monoton fällt. b) Berechnen Sie die bestimmten Integrale k 9 = 9 0 k (t) d t, u 9 = und interpretieren Sie diese Ergebnisse. 9 0 u (t) d t, g 9 = u 9 k 9 c) Zeigen Sie, dass es eine obere Integrationsgrenze z 9 mit g z = 0 gibt (keine Berechnung erforderlich).